Trabalho de Cálculo 4

ESAMC Cálculo IV 1º Semestre de 2024 Roteiro de Trabalho para Avaliação de Alunos em Regime Especial Nome RA 1 Seja a integral de linha ᴄ 𝐅 d𝐑 ᴄ M dx N dy ᴄ dxy dyx onde ᶜ é o segmento da hipérbole xy 4 do ponto 1 4 até o ponto 4 1 a Calcule o valor desta integral parametrizando o caminho ᶜ b Segundo o teste das derivadas parciais o campo vetorial 𝐅 xy é conservativo 2 Mostre que ᴄ x² y² dx 23 se ᶜ é a linha quebrada que liga o ponto 0 0 ao ponto 1 1 ao ponto 0 1 Desenhe o caminho ᶜ no plano xy indicando o sentido da integração 3 Mostre que as integrais abaixo são independentes do caminho usando o teste das derivadas parciais e em seguida use o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha para calcular seus valores a 0045 y² ex dx 2yex dy b 1123 3x² y² dx 2x³ y dy c 2141 2xy dx x² y² dy d 0011 x y dx x dy 4 Use o Teorema de Green para calcular a integral ᴄ xy y² dx xy² dy onde ᶜ é o caminho fechado simples formado por y 0 x 1 e y x Faça um desenho deste caminho indicando o sentido de integração e a área da região delimitada por ᶜ 5 Considere o campo vetorial 𝐅 x y z y xy z a Calcule o divergente de 𝐅 x y z ou seja 𝐅 b Calcule o rotacional de 𝐅 x y z ou seja 𝐅 c O campo 𝐅 x y z é conservativo Explique sua resposta d Em qual região do espaço o divergente e o rotacional de 𝐅 x y z são simultaneamente nulos Escreva uma equação paramétrica para os pontos dessa região 6 Imagine uma superfície 𝑆 em forma de bulbo cortada na base z 0 de modo que sua fronteira ᶜ seja o círculo unitário x² y² 1 cuja orientação está mostrada na figura abaixo Supondo que 𝐅 x y z ez² 2z x senxyz y 1 ez² sen z² use o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície 𝑆 𝐅 d𝐀 7 Calcule o valor das séries a n0 2n1 9n2 5n b n0 senn π4 nπ 8 Dois termos de uma determinada sequência aritmética são a₆ 10 e a₂₁ 55 a Escreva a expressão para o nésimo termo da sequência aₙ b Encontre o valor de n para que aₙ 40 Seja agora a série aritmética Sₙ i1n aᵢ formada a partir dos termos da sequência aritmética aₙ c Determine o valor da soma dos 30 primeiros termos da sequência aₙ ou seja S₃₀ d Calcule o valor de n tal que Sₙ 323 9 Determine se a O número 203 pertence à sequência aritmética 3 7 11 b O número 12 pertence à sequência aritmética 210 197 184 10 Sabendo que sen x x x³3 x⁵5 x⁷7 x⁹9 e ex 1 x x²2 x³3 x⁴4 a Encontre a série infinita para cos x derivando uma das expressões acima em relação à variável x Justifique sua escolha b Escreva os oito primeiros termos da série infinita que define a função eix onde i 1 c Com os resultados dos itens acima relacione eix com a funções cos x e sen x e a unidade imaginária i d Calcule o valor numérico de eiπ 11 Usando o teste da integral determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes a n2 1n ln n b n0 nen² 12 Verifique pelo teste da razão se as seguintes séries convergem ou divergem a n1 4nn b n1 10nn 42n1 c n1 2n2n n d n1 n² 2n 13n 2 1 a y 4y xt dxdt y4t dy 4t2 dt 1 t 4 C F dr 14 tt 1t 4t dt 14 t4 4t3 dt t28 2t2 4 1 0 b x 1y 0 y 1x 0 F é conservativo 2 C1 u1 11 00 11 r0t tt C1 F dr 01 2t2 2 dt 223 t3 0 1 223 u r1t 11 r0t 2 C2 u2 01 11 10 r0t 1t1 C2 F dr 01 1t2 12 dt 01 12 2t t2 1 dt 01 t2 2t 2 dt t33 t2 2t 0 1 43 r0t 1 C F dr 223 43 4 223 3 a F y2 ex 2xy ex P Q Py 2y ex Qx 2yex f y2 ex dx y2 ex Cy f 2y ex dy y2 ex Cx f y2 ex c F dr F45 F00 42 e5 02 e0 16 e5 b F 3x y2 2x2 y Py 6x2 y Qx 6x2 y F 3x y2 dx x3 y2 Cy f 2x2 y dy x3 y2 Cx f x3 y2 c F dr f23 f11 23 32 13 12 73 c F 2xy x2 y2 Py 2x Qx 2x f 2xy dx x2 y Cy f x2 y2 dy x2 y 12 y2 Cx f x2 y 12 y2 c F dr f41 f21 42 1 12 12 22 1 12 12 12 4 d F x y x Py 1 Qx 1 f x y dx 12 x2 xy Cy f x dy xy Cx f xy 12 x2 C F dr f11 f00 11 12 12 00 12 12 32 4 C xy y2 dx x y2 dy 01 0x 2y y dy dx 01 0x y dy dx 01 12 y2 0x dx 01 12 x2 dx 16 x301 16 5 F y xy z a divF 0 x 1 x 1 b RotF i j k x y z y xy z 0 i 0 j y 1 k 0 0 y 1 c não pois RotF 0 d xy 1 1 6 F ez z2 2z x senxyz y 1 ez senz2 RotF 0 x y cosxyz 0 2z 2 x ez z2 2z y z lnxyz 0 rrθ rcosθ rsinθ 0 rr cosθ sinθ 0 rθ r sinθ r cosθ 0 n i j k cosθ sinθ 0 r sinθ r cosθ 0 0 0 r 0 r 1 0 θ 2π S RotF dS 01 02π r3 sinθ cosθ cosθ 02 r cosθ e0 000r dθ dr 01 02π 0 dθ dr 0 4 d Sn 323 n2 5 5 3n 3 323 n2 3n 13 323 32 n2 13n2 646 3n2 13n 3n2 13n 646 0 Δ 89 n 13 896 17 9 a a1 3 a2 7 r 4 203 3 n14 203 3 4n 4 4n 204 n 51 Pertence b a1 210 a2 197 r 13 12 197 n 113 12 197 13n 13 13n 198 n 1523 não pertence 10 a Escolho a função senx pois ddx senx cosx cosx 1 x23 x45 x67 x89 1 x22 x44 x66 x88 b eix 1 ix ix22 ix33 ix44 ix55 ix66 ix77 eix 1 ix x22 ix33 x44 ix55 x66 ix77 c eix 1 x22 x44 x66 i x x33 x55 x77 cosx senx eix cosx i senx d eiπ cosπ i senπ 1 i0 1 7 11 a from 2 to of dn n lnn lnlnn from 2 to diverge dn n lnn u1 du lnu k lnlnn k u lnn du dnn b from 0 to of n en2 dn 12 en2 from 0 to 0 12 12 Converge n en2 dn 12 eu du 12 eu k 12 en2 k u n2 du 2n dn 12 a lim n 4n1 n1 n 4n lim n 4n1 4 n1 n lim n 4n1 0 Converge b lim n 10n 10 n1 42n3 n4 4n1 10n lim n 10 n 4n4 n1 42n3 lim n 5 n 4n 8 n1 4n lim n 5 n 8n1 4n lim n 5 n 8n1 4n c lim n 2n2 2n1 n1 2n n 2n lim n 2n22n1 2n 2 n1 2n n n1 2n 2n n lim n 2n22n1 2 n1 lim n 4n2 6n 2 2 n 2 lim n 8n6 2 diverge d lim n n12 2 n1 1 3n2 3n1 2 n2 2 n 1 lim n n2 2n 13n2 3n1 2n2 2 n 1 lim n n2 1 0n2 0n3 3n 1 2 3n n2 1 2n 1n2 3n 1 2 3n lim n 13 14 13 converge