Curvas de Nível e Gradientes - Exercícios Resolvidos de Cálculo 2

5 Em cada uma das guras a b e c abaixo são apresentados os grácos de uma superfície e das curvas de nível correspondentes a b c a A qual gura corresponde a função f x y x2 y2 Justique b A qual gura corresponde a função f x y x y2 Justique c A qual gura corresponde a função f x y ex2y2 Justique d Nos grácos de curvas de nível uma densidade maior de linhas corresponde a uma variação maior ou menor da função naquela região Solução Feita em ANEXO Questão 3 3 Seja a função de duas variáveis fx y lnxy a Qual é o domínio de fx y Faça um desenho do plano xy mostrando as regiões em que esta função é definida b Calcule f x f y e escreva o gradiente da função fx y ou seja fx y c Calcule a derivada direcional de fx y no ponto P 3 1 na direção u 3 4 Não se esqueça de normalizar o vetor u Solução a O domínio da função logarítima é dada de modo que seu argumento seja não negativo e não nulo Ou seja é o conjunto de pontos x e y tais que xy 0 Com efeito como queremos que a múltiplicação de dois números seja positiva basta requereremos que x 0 e y 0 ou ainda o caso em que x 0 e y 0 Assim fica claro que o domínio da função é dado pelo primeiro quadrante do plano xy e pelo terceiro quadrante do plano xy excluindose as retas x 0 e y 0 Figura 1 Esboço gráfico associado ao domínio da função dada b Com efeito temos que xfx y x lnxy 1 xy xxy 1 x yfx y y lnxy 1 xy yxy 1 y e logo temos que o gradiente da função é fx y xfx yˆi yfx yˆj 1 x ˆi 1 y ˆj 2 Então desenvolvendo a expressão acima teremos que 0 g1 1 2 x 1 y 1 z 2 3 3 2 x 1 y 1 z 2 3x 1 3y 1 2z 2 3x 3y 2z 3 3 4 3x 3y 2z 10 Logo a equação do plano tangente no ponto P dado é 3x 3y 2z 10 Questão 5 a A qual figura corresponde a função fx y x2 y2 Justifique b A qual figura corresponde a função fx y x y2 Justifique c A qual figura corresponde a função fx y ex2y2 Justifique d Nos gráficos de curvas de nível uma densidade maior de linhas corresponde a uma variação maior ou menor da função naquela região Solução a A primeira curva corresponde a imagem dada na Figura b Decerto basta ver que as curvas de nível da função são círculos concêntricos na origem Ademais note que no plano isto é para z fx y 0 temos que x y 0 Assim a curva deve iniciar do ponto zero e a medida que z fx y aumenta devemos ter maiores valores do raio da circunferência Assim a figura que se encaixa com essa descrição é a do item b b A segunda curva é associada a Figura a De fato isso ocorre uma vez que ao olharmos para as curvas de nível de f teremos expressões do tipo xy2 k ou seja x ky2 Com efeito isso descreve uma família de parábolas com vértice no eixo y igualmente como apresentado na Figura a c Por fim vemos que essa curva deve ser associada a curva da Figura c Decerto isso pode ser visto analisando que suas curvas de nível são tais que ex2y2 k e uma vez que temos maiores valores de x e y teremos menos valores de k uma vez que nossa exponencial é negativa Além disso veja que para x y 0 temos o ponto 1 associado a curva e então seu comportamento esperado é um decrescimento conforme apresentado na Figura c d Uma densidade maior de linhas em um gráfico de curvas de nível geralmente corresponde a uma variação maior da função naquela região As curvas de nível são linhas que conectam pontos com o mesmo valor da função em um gráfico bidimensional 4