Otimizacao-com-multiplicadores-de-Lagrange-e-calculo-de-extremos

6 Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32000cm³ Determine as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de papelão utilizada Dica queremos minimizar a área da caixa que possui 5 lados 7 Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos de máximo e mínimo das funções sujeitas as restrições dadas a fxy x² y² x² y² 1 b fxy 4x 6y x² y² 13 c fxy x²y x² 2y² 6 d fxy x² y² x⁴ y⁴ 1 e fxyz 2x 6y 10z x² y² z² 35 f fxyz xyz x² 2y² 3z² 6 g fxyzt x y z t x² y² z² t² 1 8 Determine os valores extremos da função fxy x² 2y² no circulo x² y² 1 9 Determine os valores extremos da função fxy x² 2y² no disco x² y² 1 10 Determine os pontos de uma esfera x² y² z² 4 que estão mais próximos e mais distantes do ponto 3 1 1 11 O departamento de estradas de rodagem está planejando construir uma área de descanso para motoristas à beira de uma rodovia O terreno deve ser retangular com uma área de 5000 m2 e ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia Qual o menor comprimento de cerca necessária para a obra 12 Um fabricante dispõe de R 800000 para investir no desenvolvimento e na propaganda de um novo produto Estimase que se x milhares de reais forem gastos em desenvolvimento e y milhares de reais em propaganda as vendas atingirão fxy 50x12y32 unidades Quanto o fabricante deve gastar em desenvolvimento e quanto deve gastar em propaganda para que o número de unidades vendidas seja o maior possível 6 xyz V 32000 Axyz xy 2zyx xyz 0 Lxyzλ xy 2zyx λxyz 32000 L y 2z λyz x 2z λxz 2y x λxy xyz 32000 0000 y 2z λyz 0 x 2z λxz 0 y x λzy x 0 y x1 λz 0 y x ou z y λ z 1 λ y z yz λyz 0 y 2 λ x² z x y 4z λxy a xyz 32000 4 λ³ 32000 λ 1 20 xyz 404020 1 a Lxyλ x2 y2 λx2 y2 1 L 2x 2xλ 2y 2yλ x2 y2 1 000 2x 2xλ 0 x1 λ 0 x0 ou λ1 Se λ 1 2y 2yλ 0 y y Se x0 x2 y2 1 y 1 01 e 01 2y 2yλ 0 y1 λ 0 y0 x2 y2 1 x1 10 e 10 10 fxy 1 xy 01 fxy 1 xy 10 São pontos de máximo xy 0 1 São pontos de mínimo 2 Lxyλ 4x 6y λx2 y2 13 L 42λx 62λy x2 y2 13 000 42λx 0 x 2λ 62λy 0 y 3λ 42 92 13 λ 1 λ 1 xy 23 λ 1 xy 23 xy 23 é ponto de máximo xy 23 é ponto de mínimo 3 Lxyλ x2y λx2 2y2 6 L 2xy 2xλ x2 4λy x2 2y2 6 000 2xy 2xλ 0 xy λ 0 x0 ou y λ Se x0 4λy 0 λ0 ou y0 x0 y0 06 Se yλ x2 4λ2 0 x2 4λ2 4λ2 2λ2 6 λ 1 x 2 1λ 21 λ 4 Maximo 1λ 21 λ 4 Mínimo a Lxyλ x2 y2 λx4 y4 1 L 2x 4λx3 2y 4λy3 x4 y4 1 000 2x 4λx3 0 x1 2λx2 0 x0 ou x 12λ x0 y 1 2y 4λy3 0 y1 2λy2 0 y0 ou y 12λ y0 x 1 xy 12λ 12λ 14λ2 14λ2 1 4λ2 2 λ2 12 λ 0 λ 12 xy 214 214 10 e 01 λ 1 xy 01 λ1 14 14 λ 2 Minimos 10 e 01 Maximos 14 14 2 Lxyz 2x 6y 10z λx2 y2 z2 35 L 2 2λx 6 2λy 10 2λz x2 y2 z2 35 0000 2 2λx 0 x 1λ 6 2λy 0 y 3λ 10 2λz 0 z 5λ x2 y2 z2 35 1λ2 9λ2 25λ2 35 λ 1 xyz 135 f 2 6 10 10 Maximo xyz 135 f 10 Minimo 3 Lxyzλ xyz λx2 y2 3z2 6 L yz 2λx xz 4λy xy 6λz x2 2y2 3z2 0000 yz 2λx 0 x yz2λ xz 4λy 0 4λy yz22λ y y z22λ y 0 x 0 z 0 y 0 0 6 y 0 z2 8λ2 xy 6λz 0 6λz y2 2 2λ z 0 y2 12λ2 y 23 x2 y2 z2 18λ2 4λ2 324λ2 4λ2 81λ2 x2 2y2 3z2 6 24λ2 24λ2 24λ2 6 λ2 112 x2 2 y2 3 z2 23 Se xy 0 ou yz 0 ou zx 0 λ 23 xyz 2123 é Minimo Se x 0 e y 0 ou y 0 e z 0 ou z 0 e x 0 λ 23 xyz 2123 é Maximo 5 Lxyztλ x y z t λx2 y2 z2 t2 1 L 1 2λx 1 2λy 1 2λz 1 2λt x2 y2 z2 t2 1 00000 x y z t 12λ 44λ2 1 λ 1 x y z t 12 xyzt 12 12 12 12 f 2 Maximo xyzt 12 12 12 12 f 2 Minimo 10 E x2 y2 z2 4 P311 Desirese maximizar e minimizar a função distância de um ponto xyzE e o ponto P Dxyz sqrtx32 y12 z12 Lxyzλ x32 y12 z12 λx2 y2 z2 4 Lx x3sqrtx32 y12 z12 2λx 0 Ly y1sqrtx32 y12 z12 2λy 0 Lz z1sqrtx32 y12 z12 2λz 0 x2 y2 z2 18λ2 8λ2 4λ2 324λ2 4λ2 81λ2 x2 2y2 3z2 6 24λ2 24λ2 24λ2 6 λ2 112 x2 2 y2 3 z2 23 Se xy 0 ou yz 0 ou zx 0 λ 23 xyz 2123 é Minimo Se x 0 e y 0 ou y 0 e z 0 ou z 0 e x 0 λ 23 xyz 2 1 23 é Maximo 6 Lxyztλ x y z t λx2 y2 z2 t2 1 L 1 2λx 1 2λy 1 2λz 1 2λt x2 y2 z2 t2 1 00000 x y z t 12λ 44λ2 1 λ 1 x y z t 12 xyzt 12 12 12 12 f 2 Maximo xyzt 12 12 12 12 f 2 Minimo 10 E x2 y2 z2 4 P 311 Desirese maximizar e minimizar a função distância de um ponto xyz E e o ponto P Dxyz sqrtx32 y12 z12 Lxyzλ x32 y12 z12 λx2 y2 z2 4 Lx x3sqrtx32 y12 z12 2λx 0 Ly y1sqrtx32 y12 z12 2λy 0 Lz z1sqrtx32 y12 z12 2λz 0 x0 x 32 4x2 y2 x 32 y 12 z 32 1 Sabendo que a distância maior será no octante oposto