Atividade

Cálculo III Hora de testar seus conhecimentos Descrição do problema Vamos imaginar duas funções quaisquer de três variáveis dadas por 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 e 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 Estas funções podem ser escalares ou vetoriais dependendo da situação estudada Imagine que precisamos obter a derivada do produto entre estas funções em relação ao tempo Matematicamente isso quer dizer 𝑑 𝑑𝑡 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 Aqui é importante reparar que temos uma regra do produto a ser aplicada e dentro de cada função 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 e 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 podem existir regras da cadeia a serem aplicadas também Agora imagine que precisamos obter a derivada de uma função composta em relação ao tempo Neste caso matematicamente isso quer dizer que 𝑡 𝑓𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑡 𝑓𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑡 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 Questão 1 Com estas informações vamos considerar a seguinte função posição de uma partícula em movimento dadas em coordenadas polares 𝑥 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜑 𝑦 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 𝑧 𝑧 Nestes casos considere que 𝜔 𝜑 e 𝑅 são constantes quaisquer a princípio Em outras palavras isso quer dizer que a posição é dada como a soma de suas componentes resultando em 𝑆 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜑 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜑 𝑧 A representação esquemática da trajetória da partícula segundo a posição é dada por Figura 1 Trajetória espiral Baseado nestas informações faça o que se pede a Qual a velocidade da partícula DICA Lembrese de que a velocidade é dada pela derivada da função posição em relação ao tempo b Qual a aceleração da partícula DICA Lembrese de que a aceleração tangencial é dada pela derivada da função velocidade em relação ao tempo Item A s Rcosωt φ Rsenωt φ z queremos calcular a velocidade isto é a derivada da posição S V dSdt ddt R cosωt φ R sinωt φ z Rω cosωt φ Rω sinωt φ Item B queremos calcular a aceleração isto é a derivada da velocidade V A dVdt ddt Rω cosωt φ Rω sinωt φ Rω² sinωt φ Rω² cosωt φ