Cálculo III - Roteiro de Trabalho para Avaliação em Regime Especial - ESAMC 2023

ESAMC Cálculo III 2º Semestre de 2023 Roteiro de Trabalho para Avaliação de Alunos em Regime Especial Nome RA 1 Para cada uma das funções abaixo determine o conjunto dos pontos xy onde fxy é contínua a fxy sen x²y b fxy ln x² y² c fxy exyxy d fxy ln cos x² y² 2 Calcule o limite lim x0 y0 2x²yx⁴ y² nos seguintes casos a Ao longo da parábola y x² substituindo y na expressão acima e depois tomando o limite b Ao longo da parábola y x² substituindo y na expressão acima e depois tomando o limite c Com base nos resultados dos itens a e b esta função é contínua na origem 3 Seja a função de duas variáveis fxy ln xy a Qual é o domínio de fxy Faça um desenho do plano xy mostrando as regiões em que esta função é definida b Calcule fx fy e escreva o gradiente da função fxy ou seja fxy c Calcule a derivada direcional de fxy no ponto P 31 na direção u 34 Não se esqueça de normalizar o vetor u 4 Dada a função de três variáveis gxyz xy yz zx e o ponto P 112 determine a O gradiente de gxyz em P ou seja g112 b A equação do plano tangente à superfície de nível gxyz 5 no ponto P Lembrese de que neste tipo de problema o plano é definido por um vetor normal cujas componentes são nxnynz gxyz 5 Em cada uma das guras a b e c abaixo são apresentados os grácos de uma superfície e das curvas de nível correspondentes a b c a A qual gura corresponde a função f x y x2 y2 Justique b A qual gura corresponde a função f x y x y2 Justique c A qual gura corresponde a função f x y ex2y2 Justique d Nos grácos de curvas de nível uma densidade maior de linhas corresponde a uma variação maior ou menor da função naquela região 6 Utilize a integração dupla para encontrar a área da região delimitada pelas parábolas y x² e y 2x x² Desenhe a região onde as curvas se intersectam indicando todos os pontos importantes para a determinação dos limites de integração 7 Encontre o volume acima do plano xy delimitado pela superfície z x² y² e pelos planos x 1 e y 1 8 Determine o valor da integral dupla sen x y dx dy no intervalo 0 x π2 e 0 y π2 9 Qual é o valor de ₀¹ ₀1x ₀xy fxyz dz dy dx para fxyz 1 10 Calcule a área no interior da cardióide rθ a 1 cos θ onde a é uma constante positiva através de uma integral dupla em coordenadas polares Dado cos² θ 1 cos 2θ2 11 Use uma integral tripla em coordenadas cilíndricas para encontrar o volume abaixo do paraboloide z 1 x² y² acima do plano xy Questão 1 a f x ysin x 2y Conjunto solução Todos os pontos x y no plano b f x ylnx 2 y 2 x 2 y 20excetoquando x0e y0 ConjuntosoluçãoTodos os pontosx yexceto00 c f x y e x y x y x y0 Conjunto solução Todos os pontos x y exceto pontos na linha y x d f x ylncosx 2 y 2 O cosseno é positivo para intervalos de r onde r é a distância do ponto x y à origem 0r π 2 3 π 2 r2π e assim por diante Conjunto solução Pontos x y que se enquadram nos intervalos acima para r Questão 2 a yx 2 lim x y00 2 x 2 y x 4 y 2 lim x0 2x 4 x 4x 4 lim x0 2 x 4 2 x 4 lim x01 1 b yx 2 lim x y00 2 x 2 y x 4 y 2 lim x0 2x 4 x 4x 4 lim x0 2 x 4 2 x 4 lim x01 1 c Sim contínua na origem Questão 3 a x 0 y 0 b fx 1x fy 1y fx y 1x 1y c u3 24 25 u 3 5 4 5 Derivada direcional f 31 u 1 3 1 3 5 4 5 1 33 5 14 5 1 5 4 5 5 51 Questão 4 a gx y z gy x z gz x y g1 1 2 3 3 2 b Usando o gradiente como vetor normal n 3 3 2 Equação do plano 3x 1 3y 1 2z 2 0 3x 3y 2z 11 Questão 6 Resolvendo Para encontrar os pontos de intersecção igualamos as duas equações x 22 xx 2 2 x 22x x 2x x0ou x1 Portanto os limites de integração em x são 0 1 A área entre as duas curvas é dada por Área integral de 0 até 1 de 2 xx 2x 2 dx integral de 0 até 1 de 2 x2 x 2dx Integrando em relação a x obtemos x 2 2 3x 3avaliado de 0 até 1 1 23 13 Área 13 unidades quadradas Questão 7 Resolvendo Para encontrar os pontos de intersecção igualamos as duas equações x 22 xx 2 2 x 22x x 2x x0ou x1 Portanto os limites de integração em x são 0 1 A área entre as duas curvas é dada por Área integral de 0 até 1 de 2 xx 2x 2dx integral de 0 até 1 de 2 x2 x 2dx Integrando em relação a x obtemos x 2 2 3x 3avaliadode0 até 1 12 3 1 3 Área 13 unidades quadradas Questão 8 Calculando Volumeintegralde0até π 2integralde 0até π 2 senx y dxdy Volumeintegralde0até π 2 cos x y de x0até xπ 2 dy Volumeintegralde0até π 2cos y π 2cos y dy Volumeintegralde0até π 2 sin y cos y dy Volumecos ysin yde y0até yπ 2 Volumecos π 2sin π 2cos 0 sin 0 Volume0110 Volume2 O valor daintegralé 2 Questão 9 Vamos calcular 0 1 0 1x 0 x y 1dz dy dx Primeiroaintegralem relaçãoa z 0 xy dzz0 x yx y Agoraaintegral emrelação a y 0 1x x y dyxy y 2 2 0 1xx 1x 1 21x 2 Porúltimoaintegralemrelaçãoa x 0 1 x 1x 1 21x 2dx x 2 2 x 3 3 x 3 6 x 4 4 0 1 1 21 3 1 61 4 1 12 O valor da integral é 112 Questão 10 Para calcular a área usamos a fórmula da integral dupla em coordenadas polares A r dr dθ Aáreainteriorà cardioid é A 0 2π 0 1cosθ r dr dθ Realizandoaintegralinterna A 0 2π 1 2r 20 a 1cosθ dθ A 0 2π 1 2a 2 1cosθ 2dθ Usandoaidentidade dada 1cos2θ 2 co s 2 θ A 0 2π 1 2a 212cosθco s 2θdθ A 0 2π 1 2a 212cosθ1cos 2θ 2 dθ Realizandoaintegralexterna A 1 2a 2θsinθθ 2 1 2sin 2θ 0 2π A 1 2a 2 2π Aa 2π Assimaáreainterioràcardioid é a 2 π Questão 11 Usando coordenadas cilíndricas temos x r cosθ y r sinθ z z O parabolóide em coordenadas cilíndricas é z 1 r 2 Para encontrar o volume abaixo do parabolóide e acima do plano xy fazemos V dV 0 1 0 2π 0 1r 2 r dz dθdr Realizando a integral interna em relação a z V 0 1 0 2 π r 1r 2dθdr Realizando a integral em relação a θ V 0 1 2 πr 1r 2dr Integrando em relação a r Vπ r 2π r 4 2 0 1 Vπ 1 π 2 V π 2 Assim o volume é π2 unidades cúbicas Questão 1 a 𝑓𝑥 𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑥2 𝑦 Conjunto solução Todos os pontos x y no plano b 𝑓𝑥 𝑦 𝑙𝑛𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑦2 0 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 0 𝑒 𝑦 0 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑇𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑥 𝑦 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑡𝑜 0 0 c 𝑓𝑥 𝑦 𝑒𝑥𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 0 Conjunto solução Todos os pontos x y exceto pontos na linha y x d 𝑓𝑥 𝑦 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠𝑥2 𝑦2 O cosseno é positivo para intervalos de r onde r é a distância do ponto x y à origem 0 𝑟 𝜋 2 3𝜋 2 𝑟 2𝜋 e assim por diante Conjunto solução Pontos x y que se enquadram nos intervalos acima para r Questão 2 a 𝑦 𝑥2 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑦 00 2𝑥2𝑦 𝑥4 𝑦2 𝑙𝑖𝑚 𝑥 0 2𝑥4 𝑥4 𝑥4 𝑙𝑖𝑚 𝑥 0 2𝑥4 2𝑥4 𝑙𝑖𝑚 𝑥 0 1 1 b 𝑦 𝑥2 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑦 00 2𝑥2𝑦 𝑥4 𝑦2 𝑙𝑖𝑚 𝑥 0 2𝑥4 𝑥4 𝑥4 𝑙𝑖𝑚 𝑥 0 2𝑥4 2𝑥4 𝑙𝑖𝑚 𝑥 0 1 1 c Sim contínua na origem Questão 3 a x 0 y 0 b fx 1x fy 1y fx y 1x 1y c 𝑢 32 42 5 𝑢 3 5 4 5 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑓3 1 𝑢 1 3 1 3 5 4 5 1 3 3 5 1 4 5 1 5 4 5 5 5 1 Questão 4 a gx y z gy x z gz x y g1 1 2 3 3 2 b Usando o gradiente como vetor normal n 3 3 2 Equação do plano 3x 1 3y 1 2z 2 0 3x 3y 2z 11 Questão 6 Resolvendo Para encontrar os pontos de intersecção igualamos as duas equações 𝑥2 2𝑥 𝑥2 2𝑥2 2𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥 0 𝑜𝑢 𝑥 1 Portanto os limites de integração em x são 0 1 A área entre as duas curvas é dada por Área integral de 0 até 1 de 2𝑥 𝑥2 𝑥2 dx integral de 0 até 1 de 2𝑥 2𝑥2 dx Integrando em relação a x obtemos 𝑥2 2 3 𝑥3 avaliado de 0 até 1 1 23 13 Área 13 unidades quadradas Questão 7 Resolvendo Para encontrar os pontos de intersecção igualamos as duas equações 𝑥2 2𝑥 𝑥2 2𝑥2 2𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥 0 𝑜𝑢 𝑥 1 Portanto os limites de integração em x são 0 1 A área entre as duas curvas é dada por Área integral de 0 até 1 de 2𝑥 𝑥2 𝑥2𝑑𝑥 integral de 0 até 1 de 2𝑥 2𝑥2𝑑𝑥 Integrando em relação a x obtemos 𝑥2 2 3𝑥3𝑎𝑣𝑎𝑙𝑖𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 0 𝑎𝑡é 1 1 2 3 1 3 Área 13 unidades quadradas Questão 8 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 0 𝑎𝑡é 𝜋 2 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 0 𝑎𝑡é 𝜋 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 0 𝑎𝑡é 𝜋 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦𝑑𝑒 𝑥 0 𝑎𝑡é 𝑥 𝜋 2 𝑑𝑦 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 0 𝑎𝑡é 𝜋 2 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝜋 2 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑑𝑦 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 0 𝑎𝑡é 𝜋 2 𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑦𝑑𝑦 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑑𝑒 𝑦 0 𝑎𝑡é 𝑦 𝜋 2 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 𝑠𝑖𝑛 𝜋 2 𝑐𝑜𝑠0 𝑠𝑖𝑛0 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 0 1 1 0 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 2 𝑂 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 é 2 Questão 9 Vamos calcular 1 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑦 0 1𝑥 0 1 0 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑧 𝑑𝑧 𝑧 0 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 0 𝐴𝑔𝑜𝑟𝑎 𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑦 𝑥 𝑦𝑑𝑦 1𝑥 0 𝑥𝑦 𝑦2 2 0 1𝑥 𝑥1 𝑥 1 21 𝑥2 𝑃𝑜𝑟 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑥 𝑥1 𝑥 1 2 1 𝑥2 𝑑𝑥 1 0 𝑥2 2 𝑥3 3 𝑥3 6 𝑥4 4 0 1 1 2 1 3 1 6 1 4 1 12 O valor da integral é 112 Questão 10 Para calcular a área usamos a fórmula da integral dupla em coordenadas polares 𝐴 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝐴 á𝑟𝑒𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 à 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑖𝑜𝑖𝑑 é 𝐴 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 1𝑐𝑜𝑠𝜃 0 2𝜋 0 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝐴 1 2 𝑟2 0 𝑎1𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝐴 1 2 𝑎21 𝑐𝑜𝑠𝜃2 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑑𝑎 1 𝑐𝑜𝑠2𝜃 2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝐴 1 2 𝑎21 2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝐴 1 2 𝑎2 1 2𝑐𝑜𝑠𝜃 1 𝑐𝑜𝑠2𝜃 2 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝐴 1 2𝑎2 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜃 2 1 2 𝑠𝑖𝑛2𝜃 0 2𝜋 𝐴 1 2𝑎22𝜋 𝐴 𝑎2𝜋 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 à 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑖𝑜𝑖𝑑 é 𝑎2𝜋 Questão 11 Usando coordenadas cilíndricas temos x r cosθ y r sinθ z z O parabolóide em coordenadas cilíndricas é z 1 𝑟2 Para encontrar o volume abaixo do parabolóide e acima do plano xy fazemos V dV 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝜃 𝑑𝑟 1𝑟2 0 2𝜋 0 1 0 Realizando a integral interna em relação a z 𝑉 𝑟1 𝑟2 𝑑𝜃 𝑑𝑟 2𝜋 0 1 0 Realizando a integral em relação a θ 𝑉 2𝜋𝑟1 𝑟2𝑑𝑟 1 0 Integrando em relação a r 𝑉 𝜋𝑟2 𝜋𝑟4 2 0 1 𝑉 𝜋1 𝜋 2 𝑉 𝜋 2 Assim o volume é π2 unidades cúbicas