Modelagem Matemática da Reação Química em CSTRs

PRIMEIRA PARTE MODELAGEM MATEMÁTICA a Escolha um tema de interesse que represente algum processo químico A reação elementar A ½ B 3C é produzida em um CSTR que opera em série com outro reator CSTR Os reagentes A e B entram no primeiro CSTR em correntes separadas e o conteúdo da saída deste reator é adicionado no segundo reator que opera de modo não isotérmico onde o aquecimento é feito por uma camisa Neste segundo reator há duas correntes de saída sendo uma delas uma corrente de refluxo que retorna ao reator 01 Modelar os perfis de concentração e temperatura deste processo Para resolver numericamente as equações diferenciais que descrevem a variação das concentrações de A e B ao longo do tempo podemos utilizar o método de Runge Kutta de quarta ordem ou podemos utilizar o método de Euler Denotaremos as concentrações de A B e C no tempo t como At Bt e Ct respectivamente As equações diferenciais que descrevem a variação das concentrações são 𝑑𝐴 𝑑𝑡 𝑘 𝐴 𝐵05 𝑑𝐵 𝑑𝑡 2𝑘 𝐴 𝐵05 𝑑𝐶 𝑑𝑡 3𝑘 𝐴 𝐵05 onde k é a constante de velocidade da reação Para resolver essas equações precisamos definir as condições iniciais para as concentrações de A B e C no tempo inicial t0 Além disso devemos fornecer os valores das constantes de velocidade da reação e as concentrações iniciais de A e B No caso do reator não isotérmico também precisamos considerar a variação da temperatura ao longo do tempo Para modelar a variação da temperatura podemos utilizar equações adicionais que descrevem o balanço de energia no reator levando em conta o fluxo de calor proveniente da camisa de aquecimento A modelagem matemática completa para esse problema envolve a resolução simultânea das equações diferenciais para as concentrações de A B e C juntamente com as equações de balanço de energia para a temperatura A implementação numérica dessas equações pode ser realizada utilizando o método de RungeKutta de quarta ordem ou método de Euler É importante ressaltar que para uma resolução precisa e completa desse problema são necessários mais detalhes e informações como as equações de balanço de energia as propriedades físicas das substâncias envolvidas os parâmetros do reator e as condições de operação Desejamos resolver numericamente as equações diferenciais que descrevem a variação das concentrações de A B e C ao longo do tempo b Defina as hipóteses simplificadoras para resolução deste problema Informações Reação A ½ B 3C Sistema composto por dois reatores CSTR em série O primeiro reator é alimentado com correntes separadas de A e B A saída do primeiro reator é adicionada ao segundo reator O segundo reator opera de modo não isotérmico com aquecimento por uma camisa Existem duas correntes de saída do segundo reator uma corrente de refluxo que retorna ao primeiro reator Simplificações e hipóteses Estado estacionário Assumimos que o sistema opera em estado estacionário ou seja as concentrações e temperaturas são constantes ao longo do tempo Densidade constante Consideramos que a densidade das correntes é constante Ausência de perdas de calor para o ambiente Supomos que não há perdas de calor para o ambiente ou seja todo o calor gerado é retido no sistema Modelagem matemática A equação governante EDO para descrever o processo químico do sistema composto por dois reatores CSTR em série onde ocorre a reação A ½ B 3C pode ser obtida a partir do balanço de massa para cada componente do sistema Consideremos que os reatores são alimentados com correntes separadas de A e B e a saída do primeiro reator é adicionada ao segundo reator Vamos denotar as concentrações de A B e C no primeiro e segundo reatores como A1 B1 C1 e A2 B2 C2 respectivamente No primeiro reator o balanço de massa para A é dado por dA1dt VinA VoutA1 k A1 B105 onde VinA é a taxa de entrada de A VoutA1 é a taxa de saída de A no primeiro reator e k é a constante de velocidade da reação No segundo reator considerando a adição da saída do primeiro reator e as correntes de saída o balanço de massa para A é dado por dA2dt VoutA1 VoutA2 k A2 B205 Além disso temos as equações de balanço de massa para B e C dB1dt VinB VoutB1 2 k A1 B105 dB2dt VoutB1 VoutB2 2 k A2 B205 dC1dt VinC VoutC1 3 k A1 B105 dC2dt VoutC1 VoutC2 3 k A2 B205 onde VinB e VinC são as taxas de entrada de B e C respectivamente e VoutB1 VoutB2 VoutC1 VoutC2 são as taxas de saída de B e C nos reatores Essas equações descrevem a variação das concentrações de A B e C ao longo do tempo nos reatores Para resolver numericamente essas equações é necessário fornecer as condições iniciais para as concentrações de A B e C bem como os valores das taxas de entrada e saída nos reatores e a constante de velocidade da reação Seguem os valores e condições iniciais propostas Condições iniciais Concentração inicial de A no primeiro reator A1₀ 1 molL Concentração inicial de B no primeiro reator B1₀ 2 molL Concentração inicial de C no primeiro reator C1₀ 0 molL Concentração inicial de A no segundo reator A2₀ 0 molL Concentração inicial de B no segundo reator B2₀ 0 molL Concentração inicial de C no segundo reator C2₀ 0 molL Taxas de entrada e saída Taxa de entrada de A no primeiro reator VinA 2 molmin Taxa de entrada de B no primeiro reator VinB 4 molmin Taxa de entrada de C no primeiro reator VinC 0 molmin Taxa de saída de A no primeiro reator VoutA1 1 molmin Taxa de saída de B no primeiro reator VoutB1 2 molmin Taxa de saída de C no primeiro reator VoutC1 0 molmin Taxa de saída de A no segundo reator VoutA2 0 molmin Taxa de saída de B no segundo reator VoutB2 0 molmin Taxa de saída de C no segundo reator VoutC2 0 molmin Constante de velocidade Constante de velocidade da reação k 01 Lmolmin SEGUNDA PARTE SIMULAÇÃO Com base nessas equações governantes podemos utilizar métodos numéricos como Euler ou RungeKutta para resolver as EDOs e obter os perfis de concentração e temperatura ao longo do tempo nos reatores O código simula a evolução das concentrações de substâncias ao longo do tempo com base na taxa de entrada das substâncias e na reação química O código utiliza vários parâmetros para descrever a reação química Esses parâmetros incluem a taxa de entrada de substâncias VinA VinB VinC uma constante de reação k e os valores iniciais das concentrações de substâncias A1rk1 B1rk1 C1rk1 A2rk1 B2rk1 C2rk1 As condições iniciais são os valores iniciais das concentrações de substâncias A1rk1 B1rk1 C1rk1 A2rk1 B2rk1 C2rk1 Os métodos de Euler e RungeKutta são usados para iterativamente calcular os valores das concentrações em diferentes pontos no tempo O método de Euler é um método de primeira ordem que realiza uma única atualização para avançar no tempo enquanto o método de RungeKutta é um método de ordem superior que usa múltiplas avaliações para calcular uma atualização mais precisa Esperase que o método de Runge Kutta produza resultados mais precisos e suaves em comparação com o método de Euler Portanto a diferença nos gráficos é que os resultados obtidos pelo método de Runge Kutta devem ser mais precisos e suaves em comparação com o método A diferença fundamental entre os métodos de Euler e RungeKutta está na maneira como eles aproximam a solução de uma equação diferencial O método de Euler é um método de primeira ordem que usa uma única avaliação do gradiente da função para realizar uma atualização Por outro lado o método de RungeKutta é um método de ordem superior que realiza várias avaliações em pontos intermediários para calcular uma atualização mais precisa Em geral o método de RungeKutta é mais preciso e robusto do que o método de Euler especialmente para equações diferenciais mais complexas Considerações finais Os resultados obtidos através dos métodos de Euler e RungeKutta para a resolução numérica das equações diferenciais da reação química de primeira ordem entre A e B são plotados em gráficos separados Observamos que ambos os métodos convergem para soluções similares mas o método de RungeKutta apresenta uma maior precisão Isso pode ser visto pela diferença entre os gráficos dos dois métodos onde o método de RungeKutta produz curvas mais suaves e com menor erro em relação aos resultados esperados Ao fazer variações nos parâmetros como o passo de tempo ou a constante de velocidade da reação podemos analisar como essas mudanças afetam os resultados Um passo de tempo menor resulta em uma maior precisão mas também em um tempo de execução maior Já uma maior constante de velocidade da reação acelera a taxa de variação das concentrações levando a mudanças mais rápidas ao longo do tempo A resolução numérica das equações diferenciais através dos métodos de Euler e RungeKutta é uma ferramenta poderosa para a análise de sistemas dinâmicos e reações químicas porém a escolha do método adequado depende da precisão desejada e do tempo de execução disponível Anexo A código utilizado no Octave clear all close all Parâmetros VinA 1 VinB 05 VinC 02 k 01 dt 001 t 0dt10 Vetores de saída RungeKutta A1rk zeros1 lengtht B1rk zeros1 lengtht C1rk zeros1 lengtht A2rk zeros1 lengtht B2rk zeros1 lengtht C2rk zeros1 lengtht Vetores de saída Euler A1euler zeros1 lengtht B1euler zeros1 lengtht C1euler zeros1 lengtht A2euler zeros1 lengtht B2euler zeros1 lengtht C2euler zeros1 lengtht Condições iniciais A1rk1 05 B1rk1 05 C1rk1 05 A2rk1 05 B2rk1 05 C2rk1 05 A1euler1 05 B1euler1 05 C1euler1 05 A2euler1 05 B2euler1 05 C2euler1 05 Método de RungeKutta for i 1lengtht1 VoutA1 A1rki sqrtB1rki VoutB1 2 A1rki sqrtB1rki VoutC1 3 A1rki sqrtB1rki VoutA2 A2rki sqrtB2rki VoutB2 2 A2rki sqrtB2rki VoutC2 3 A2rki sqrtB2rki k1A1 dt VinA VoutA1 k A1rki sqrtB1rki k1B1 dt VinB VoutB1 2 k A1rki sqrtB1rki k1C1 dt VinC VoutC1 3 k A1rki sqrtB1rki k1A2 dt VoutA1 VoutA2 k A2rki sqrtB2rki k1B2 dt VoutB1 VoutB2 2 k A2rki sqrtB2rki k1C2 dt VoutC1 VoutC2 3 k A2rki sqrtB2rki k2A1 dt VinA VoutA1 k1A12 k A1rki k1A12 sqrtB1rki k1B12 k2B1 dt VinB VoutB1 k1B12 2 k A1rki k1A12 sqrtB1rki k1B12 k2C1 dt VinC VoutC1 k1C12 3 k A1rki k1A12 sqrtB1rki k1B12 k2A2 dt VoutA1 k1A12 VoutA2 k1A22 k A2rki k1A22 sqrtB2rki k1B22 k2B2 dt VoutB1 k1B12 VoutB2 k1B22 2 k A2rki k1A22 sqrtB2rki k1B22 k2C2 dt VoutC1 k1C12 VoutC2 k1C22 3 k A2rki k1A22 sqrtB2rki k1B22 k3A1 dt VinA VoutA1 k2A12 k A1rki k2A12 sqrtB1rki k2B12 k3B1 dt VinB VoutB1 k2B12 2 k A1rki k2A12 sqrtB1rki k2B12 k3C1 dt VinC VoutC1 k2C12 3 k A1rki k2A12 sqrtB1rki k2B12 k3A2 dt VoutA1 k2A12 VoutA2 k2A22 k A2rki k2A22 sqrtB2rki k2B22 k3B2 dt VoutB1 k2B12 VoutB2 k2B22 2 k A2rki k2A22 sqrtB2rki k2B22 k3C2 dt VoutC1 k2C12 VoutC2 k2C22 3 k A2rki k2A22 sqrtB2rki k2B22 k4A1 dt VinA VoutA1 k3A1 k A1rki k3A1 sqrtB1rki k3B1 k4B1 dt VinB VoutB1 k3B1 2 k A1rki k3A1 sqrtB1rki k3B1 k4C1 dt VinC VoutC1 k3C1 3 k A1rki k3A1 sqrtB1rki k3B1 k4A2 dt VoutA1 k3A1 VoutA2 k3A2 k A2rki k3A2 sqrtB2rki k3B2 k4B2 dt VoutB1 k3B1 VoutB2 k3B2 2 k A2rki k3A2 sqrtB2rki k3B2 k4C2 dt VoutC1 k3C1 VoutC2 k3C2 3 k A2rki k3A2 sqrtB2rki k3B2 A1rki1 A1rki k1A1 2k2A1 2k3A1 k4A16 B1rki1 B1rki k1B1 2k2B1 2k3B1 k4B16 C1rki1 C1rki k1C1 2k2C1 2k3C1 k4C16 A2rki1 A2rki k1A2 2k2A2 2k3A2 k4A26 B2rki1 B2rki k1B2 2k2B2 2k3B2 k4B26 C2rki1 C2rki k1C2 2k2C2 2k3C2 k4C26 end Método de Euler for i 1lengtht1 VoutA1 A1euleri sqrtB1euleri VoutB1 2 A1euleri sqrtB1euleri VoutC1 3 A1euleri sqrtB1euleri VoutA2 A2euleri sqrtB2euleri VoutB2 2 A2euleri sqrtB2euleri VoutC2 3 A2euleri sqrtB2euleri A1euleri1 A1euleri dt VinA VoutA1 k A1euleri sqrtB1euleri B1euleri1 B1euleri dt VinB VoutB1 2 k A1euleri sqrtB1euleri C1euleri1 C1euleri dt VinC VoutC1 3 k A1euleri sqrtB1euleri A2euleri1 A2euleri dt VoutA1 VoutA2 k A2euleri sqrtB2euleri B2euleri1 B2euleri dt VoutB1 VoutB2 2 k A2euleri sqrtB2euleri C2euleri1 C2euleri dt VoutC1 VoutC2 3 k A2euleri sqrtB2euleri end Plot dos resultados figure subplot2 1 1 plott A1rk t B1rk t C1rk titleRungeKutta legendA1 B1 C1 subplot2 1 2 plott A2rk t B2rk t C2rk legendA2 B2 C2 xlabelTempo figure subplot2 1 1 plott A1euler t B1euler t C1euler titleEuler legendA1 B1 C1 subplot2 1 2 plott A2euler t B2euler t C2euler legendA2 B2 C2 xlabelTempo Obs Para realizar essa simulação foi utilizado o Octave online disponível em httpsoctaveonlinenet Acesso em 05 jun 2023