Análise e Simulação de Processos Químicos - Material de Apoio Didático

Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 1 A N Á L I S E E S I M U L A Ç Ã O D E P R O C E S S O S Q U Í M I C O S Uma breve visão geral Uma poderosa ferramenta de trabalho em Engenharia que utiliza o computador para obter solução efetiva e funcional para um problema intrínseco é conhecida por Engenharia Assistida por Computador do inglês ComputerAided Engineering CAE CAE envolve um sistema virtual Realidade Virtual desenvolvido a partir de uma programação computacional altamente especialista e personalizada em softwares pex SciLab software livre MatLab ForTran que usa a Computação de Alta Performance do inglês High Performance Computing HPC para entregar resultados computacionais efetivos e funcionais Após serem analisados e aceitos os resultados podem ser utilizados como exemplos em investigações científicas no desenvolvimento tecnológico de projetos e na determinação da melhor condição de operação da tríade processo produção e planejamento CAE possibilita uma rápida e eficiente integração entre os diversos sistemas de informações existentes em uma empresa e a sua aplicação permite que decisões operacionais sejam tomadas no menor espaço de tempo possível A informática numa empresa é usada em três estágios a saber monitoração e aquisição de dados produção ou tratamento da informação gestão da informação Os benefícios máximos somente são alcançados quando estes estágios estão integrados numa única rede de informações O foco principal de CAE é desenvolver ou utilizar um programa computacional algoritmo ou seqüência de instruções lógicas para analisar e simular computacionalmente um dado problema industrial empresarial com vista à obtenção da melhor solução tecnológica eou inovadora Neste contexto inserese a presente disciplina Análise e Simulação de Processos Fundamentandose em procedimentos matemáticos e estatísticos a Análise e Simulação utiliza programas computacionais que visam desenvolver ou agregar novas tecnologias e conceitos para maximizar a performance da tríade já mencionada tanto em níveis de desempenho e de eficiência quanto em redução de custos considerando a qualidade do produto e do serviço bem como a satisfação do cliente Ainda possibilita o desenvolvimento e a implementação de fatores dinâmicos de competitividade com aplicação direta pois fornece uma organização lógica que garante precisão velocidade e eficiência que jamais serão alcançadas por quaisquer procedimentos manuais Renomadas empresas multinacionais usam Análise e Simulação constantemente o que as possibilitam de terem sempre informações atuais KnowHow e de dominar o conhecimento do estado da arte StateoftheArt de seu negócio Disto resultam a liderança e a competitividade em seus respectivos mercados As plantas industriais antigas se tornam obsoletas gerando custos adicionais e incompatibilidades A Análise e Simulação permitem extrair o maior desempenho da planta fornece um adequado suporte à vida útil dela e também fornece a melhor solução para uma determinada atividade que pode àquelas da tríade citada Conseqüentemente isso possibilita alta competitividade redução dos custos operacionais e aumento da qualidade das atividades e dos produtos Algumas justificativas para investir em Análise e Simulação Possibilita melhores resultados financeiros e produtivos Diferencial em relação aos seus concorrentes Torna eficiente e rápida a comunicação dentro de um sistema de informação Permite responder imediatamente às mudanças nos negócios mercadológicas Proporciona maior competitividade Fornece uma ferramenta indispensável para projetos em diversas áreas Permite incorporar os avanços mais recentes em tecnologia Propicia uma atividade industrial ambientalmente aceitável Minimiza o tempo de retorno financeiro de projetos Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 2 Reduz os custos operacionais e o número de testes para um novo projeto Permite monitorar eficientemente as variáveis de qualidade e de especificações Alguns exemplos de onde empregar Análise e Simulação Garantir a reprodutibilidade do processo Garantir a qualidade das medições pex Fechamento dos Balanços Contábeis Detectar e retificar falhas em medições de variáveis Especificar o valor ótimo de parâmetros operacionais pex para a logística Possibilitar o maior domínio e a rastreabilidade das variáveis críticas operacionais Pesquisar novas rotas ou procedimentos para as atividades Melhorar o desempenho e controle dos sistemas de instrumentação industrial Otimizar as condições operacionais Maximizar a segurança operacional Planejarprogramar eficientemente as atividades maximizar produtividade e lucro Corrigir virtualmente possíveis falhas antes mesmo dos testes de campo Explorar maior número de alternativas de projetos na fase de desenvolvimento Algumas atividades que já se utilizam da Análise e Simulação Planejamento do Processo Assistido por Computador ComputerAided Process Planning Produção Assistida por Computador Computer Aided Production Projeto Assistido por Computador Computer Aided Design Planejamento e Controle de Produção Planning and Production Control Teste Assistido por Computador Computer Aided Testing Qualidade Assistida por Computador Computer Aided Quality Uma comparação entre o Mundo com e sem Análise e Simulação CAE Procedimento Manual Leis Matemáticas Experiência ou Prática Fundamentos Teóricos Intuição Análise analítica Análise sintética A Análise e Simulação são confiáveis Sim Essa área utiliza de dados experimentais e operacionais para a validação de modelos matemáticos equações matemáticas gerados pelas Leis Matemáticas e para a avaliação de resultados obtidos com a programação computacional Cito alguns resultados positivos obtidos com Análise e Simulação de problemas reais a um estudo publicado em 2002 mostrou que a melhora no desempenho e controle dos sistemas de instrumentação industrial trouxe benefícios de US 100 milhões para uma única empresa no Brasil b para uma empresa de aviação a realocação da distribuição de vôos de vôos cancelados gerou uma economia de mais de US 52 milhões em 1991 c para as forças armadas americanas a escolha de bases militares ótimas e quais seriam fechadas na Alemanha gerou uma economia superior a US 58 milhões em 1996 d um projeto da rede global de produção distribuição e vendas de uma empresa minimizou os custos em US 100 milhões em 1995 e num outro estudo publicado em 1997 indicou que a falta de qualidade em medições causaram um prejuízo estimado de US 20 bilhõesano somente nas indústrias petroquímicas dos EUA mas esse valor pode ser minimizado com o uso de Análise e Simulação A Análise e Simulação não é um produto de prateleira Requer desenvolvimento ou aplicação sob encomenda Alguns resultados visuais obtidos após aplicação de Análise e Simulação de Processos Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 3 1 Objetivo garantir qualidade das variáveis medidas Medições com falhas Valores Medidos Análise e Simulação minimizaram as falhas Valores Reconciliados Fonte Santos Jr I 2006 COBEQ Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 4 2 Objetivo minimizar o tempo final de produção Escalonamento de trabalhos em máquinas Machine Scheduling 1ª coluna mostra o tempo final e a outra a seqüência do escalonamento Fonte Santos Jr I Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 5 3 Objetivo simular o perfil de escoamento do fluido dentro de um equipamento Pontos destacados nos gráficos são dados experimentais Análise e Simulação forneceram a linha contínua Fonte Santos Jr I 1999 ESCAPE Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 6 4 Objetivo inteligência artificial autómato Seguindo Regras de Evolução obtémse um estado final para um sistema Fonte Santos Jr I Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 7 5 Objetivo simular o perfil de líquido sobre um disco rotacional Aplicação atomizador de câmara de secagem Fonte Jenson Jeffrey 1977 resultados reproduzidos por Santos Jr I Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 8 Análise e Simulação de Processo é atividade de caráter multidisciplinar e pode envolver Engenharia Básica Engenharia Aplicada pex questões ambientais e gerenciais Matemática pex cálculo diferencial e integral otimização estatística Física Biologia Química No que tange à Engenharia Química a Análise e Simulação envolvem as áreas básicas Termodinâmica Fenômenos de Transporte Operações Unitárias Cinética Química Reatores químicos Controle de processos Projeto de Processos Em fim Passado e Presente Futuro Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 9 Parte I Modelos matemáticos para sistemas de Engenharia Química Termos comumente empregados Análise quantitativa ou qualitativa exame minucioso para resolver um problema examina as conseqüências ou efeitos com as causas ou perturbações Modelagem matemática arte de representar matematicamente uma situação física real deve considerar as principais características do sistema em análise Modelo matemático sistema de equações obtido com a ação da modelagem Simulação resolução matemática do modelo usando da computação digital requer programação de técnicas específicas ao modelo em análise técnicas analíticas eou numéricas pode apresentar várias soluções matemáticas e fisicamente possíveis Otimização ponto ótimo simulação executada segundo uma função objetiva especificada tal função pode ter caráter econômico técnico ambiental e outros São exemplos taxa de refluxo ótimo em coluna de destilação extração e absorção razão ótima entre as vazões de ar e combustível em uma caldeira Qual o principal objetivo de um modelo Melhorar ou entender a operação de um processo Engenheiro de Processo trabalha com operação de processos químicos processo químico conjunto de operações unitárias contendo ou não reator químico Existem operações à montante e à jusante de um reator Diagrama de bloco conceitual representação IO para um processo químico Manipulada pode ser ajustada pelo sistema de controle ou operador de processo Distúrbio não pode ser ajustada e afeta o processo O que se pretende Desenvolver alguns modelos matemáticos representativos aplicados aos processos químicos Analisar e simular o comportamento estacionário e dinâmico deles análise e simulação por via de técnicas baseadas em modelos Qual o principal objetivo de Análise e Simulação Resolver ou solucionar problemas reais mais sofisticados permite explorar a computação digital ou simplesmente o computador e ainda permite um aprendizado interativo Qual é a importância da Análise e Simulação de Processos via modelos matemáticos Reduzir o número de testes empíricos quanto às condições operacionais durante a experimentação online na planta ou o teste offline de nova planta Projetar processos Definir a sensibilidade do processo quanto às perturbações nas condições operacionais manter o processo estável ou sob controle após uma perturbação Determinar os limites faixas operacionais do processo a não observância dos limites pode implicar como exemplos em ignição ou extinção da reação química dentro de um reator perda da atividade biológica do agente vivo desativação ou inoperabilidade de catalisador químico inundação ou esgotamento do líquido em prato de colunas Definir as melhores condições operacionais otimização Projetar Leis de Controle definir a estratégia para a ação dos controladores na planta PROCESSO Manipuláveis Perturbações Variáveis de entrada Variáveis de saída Medidas Nãomedidas Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 10 controle moderno incorpora o modelo do processo Selecionar os valores para os parâmetros de controle parâmetros são variáveis físicoquímicas constantes associadas ao processo pex definir valores adequados para as constantes de um controlador pex PID Treinamento de operadores análise e simulação criam um ambiente virtual realístico Assim não expõem o operador às condições perigosas durante o seu treinamento para operar um processo químico complexo e ainda ensina a lidar com situações de emergência Analisar sistema de segurança Classificações e hipóteses fundamentais Modelo teórico ou modelo empírico Modelo dinâmico ou modelo Estacionário Modelo a parâmetro concentrado ou modelo a parâmetro distribuído Modelo teórico Envolve equação determinística Fundamentase nos princípios de conservação ou equações fenomenológicas Equação de balanço na sua forma mais simplista são equações de balanços Massa ou Equação da Continuidade Energia ou Primeira Lei da Termodinâmica Momentum ou Movimento entendese por variação a geração ou o consumo de alguma espécie química Pode explorar informações fornecidas pelas taxas de transferências Calor Equação de Fourier Movimento Lei de Newton para o resfriamento Massa Equação da Difusão de Fick combinando calor e movimento variáveis taxa de transferência coeficiente global de transferência de calor área de troca térmica diferença de temperatura Ainda pode extrair informações de Relações de equilíbrio de fase 1 n fase i fase i f f pex Equações termodinâmica de estado pex Lei dos Gases Ideais Equação de van der Waals Relações de equilíbrio químico Lei da Ação das Massas Equações constitutivas 1 frações Grupos adimensionais vd Re Número de Reynolds Leis de taxa cinética de reação i i C k r reação de 1ª ordem em i T R E k k o exp Lei de Arrhenius variáveis constante da taxa fator de freqüência ou préexponencial energia de ativação constante universal dos gases temperatura absoluta K ou R para a constante k podese usar também a Teoria de Transição de Estado Fluxo através de válvulas Surgem parâmetros coeficientes ajustáveis e condições iniciais e de contorno Desenvolver um modelo teórico satisfatório requer habilidades e competências técnicas Forma das equações do modelo depende do grau de informação que se pretende obter Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 11 Etapas para desenvolver um modelo realístico a ser usado para Análise e Simulação Característica essencial do modelo teórico precisão obtida na previsão dos fenômenos Requer informações precisas para os parâmetros ou coeficientes Modelo empírico Baseiase em testes de planta ou laboratorial Descreve um determinado conjunto de pontos experimentais conhecidos Não pode ser extrapolado faixa de condições deve ser mantida Forma da equação do modelo não tem significado físico apenas é a forma de função que melhor se ajusta aos pontos experimentais Equação na forma de polinomiais exponenciais e outros Exemplos Redes Neurais Artificiais analogia entre neurônio biológico vivo e processo eletrônico estrutura lógicomatemática que busca simular o comportamento de neurônio Modelos lingüísticos Teoria Fuzzy Modelos estatísticos ou probabilísticos ou estocásticos Modelo dinâmico transiente Variáveis de processo sofrem mudanças ao longo do tempo Por natureza os processos em batelada ou descontínuos são transientes pex fermentação de vinho e de cerveja Usado em controle da planta pois os valores das variáveis mudam no tempo pex variáveis relacionadas à qualidade da matériaprima ou à taxa de transferência de calor fornecido podem mudar no decorrer do tempo Modelo estacionário Admite a ausência de modificação no valor da variável em relação ao tempo Adequado para projetos de unidades com processos contínuos Modelo a parâmetro concentrado modelo agregado lumped parameter system Fornece um balanço macroscópico ou instantâneo do processo Equivale à hipótese sistema uniforme valores das propriedades do sistema independem das coordenadas espaciais são propriedades temperatura pressão concentração densidade valores das propriedades podem variar com o tempo mas não com a posição Conduz à formulação com EDO e PVI EDO equação diferencial ordinária PVI problema de valor inicial Propriedades das correntes fluidas de saída são aquelas do interior do sistema tão logo a corrente fluida entra no sistema ela assume as condições de saída Derivando um modelo matemático para o Reator Ideal tipo CSTR CSTR Reator tipo tanque com operação contínua e que contém um agitador mecânico ou NÃO SIM PROCESSO FÍSICO REAL MODELAGEM MATEMÁTICA conhecimentos múltiplos dados qualitativos e quantitativos MODELO TEÓRICO COMPARAÇÃO COM DADOS EXPERIMENTAIS COMPARAÇÃO SATISFEITA APLICAÇÃO SIMULAÇÃO aplicação de técnicas matemáticas para predição ESTIMATIVA PARÂMETRICA sensitividade reestimar parâmetros Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 12 Continuous StirredTank Reactor Por que este reator em Análise e Simulação deste reator se obtém modelos matemáticos complexos o suficiente para expor as mais variadas dificuldades em análise e simulação Esboçando o sistema Variáveis Fluxo volumétrico F Densidade absoluta Concentração molar da espécie i Temperatura da reação T Volume de reação V atenção Densidade não é Concentração Hipóteses Mistura uniforme perfeita e isotérmica temperatura constante Volume constante e fluido incompressível densidade constante implicitamente fluxo na entrada e igual ao da saída Reação química irreversível e elementar de 1ª ordem com Equação estequiométrica diluído num solvente S podendo esse ser um catalisador ou inerte Lei da taxa cinética taxa de desaparecimento lembretes Aplicando os princípios de conservação é importante treinar manipulações algébricas Conservação de Massa Total e Parcial Total acúmulo saída entrada balanço mássico EDO de 1ª ordem PVI Após integração analítica Reagente A A A A A acúmulo variação saída entrada balanço molar Após manipulação sinal negativo na taxa se deve ao desaparecimento de A lembre é a velocidade espacial ou o inverso do tempo espacial tempo de residência Atenção Produto B B B B B acúmulo variação entrada saída balanço molar Após manipulação sinal positivo na taxa se deve ao aparecimento de B Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 13 no material do Prof Dile temse Não assuma essa igualdade agora deixe para quando simular pois se houver reciclo temse assim evitar refazer o modelo Solvente S É equação Linearmente Dependente LI ou redundante Como e Então Pergunta Como poderíamos analisar o efeito de temperatura resposta através da constante da taxa de reação k pex da pela Lei de Arrhenius Conservação de Energia permite acompanhar a transformação entre as diferentes formas de energia Termos de energia de interesse da Engenharia Química Energia cinética devido à velocidade de escoamento Energia potencial devido ao campo gravitacional Energia interna devido ao estado interno de vibração molecular sinal de traço sobre K P e U não tem qualquer significado Apenas serve para evitar confusão com outras nomenclaturas O somatório destes termos é conhecido por Energia Total E Energia química devido à reação química em si transformação de energia química em térmica ou viceversa produto entre taxa de reação e entalpia de reação Energia de pressão ou Trabalho de fluxo energia para colocar e retirar massa fluida do sistema Energia de eixo ou Trabalho de eixo energia para agitar o fluido dentro do sistema Energia na forma de calor Q energia trocada entre sistema e vizinhança em geral não considera a energia elétrica a magnética Como acúmulo variação saída entrada não existe balanço parcial de energia o balanço de energia é único Então unidades em cada termo Hipóteses em muitos processos químicos a energia cinética e potencial pode ser negligenciada em relação aos efeitos térmicos energia interna De Fenômeno de Transporte variáveis temperatura do fluido refrigerante temperatura da reação se implica em sistema refrigerado se implica em sistema aquecido Da Termodinâmica e Do balanço de energia uma boa aproximação para reação em fase líquida é Após manipulações Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 14 Hipóteses e Finalmente EDO nãolinear de 1ª ordem respectivamente cada termo desta equação indica acúmulo de energia fluxo de energia devido às entradas e saídas energia transferida entre meio reacional e fluido refrigerante calor devido à reação Nesta equação foi usada a Lei de Arrhenius Resolução analítica algébrica para as equações dos balanços mássicos numa rápida inspeção devese resolver em primeiro a equação para reagente A pois a equação do produto B depende do reagente A o que dificulta a resolução analítica Reagente A Foi obtido Do Cálculo Diferencial e Integral se conhece a forma padrão tratase do método de integração exata via Fator de Integração onde Reescreva a equação Após manipulações Como EDO é um PVI então Finalmente o perfil é Produto B Foi obtido Similarmente o perfil é Solvente S Substitua os perfis e em para obter Observe que se o sistema alcançar o estado estacionário SS SS equivale à consideração de zerar a derivada Verifiquem Adimensionalização das equações dos balanços Procedimento de modelagem que redefine as variáveis de estado na forma adimensional variáveis de estado são aquelas que naturalmente aparecem no termo de derivada tempo não é variável de estado Finalidade agrupar e reduzir o número de constantes parâmetros do problema coeficientes paramétricos Quais seriam as variáveis de estado São aquelas envolvidas nas diferenciais como exemplos concentração temperatura pressão Concentrações adimensionais podese usar mas para evitar o problema quando alguma espécie não está presente no início o que resultaria em divisão por ZERO usaremos no denominador a concentração do reagente A na alimentação Devese também adimensionalizar o tempo Tempo adimensional é dado por Temperatura adimensional Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 15 Equação do balanço de molar para o reagente A na forma adimensional Rearranje e derive os adimensionais envolvidos Após substituir e manipular use Lei de Arrhenius onde e Equação do balanço molar para o produto B na forma adimensional Rearranje e derive os adimensionais envolvidos para o tempo já foi feito no anterior Após substituir e manipular use Lei de Arrhenius repetidos e Equação do balanço molar para o solvente S na forma adimensional Equação do balanço de temperatura na forma adimensional Rearranje e derive os adimensionais envolvidos para o tempo já foi feito no anterior Após substituir e manipular repetido onde e SS resulta num sistema de equações algébricas que devem ser resolvidas simultaneamente Modelo a parâmetro distribuído modelo segregado distributed parameter system Fornece um balanço microscópico ou integral do processo Propriedades do sistema dependem das coordenadas espaciais e do tempo propriedades não são uniformes no interior do sistema Conduz à formulação com EDP EDP equação diferencial parcial Exemplo clássico Reator tipo PFR plugflow reactor ou Reator Tubular Modelagem de um PFR isotérmico Diagrama esquemático Em geral a parte interna contém partículas sólidas catalíticas ou inertes função dos inertes homogeneizar radialmente o fluido fluxo empistonado empistonado perfil achatado ou radialmente uniforme ou agitação radial ideal Alimentação meio reacional Saída meio reacional Fluido refrigerante entrada Fluido refrigerante saída Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 16 em outras palavras o campo de fluxo é altamente turbulento Ausência de variações radiais nas propriedades e no perfil de velocidade de escoamento propriedades do meio reacional variam ao longo do reator reagentes são continuamente consumidos ao longo do percurso axial concentrações dos produtos aumentam continuamente da entrada para a saída Análise para modelagem é efetuada num elemento diferencial de volume sistema é homogêneo dentro do subvolume 0 F F dz z z dz dz F z dz F z z r Ci Ci zdz L Onde z é a posição ou comprimento ou distância L F é o fluxo volumétrico L3t Ci é a concentração molar do componente i moliL3 L é o comprimento do reator L dz é o incremento de posição L Balanço mássico global no elemento de volume Como e então após manipulação algébrica Simplificando e tomando no limite obtémse não use o símbolo da derivada parcial pois nossa análise é unidimensional Aplicando a Regra da Diferenciação em Cadeia temse Aplicação especial fluido incompressível isto implica que a velocidade de escoamento é constante Balanço parcial molar para o componente A Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 17 Rearranjando e simplificando temse Tomando no limite obtémse Aplicando a Regra da Diferenciação em Cadeia temse Balanço parcial molar para o componente B analogamente Balanço parcial molar para o componente S w indica fração molar Balanço de energia térmica Onde Qconv é a energia transportada devido ao movimento do fluido convecção térmica Qcond é a energia trocada com a camisa de resfriamento ou aquecimento condução térmica QR é a energia devido à reação química exotérmica ou endotérmica Considere que energia interna Dos Fenômenos de Transporte é o coef global de transf de calor Cuidado para não confundir com Taxa de energia química devido à reação RT é a energia química Balanço propriamente dito é m é a massa total Substituindo h F V Q H e m obtémse Como as propriedades Cp e a velocidade de escoamento v são constantes z zdz Qconv QconvQR Qcond z r Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 18 Dividindo por temse Tomando no limite obtémse Para operação estacionária steadystate ou SS o modelo assume a forma Modelagem de um Trocador de Calor Tubular Diagrama esquemático no PFR não considerei efeito de difusão pois o fluxo é empistonado Onde é o fluxo de energia devido ao fluxo mássico por convecção é o fluxo de energia devido ao fluxo mássico por difusão é o fluxo de energia devido à difusão térmica através do filme filme é a película entre superfície interna do tubo e fluido Balanço de energia Identificando cada variável análogo à Lei de Fourier para a condução térmica k é a condutividade térmica propriedade do material Lei de Newton para resfriamento h é o coef de transferência de calor não é propriedade e sim parâmetro é a temperatura da parede do tubo dV é o diferencial de volume Substituindo as variáveis na equação do balanço térmico temse z zdz Q Q Qdifterm z r QQconvQdifmas Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 19 Sendo as propriedades k e constantes temse é a difusividade térmica 1º termo acúmulo de energia 2º termo transporte de energia por convenção mássica 3º termo transporte de energia por difusão mássica 4º termo transporte de energia através da película filme Tratase de uma EDO de 2ª ordem Para solucionar numericamente requerse Uma condição de tempo Duas condições de contorno e No estado estacionário requer apenas as condições de contorno Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 20 Parte II e III Resolução numérica a parâmetros concentrados e distribuídos Modelos matemáticos que podem ser gerados para um dado problema tipo de equação gerada para um modelo depende do detalhamento requerido ou seja depende das considerações ou hipóteses feitas na modelagem não usamos modelo estocástico ou probabilístico equações algébricas se referem aos sistemas estacionários Resolução analítica de problema comum em Engenharia Química é em geral difícil devido à dimensão complexidade e nãolinearidade das equações do modelo Resolução numérica aproximada confiável pode ser obtida depende da técnica matemática aplicada para cada tipo de modelo existe um conjunto de técnicas específicas de resolução solução é aproximada não é exata da forma analítica mas é satisfatória ao problema real Softwares dispõem procedimentos para resolução numérica para cada tipo de modelo existe uma subrotina adequada como exemplos existem subrotinas para integração numérica de EDO e para resolução numérica de equações algébricas nãolineares EDA EDP e outras Objetivo solução de modelo matemático para problema explorando a Simulação Numérica posteriormente explorarseá a simulação digital ou computacional simulação digital é uma ferramenta poderosa para resolver equações que descrevem sistemas de Engenharia Química simulação computacional requer que sejam especificados numericamente os parâmetros e condições iniciais Não se pode obter uma solução geral em termos de parâmetros de entrada nãoespecificados e arbitrários como se faz em solução analítica Principais dificuldades em simulação digital Solução simultânea de equações algébricas nãolineares Integração numérica de EDO razões pelas quais nos limitaremos aos modelos de equações algébricas e EDO modelo EDP pode ser reduzido à EDO pois em muitos problemas práticos sistemas distribuídos são divididos em um número de agregados podendo estes ser manipulados por EDO Métodos Numéricos Métodos Iterativos para resolução de Equações Algébricas NãoLineares se lineares recorrer à Álgebra Linear Método de NewtonRaphson além de ser simples e popular é o de maior interesse aqui Outros Falsa Posição Bissecção Muller Weigstein Modelo Matemático Determinístico Modelo Agregado Modelo Segregado Equações Algébricas EDOs EDPs Equações Integrais Reduzido à EDOs Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 21 estes não serão abordados aqui mas pode ser visto em livros específicos Métodos Numéricos para resolução de EDO os dois métodos seguintes são métodos de integração numérica explícitos ou seja envolvem cálculos explícitos de derivadas e passos incrementos no tempo sem iteração Eles manipulam EDOs de 1ª ordem mas para qualquer problema com modelo de ordem N superior à 1 este pode ser reduzido para um sistema de N equações EDOs de 1ª ordem Método de Euler é o método mais simples possível e mais útil Método de RungeKutta 4ª ordem além de ser simples e popular é o de maior interesse aqui Métodos Numéricos para resolução de EDP não é objeto de Curso de Graduação para Engenharia Método das Diferenças Finitas Método dos Volumes Finitos Colocação Ortogonal Entre outros Métodos de NewtonRaphson Euler e RungeKutta são bastante simples e não sofisticados no entanto trabalham muito bem para muitos sistemas reais quanto àqueles métodos que são mais matematicamente elegantes Resolução de Equações Algébricas NãoLineares em geral não podem ser resolvidas analiticamente e simulação computacional é usualmente requerida para alcançar uma solução um dos problemas mais comum em simulação digital é a solução de equações algébricas nãolineares simultaneamente Se estas equações contêm funções transcendentais soluções analíticas são impossíveis Método de Convergência é Iterativo envolve relação recursiva ou seja usa um esquema iterativo para obter a solução numérica onde uma estimativa anterior passada para a solução é usada para obter estimativa mais precisa ou acurada Procedimento iterativo é do tipo Tentativo e Erro uma solução é sugerida e substituída no sistema para ver se ela satisfaz se não um novo valor é calculado e todo o processo é repetido até a iteração convergir para um valor correto Problemachave obter convergência rápida para a resposta correta devese encontrar um método para fazer a nova estimativa convergir rapidamente para a resposta correta existem inúmeros métodos Infelizmente não há um método melhor para todas as equações Alguns métodos que convergem muito rapidamente para algumas equações divergem para outras equações Somente o Método de NewtonRaphson NR é discutido aqui Algoritmo de iteração recursiva para o Método NR é um algoritmo muito eficiente mas pode apresentar problema de convergência Se a função não é tão suave ou polida smooth eou se a estimativa inicial não é tão próxima à solução o método NR pode divergir ao invés de convergir Para uma única equação nãolinear NR unidimensional Forma padrão para escrever a equação Forma recursiva onde é a nova iteração Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 22 é a estimativa passada é o valor da função f para na iteração n é o valor da derivada da função f para a iteração n Para mais de uma equação nãolinear método NR pode ser facilmente estendido para problemas de iterações envolvendo mais que uma variável Como exemplo supõe duas funções que dependem de duas variáveis NR multidimensional Forma padrão para escrita de equação Usando a Série de Taylor expandir cada equação destas duas equações em torno do ponto e truncar depois da 1ª derivada para obter Tomando o primeiro termo igual a zero e resolvendo para a nova estimativa e temse que forma recursiva todas as derivadas parciais e funções são calculadas no ponto e Escrevendo numa forma mais compacta a equação obtida com Taylor temse novamente derivadas parciais e funções calculadas em e matriz 22 é denominada Matriz Jacobiana J Todos os termos nela são constantes calculados em cada iteração Onde Os podem ser calculados por resolver a equação de matriz outra maneira de escrever a forma recursiva Aplicação do Método NR Enunciado Encontre o volume específico do Isobutano a e quando utilizada a Equação de Estado Onde Dados p Isobutano Em unidades compatíveis Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 23 Resolução Calculando as constantes da Equação de Estado Equação de Estado na forma padrão Forma recursiva Efetuando as iterações estimativa inicial 02 Iteração 0 02019860 1 02019860 02038251 2 02038251 02055314 3 02055314 02071172 4 02071172 02085936 5 02085936 02099702 10 02146370 02156264 60 02317650 02318396 Solução correta Resolvido na calculadora HP 48 Resolução de EDO EDO é obtida quando se descreve Fenômenos de Transportes em geral ela é nãolinear e difícil ou essencialmente impossível de ser integrada analiticamente mesmo quando existe duas ou mais equações diferenciais lineares São equações que possuem apenas uma variável independente EDO pode ser classificada como PVI uma condição inicial deve ser especificada para cada derivada Em geral a solução para EDOs se aproxima do estado estacionário se não aproximar o sistema é instável Um método numérico é geral para uma classe de equações pode em princípio ser usado para integrar qualquer sistema de EDOs de qualquer ordem Algoritmo para o Método de Euler é extremamente simples para programar em computador Assume que se deseja resolver em geral a função f é nãolinear essa é a forma padrão Com condição inicial Use uma extrapolação linear avante no tempo por um pequeno passo se o tamanho do passo é pequeno o suficiente a estimativa será muito próxima do valor correto tal passo ou incremento é denominado intervalo de integração Para o 1º passo Para o 2º passo Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 24 P nésimo passo equação de recorrência do algoritmo de Euler Assume que se deseja resolver simultaneamente um sistema de 2 EDOs segue a forma padrão Da generalização anterior somente um cálculo de derivada é requerido por EDO em cada ponto no tempo Para um sistema com N EDOs temse N equações como estas equações de recorrência do algoritmo de Euler Algoritmo para o Método de RungeKutta RK 4ª Ordem método amplamente usado em Engenharia Química Assume que se deseja resolver em geral a função f é nãolinear como anteriormente essa é a forma padrão Algoritmo propriamente dito faz uso de 4 constantes K Assume que se deseja resolver simultaneamente um sistema 2 de EDOs segue a forma padrão Generalizando o algoritmo de RK Ks são calculados para cada EDO índice i refere à Késima constante de RK e j refere à variável em questão índice n refere à nésima iteração Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 25 Comparação entre as técnicas de Euler e RK RK fornece maior precisão em relação ao Euler Euler é quase mais rápido que RK Derivando uma EDO para aplicação dos Métodos de Euler e RK Analisarseá o problema fornecido pela dinâmica de um tanque de armazenamento Do Balanço de Material acúmulo saída entrada Matematicamente Se área do tanque é constante Válvula que regula fluxo saindo equação típica para fluxo através de válvula é uma constante característica para cada válvula chamada também de coeficiente da válvula unidades Modelo matemático obtido Condição inicial PVI Observações ou é uma relação conhecida com o tempo ou é uma constante Equação é nãolinear Análise qualitativa visa obter informações importantes do sistema de como os parâmetros afetam a dinâmica dele Por conveniência considere que o modelo obtido seja linear ou seja Após integração analítica separação de variáveis obtémse h V Fo F Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 26 Conclusão comportamento do nível é exponencial com o tempo e dinamicamente dependente de A e t No estado estacionário temse Aplicação do Método de Euler Enunciado resolver o problema da dinâmica do tanque Dados Condição operacional Resolução Algoritmo de Euler note que não aparece a variável tempo na função Condição inicial PVI passo de integração escolhido é Iteração 0 2109677 1 2109677 2118992 2 2118992 2127960 10 2182098 2188735 50 2323496 2325030 100 2359666 2359920 Solução correta Estado Estacionário Resolvido na calculadora HP 48 Aplicação do Método de RK Enunciado resolver o problema da dinâmica do tanque Resolução observe que não aparece o tempo Algoritmo de RK Condição inicial PVI passo de integração escolhido é Atenção Os valores das constantes Ks estão ampliados em Iteração 0 21 96768 94960 94994 93221 21095 1 21095 93221 91483 91516 89811 21187 2 21187 89793 88123 88154 86516 21275 Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 27 Solução correta Estado Estacionário Resolvido na calculadora HP 48 Tarefas Refaçam passos iniciais e continuem por mais uns 3 a 4 passos para treino Observe que o valor da função caminha para o valor do Estado Estacionário seja isto calculando o valor de ele tende a Zero Atividade orientada Verifique se o valor das variáveis de estado Xi para estado estacionário está correto Para tal façam Substituam todos os valores na função f e vejam se o valor de f tende a zero pelo menos da ordem Se não tende a zero use SciLab p resolver equações algébricas e obter todos os Xs mesmo se zerar o aluno deverá confirmar programando em SciLab Perturbe o valor de cada X em 10 ou 10 de forma alternada ex 1 Aplique NR para obter a solução numérica para todos os Xs Façam algumas iterações à mão e resolva no computador 2 Obter no computador o tempo mínimo de integração p sistema alcançar o SS Dividir o tempo mínimo por 10 e façam alguns passos de integração à mão Aplique Euler e RK No computador aplique RK para obter a solução numérica para todos os Xs Entregar em ddmmaaaa Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 28 Parte IV Solução computacional de problemas Não estamos interessados em programação computacional propriamente dita Terseá apenas noções elementares do ambiente de programação SciLab como escrever equações e solicitar execução das contas Executarseão comandos o suficiente para os nossos propósitos resolução simultânea de equações algébricas nãolineares resolução simultânea de EDO do tipo PVI Usaremos apenas subrotinas prédefinidas do SciLab digo NewtonRaphson RungeKutta Atividade1 resolução de sistema de equações algébricas nãolineares ver roteiro para prática computacional na resolução de problemas Problema produção de propileno glicol em um CSTR adiabático reação de hidrólise de óxido propileno para gerar propileno glicol extraído do exemplo 84 de Fogler 2ª Ed p400 Balanço de material Equação de projeto Lei de taxa Lei de Arrhenius Da estequiometria Combinandoas Balanço de energia Equação de projeto Onde Variáveis Conversão X e temperatura T Parâmetros para cálculos Calor de reação Volume de reação Concentração Fluxo molar Temp referência Temp alimentação Outros Reescrevendo as equações dos balanços Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 29 Resolução numérica via NewtonRaphson Estimativas iniciais ver figura E842 e Após execução do programa e Atividade2 resolução de sistema de EDO PVI ver roteiro para prática computacional na resolução de problemas Problema resolver a Atividade1 para o Estado Transiente Dinâmico Reescrevendo as equações dinâmicas dos balanços Resolução numérica via RungeKutta 4ª ordem Condição inicial conversão perturbada em 10 e temperatura em 10 Após execução do programa e Lembre que o SS é e integração numérica caminha para SS Perfis gráficos Nunca desanime Surgiu dúvida nova Recorra sempre ao SciLab Help no menu da Tela Console Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 30 Roteiro para prática computacional na resolução de problemas Durante aplicação do Método de NewtonRaphson 1 Tecle na ícone SciLab Tela Console é aberta 2 Mude o diretório corrente chdir c ou outro de seu interesse certifique se mudou file display current directory aparecerá c 3 Grave neste diretório usando Windows Explorer o programa newtonraphsonsimultaneosci 4 Abra programa NR a partir da Tela Console File Open a File as equações do modelo estacionário já estão devidamente escritas quando for programa novo faça Applications Editor 5 Explicar os pontoschaves 6 Salve e Feche programa File Save File Exit 7 Carregue o programa NR no ambiente SciLab getfnewtonraphsonsimultaneosci 8 Para executar o programa digite x fsolve 08 615 f em fsolve está implementado o método de NewtonRaphson 9 Resposta obtida e mostra ao máx 8 alg significativos Internamente são 16 algarismos 10 Certificando que os valores estão no Estado Estacionário Abra o programa selecione a expressão após igualdade da 1ª equação Copie Saia do programa e colea na Tela Console Tecle Enter e veja a resposta Excelente Zero Volte ao programa selecione a expressão após a igualdade da 2ª equação Copie Saia do programa e colea na Tela Console Tecle Enter e veja a resposta Excelente Zero 11 Vejam escrever X e T com os dígitos informados obtemos menor precisão BM BE 12 Localizando existência de outros Estados Estacionários Resgate fsolve e altere estimativas iniciais x fsolve 10 700 f retorna ao mesmo SS x fsolve 00 500 f obtémse outro SS 022 e 5550 vejam a importância da estimativa inicial tentam outros valores para X e T Vejam se localizam outros SS Só existem dois 13 Faça uma cópia do programa NR e escreva a equação de vocês siga o molde apresentado Durante aplicação do Método de RungeKutta de 4ª Ordem 1 Tecle na ícone SciLab Tela Console é aberta 2 Mude o diretório corrente chdir c ou outro de seu interesse certifique se mudou file display current directory aparecerá c 3 Grave neste diretório usando Windows Explorer o programa rungekuttasci 4 Abra programa RK a partir da Tela Console File Open a File as equações do modelo dinâmico já estão devidamente escritas quando for programa novo faça Applications Editor 5 Explicar os pontoschaves Disciplina ANÁLISE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS UNISULSC 2009 2º Sem Curso de Engenharia Química Material de Apoio Didático Prof IRAÍ SANTOS JÚNIOR DSc 31 6 Salve e Feche programa File Save File Exit 7 Carregue o programa RK no ambiente SciLab getfrungekuttasimultaneosci 8 Para execução requerse um pouco mais de cuidados 1º Definam os pontos onde serão tomados os tempos t 0 00001 005 implica em 005000011 pontos de integração 2º Resolver dfdt ode rk0776750tf rk chama o Método de RungeKutta Existem outras técnicas conversão com perturbação de 10 e a temperatura com 10 nota dfdt é por padrão do SciLab uma matriz coluna onde nas Colunas ímpares estão armazenados os valores de X e nas Colunas pares estão armazenados os valores de T Se existem n variáveis nas n primeiras colunas estarão os valores delas em t0 nas n seguintes colunas estarão os valores delas em t1 e assim sucessivamente 3º Organizar dfdt resp matrixdfdt 2 005000011 2 indica para colocar tudo em duas linhas obtém na 1ª linha os valores para X e na 2ª para T 4º Visualização gráfica subplot211 coloque 2 gráficos em 1 coluna e fixe no 1º plot2d tresp1stylecolorblue traçando o gráfico p X xgrid gradeamento xtitle Balanço de materialTempo hConversão química subplot 212 agora fixese no 2º plot2d tresp2stylecolorred traçando o gráfico p T xgrid gradeamento xtitle Balanço de energiaTempo hTemperatura R 9 Após execução do programa e Lembre que o SS é e integração numérica caminha para SS 10 Refaça para 10 em X e 10 em T Caminhou para resposta anterior 08569 61360 sistema comportado frente às perturbações 11 Faça uma cópia do programa RK e escreva a equação de vocês siga o molde apresentado NOTA Comandos clear apagar todas as variáveis do espaço de trabalho clc limpa a tela Apenas efeito estético pwd ver diretório corrente A partir da simulação computacional veja o tempo na qual atinge o SS Então use como passo para integração nos cálculos à mão este tempo divido por 20 no mínimo