Otimização e Cálculo Multivariável - Lista de Exercícios Resolvidos

4 Plano x y z 1 z x y 1 Ponto 2 1 1 d2 x 22 y 12 z 12 d2 x 22 y 12 z 12 fxyz com gxyz x y z 1 sendo a restrição de f Daí f λ g 2x 2 2 y 1 2 z 1 λ 1 1 1 λ 2x 4 λ 2y 2 λ 2z 2 2x 4 2y 2 2y 2x 2 e 2x 4 2z 2 2z 2 2x y x 1 z 1 x Logo como gxyz 0 temos x x 1 1 x 1 3x 2 1 x 1 Logo x 1 y 0 e z 0 e f1 0 0 12 12 12 3 logo d 3 5 volume V xyz z Vxy Se p é o preço do vidro e então 5p é o preço do fundo então Cxy 5p xy p 2xz 2 yz 5pxy 2PVy 2PVx C Cx 5py 2PVx2 e Cy 5px 2PVy2 Daí C 0 quando 5py 2PVx2 5px 2PVy2 5x2 y 2V 5y2 x 2V logo x2 y y2 x xy x y 0 Como x 0 y temos que x y 0 x y ainda se 5py 2Vpx2 y 2Vp5x2 Daí 5px 2PVy2 e é o mesmo que 5x 2V 5x22V2 25x42V 25x4 10Vx 0 logo 5x5x3 2V 0 5x3 2V x 2V513 y z V2V5132 V 52V23 V13 5223 3V 5223 Portanto as dimensões da caixa com menor custo é x y 2V513 e z 3V 5223 4 Determine a distância mais curta entre o ponto 2 1 1 e o plano x y z 1 5 A base de um aquário com volume V é feita de ardósia enquanto que as paredes do aquário são feitas de vidro O aquário não tem tampa Sabese que o preço da ardósia é 5 vezes o preço do vidro Determine as dimensões do aquário em termos de V que minimizam o custo Dicas Seja x y e z as dimensões do aquário Seu volume V é fixo logo podemos escrever z Vxy Com isso a equação do custo C pode ser escrita em termos de apenas duas variáveis Cxy Determine o mínimo de tal função Para escrever a equação do custo some o preço de cada lado do aquário considere que o preço por metro quadrado de vidro é p com isso o custo por metro quadrado de ardósia será 5p 6 Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32000cm3 Determine as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de papelão utilizada Dica queremos minimizar a área da caixa que possui 5 lados 7 Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos de máximo e mínimo das funções sujeitas as restrições dadas a fxy x2 y2 x2 y2 1 b f xy 4x 6y x2 y2 13 c f xy x2 y x2 2y2 6 d fxy x2 y2 x4 y4 1 e fxyz 2x 6y 10z x2 y2 z2 35 f fxyz xyz x2 2y2 3z2 6 g fxyzt x y z t x2 y2 z2 t2 1 6 Volume xyz 32000 cm³ Área 2xz 2yz xy logo fxyz 2xz 2yz xy e gxy xyz 32000 Daí f λ g 2z y 2z x 2x 2y λyz xz xy 2z y λ yz x 2z x λ xz y 2x 2y λ xy z 2zx yx λ yzx i 2zy xy λ xzy ii 2xz 2yz λ xyz iii i e ii 2zx yx 2zy xy zx zy zx y 0 logo x y ii e iii 2zy xy 2xz 2yz 2zx x² 2zx 2zx xx2z 0 logo x 2z z x2 logo xyz xxx2 x³2 32000 x³ 64000 x 40 logo x y 40 cm e z 20 cm São as dimensões da caixa Daí z 320004040 32016 20 cm logo as dimensões serão x y 40 cm e z 20 cm 7 a fxy x² y² e gxy x² y² 1 f λ g 2x 2y λ 2x 2y 2x λ 2x 2y λ 2y x λ x y λ y como gxy 0 x1λ 0 y1λ 0 se λ1 então 2y0 y0 x² 0² 1 x1 ou x1 Se λ 1 então 2x 0 x0 Daí 0² y² 1 y1 ou y1 logo 01 01 10 10 são pontos críticos de f com a restrição g f01 1 f01 1 f10 1 f10 1 logo 01 e 01 são pontos de mínimo e 10 10 são pontos de máximo b fxy 4x 6y com gxy x² y² 13 f λ g 46 λ 2x 2y 2λ x 4 2λ y 6 λ 2x λ 3y 2x 3y 3x 2y logo x 2y3 como gxy 0 temos 2y3² y² 13 4y²9 y² 13 13y²9 13 y² 9 y 3 ou y 3 Se y 3 então x 233 2 x 2 Se y 3 então x 323 2 x 2 Logo 23 e 23 são pontos críticos de f com a restrição g f23 8 18 26 f23 8 18 26 logo 23 é ponto de máximo e 23 é ponto de mínimo c fxy x2 y com gxy x2 2y2 6 f λg 2xy x2 λ2x 2y 2xy 2λx x2 2yλ xλ xy x2 2yλ xλ y 0 x2 2yλ x 0 ou λ y Se x 0 então como gxy 0 temos 02 2y2 6 y2 3 y 3 ou y 3 Se λ y temos x2 2y2 x2 2y2 4y2 6 y2 32 y 32 ou y 32 Se y 32 x2 232 3 x 3 ou x 3 Se y 32 x2 232 3 x 3 ou x 3 logo 0 3 0 3 3 32 3 32 3 32 3 32 são pontos criticos de f d fxy x2 y2 com gxy x4 y4 1 f λg 2x 2y λ 4x3 4y3 2x 4λx3 2y 4y3λ x 2λ x3 y 2λ y3 Se x 0 λ 12x2 logo y 2 12x2 y3 y x2 y2 0 x2 y2 x y ou x y dai como g0 temos x4 x4 1 2x4 1 x 14 2 ou x 14 2 logo 14 2 12 14 2 12 14 2 12 14 2 12 são os pontos criticos de f restrito a g fP1 fP2 fP3 fP4 12 12 1 logo P1 P2 P3 P4 são pontos de máximo e fxyz 2x 6y 10z e gxyz x2 y2 z2 35 f λg 2 6 10 λ2x 2y 2z 2λx 2 2λy 6 2λz 10 λx 1 λy 3 λz 5 x 1λ y 3λ z 5λ Como g0 então x2 y2 z2 35 1λ2 9λ2 25λ2 35 35λ2 35 λ2 1 λ 1 ou λ 1 logo x1 y3 e z5 ou x1 y3 z5 logo 1 3 5 e 1 3 5 são pontos criticos de f restrito a g f135 2 18 50 70 f 1 3 5 2 18 50 70 logo 135 é ponto de máximo e 1 3 5 é ponto de mínimo f fxyz xyz com gxyz x2 2y2 3z2 6 f λg yz xz xy λ 2x 4y 6z 2λx yz x 4λy xz y 6λz xy z 2λx2 xyz 4λy2 xyz 6λz2 xyz x2 2y2 3z2 x2 logo como g 0 x2 x2 x2 6 x2 2 x 2 ou x 2 e Daí 2 2y² y² 1 y 1 ou y 1 3z² 2 z 23 ou z 23 Logo os pontos críticos de f restrito a g são 2 1 23 P₁ 2 1 23 P₂ 2 1 23 P₃ 2 1 23 P₄ 2 1 23 P₅ 2 1 23 P₆ 2 1 23 P₇ 2 1 23 P₈ com seu valor em f dado por fP₁ fP₄ fP₆ fP₇ 23 fP₂ fP₃ fP₅ fP₈ 23 Logo P₁ P₄ P₆ P₇ são pontos do máximo e P₂ P₃ P₅ P₈ são pontos de mínimos g fxyzt x y z t gxyzt x² y² z² t² 1 f λg 1 1 1 1 λ2x 2y 2z 2t x 12λ y 12λ z 12λ t 12λ Daí como g0 temos 14λ² 14λ² 14λ² 14λ² 1 λ² 1 λ 1 ou λ 1 Se λ 1 P₁ 12 12 12 12 e ponto crítico Com fP₁ 12 4 2 Se λ 1 P₂ 12 12 12 12 e ponto crítico com fP₂ 2 Logo P₁ é ponto de máximo e P₂ é ponto de mínimo