Lista de Exercícios Resolvidos Calculo III - Otimização e Pontos Críticos

Lista 04 de Cálculo III 1º semestre de 2022 1 Determine se as funções abaixo possuem pontos de máximo ou de mínimo local ou de sela Caso existam determine tais pontos a f x y 3 x 2 y 5 b f x y 9 2 x 4 y x 2 4 y 2 c f x y x 3 y 12 x 2 8 y d f x y e 4 y x 2 y 2 Dica Note que os extremos de f x y e g x y ocorrem nos extremos de g x y e f x y e x cos y f f x y x cos y g f x y x 2 y 2 1 x 2 y 2 Texto para as questões 24 Mínima distância entre um dado ponto x 0 y 0 z 0 e uma superfície z f x y A distância entre um ponto x y z e outro ponto x 0 y 0 z 0 é dada por d x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 Agora suponha que x y z pertença à superfície z f x y Usando tal restrição podemos substituir z f x y na equação da distância e com isso teremos uma função d d x y Basta determinar o mínimo de d Note que os extremos de d ocorrem nos mesmo pontos que d 2 logo basta determinar os mínimos da função definindo g d 2 g x y x x 0 2 y y 0 2 f x y z 0 2 2 Determine o ponto no plano x y z 4 que está mais próximo do ponto 1 2 3 3 Determine os pontos na superfície x 2 y 2 z 1 que estão mais próximos da origem 4 Determine a distância mais curta entre o ponto 2 1 1 e o plano x y z 1 5 A base de um aquário com volume V é feita de ardósia enquanto que as paredes do aquário são feitas de vidro O aquário não tem tampa Sabese que o preço da ardósia é 5 vezes o preço do vidro Determine as dimensões do aquário em termos de V que minimizam o custo Dicas Seja x y e z as dimensões do aquário Seu volume V é fixo logo podemos escrever z V x y Com isso a equação do custo C pode ser escrita em termos de apenas duas variáveis C x y Determine o mínimo de tal função Para escrever a equação do custo some o preço de cada lado do aquário considere que o preço por metro quadrado de vidro é p com isso o custo por metro quadrado de ardósia será 5 p 6 Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32000 c m 3 Determine as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de papelão utilizada Dica queremos minimizar a área da caixa que possui 5 lados 7 Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos de máximo e mínimo das funções sujeitas as restrições dadas a f x y x 2 y 2 x 2 y 2 1 b f x y 4 x 6 y x 2 y 2 13 c f x y x 2 y x 2 2 y 2 6 d f x y x 2 y 2 x 4 y 4 1 e f x y z 2 x 6 y 10 z x 2 y 2 z 2 35 f f x y z x y z x 2 2 y 2 3 z 2 6 g f x y z t x y z t x 2 y 2 z 2 t 2 1 8 Determine os valores extremos da função f x y x 2 2 y 2 no circulo x 2 y 2 1 9 Determine os valores extremos da função f x y x 2 2 y 2 no disco x 2 y 2 1 10 Determine os pontos de uma esfera x 2 y 2 z 2 4 que estão mais próximos e mais distantes do ponto 3 1 1 11 O departamento de estradas de rodagem está planejando construir uma área de descanso para motoristas à beira de uma rodovia O terreno deve ser retangular com uma área de 5000 m2 e ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia Qual o menor comprimento de cerca necessária para a obra 12 Um fabricante dispõe de R 800000 para investir no desenvolvimento e na propaganda de um novo produto Estimase que se x milhares de reais forem gastos em desenvolvimento e y milhares de reais em propaganda as vendas atingirão f x y 50 x 1 2 y 3 2 unidades Quanto o fabricante deve gastar em desenvolvimento e quanto deve gastar em propaganda para que o número de unidades vendidas seja o maior possível