Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo III - Funções, Limites, Derivadas e Integrais

ESAMC Regime especial 202301 Cálculo III Prof Diogo Cirulli Parte 01 Funções de várias variáveis e limites 1 Determine o domínio das seguintes funções e faça o esboço do gráfico desse domínio 2 Determine o valor das funções da questão anterior para 2 3 3 Encontre os limites abaixo 4 Seja a função fxy x² y² Encontre suas curvas de nível quando c 1 c 4 e c 9 5 Seja a função fxy x² y construa o gráfico das curvas de nível quando c 4 e c 9 6 Seja a função fxy xy construa o gráfico das curvas de nível quando c 1 e c 2 Parte 02 Derivadas parciais 1 Encontre as derivadas parciais pedidas a seguir 2 Encontre as derivadas parciais de 2a ordem para cada variável das funções a seguir 3 Parte 03 Integrais duplas e triplas 1 Resolva as integrais duplas a seguir 2 Resolva as integrais duplas a seguir em coordenadas polares 3 Resolva as integrais triplas a seguir a ₀³ ₀² ₀¹ x² y² z² dx dy dz b ¹¹ ¹¹ ¹¹ x² y² z² dx dy dz c ₀¹ ₀ˣ ₀ʸˣ x dz dy dx d ₀⁴ ₀π ₀¹ₓ x² seny dz dx dy e ₀π2 ₀ʸ ₀1y seny dz dx dy f ₂¹ ₀ˣ ₀ʸˣ x² z⁴ dz dy dx PARTE 1 Funções de várias variáveis e limites 1 a Z x y Sendo x e y variáveis independentes o domínio da função é o conjunto de todos os pares ordenados x y em ℝ x ℝ D xy x ℝ y ℝ b W 1 x² y² z² para que a função seja contínua o denominador da função deve ser x² y² z² 0 Dw xyz x² y² z² 0 Apenas a parte positiva c Z 1 x² y² para que a função seja contínua a raiz deve ser maior que zero x² y² 0 x² y² Dz xy x² y² d z x y2 1 A função não possui restrições que seja para qualquer valor de x e y a função está definida Dz xy x R y R e z x2 y2 1 A função está definida para uma raiz onde x2 y2 1 0 x2 y2 1 Dz xy x2 y2 1 não está definida dentro da circunferência f z ln 4 x2 y2 O valor dentro do logaritmo deve ser maior que zero para que a função esteja definida ou seja 4 x2 y2 0 x2 y2 4 x2 y22 42 x2 y2 16 Dz xy x2 y2 16 g z ex y A função só não está definida para y 0 pois teríamos uma indefinição Dz xy y 0 h y sqrt1 x 1 z para que a função esteja definida o argumento dentro da raiz deve ser maior que zero 1 x 1 z 0 x 1 z 1 z x 0 x z 1 0 o domínio da função será Dy xy x z 1 0 i w 1 sqrt9 x2 y2 z2 para que a função esteja definida a raiz deve ser maior que zero ou seja 9 x2 y2 z2 0 x 1 x2 y2 z2 9 temos uma esfera de raio r 3 Dw xyz x2 y2 z2 9 2 PARA 23 temos x 2 y 3 a z xy 2 3 6 b w 1 x2 y2 z2 1 22 32 z2 1 13 z2 c z 1 sqrtx2 y2 1 sqrt22 32 1 sqrt5 d z x y2 1 2 32 1 2 10 e Z x² y² 1 2² 3² 1 12 f Z ln4 x² y² ln4 2² 3² Z ln4 13 ln413 g Z exy e23 h y 1 x1 z 1 21 z 31 z i w 19 x² y² z² 19 2² 3² z² 14 3² 3 a lim xy00 3x² y² 5x² y² 2 30² 0² 50² 0² 2 lim xy00 3x² y² 5x² y² 2 52 b lim xy00 ey senxx pela propriedade do produto dos limites temos lim y0 ey lim x0 senxx 1 1 por definição lim x0 senxx 1 lim y0 ey e0 1 lim xy00 ey senxx 1 1 1 f lim xy23 1x 1y² 12 13² lim xy23 1x 1y² 136 d lim xy00 cosx² y³x y 1 cos0² 0³0 0 1 cos0 1 lim xy00 cosx² y³x y 1 1 e lim xyzπ03 z e2y cos2x lim xyzπ03 3 e2 0 cos2π 3 1 1 3 4 fxy x2 y2 c 1 c 4 e c 9 para determinar as curvas de nível da função devemos fazer x2 y2 c 6 fxy x y c 1 c 2 x y c Parte 02 Derivadas parciais 1 Vamos considerar fx fx e fy fy a fxy 6x 3y 7 fx 6 fy 3 b fxy xy2 5y 6 fx y2 fy 2xy 5 c fxy x y y2 x2 pela regra do quociente fy 1sqrty2 x2 ysqrty2 x2 x ysqrty2 x22 Fy sqrty2 x2 yx ysqrty2 x2 y2 x2 d ux y z sqrtx2 y2 z2 uz 1sqrtx2 y2 z2 2z Uz 2zsqrtx2 y2 z2 e fx y exy penx fx y exy cosx fy x exy 2 a z ex cosy zx ex cosy zxx ex cosy Zy ex peny Zyy ex cosy b z 2xyx2 y2 Pela regra do quociente zx 2y x2 y2 2x 2xyx2 y22 zx 2x2y 2y3 2x2yx2 y22 zx 2y x2 y2x2 y22 Zxx 4xy x2 y22 2 2x x2 y2 2y x2 y2x2 y23 zxx 4xy x2 y22 4xy x2 y2 x2 y2x2 y23 Zxx 4xy x2 3y2x2 y23 para a segunda derivada em relação a y mudamos x por y e invertemos Os sinais então Zyy 4xyy2 3x2 x2 y23 c Z arctgx2 y2 Pela regra da cadeia Zx 1 x2 y22 1 2x 2x x2 y22 1 Pela regra do quociente Zxx 2 x2 y22 1 2x2 y2 2x 2x x2 y22 12 Zxx 2x2 y22 2 6x2x2 y2 x2 y22 12 Como a derivada é simétrica a derivada segunda basta trocar x por y e y por x do numerador Zyy 2y2 x22 2 6y2y2 x2 y2 x2 12 d Z 3xy x 2y Pela regra do quociente Zx 3y x 2y 1 3xy x 2y2 Zx 3xy 6y2 3xy x 2y2 Zx 6y2 x 2y2 Zxx 6y2 x 1 x 2y2 Zxx 6y2 2x 2y x 2y4 3 Zxx 12y2 x 2y3 Por simetria a derivada segunda de y basta inverter o sinal e trocar x por y e y por x do numerador Zyy 12x2 x 2y3 3 Z fxy x2 y2 y 2 em P228 Primeiro devemos encontrar a inclinação da reta tangente m 2f 2x 2f 2y fx 2x e fy 2y m 2x 2y aplicando no ponto m 22 22 4 4 portanto a inclinação da reta tangente é 4 Encontrando o ponto de intersecção entre y 2 e P 2 2 8 temos x y z 2 2 8 t1 0 4 Portanto a equação da reta tangente no ponto 2 2 8 é x 2 t y 2 z 8 4t b Essa é a equação paramétrica da reta Parte 03 Integrais duplas e triplas 1 x² y² dy dx usando coordenadas polares x r cos θ y r sen θ dy dx r dr dθ r² cos² θ r² sen² θ r dr dθ r² cos² θ sen² θ r dr dθ 1 r r dr dθ r² dr dθ Os limites da integração em coordenadas polares são quando y x² temos x² r² sen² θ para 2 x² 2 r² cos² θ quando x 0 temos r cosθ 0 o que implica r 0 e r 2 Analisando o ângulo pela função y 2 x² temos A integral em coordenadas polares r² cos² θ sen² θ r dr dθ Como cos² θ sen² θ 1 ₀ᴾ ₀²2 r² dr dθ ₀ᴾ r³3₀²2 dθ 13 ₀ᴾ 2³ dθ 223 ₀ᴾ dθ 223 θ₀ᴾ boxed22π3 b ₀¹ ₀xx² x dy dx usando coordenadas polares x r cosθ y r senθ dy dx r dr dθ Analizando os limites de integração de y y x x² y² x x² x² y² x graficamente temos graph shown o raio está variando de 0 r 12 e o ângulo de 0 θ π2 a integral em coordenadas polares ₀ᴾ2 ₀¹₂ r cosθ r dr dθ ₀ᴾ2 ₀¹₂ r² cosθ dr dθ ₀ᴾ2 r³3 cosθ₀¹₂ dθ 13 ₀ᴾ2 12³ cosθ dθ 124 ₀ᴾ2 cosθ dθ 124 senθ₀ᴾ2 124 senπ2 sen0 boxed124 c ₁¹ ₀1 x² dy dx usando coordenadas polares x r cosθ y r senθ dy dx r dr dθ Analizando os limites de integração temos y 1 x² y² 1 x² x² y² 1 raio será 0 r 1 ângulo será 0 θ π graficamente pela função x² y² 1 temos graph shown Reescrevendo a integral em coordenadas polares ₀π ₀¹ r dr dθ ₀π r²2₀¹ dθ ₀π 1²2 dθ 12 ₀π dθ 12 θ₀π π2 a ₀¹ ₀1y² x² y² dx dy usando coordenadas polares x rcosθ y rsenθ dy dx rdr dθ Para x temos as variáveis x0 e x1y² então x² 1y² x² y² 1 temos uma circunferência de raio r1 o raio está variando 0 r 1 Analisando o ângulo a partir de x1y² coordinate diagram logo a integral em coordenadas polares será 3π2π2 ₀¹ r²cos²θ r²sen²θ r dr dθ 3π2π2 ₀¹ r³ dr dθ 3π2π2 r⁴4₀¹ dθ 3π2π2 14 dθ 14 3π2π2 dθ 14 θ3π2π2 14 π2 3π2 14 2π2 π4 e ₀⁶ ₀ʸ x dx dy ₀⁶ x²2₀ʸ dy ₀⁶ y²2 dy 12 ₀⁶ y² dy 12 y³3₀⁶ 16 6³ 0³ 36 f ₀² ₀ˣ² y dy dx ₀² y²2₀ˣ² dx 12 ₀² y² ₀ˣ² dx 12 ₀² x⁴ dx 12 x⁵5₀² 12 2⁵5 32 g ₀¹ ₀² x2 dy dx ₀¹ x2yᵧ² ᵧ₀ dx ₀¹ 2x2 dx ₀¹ 2x 4 dx 2x²2₀¹ 4x₀¹ 1² 41 5 2 a π²π ⁷₄ r dr dθ π²π r²2 ⁷₄ dθ 12 π²π 7² 4² dθ 332 π²π dθ 332 θ₀²π 332 2π π 33π2 b ₀ˡ² ₀⁴ r dr dθ ₀ˡ² r²2₀⁴ 4 cos θ dθ 12 ₀π2 4cosθ² dθ 162 ₀π2 cos²θ dθ 8 ₀π2 cos²θ dθ 8 ₀π2 1 cos2θ2 dθ 4 ₀π2 1 cos2θ dθ 4 ₀π2 1 dθ 4 ₀π2 cos2θ dθ 4 θ₀π2 4 sin2θ2₀π2 4 π2 0 2 sin2π2 sin20 4π2 2π 3 a ₀³ ₀² ₀¹ x² y² z² dx dy dz ₀³ ₀² x³3 xy² xz²x0x1 dy dz ₀³ ₀² 13 1 y² 1 z² dy dz ₀³ ₀² 13 y² z² dy dz ₀³ 13 y y³3 y z²y0y2 dz ₀³ 13 2 2³3 2 z² dz ₀³ 23 83 2 z² dz ₀³ 103 2 z² dz 103 z 2 z³3₀³ 103 3 2 3³3 10 18 28 b 1¹ 1¹ 1¹ x² y² z² dx dy dz 1¹ 1¹ x³3 y² z² x1x1 dy dz from 1 to 1 from 1 to 1 13 13 y2 z2 dy dz 23 from 1 to 1 from 1 to 1 y2 z2 dy dz 23 from 1 to 1 y33 from y1 to y1 z2 dz 23 from 1 to 1 13 13 z2 dz 49 from 1 to 1 z2 dz 49 z33 from 1 to 1 49 13 13 827 e from 0 to 1 from 0 to x from 0 to xy x dz dy dx from 0 to 1 from 0 to x zx from z0 to zxy dy dx from 0 to 1 from 0 to x xy dy dx xy x dy dx from 0 to 1 from 0 to x x2 y dy dx from 0 to 1 x2 y22 from y0 to yx dx 12 from 0 to 1 x2 x dx 12 from 0 to 1 x3 dx 12 x44 from 0 to 1 12 14 18 d from 0 to 4 from 0 to π from 0 to 1x x2 seny dz dx dy from 0 to 4 from 0 to π x2 seny z from z0 to z1x dx dy from 0 to 4 from 0 to π x2 seny 1x dx dy from 0 to 4 from 0 to π x2 seny x3 seny dx dy from 0 to 4 x33 seny x44 seny from x0 to xπ dy from 0 to 4 π33 seny π44 seny dy from 0 to 4 seny π33 π44 dy 4 π3 3 π412 from 0 to 4 seny dy 4 π3 3 π412 cosy from y0 to y4 4 π3 3 π412 cos4 1 e 0π2 0y 0 14y peny dz dx dy 2 1 0x 0y x2 z4 dz dy dx 130 x99 2 1 1270 19 29