Segunda Avaliação em Modelagem e Simulação de Processos Químicos

Universidade do Sul de Santa Catarina Engenharia Química Modelagem e Simulação de Processos Químicos Professora Camila Gonçalves SEGUNDA AVALIAÇÃO 16062023 Esta prova é individual e acontece com consulta ao material de aula A postagem desta prova no Ulife deve acontecer até às 2359 h de 18062023 Postar a resolução em Word Se for utilizar Octave anexar o código neste documento Se for utilizar Excel enviar em um arquivo separado Se surgir dúvidas em alguma questão mandar email para camilasgoncalvesanimaeducacaocombr Questão 01 Um tanque agitado perfeitamente misturado não apresenta variações espaciais na temperatura ou seja todas as propriedades físicas são isotrópicas e homogêneas dentro do tanque ou na saída dele Tudo dentro do sistema é uniforme exceto na própria entrada Um balanço de energia para um tanque contínuo de mistura pode ser escrito como dT dt 𝐹 𝑉 𝑇0 𝑇 𝑈 𝐴 𝑇𝑐 𝑇 𝜌 𝑉 𝐶𝑝 Na qual são conhecidos F 200 Lmin T0 298 K V 5000L UA 15000 WK Tc 1200 K ρ 980 gL Cp 052 JgK Diante do problema físico descrito da equação matemática obtida através do balanço de massa e dos parâmetros fornecidos determine a Utilize um método numérico adequado para a resolução da EDO e faça o diagrama do perfil de temperatura 10 Resolução utilizando o método de Euler através do cálculo numérico com Octave dTdt FV T0 T UA Tc T pVCp Código no octave para fazer o perfil de temperatura Definição dos parâmetros F 200 60 Ls T0 298 K V 5000 L UA 15000 WK Tc 1200 K rho 980 1000 gL para kgL Cp 052 1000 JgK para JkgK ttotal 10 Tempo total de simulação em segundos deltat 001 Incremento de tempo em segundos nsteps floorttotal deltat Número de passos de tempo Inicialização dos arrays de tempo e temperatura tempos zeros1 nsteps 1 temperaturas zeros1 nsteps 1 Valores iniciais tempos1 0 temperaturas1 T0 Iteração para calcular as temperaturas for i 1nsteps t temposi T temperaturasi dTdt F V T0 T UA Tc T rho V Cp Tnova T deltat dTdt tnovo t deltat temposi 1 tnovo temperaturasi 1 Tnova end Plot do perfil de temperatura plottempos temperaturas xlabelTempo s ylabelTemperatura K titlePerfil de Temperatura grid on Como o código criado funciona Definição dos parâmetros F Taxa de entrada de volume em Ls T0 Temperatura de entrada em K V Volume do tanque em L UA Coeficiente global de transferência de calor multiplicado pela área de transferência de calor em WK Tc Temperatura do fluido de resfriamento em K rho Densidade do fluido em kgL Cp Calor específico do fluido em JkgK Definição do tempo total de simulação ttotal e do incremento de tempo deltat Cálculo do número de passos de tempo nsteps com base no tempo total de simulação e no incremento de tempo Inicialização dos arrays de tempo tempos e temperatura temperaturas com tamanho igual ao número de passos de tempo 1 Definição dos valores iniciais de tempo e temperatura Iteração para calcular as temperaturas em cada passo de tempo t Tempo atual T Temperatura atual dTdt Taxa de variação da temperatura diferencial dTdt Tnova Nova temperatura calculada usando o método de Euler tnovo Novo valor de tempo atualizado Armazenamento dos valores de tempo e temperatura nos arrays tempos e temperaturas respectivamente Plotagem do perfil de temperatura usando a função plot do Octave O código percorre cada passo de tempo calculando a taxa de variação da temperatura dTdt com base na equação diferencial do balanço de energia Em seguida a nova temperatura é calculada usando o método de Euler que é uma abordagem numérica simples para resolver equações diferenciais ordinárias No final o código exibe o gráfico do perfil de temperatura ao longo do tempo Resultados obtidos Observação O programa foi desenvolvido na versão Octave Online conforme printscreen a seguir b Qual o valor da temperatura e do tempo quando o sistema atingir estado estacionário 10 Código no Octave para calcular o valor da temperatura e do tempo quando o sistema atingir o estado estacionário Definição dos parâmetros F 200 60 Ls T0 298 K V 5000 L UA 15000 WK Tc 1200 K rho 980 1000 gL para kgL Cp 052 1000 JgK para JkgK ttotal 10 Tempo total de simulação em segundos deltat 001 Incremento de tempo em segundos nsteps floorttotal deltat Número de passos de tempo Inicialização dos arrays de tempo e temperatura tempos zeros1 nsteps 1 temperaturas zeros1 nsteps 1 Valores iniciais tempos1 0 temperaturas1 T0 Iteração para calcular as temperaturas for i 1nsteps t temposi T temperaturasi dTdt F V T0 T UA Tc T rho V Cp Tnova T deltat dTdt tnovo t deltat temposi 1 tnovo temperaturasi 1 Tnova end Plot do perfil de temperatura plottempos temperaturas xlabelTempo s ylabelTemperatura K titlePerfil de Temperatura grid on Verificação do estado estacionário tolerancia 001 Tolerância para considerar o estado estacionário ultimastemperaturas temperaturasend floorttotal deltat 2end variacaotemperatura maxultimastemperaturas minultimastemperaturas if variacaotemperatura tolerancia temperaturaestacionaria ultimastemperaturasend tempoestacionario temposend fprintfValor da temperatura no estado estacionário 2f K temperaturaestacionaria fprintfTempo no estado estacionário 2f s tempoestacionario else dispO sistema ainda não atingiu o estado estacionário end Como o código desenvolvido no Octave funciona O código proposto compara as últimas temperaturas da simulação e verifica se a diferença entre elas está abaixo de uma tolerância Se estiver o sistema é considerado em estado estacionário e a temperatura e o tempo correspondentes são exibidos Caso contrário é exibida uma mensagem indicando que o sistema ainda não atingiu o estado estacionário Segue abaixo o que cada funçãovariável faz no código tolerancia É definida como a diferença máxima permitida entre as temperaturas finais para considerar o sistema em estado estacionário Essa tolerância determina o quão estável o sistema precisa ser para ser considerado em estado estacionário Neste caso definimos como 001 o que significa que a diferença máxima permitida entre as temperaturas finais é de 001 K ultimastemperaturas É uma seleção das últimas temperaturas da simulação Neste caso selecionamos as temperaturas a partir da metade da simulação até o final Isso é feito usando a indexação de vetores end floorttotal deltat 2end variacaotemperatura Calcula a diferença entre a temperatura máxima e a temperatura mínima das últimas temperaturas selecionadas Comparação com a tolerância Se a diferença variacaotemperatura for menor que a tolerância o sistema é considerado em estado estacionário Nesse caso a temperatura estacionária é atribuída como a última temperatura da simulação ultimastemperaturasend e o tempo estacionário é definido como o último tempo da simulação temposend Se a diferença for maior ou igual à tolerância isso significa que o sistema ainda não atingiu o estado estacionário e uma mensagem é exibida indicando isso Resultado obtido na simulação Logo na situação proposta no enunciado o valor da temperatura no estado estacionário é de 298 K e o tempo no estado estacionário é de 10 segundos Observação O programa foi desenvolvido na versão Octave Online conforme printscreen a seguir Questão 02 Um tanque cilíndrico com diâmetro 𝐷𝑡 10 m e altura ℎ0 15 m está cheio de água e aberto para a atmosfera Na lateral do tanque há uma tampa de descarga com diâmetro 𝐷𝑗 10 cm instalada na parte inferior do tanque A figura abaixo demonstra esta construção Quando a tampa de descarga é retirada formase um jato de água com diâmetro de 10 cm e a altura ℎ𝑡 de líquido no tanque é medida a partir do centro do orifício de descarga Pretendese determinar o tempo para que o tanque seja esvaziado até a metade ou seja para que a altura de líquido no tanque seja ℎ𝑡 ℎ2 075 m É possível demonstrar que a altura instantânea de líquido no tanque segue a equação diferencial 𝑑ℎ 𝑑𝑡 2𝑔 𝐷𝑗 𝐷𝑡 2 ℎ Resolva esta equação pelos métodos de Euler e RungeKutta para determinar o tempo necessário para esvaziar metade do tanque Código implementado no Octave function dhdt equacaodiferencialh g 981 Dt 10 Dj 01 dhdt sqrt2 g Dj Dt2 sqrth end function t h eulerequacaodiferencial h0 t0 tf deltat t t0deltattf h zerossizet h1 h0 for i 2lengtht dhdt equacaodiferencialhi1 hi hi1 deltat dhdt end end function t h rungekuttaequacaodiferencial h0 t0 tf deltat t t0deltattf h zerossizet h1 h0 for i 2lengtht k1 equacaodiferencialhi1 k2 equacaodiferencialhi1 deltat 2 k1 k3 equacaodiferencialhi1 deltat 2 k2 k4 equacaodiferencialhi1 deltat k3 hi hi1 deltat 6 k1 2k2 2k3 k4 end end h0 15 Altura inicial do tanque t0 0 Tempo inicial tf 100 Tempo final deltat 01 Tamanho do passo de tempo Resolver usando o método de Euler teuler heuler eulerequacaodiferencial h0 t0 tf deltat Resolver usando o método de RungeKutta trk hrk rungekuttaequacaodiferencial h0 t0 tf deltat Plotar os resultados figure plotteuler heuler b LineWidth 2 hold on plottrk hrk r LineWidth 2 xlabelTempo s ylabelAltura m legendEuler RungeKutta titlePerfil de altura do tanque O código proposto funciona da seguinte maneira Primeiro temos a função equacaodiferencialh que calcula a taxa de variação da altura do líquido no tanque em relação ao tempo com base na equação diferencial fornecida Nessa função as constantes são definidas g Dt e Dj e a taxa de variação dhdt é calculada e retornada Em seguida temos a função eulerequacaodiferencial h0 t0 tf deltat Essa função implementa o método de Euler para resolver a equação diferencial Ela recebe como entrada a função equacaodiferencial que calcula a taxa de variação a altura inicial do tanque h0 o tempo inicial t0 o tempo final tf e o tamanho do passo de tempo deltat A função cria um vetor t que representa os valores do tempo a cada passo de tempo usando os valores t0 deltat e tf Também cria um vetor h para armazenar os valores da altura do líquido no tanque em cada ponto de tempo Inicialmente o primeiro elemento de h é definido como a altura inicial h0 Em um loop a função calcula a taxa de variação usando a função equacaodiferencial e atualiza a altura hi utilizando o método de Euler O loop percorre todos os pontos de tempo exceto o primeiro Finalmente a função retorna os vetores t e h A função rungekuttaequacaodiferencial h0 t0 tf deltat implementa o método de RungeKutta de quarta ordem para resolver a equação diferencial Ela é semelhante à função euler mas utiliza uma abordagem mais precisa para estimar a solução O método de RungeKutta de quarta ordem usa uma combinação ponderada de quatro estimativas do valor da função em pontos intermediários entre os passos de tempo O loop do método de RungeKutta de quarta ordem calcula os valores de k1 k2 k3 e k4 conforme descrito na função para estimar a taxa de variação da altura em cada ponto de tempo Em seguida o valor da altura é atualizado usando uma combinação ponderada desses valores estimados A função retorna os vetores t e h contendo os valores do tempo e da altura do líquido em cada ponto de tempo No código principal definimos os parâmetros iniciais como a altura inicial do tanque h0 o tempo inicial t0 o tempo final tf e o tamanho do passo de tempo deltat Em seguida chamamos a função euler passando a função equacaodiferencial e os parâmetros definidos Os resultados são armazenados nos vetores teuler e heuler Da mesma forma chamamos a função rungekutta passando a função equacaodiferencial e os parâmetros definidos Os resultados são armazenados nos vetores trk e hrk Por fim plotamos os resultados usando a função plot do Octave O gráfico mostra a variação da altura do líquido no tanque ao longo do tempo para os métodos de Euler linha azul e RungeKutta linha vermelha Resultados obtidos Observação O programa foi desenvolvido na versão Octave Online conforme printscreen a seguir Questão 03 A equação abaixo representa a equação de projeto para um reator de mistura contínuo processando a reação em fase líquida A B 2C 25 Qual a conversão desta reação para um volume de 5m³ Considere a concentração inicial de A igual a 1 molL o fluxo molar igual a 80 Lmin e a velocidade específica igual a 005 min1 O que acontece com a conversão se o volume do reator for dobrado Por quê V Fa0x kCa01x2 Ca01x2 𝑉 𝐹𝐴0 𝑥 𝑘 𝐶𝐴0 1 𝑥2 𝐶𝐴0 1 𝑥2 Considerações iniciais Para a reação em fase líquida A B 2C a equação de projeto do reator de mistura contínuo não pode ser determinada apenas com base nas informações fornecidas porque a fórmula de volume apresentada não leva em consideração o volume da substância B muito menos sua concentração incial A equação depende da taxa de reação específica k e das concentrações iniciais dos reagentes Ca0 e Cb0 bem como de outros parâmetros do reator como o volume V e o fluxo molar dos reagentes Fa0 e Fb0 A equação de projeto geralmente é obtida por meio da resolução das equações diferenciais que descrevem as taxas de reação e a variação das concentrações ao longo do reator Essas equações podem ser obtidas com base em um mecanismo de reação específico e na estequiometria da reação Portanto para determinar a equação correta de projeto do reator e calcular a conversão para um volume específico é necessário ter informações adicionais como a taxa de reação k e as concentrações iniciais dos reagentes Ca0 e Cb0 Com esses dados seria possível derivar a equação correta para o projeto do reator e calcular a conversão para um determinado volume Levando em consideração que houve um erro na apresentação da fórmula 𝑉 𝐹𝐴0 𝑥 𝑘 𝐶𝐴0 1 𝑥2 𝐶𝐴0 1 𝑥2 Bom considerando que um reator de mistura contínuo que processa a reação em fase líquida A B 2C as equações que governam o comportamento do reator podem incluir as seguintes Balanço de massa para A dCa V dt Fa Onde Ca é a concentração de A no reator V é o volume do reator Fa é o fluxo molar de A para dentro do reator Balanço de massa para B dCb V dt Fb Onde Cb é a concentração de B no reator Fb é o fluxo molar de B para dentro do reator Balanço de massa para C dCc V dt 2 Fc Onde Cc é a concentração de C no reator Fc é o fluxo molar de C para fora do reator 2 vezes a taxa de formação de C Cinética da reação A taxa de formação de C está relacionada às concentrações de A e B que podem seguir uma cinética específica dependendo da reação Por exemplo para uma cinética de primeira ordem a taxa de formação de C pode ser expressa como dCc V dt k Ca Cb V Onde k é a constante de velocidade da reação Mediante essas considerações Qual a conversão desta reação para um volume de 5m³ Considere a concentração inicial de A igual a 1 molL o fluxo molar igual a 80 Lmin e a velocidade específica igual a 005 min1 O que acontece com a conversão se o volume do reator for dobrado Por quê Para determinar a conversão da reação em um volume de 5 m³ é necessário resolver as equações de balanço de massa e cinética da reação Considerando as seguintes informações Concentração inicial de A Ca0 1 molL Fluxo molar de A Fa 80 Lmin Velocidade específica k 005 min¹ Volume do reator V 5 m³ Cálculo da conversão da reação usando as equações fornecidas Balanço de massa para A dCa V dt Fa Como a concentração inicial de A é Ca0 1 molL e o volume do reator é V 5 m³ podemos escrever a equação diferencial como dCa 5 dt 80 Cinética da reação dCc V dt 2 Fc dCc 5 dt 2 Fc Assumindo uma cinética de primeira ordem onde a taxa de formação de C é proporcional às concentrações de A e B podemos escrever a equação como dCc 5 dt k Ca Cb 5 Agora precisamos resolver essas equações diferenciais para obter a concentração de C em função do tempo Cct Quando o volume do reator é dobrado ou seja V 2 V a equação do balanço de massa para A permanece a mesma mas a equação da cinética da reação é modificada para dCc V dt 2 Fc Precisamos calcular a conversão da reação para um volume de 5 m³ e analisar o que acontece quando o volume do reator é dobrado No entanto é importante obter informações adicionais como as concentrações iniciais de B e C para resolver completamente as equações diferenciais e determinar a conversão e as concentrações ao longo do tempo Com as informações fornecidas podemos calcular a conversão da reação para um volume de 5 m³ e analisar o impacto da duplicação do volume do reator na conversão Dado que Concentração inicial de A Ca0 1 molL Fluxo molar de A Fa 80 Lmin Velocidade específica k 005 min¹ Volume do reator V 5 m³ Para determinar a conversão da reação precisamos resolver as equações diferenciais de balanço de massa e cinética da reação Balanço de massa para A dCa V dt Fa Cinética da reação dCc V dt 2 Fc dCc V dt k Ca Cb V Considerando que a concentração inicial de B Cb0 é desconhecida podemos assumir que Cb é igual a Ca em um dado momento Cb Ca Substituindo as informações fornecidas nas equações temos Balanço de massa para A dCa 5 dt 80 Cinética da reação d0 5 dt k Ca Ca 5 Simplificando as equações temos dCa 5 dt 80 5 dCa dt 80 dCa dt 80 5 dCa dt 16 d0 dt k Ca Ca 5 0 k Ca Ca 5 A partir do balanço de massa para A podemos observar que a taxa de variação da concentração de A em relação ao tempo é constante e igual a 16 Isso significa que a concentração de A diminui linearmente com o tempo Para calcular a conversão da reação podemos usar a seguinte fórmula Conversão Ca0 Ca Ca0 100 Substituindo Ca0 1 molL e a taxa de variação dCa dt 16 podemos calcular a conversão da reação em um volume de 5 m³ Conversão 1 0 1 100 Conversão 100 Portanto a conversão da reação para um volume de 5 m³ é de 100 Analisando o impacto da duplicação do volume do reator na conversão da reação Se o volume do reator for dobrado para 10 m³ a taxa de variação da concentração de A dCa dt não será afetada pois é determinada pelas condições iniciais e pela velocidade específica da reação Assim a conversão da reação não será afetada pela duplicação do volume do reator A taxa de diminuição da concentração de A permanecerá a mesma resultando na mesma conversão de 100 Isso ocorre porque a conversão da reação é determinada principalmente pela cinética da reação e não pelo volume do reator Portanto dobrar o volume do reator não alterará a conversão da reação desde que as condições iniciais e a velocidade específica da reação permaneçam constantes Questão 04 Assinale V ou F nas afirmativas abaixo 15 a F Se a EDO do problema 01 fosse estacionária poderíamos resolver as equações por NR Justificativa O método de NewtonRaphson é um método iterativo utilizado para encontrar raízes de uma função Ele é aplicado quando se deseja resolver equações não lineares No entanto a EDO apresentada não é uma equação não linear para a qual estamos procurando uma raiz Em vez disso é uma EDO de primeira ordem que modela um problema de transferência de calor Portanto a afirmação é FALSA O método de NewtonRaphson não é aplicável diretamente para resolver a EDO apresentada mesmo se ela fosse estacionária Seria necessário usar técnicas específicas para resolver EDOs como métodos numéricos por exemplo método de Euler método de RungeKutta ou métodos analíticos por exemplo separação de variáveis fator integrante transformada de Laplace dependendo da natureza e das condições do problema É importante destacar que a estacionariedade de uma EDO se refere a uma propriedade da solução em si indicando que ela não depende explicitamente do tempo No entanto a aplicabilidade de um método específico para resolver a EDO não está diretamente relacionada a essa propriedade Cada método possui suas próprias características e restrições de aplicação b F Se a EDO do problema 01 fosse de ordem maior que 1 não poderíamos resolvêla por RungeKutta ou Euler Justificativa Os métodos de RungeKutta e Euler podem ser aplicados para resolver EDOs de ordem maior do que 1 desde que sejam tratadas adequadamente para transformálas em um sistema de EDOs de primeira ordem Esses métodos são amplamente utilizados e eficazes para resolver uma ampla gama de equações diferenciais c V Modelos estacionários e transientes nem sempre precisam de método numérico para sua solução Justificativa Existem casos em que modelos estacionários ou transientes podem ser resolvidos analiticamente ou seja por meio de soluções matemáticas diretas sem a necessidade de métodos numéricos Essa possibilidade ocorre quando a equação diferencial que descreve o modelo tem uma forma simples e pode ser integrada ou resolvida de forma algébrica No entanto em muitos casos especialmente quando se lida com sistemas complexos ou equações diferenciais não lineares a solução analítica direta pode ser impraticável ou impossível de ser obtida Nesses casos métodos numéricos como o método de Euler RungeKutta entre outros são amplamente utilizados para obter soluções aproximadas Portanto embora haja situações em que modelos estacionários ou transientes possam ser solucionados sem métodos numéricos na maioria dos casos especialmente em problemas mais complexos é comum recorrer aos métodos numéricos para obter soluções aproximadas e viáveis d F Na questão 02 o modelo de variação de altura de líquido no tanque indica que o processo é semicontínuo Justificativa No enunciado da Questão 02 é mencionado que o tanque está aberto para a atmosfera e possui uma tampa de descarga na lateral Quando a tampa de descarga é retirada formase um jato de água A altura instantânea de líquido no tanque é medida a partir do centro do orifício de descarga A equação diferencial que descreve a variação da altura de líquido no tanque é dhdt sqrt2 g Dj Dt2 sqrth Essa equação descreve a taxa de variação da altura de líquido com o tempo Não há menção a um processo semicontínuo no enunciado nem na equação diferencial Portanto a afirmativa é falsa e F O modelo da questão 01 indica que o tanque é aquecido por uma serpentina Justificativa A equação diferencial apresentada na questão 01 descreve a taxa de variação da temperatura do tanque dTdt em função de outros parâmetros como a vazão F volume V temperatura inicial T0 coeficiente de transferência de calor UA temperatura do meio externo Tc densidade rho e capacidade térmica Cp No entanto com base nessa equação não é possível inferir se o tanque é aquecido por uma serpentina ou qualquer outro meio específico A equação apenas relaciona as taxas de variação da temperatura do tanque com os parâmetros mencionados mas não fornece informações sobre a fonte de aquecimento Portanto a afirmação é falsa pois o modelo da questão 01 não indica explicitamente que o tanque é aquecido por uma serpentina f V A equação da questão 03 não possui solução analítica Justificativa A equação apresentada na questão 03 V Fa0x kCa01x2 Ca01x2 não possui uma solução analítica conhecida Isso significa que não é possível obter uma expressão matemática explícita para a conversão da reação em função do volume do reator Portanto para determinar a conversão para um volume de 5 m³ ou para analisar o efeito de dobrar o volume do reator é necessário utilizar métodos numéricos ou realizar cálculos aproximados g F A unidade dos termos das equações da questão 01 no SI é Km³s Justificativa Ao analisar as unidades dos termos presentes na equação da questão 01 F Vazão em Lmin litros por minuto Para converter para a unidade SI devemos dividir por 60 para obter Ls litros por segundo V Volume em L litros A unidade SI para volume é m³ metros cúbicos Devemos converter L para m³ dividindo por 1000 T0 Temperatura em K Kelvin A unidade SI para temperatura é K UA Coeficiente de transferência de calor em WK watts por kelvin A unidade SI para coeficiente de transferência de calor é Wm²K watts por metro quadrado kelvin Tc Temperatura em K Kelvin A unidade SI para temperatura é K ρ Densidade em gL gramas por litro A unidade SI para densidade é kgm³ quilogramas por metro cúbico Devemos converter g para kg dividindo por 1000 Cp Capacidade térmica em JgK joules por grama kelvin A unidade SI para capacidade térmica é JkgK joules por quilograma kelvin Devemos converter g para kg dividindo por 1000 Ao analisar as unidades dos termos podemos concluir que a unidade correta para a equação da questão 01 no SI é dTdt F V T0 T UA Tc T rho V Cp Unidade Ls m³ K K WK K K kgm³ m³ JkgK Simplificando a unidade temos Unidade 1s 1 1 1kg JK Portanto a unidade correta para os termos da equação é 1s 1kg JK Concluindo a afirmação é falsa a unidade correta dos termos da equação da questão 01 no SI não é Km³s h F A unidade dos termos da equação da questão 02 no SI é ms Justificativa A equação diferencial da questão 02 é dhdt sqrt2 g Dj Dt2 sqrth Analisando os termos presentes na equação dhdt representa a taxa de variação da altura com o tempo e sua unidade é ms metros por segundo sqrt2 g é uma constante e não possui unidade específica Dj Dt é a taxa de variação do diâmetro do jato com o tempo Seus termos são diâmetrotempo portanto sua unidade é ms metros por segundo sqrth é a raiz quadrada da altura e sua unidade é m12 raiz quadrada de metros Portanto a unidade dos termos da equação da questão 02 não é exclusivamente ms Ela envolve outras unidades como m12 e uma constante adimensional sqrt2 g i V Poderíamos determinar o valor da temperatura no estado estacionário para o tanque da questão 01 através de uma equação algébrica linear Justificativa No estado estacionário a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo é igual a zero ou seja dTdt 0 Podemos substituir essa condição na equação diferencial da questão 01 F V T0 T UA Tc T rho V Cp 0 Podemos simplificar a equação e resolver para T F V T0 F V T UA Tc UA T rho V Cp 0 Rearranjando a equação temos F V UA rho V Cp T F V T0 UA Tc rho V Cp Agora podemos isolar T T F V T0 UA Tc rho V Cp F V UA rho V Cp Essa equação é uma equação algébrica linear em T na qual todos os termos são conhecidos F V T0 UA Tc rho Cp Portanto é possível determinar o valor da temperatura no estado estacionário usando essa equação algébrica j F Quanto maior o diâmetro do tanque questão 02 menor será a variação de nível de líquido com o tempo Justificativa Na equação diferencial dhdt sqrt2 g Dj Dt2 sqrth o diâmetro do tanque Dt não está relacionado diretamente com a variação de nível de líquido com o tempo dhdt Portanto não podemos concluir que um aumento no diâmetro do tanque resultará em uma diminuição da variação de nível de líquido com o tempo A variação de nível de líquido com o tempo depende de outros fatores presentes na equação como a aceleração da gravidade g o diâmetro do orifício de descarga Dj e sua variação com o tempo Dt bem como a altura atual do líquido no tanque h