Prévia 2 Entregavel

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV DERIVADA DIRECIONAL DE CAMPOS VETORIAIS 1 Dado o campo vetorial 𝒇 calcular o div 𝒇 2 Um fluido escoa em movimento uniforme com velocidade 𝒗 dada Verifique se 𝒗 representa um possível fluxo incompressível 3 Encontrar a divergência e o rotacional do campo vetorial dado dado 4 Determinar o rotacional das funções CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV 5 Determinar o rotacional da função vetorial 6 Supondo que os vetores a seguir representem a velocidade de fluido em movimento verificar se eles representam um possível fluido incompressível 7 8 Verificar se as seguintes funções são harmônicas em algum domínio CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV 9 Verificar se o campo dado é irrotacional 1 a fxy 2x⁴ ex y f 8x³ x ex y b f xy 2z0m² x 2 co zx f 2z0m x cos x 2z0m x c f xyz 2x² y² 3 xyz y z² f 4x y 3 x z yz² d f xyzl m x y x z f yxy 0 1 1x 1 2 Um fluido é dito incompressivel se v 0 onde v é a velocidade do fluido v vx x vy y vz z a v 3 z x y² v 0 É incompressivel b v z x 1 v 0 É incompressivel c v 2xy x 0 v zy 0 0 zy Não é incompressivel 3 a f xyz 2x 4z y 3 3 x y z f z 1 y 3y x f x y z 2x 4z y3 3 x y z 31 1 0 b f xy x² y² x² y² f 2 x 2 y x f x y z x² y² x² y² 0 0 0 2 x 2 y c f xyz x² y³ z² f 2 x 2 y 2 z x f x y z x² y³ z² 0 0 0 d f xy ex cosy ex 2 m y f ex cosy ex cosy 2 ex cosy x f x y z ex cosy ex 2 m y 0 0 0 0 0 f f xy yx² y² xx² y² xy 00 f y 2 x 12 x² y²32 x 2 y 12 x² y²32 0 x f 0 é a função do g f xyz x y z³ 1 2 3 f y z³ 4 x y z 3 x y² x f x y z x y z³ 2 x y z³ 3 x y² z³ 6 x y z 2 x y² x y² 3 y z³ 2 y z³ 2 x y z 8 Uma função é harmônica se ² f 0 a fxyz xz l m x y f x y z 1x 1y x ² f 1x² 1 y² Não é harmônica b fxy z x² y² y 10 f 4 x 4 y 1 0 ² f 4 4 0 É harmônica c fxy m x cos h y m x ey ey 2 f ex ey ey2 m x ey ey 2 ² f m x cos h y m x cos h y 0 É harmônica d fxyz x² y² z² f 2x 2 y 2 z ² f z z z 6 Não é harmônica e fxyz x² y²2 z² f 2 x y z ² f 2 1 1 0 É harmônica f fxyz x y z f 111 ² f 0 É harmônica g fxy ex cosy f ex cosy ex m y 0 ² f ex cosy ex cosy 0 9 Quando x F 0 F é irrotacional a f xyz y z x z x y x F x y z y z x z x y 000 É irrotacional b f xyz x y z z x 1 x² z x F x y z x y z z x 1 x² z 0 x y 2 x z z x³ Não é irrotacional e f xyz y z ey z x z ey z xy ey z x f x y z y z ey z x z ey z x y ey z 000 É irrotacional d f xyz 2x cos y z x z m y z x y m y z x f x y z 2 x cosy z x z m y z x y m y z 0 0 0 É irrotacional a f xyz 2xα ex y f 8 x³ x ex y b f xy 2 z 0 m² x 2 cos x f 2 z 0 m x cos x 2 z 0 m x c f xyz 2 x² y² 3 xyz y z² f 4 x y 3 x z y z² d f xyz l m x y x z f y x y 0 1 1x 1 2 Um fluido é dito incompressível se v 0 onde v é a velocidade do fluido v vx x vy y vz z a v 3 z x y² v 0 É incompressível b v z x 1 v 0 É incompressível c v 2 x y x 0 v z y 0 0 z y Não é incompressível 3 a f xyz 2x 4 z y 3 3 x y z f z 1 y 3 y x f x y z 2 x 4 z y 3 3 x y z 3 1 1 0 b f xy x² y² x² y² f 2 x 2 y x f x y z x² y² x² y² 0 0 0 2 x 2 y e f xyz x² y³ z² f 2 x 2 y 2 z x f x y z x² y³ z² 0 0 0 d fxy ex cosy ex 2 m y f ex cosy ex cosy 2 ex cosy x f x y z ex cosy ex 2 m y 0 0 0 0 0 f f xy y x² y² x x² y² xy 00 f y 2 x 12 x² y²32 x 2 y 12 x² y²32 0 x f 0 é a função do g f xyz x y z³ 1 2 3 f y z³ 4 x y z 3 x y² x f x y z x y z³ 2 x y z³ 3 x y² z³ 6 x y z 2 x y² x y² 3 y z³ 2 y z³ 2 x y z 4 a F 12mxy cozxy 3 xF i j k x y z 12mxy cozxy 3 00y12mxy xcosxy b F 2x²y 3x3 y xF i j k x y z 2xy 3x3 y 1 3x 0 3 2x² c F x y 0 lm³ xF i j k x y z x y 0 lm³ 0 0 1 5 u 2xz x³z³ x²z³ xu i j k x y z 2xz x³z³ x²z³ 2z 0 2x 6 Um fluido é dito incompressível se V 0 onde V é a velocidade do fluido a V 2y3 x² 0 V 0 0 0 0 É incompressível b V xyz xyz V 1 1 1 3 Não é incompressível c Vxyz 2x 2y 0 V 2 2 0 É incompressível d Vxy yx V 0 0 0 É incompressível e Vxyz 2xz 2yz 2z V 2z 2z 2 2 Não é incompressível 7 V y 1î V 0 O fluido é incompressível xV i j k x y z y1 0 0 0 0 1 O fluido é incompressível a velocidade angular é toda por ZW vyx vxy 0 W 0 os partículas percorrem redor