Lista de Exercícios Resolvidos Cálculo III ESAMC 2023 - Funções, Limites, Derivadas e Integração

ESAMC Cálculo III 2º Semestre de 2023 Roteiro de Trabalho para Avaliação de Alunos em Regime Especial Nome RA 1 Para cada uma das funções abaixo determine o conjunto dos pontos xy onde fxy é contínua a fxy sen x²y b fxy lnx² y² c fxy exy x y d fxy ln cos x² y² 2 Calcule o limite limx0y0 2x²y x⁴ y² nos seguintes casos a Ao longo da parábola y x² substituindo y na expressão acima e depois tomando o limite b Ao longo da parábola y x² substituindo y na expressão acima e depois tomando o limite c Com base nos resultados dos itens a e b esta função é contínua na origem 3 Seja a função de duas variáveis fxy lnxy a Qual é o domínio de fxy Faça um desenho do plano xy mostrando as regiões em que esta função é definida b Calcule fx fy e escreva o gradiente da função fxy ou seja fxy c Calcule a derivada direcional de fxy no ponto P 31 na direção u 34 Não se esqueça de normalizar o vetor u 4 Dada a função de três variáveis gxyz xy yz zx e o ponto P 112 determine a O gradiente de gxyz em P ou seja g112 b A equação do plano tangente à superfície de nível gxyz 5 no ponto P Lembrese de que neste tipo de problema o plano é definido por um vetor normal cujas componentes são nx ny nz gxyz 5 Em cada uma das guras a b e c abaixo são apresentados os grácos de uma superfície e das curvas de nível correspondentes a b c a A qual gura corresponde a função f x y x2 y2 Justique b A qual gura corresponde a função f x y x y2 Justique c A qual gura corresponde a função f x y ex2y2 Justique d Nos grácos de curvas de nível uma densidade maior de linhas corresponde a uma variação maior ou menor da função naquela região 6 Utilize a integração dupla para encontrar a área da região delimitada pelas parábolas y x² e y 2x x² Desenhe a região onde as curvas se intersectam indicando todos os pontos importantes para a determinação dos limites de integração 7 Encontre o volume acima do plano xy delimitado pela superfície z x² y² e pelos planos x 1 e y 1 8 Determine o valor da integral dupla senx y dx dy no intervalo 0 x π2 e 0 y π2 9 Qual é o valor de ₀¹ ₀¹ˣ ₀ˣʸ fxyz dz dy dx para fxyz 1 10 Calcule a área no interior da cardióide rθ a1 cosθ onde a é uma constante positiva através de uma integral dupla em coordenadas polares Dado cos²θ 1 cos 2θ2 11 Use uma integral tripla em coordenadas cilíndricas para encontrar o volume abaixo do parabolóide z 1 x² y² acima do plano xy 2 a O limite pedido ao longo de y x² é limx0 y0 por y x² 2x²y x⁴ y² limx0 2x² x² x⁴ x⁴ limx0 2x⁴ 2x⁴ 1 E o limite avaliado é 1 b teremos agora que limx0 y0 por y x² 2x²y x⁴ y² limx0 2x²x² x⁴ x²² limx0 2x⁴ 2x⁴ 1 c A função é descontínua na origem uma vez que achamos dois caminhos distintos para a origem que violam a unicidade do limite 6 Seja y x² e y 2x x² As intersecções são obtidas por y x² 2x x² 2x² 2x 2xx 1 0 x 0 e x 1 Logo a interseção ocorre em x 0 e x 1 O gráfico é Com y1 1 y0 0 y x² y 2x x² 0 1 2 x 1 Digitalizado com CamScanner Então a area é dada por A 0¹ x²2x x² dy dx 0¹ yx² 1 dx 0¹ 2x x² x² dx 0¹ 2x 2x² dx x² 23 x³0¹ 1 23 13 A 13 7 z x² y² e x 1 e y 1 Com efeito veja que em z0 temos que x² y² 0 x y 0 Nesse problem nossa regiao de integracao é 1 x 1 1 y 1 0 z x² y² Dai o volume pedido é V 11110x²y² dz dy dx 1111 x² y² dy dx 11 x² y y³3 1 1 dx 11 x 13 x 13 dx 2 11 x² 13 dx 2 x³3 x3 1 1 2 13 13 13 13 4 13 13 83 V 83 8 senxy dxdy com 0 x π2 e 0 y π2 Com efeito a integra I pedida é I 0π20π2 senxy dxdy 0π20π2 senxcosy senycosx dxdy 0π2 cosx cosy0π2 seny senx0π2 dy 0π2 cosy seny dy seny cosy0π2 10 01 1 1 2 Logo 0π20π2 senxy dxdy 2 9 Para fxyz 1 temos que 010 1x 0xy fxyz dz dy dx 0100 0 1x dz dy dx 0100 1x x y dy dx 01 xy y² 20 1x dx 01 x1x 1x²2 dx 01 1x x 1x2 dx 01 1x 1 x2 dx 12 01 1x1x dx 12 01 1x² dx 12 x x³30 1 12 1 13 26 13 Logo 0101x0xy fxyz dz dy dx 13 10 A área da cardioide é dada por A 12 02π r² dr dθ De fato veja que A 12 02π 0rθ rθ dr dθ 12 02π r²θ dθ 12 02π a1cosθ² dθ a²2 02π 1cosθ² dθ a²2 02π 1 2 cosθ cos² θ dθ a²2 02π 1 2 cosθ 12 12 cos2θ dθ a²2 32 θ 2 senθ 14 sin2θ0 2π a²2 3π 3π a²2 A 3π2 a² 11 Em coordenadas polares temos que no plano z0 x y se que que x r cos θ y r sen θ e dx dy r dr dθ x² y² r cos θ² r sen θ² r² Com z0 0 1 x² y² x² y² 1 r² 1 Logo temos que 0 θ 2π e 0 r 1 E o volume pedido é V ₀²π ₀¹ r dz d r d ₀²π ₀¹ r1 r² d r d ₀²π d ₀¹ r r³ d r ₀²πr²2 r⁴4₀¹ 2π 12 14 2π 12 π V π Questão 1 1 Para cada uma das funções abaixo determine o conjunto dos pontos x y onde fx y é contínua a fx y sen x²y b fx y ln x² y² c fx y exyxy d fx y ln cos x² y² Solução a A função fx y dada não apresenta quaisquer possíveis pontos de indeterminação associados tanto a variável x ou com a variável y desse modo segue que ela é bem definida para todo par x y do plano euclidiano Desse modo uma vez que a função sink é contínua segue então que a função dada é contínua em todo x y ℝ² b A função fx y dada apresenta um ponto de indeterminação Com efeito o logarítimo não é definido para números negativos e para zero Todavia uma vez que seu argumento é x² y² segue que para todo x y ℝ² temos que x² y² 0 Logo segue que não temos problema com questões de números negativos Porém o ponto 0 0 provoca uma indeterminação nessa função Desse modo uma vez que essa é a única indeterminação segue então que o conjunto de pontos onde a função é contínua é dada por ℝ² 0 0 isto é o plano euclidiano sem a origem c Nesse caso temos que a função dada apresenta uma descontinuidade ao passo que analisarmos seu denominador Com efeito é necessário que seu denominador seja não nulo ou seja temos que ter que x y 0 Nesse sentido perceba que a indeterminação ocorrerá sempre que y x ou seja o conjunto do plano dado pela reta y x é descontínuo com relação a essa função Assim segue que o conjunto de pontos onde a fx y é contínuo é dado por x y ℝ²y x d Novamente temos um logarítimo e então é necessário que seu argumento seja não nulo e não negativo Todavia uma vez que temos que seu argumento é cosx² y² segue que a função ficará bem definida se se cosx² y² 0 Assim temos que essa desigualdade com relação ao cosseno nos dará a informação sobre o plano propriamente dito Com efeito veja que essa desigualdade vale sempre que x² y² 0 π2 e x² y² 3π2 2π Ou seja queremos que seu argumento esteja no primeiro eou quarto quadrante Desse modo podemos escrever que o conjunto de pontos onde a f é contínua é dado por x y ℝ²x² y² 0 π2 x y ℝ²x² y² 3π2 2π Questão 2 2 Calcule o limite limₓ₀ y₀ 2x²yx⁴ y² nos seguintes casos a Ao longo da parábola y x² substituindo y na expressão acima e depois tomando o limite b Ao longo da parábola y x² substituindo y na expressão acima e depois tomando o limite c Com base dos resultados dos itens a e b esta função é contínua na origem Solução Feita em ANEXO Questão 3 3 Seja a função de duas variáveis fx y lnxy a Qual é o domínio de fx y Faça um desenho do plano xy mostrando as regiões em que esta função é definida b Calcule f x f y e escreva o gradiente da função fx y ou seja fx y c Calcule a derivada direcional de fx y no ponto P 3 1 na direção u 3 4 Não se esqueça de normalizar o vetor u Solução a O domínio da função logarítima é dada de modo que seu argumento seja não negativo e não nulo Ou seja é o conjunto de pontos x e y tais que xy 0 Com efeito como queremos que a múltiplicação de dois números seja positiva basta requereremos que x 0 e y 0 ou ainda o caso em que x 0 e y 0 Assim fica claro que o domínio da função é dado pelo primeiro quadrante do plano xy e pelo terceiro quadrante do plano xy excluindose as retas x 0 e y 0 Figura 1 Esboço gráfico associado ao domínio da função dada b Com efeito temos que xfx y x lnxy 1 xy xxy 1 x yfx y y lnxy 1 xy yxy 1 y e logo temos que o gradiente da função é fx y xfx yˆi yfx yˆj 1 x ˆi 1 y ˆj 2 c O vetor u tem norma dada por u 3² 4² 25 5 Logo o vetor u normalizado é u 15 3 4 35 î 120 ĵ Então segue que derivada direcional de f no ponto 3 1 é dada por Duf1 4 1x î 1y ĵ uxy 31 1x î 1y ĵ 35 î 120 ĵxy 31 35x 120y xy 31 315 120 14 e a derivada direcional pedida no ponto dado é 14 Questão 4 4 Dada a função de três variáveis gx y z xy yz zx e o ponto P 1 1 2 determine a O gradiente de gx y z em P ou seja g1 1 2 b A equação do plano tangente à superfície de nível gx y z 5 no ponto P Lembrese de que neste tipo de problema o plano é definido por um vetor normal cujas componentes são nx ny nz gx y z Solução a Calcularemos o gradiente pedido no ponto P Com efeito temos que g1 1 2 î x ĵ y k zxy yz zxxyz 112 î xy yz zxx ĵ xy yz zxy k xy yz zxzxyz 112 îy z ĵx z ky xxyz 112 î1 2 ĵ1 2 k1 1 3î 3ĵ 2k 3 3 2 e assim obtemos o desejado b Com efeito sabemos que o plano tangente a superfície g no ponto P dado pode ser obtido fazendo o seguinte g1 1 2 x 1 y 1 z 2 0 Então desenvolvendo a expressão acima teremos que 0 g1 1 2 x 1 y 1 z 2 3 3 2 x 1 y 1 z 2 3x 1 3y 1 2z 2 3x 3y 2z 3 3 4 3x 3y 2z 10 Logo a equação do plano tangente no ponto P dado é 3x 3y 2z 10 Questão 5 a A qual figura corresponde a função fx y x2 y2 Justifique b A qual figura corresponde a função fx y x y2 Justifique c A qual figura corresponde a função fx y ex2y2 Justifique d Nos gráficos de curvas de nível uma densidade maior de linhas corresponde a uma variação maior ou menor da função naquela região Solução a A primeira curva corresponde a imagem dada na Figura b Decerto basta ver que as curvas de nível da função são círculos concêntricos na origem Ademais note que no plano isto é para z fx y 0 temos que x y 0 Assim a curva deve iniciar do ponto zero e a medida que z fx y aumenta devemos ter maiores valores do raio da circunferência Assim a figura que se encaixa com essa descrição é a do item b b A segunda curva é associada a Figura a De fato isso ocorre uma vez que ao olharmos para as curvas de nível de f teremos expressões do tipo xy2 k ou seja x ky2 Com efeito isso descreve uma família de parábolas com vértice no eixo y igualmente como apresentado na Figura a c Por fim vemos que essa curva deve ser associada a curva da Figura c Decerto isso pode ser visto analisando que suas curvas de nível são tais que ex2y2 k e uma vez que temos maiores valores de x e y teremos menos valores de k uma vez que nossa exponencial é negativa Além disso veja que para x y 0 temos o ponto 1 associado a curva e então seu comportamento esperado é um decrescimento conforme apresentado na Figura c d Uma densidade maior de linhas em um gráfico de curvas de nível geralmente corresponde a uma variação maior da função naquela região As curvas de nível são linhas que conectam pontos com o mesmo valor da função em um gráfico bidimensional 4