Modelagem Matemática - José Angel Dávalos Chuquipoma

Modelagem Matemática José Angel Dávalos Chuquipoma MATEMÁTICA Graduação José Angel Dávalos Chuquipoma Modelagem Matemática 2012 C559m Chuquipoma José Angel Dávalos Modelagem matemática José Angel Dávalos Chuquipoma São João delRei MG UFSJ 2012 147p Graduação em Matemática 1 Modelagem matemática 2 Matemática I Título CDU 51 Reitora Valéria Heloísa Kemp Coordenadora NEADUFSJ Marise Maria Santana da Rocha Coordenador UAB Carlos Alberto Raposo Comissão Editorial Fábio Alexandre de Matos Flávia Cristina Figueiredo Coura Geraldo Tibúrcio de Almeida e Silva José do Carmo Toledo José Luiz de Oliveira Leonardo Cristian Rocha Presidente Maria Amélia Cesari Quaglia Maria do Carmo Santos Neta Maria Jaqueline de Grammont Machado de Araújo Maria Rita Rocha do Carmo Marise Maria Santana da Rocha Rosângela Branca do Carmo Rosângela Maria de Almeida Camarano Leal Terezinha Lombello Ferreira Edição Núcleo de Educação a Distância Comissão Editorial NEADUFSJ Capa Eduardo Henrique de Oliveira Gaio Diagramação Luciano Alexandre Pinto Sumario MODELAGEM MATEMATICA 5 UNIDADE I MODELAGEM MATEMATICA E FORMULAC AO DE PROBLEMAS 6 11 Modelagem Matematica 7 111 O Que e Modelagem 7 112 O Que e Modelagem Matematica 9 113 A Modelagem no contexto da Educacao Matematica 11 114 Atividades 15 12 Formulacao de Problemas 16 121 Escolha de Temas 17 122 Coleta de dados 17 123 Formulacao de Modelos 18 124 Atividade 22 UNIDADE II O METODO DOS MINIMOS QUADRADOS 23 21 Ajuste de Curvas 25 22 O Metodo dos Mınimos Quadrados 27 23 Ajuste Linear 28 231 Ajuste Linear para o Modelo Exponencial 34 232 Ajuste Linear de Modelos Geometricos 38 24 Ajuste Quadratico 41 25 Atividades 44 UNIDADE III EQUAC OES DE DIFERENC AS 46 31 Variacoes 47 311 Variacoes Discretas 49 312 Variacoes Contınuas 52 32 Equacoes de Diferencas 57 321 Equacoes de Diferencas Lineares 59 322 Sistemas de Equacoes de Diferencas 65 323 Atividades 70 3 SUMÁRIO 5 7 9 9 11 13 17 18 19 19 20 24 25 28 30 31 37 41 44 47 49 51 53 56 61 63 69 74 UNIDADE IV EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 72 41 Equacoes Diferenciais Ordinarias 73 411 Definicoes Basicas 74 412 Atividades 78 42 Equacoes Diferenciais Ordinarias de 1a Ordem 79 421 Variaveis Separaveis 84 422 Atividades 90 43 Equacoes Diferenciais Ordinarias de 2a Ordem 91 431 Reducao de Ordem 91 432 Atividade 97 433 Equacoes Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes 98 434 Atividades 110 UNIDADE V APLICAC OES DE EQUAC OES DIFERENCIAIS OR DINARIAS 111 51 Modelos de Dinˆamica Populacional 112 511 Modelo de Malthus 113 512 Modelo de Verhulst 116 513 Modelo de Lotka Volterra 124 514 Atividades 131 Respostas das Atividades 133 61 Respostas das Atividades 133 REFERˆENCIAS 139 4 77 79 80 84 85 90 96 97 97 103 104 116 117 119 120 123 131 138 141 141 147 5 MODELAGEM MATEMATICA Seja bemvindo a ao Modulo da Disciplina Modelagem Matematica Este texto destinase ao curso de graduacao a distˆancia da disciplina de Modelagem Matematica no marco da Universidade Aberta do Brasil UAB O objetivo principal do conteudo do modulo e fornecer ao aluno um texto que desenvolva os topicos principais da ementa desta materia que normalmente nao e possıvel encontrar num unico texto facilitando assim o entendimento por parte do aluno no estudo desta materia A informacao teorica apresentada e complementada com os exercıcios propostos com a intencao de que o aluno mostre os conhecimentos adquiridos no texto e nos exemplos resolvidos Os temas que apresentamos e discutimos neste texto sao divididos em cinco unidades que a seguir detalhamos A primeira unidade se destina ao estudo dos aspectos teoricos da Modelagem Ma tematica onde sao abordadas as etapas da modelagem e em especial as etapas do processo da Modelagem Matematica escolha de temas formulacao de modelos Na segunda unidade estudamos o metodo dos mınimos quadrados e suas implicˆancias no ajuste linear de curvas para os modelos de tipo exponencial e geometrico como tambem para o ajuste quadratico Na terceira unidade estudamos as equacoes em diferencas finitas e destacamos os mo delos lineares de diferencas e abordamos os conceitos de variacoes discretas e contınuas A unidade quatro esta destinada ao estudo dos aspectos introdutorios das equacoes di ferenciais ordinarias enfatizando o metodo de variaveis separaveis para solucionar uma equacao ordinaria de primeira ordem solucionamos uma equacao de segunda ordem homogˆenea com coeficientes constantes consideramos exemplos de aplicacao Por ultimo na quinta unidade sao vistos alguns problemas de aplicacao das equacoes diferenciais abordamos problemas da dinˆamica populacional entre eles o modelo de Malthus o modelo de Verhulst e o modelo de LotkaVolterra Apesar de este texto apresentar um conteudo basico e importante consultar outras fontes com o intuito de enriquecer os conceitos bem como auxiliar na resolucao dos exercıcios O autor 5 7 unidade 1 MODELAGEM MATEMÁTICA E FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS 9 unidade1 11 Modelagem Matematica Objetivos Interpretar as etapas presentes no processo da modelagem Explicitar a importˆancia da matematica para a formacao do aluno Aplicar os conhecimento obtidos na formulacao de novos problemas que envolvem a modelagem matematica 111 O Que e Modelagem A diversidade de fenˆomenos presentes ao longo do desenvolvimento de nossa historia tem sido um dos fatos pelos quais o homem vem se superando atraves das geracoes com o intuito de ir alem do desconhecido estes fenˆomenos ou obstaculos tˆem permitido que cada pessoa construa o seu conhecimento dentro de suas proprias limitacoes quer dizer vai criando conhecimentos ante seus prorios problemas da vida cotidiana Entao po demos dizer que esta e uma maneira de como o homem aprendedor constitui o sujeito do processo congnitivo que dependendo de nossas capacidades vamos estabelecendo um conjunto de informacoes ideias e abstracoes da realidade cujo comportamento desejamos analisar e interpretar em um linguagem logica com caracterısticas similares a magnitude do problema conceitualmente isto e o que e conhecido como modelo de um problema Assim se o modelo obtido nao consegue interpretar a realidade do problema seja por diversos fatores como tamanho do problema complexidade etc somos obrigados a simplificar as hipotesesinformacoes do objeto de estudo fenˆomeno para obter um modelo com caracterısticas semelhante ao problema porem descartanto caracterısticas ou comportamentos menos importantes ou secundarios Neste contexto entendemos por Modelagem o processo de aproximar ou transformar problemas concretos do mundo real em modelos de problemas que simulem de forma otima o objeto de estudo e assim poder resolvˆelos para interpretar suas solucoes de forma clara Etapas da Modelagem Apos ter entendido o conceito de modelagem surge a questao como e que podemos confrontar problemas do mundo real com modelos que possam interpretar tais proble mas Para responder essa pergunta explicaremos a seguir as etapas ou momentos que 7 10 devem ser tidos em conta na Modelagem Primeira Etapa A primeira etapa consiste em reconhecer a existˆencia de um pro blema real no sentido de ser significativo isto e determinar a situacao do problema a ser modelado quer dizer determinar seu fator de impacto no mundo real Exemplo 1 Quando queremos prevenir a reducao do nivel do lencol freatico causado pelo desmatamento ou reflorestamento das areas florestais isso constitui um problema de impacto florestal que exige significacao avaliacao e crıtica Segunda Etapa Designado o problema a segunda etapa da Modelagem exige hipoteses de simplificacao ou seja devemos conhecer o problema e simplificalo nao simplifica mos o problema real e sim introduzimos hipoteses que simplificam sua abordagem Todo problema nesta etapa deve ser tratado com um grau de simplificacao e as vezes a simplificacao e feita para facilitar a resolucao do modelo Exemplo 2 No caso do problema de impacto florestal o estudo e feito em uma regiao do plano onde o meio poroso e homogˆeneo e isotropico ou seja possui as mesmas carac terısticas em todas as direcoes e em todos os pontos desta forma e que simplificamos as hipoteses com o objetivo de poder fazer um estudo de forma clara Terceira Etapa No passo seguinte do processo da Modelagem temos a terceira etapa que consiste na resolucao do modelo decorrente atraves de diversas areas do conheci mento nesta etapa e muito importante a aproximacao do modelo a considerar Exemplo 3 O modelo aproximado do problema de impacto florestal e dado atraves de um modelo de tipo matematico definido por uma equacao em derivadas parciais cuja solucao e dada pela funcao potencial e por uma funcao que define a localizacao do lencol freatico Quarta Etapa Na quarta etapa temos a avaliacao das solucoes encontradas na etapa anterior de acordo com a questao real do problema a modelar Quinta Etapa Nesta quinta e ultima etapa da Modelagem o que devemos ter em consideracao e definir a decisao com base nos resultados obtidos E assim que atraves da Modelagem conseguimos obter melhores condicoes para decidir o que fazer frente a um fenˆonemo ou a uma situacao real Na Figura 11 damos um esquema do processo da modelagem 8 11 unidade1 Figura 11 Processo da Modelagem 112 O Que e Modelagem Matematica A Modelagem Matematica e uma materia da Matematica que teve seu inıcio na an tiguidade a partir de problemas praticos a invencao da roda pelos sumerios aproxi madamente 3000 anos aC foi por exemplo um dos primeiros modelos matematicos produzidos pela humanidade que se conhece eles observaram um tronco de arvore rolando por um declive e tiveram a ideia de transportar cargas pesadas colocandoas sobre objetos rolantes Modelos descrevem as nossas crencas sobre como o mundo funciona Na modelagem matematica traduzimos essas crencas em termos da linguagem da matematica Isso tem muitas vantagens primeiro Matematica e uma linguagem muito precisa Isso nos ajuda a formular ideias e estabelecer premissas importantes segundo a matematica e uma linguagem concisa com regras bem definidas para manipulacoes terceiro todos os resultados que os matematicos provaram ao longo de centenas de anos estao a nossa disposicao e por ultimo os computadores podem ser usados para realizar os calculos numericos Segundo BASSANEZI 2011 a Modelagem Matematica e a arte de transformar proble mas da realidade em problemas matematicos e resolvˆelos interpretando suas solucoes na linguagem do mundo real Assim entre essas novas formas de considerar e entender a Modelagem podemos concluir que a Modelagem Matematica e utilizada como um metodo cientıfico de pesquisa ou tambem como uma estrategia de ensinoaprendizagem 9 12 Podemos inferir entao que a Modelagem Matematica surgiu da necessidade do homem em resolver determinadas situacoes ou problemas do seu dia a dia Nesse sentido podese dizer que Modelagem Matematica e o processo que envolve a obtencao de um modelo que tenta descrever matematicamente um fenˆomeno da nossa realidade para tentar compreendˆelo e estudalo criando hipoteses e reflexoes sobre tais fenˆomenos Ha um grande elemento de compromisso em modelagem matematica A maioria dos sistemas que interagem no mundo real sao demasiado complicados para modelar na sua totalidade Daı o primeiro nıvel de compromisso e o de identificar as partes mais importantes do sistema Essas serao incluıdas no modelo o restante sera excluıdo O segundo nıvel de compromisso diz respeito a quantidade de manipulacao matematica que vale a pena Embora a matematica tenha o potencial de revelar os resultados gerais estes resultados dependerao essencialmente da forma das equacoes utilizadas Pequenas alteracoes na estrutura das equacoes podem exigir enormes mudancas nos metodos matematicos utilizados Que objetivos pode a modelagem alcancar A Modelagem Matematica pode ser usada para uma serie de razoes diferentes qualquer objetivo especıfico a ser alcancado de pende tanto do estado do conhecimento do sistema e de como a modelage e feita Entre as muitas variedade de objetivos temos desenvolver a compreensao cientıfica atraves da expressao quantitativa do conhe cimento atual de um sistema bem como exibir o que sabemos ou o que nao sa bemos testar o efeito de alteracoes no sistema tomar uma decisao incluindo decisoes taticas dos gestores e as decisoes es trategicas por planejadores Nesse contexto o esquema da Modelagem dada pela Figura 11 em termos da Mode lagem Matematica e dado atraves da Figura 12 10 13 unidade1 Figura 12 Esquema do Processo de Modelagem Matematica Adaptacao de Burghes e Borrie 1981 Fonte DA COSTA J F M CALDEIRA A D DOS SANTOS A P 1999 113 A Modelagem no contexto da Educacao Matematica Pelo que foi dado anteriormente quando estamos familiarizados com a Modelagem em que o aluno e o sujeito do processo cognitivo e nao somente com problemas ma tematicos o pesquisador ou pessoa que trabalha nesta area vai ter uma maior capaci dade em lidar com a Modelagem Matematica De outro lado muitas vezes temos a ideia de que trabalhar na Modelagem com conteudos matematicos altamente sofistica dos e uma condicao que nao se pode deixar de lado isso em geral nao e verdade pois a matematica a se utilizar deve ser aquela que permita a resolucao do problema a tratar O procedimento ou processo de Modelagem Matematica no contexto da educacao ma tematica alem das etapas presentes no processo deve estar unido a introducao do problema por meio de informacoes adicionais como por exemplo uma figura um es quema ou um fluxograma de tal maneira que possa facilitar ao aluno o entendimento da situacao do problema a estudar e das diversas formas de modelagens matematicas Assim isso quer dizer que a Modelagem Matematica no campo da educacao tem que ir alem das etapas que o caracterizam de fato devemos entender que quando na sala de aula o professor ministra o que preparou ou programa com anticipacao aquele conteudo 11 14 matematico com o intuito de que os alunos aprendessem sao na verdade ferramentas necessarias mas nao suficientes para que o aluno comprenda o problema o que significa que e precisso cobrir esse vazio que ainda esta presente na educacao matematica O exemplo seguinte representa um problema que pode ser interpretado atraves da Modelagem Matematica Exemplo 4 Controle Biologico de pragas Desejamos combater biologicamente uma praga de insetos em uma plantacao sem o uso de substˆancias agroquımicas A estrategia a utilizar e a seguinte controlamos a populacao de insetos fazendo uma plantacao inicial da planta atacada com o objetivo de atrair os insetos a serem com batidos para posteriormente serem recolhidos No caso possıvel de obter resultados positivos teremos determinado na verdade o fator de impacto do problema pois sem o uso de substˆancias quımicas o custo econˆomico resulta ser muito confortavel deter minando dessa forma a situacao do problema primeira etapa Claro esta que devemos de considerar o caso em que temos um porcentagem maxima de perda p relativa a plantacao inicial isso devido ao fato que pode nao existirem insetos na plantacao inicial o que origina uma coleta nula de insetos O problema sera solucionado se conseguimos determinar a largura de uma faixa em torno de uma regiao plantada em que pudesse ser colocada a plantacao inicial tendo em consideracao o percentual maximo de perda p Supondo que a regiao de plantacao seja um retˆangulo e que a producao da plantacao seja igual a area plantada estamos na verdade simplificando as hipoteses e dizer que fazemos uso de umas das etapas do processo da modelagem isto e a hipotese de sim plificacao segunda etapa Representando por x a largura da faixa ao redor do campo retangular EFGH ver Figura 13 Considerando um campo retangular de dimensoes M 90 e N 45 dados em metros com um porcentual maximo de perda p 5 vemos da Fifura 13 que as dimensoes do retˆangulo interior EFGH sao 90 2x e 45 2x metros Da hipotese temos que a producao da plantacao 1 pMN e igua a area plantada M 2xN 2x isto e 1 0 059045 90 2x45 2x ou 3847 5 90 2x45 2x 4x2 270x 4050 12 15 unidade1 Figura 13 Geometria do problema obtendo a expressao quadratica 4x2 270x 202 5 0 ou ainda 2x2 135x 101 25 0 o que significa que o modelo matematico de nosso problema e dado por uma equacao quadratica encontrando as raızes do polinˆomio de grau dois estaremos resolvendo nosso problema terceira etapa Logo utilizando a formula que nos permite encontrar raızes de uma equacao quadratica temos x 135 1352 42101 25 4 13 16 obtendo os seguintes valores aproximados x 66 741 ou x 0 75 Embora ambos os valores matematicamente sejam corretos observamos que o valor de x 66 741 metros nao faz sentido pois a largura da faixa no interior da plantacao deve ser menor que 45 metros isso corresponde a avaliacao dos resultados quarta etapa o que implica que a largura da faixa da plantacao inicial deve ser aproximadamente x 0 75 metros Por ultimo devemos tomar a decisao correta se for razoavel ou nao o resultado obtido de 0 75 metros da largura da faixa quinta etapa No exemplo anterior vemos a importˆancia de representar o problema por meio de um desenho pois isso nos da uma visao global do entendimento da situacao do problema Como trabalhar com a Modelagem Matematica em sala de aula Ja no setor da educacao o ensinoaprendizagem realizado atraves da Modelagem Ma tematica permite lidar satisfatoriamente tanto entre a combinacao dos aspectos da matematica como com suas aplicacoes isso faz parte de um dos objetivos que pre tendemos atingir nesta disciplina Confiamos nos professores de matematica temos a obrigacao de mostrar aos alunos estas duas alternativas que se complementam Outro aspecto a se ter em consideracao para trabalhar com Modelegem Matematica em sala de aula e que devido a se caracterizar como um ambiente de ensinoaprendizagem os alunos sao convidados a indagar eou investigar por meio da matematica situacoes provenientes de outras areas Assim temos que ressaltar a importˆancia da integracao de situacoes provenientes do cotidiano e de outras areas do conhecimento na sala de aula com o proposito de possi bilitar aos alunos intervirem na sua realidade Por ultimo os parˆametros que devemos deixar claro aos alunos no ˆambito da investigacao e compreensao em aula envolvem os seguintes aspectos identificar o problema procurar selecionar e interpretar in formacoes relativas ao problema formular hipoteses e prever resultados selecionar estrategias de resolucao de problemas fazer e validar conjecturas experimentando recorrendo a modelos esbocos fatos conhecidos relacoes e propriedades 14 17 unidade1 114 Atividades 1 Uma praga de cigarrinhas ataca uma plantacao de arroz desejase controlar bio logicamente a praga atraves de uma estrategia otima dada no Exemplo 4 Tendo em consideracao uma margem de perda ao redor de 4 ao supor uma plantacao inicial para recolher as cigarrinha e supondo a area de plantacao um campo re tangular de dimensoes M 80m e N 35m encontre a largura da faixa em torno da plantacao do campo retangular 2 No exercıcio anterior identifique e explique as etapas que estao presentes na Mo delagem Matematica 3 Um fazendeiro deseja circundar uma regiao junto a um rio com uma cerca de 120 metros de comprimento para encerrar seus animais Se a regiao e representada por um retˆangulo hipoteses de simplificacao faca a Modelagem Matematica do problema para determinar as dimensoes do retˆangulo para que a area cercada seja a maior possıvel 4 Como vocˆe faria uma Modelagem Matematica dos seguintes problemas a A pressao exercida por uma massa de um gas e diretamente proporcional a temperatura absoluta e inversamente proporcional ao volume ocupado pelo gas Gases perfeitos b A resistˆencia de um fio condutor e diretamente proporcional ao seu compri mento e inversamente proporcional a area de sua secao reta Resistˆencia eletrica c Dois corpos de massas m1 e m2 se atraem em razao direta das massas e na razao inversa do quadrado das distˆancias Lei da gravitacao universal 5 No Exemplo 4 do controle biologico de pragas faca um esquema do processo de Modelagem Matematica igual que ao mostrado na Figura 12 para este problema 15 18 12 Formulacao de Problemas Objetivos Criar modelos matematicos de problemas concretos do mundo real Reconhecer os tipos de formulacoes de problemas em termos matematicos Nesta secao estabeleceremos mecanismos para a formulacao e obtencao de problemas novos cabe ressaltar que nao existe a priori formula alguma que nos permita como resolver habilidades de matematica nem tampoco como adquirilas mas isso nao im pede o nosso interesse em desenvolver estrategias que possamos considerar no inıcio da modelagem sem ir alem do objetivo principal que e o ensinoaprendizagem Entretanto o que entendemos por habilidades neste contexto e a capacidade de poder tomar um problema concreto com algum grau de dificuldade e transformalo em um modelo matematico para posteriormente solucionalo e possa ser interpretado em ter mos do problema incial Figura 14 Processo Simplificado da Modelagem Matematica Fonte BASSANEZI R C 2011 16 19 unidade1 121 Escolha de Temas Neste cenario da modelagem o tema de estudo escolhido resulta ser o inıcio do processo pois o conteudo matematico a utilizar ainda e desconhecido entao um dos mecanis mos a empregar nesta situacao e comecando a contar ou medir com o intuito de se obter uma tabela de dados de tal maneira que possamos representar em um sistema de referˆencia por exemplo um sistema cartesiano a visualizacao do evento em estudo Esta representacao dos dados com certeza vai dar origem a conjecturas e tambem a formulacao de modelos matematicos A escolha de temas tem que ser feita de forma completa e motivadora para que possa ter um fator de interesse na area da pesquisa dos alunos Por exemplo se o tema esco lhido for o desmatamento entao podemos pensar em modelar o problema de impacto ambiental do deslizamento de terra ou pensar em modelar atraves de um problema matematico de fronteira livre A importˆancia da escolha de temas tambem reside em que estes sejam escolhidos pelos proprios alunos com o proposito de que junto com o professor se sintam responsaveis pelo processo da modelagem o desenvolvimento deve ser feito em grupos cada um deles com sua propria responsabilidade com o objetivo de obter resultados positivos da modelagem do problema 122 Coleta de dados Depois de ter escolhido o tema o procedimento seguinte sera a coleta de dados que consiste basicamente em buscar informacoes medicoes resultados estatısticos etc relacionadas com o objeto de estudo Os dados coletados devem ser organizados em tabelas que por sua vez podem ser utilizadas na elaboracao dos graficos da curva de tendˆencias A coleta de dados qualitativos ou numericos pode ser efetuada aplicandose as seguintes tecnicas 1 por meio de entrevistas e pesquisas realizadas com os metodos de amostragem aleatoria neste caso sao fundamentais a qualidade das perguntas e nocoes de Estatıstica 2 atraves de pesquisa bibliografica uso da internet procurando informacao em livros e revistas especializadas 3 por meio de experiˆencias dos proprios alunos Nesse processo de obter dados sobre a realidade a ser modelada estamos desenvolvendo em outras palavras um processo de experimentar novas informacoes 17 20 123 Formulacao de Modelos Uma vez feita a coleta de dados o seguinte passo e a formulacao matematica dos mo delos A formulacao matematica de modelos podem ser dada de dois tipos formulacao estatica e formulacao dinˆamica 1 Formulacao Estatica Estas formulacoes matematicas envolvem equacoes ou funcoes dependendo de uma ou mais variaveis geralmente essas formulacoes utilizam conceitos relacionados com a Geometria onde a variavel tempo nao tem importˆancia alguma Exemplo 5 Predador Presa Em uma populacao de veados se observa que a taxa de mortalidade esta inflingida por uma populacao de leoes sabendose que a taxa de mortalidade e proporcional ao numero de veados e tambem ao numero de leoes desejamos obter um modelo matematico que interprete o problema de encontrar a taxa de mortalidade dos veados Primeiramente da teoria de grandezas proporcionais lembramos o seguinte se uma grandeza z fx y e proporcional a x enquanto y permanece constante e quando z e proporcional a y enquanto x permanece constante entao z e proporcional ao produto xy isto e z cxy onde c R Entao denotando por z a taxa de mortalidade do numero de veados x o numero de veados e y o numero de leoes vemos pelo anterior que a hipoteses de manter constante uma das variaveis x e y implica que fx y bxy onde b e uma constante Assim a taxa de mortalidade dos veados e dado pela expressao z bxy O fato de considerar b constante nao e sempre satisfeita logo aqui estamos fazendo uso da hipoteses de simplificacao do processo de modelagem 18 21 unidade 1 2 Formulacao Dinˆamica Em geral esta formulacao de modelos dinˆamicos modelos que dependem do tempo contem dois tipos de variaveis chamadas variaveis dependentes e variaveis indepen dentes Essa dependˆencia e dada atraves de uma relacao entre essas variaveis Exemplo 6 Do exemplo anterior podemos considerar um problema mais realista ao considerar a taxa de mortalidade junto com o numero de veados e leoes dependendo do tempo t Com efeito representando por xt o numero de veados e yt o numero de leoes no tempo t claro esta que a taxa de mortalidade neste caso vai depender tambem do tempo assim temos que a taxa de mortalidade dos veados e dada pelo modelo seguinte zt bxtyt Por ultimo no caso de nao existirem as hipoteses de proporcionalidade apresentadas nos exemplos vistos terıamos dificuldade em obter com exatidao a relacao funcional fx y assim devemos deixar indicado que uma coleta de dados facilitaria o estudo pois utilizandose tecnicas estatısticas e possıvel ter uma aproximacao do problema Exemplo 7 Em uma pesquisa feita por um grupo de biologos para obter medidas biometricas de atuns em uma gaiola foram obtidos os seguintes dados do peso gra mas e o comprimento centımetros medio de uma famılia de atuns em relacao a sua idade t dada em anos t idade comprimento cm peso gr 2 1639 068 3 170 091 4 1761 10 5 1822 12 6 1883 138 7 1954 148 8 2032 169 9 210 18 10 2127 23 19 22 Desejase encontrar uma relacao funcional entre o peso e o comprimento dos atuns atraves da tabela anterior Solucao Definindo as seguintes variaveis x e y como sendo o comprimento e peso medio respectivamente Podemos relacionar essas variaveis num sistema referencial por meio do grafico de dis persao Figura 15 Figura 15 Grafico de dispersao Esses dados estatısticos tabela podem ser aproximados por uma curva de regressao a ser definida no proximo capıtulo curva vermelha na Figura 16 A curva de regressao indica o comportamento ou tendˆencia de tipo geral entre o peso e o comprimento medio dos atuns O grafico de dispersao constitui um primeiro passo para uma Modelagem Matematica Observamos que os pontos x y nao estao sobre a curva Uma relacao funcional obtida atraves de um ajuste de dados proporciona informacoes iniciais para a elaboracao de hipoteses e tambem para a formulacao de modelos Pesquisas biologicas estabelecem que o modelo matematico pode ser dado pela relacao funcional yx kxα 11 20 23 unidade1 Figura 16 Curva de regressao onde k e a taxa de metabolismo e α da informacao em termos matematicos da forma do atum Devido a caracterıstica das variaveis consideradas a relacao funcional ainda pode ser considerada como um modelo estatico pois nao existe uma relacao de depˆendencia na variavel temporal t em 11 Modelos dinˆamicos tambem podem ser considerados no caso em que tenhamos as se guintes relacoes funcionais yt y0 1 eβ3t3 ou xt x01 eβλt onde β e a constante de metabolismo e representa a taxa de energia gasta para o atum se movimentar y0 e x0 sao os respectivos valores maximos de y e x Esses modelos sao chamados modelos de Von Bertalanffy ver BASSANEZI 2011 21 24 124 Atividade 1 Suponhamos que em uma famılia de Heterodon nasicus cobra todas as cobras desta especie sejam jovens ou velhas e que tenham a mesma forma e o mesmo peso especıfico se a taxa de metabolismo e k 446 e α 3 e o peso dado em gramas e o comprimento dado em metros a Encontre a relacao funcional entre as variaveis comprimento e peso que define o modelo matematico logo determine se o modelo e de tipo estatico ou dinˆamico b Determine o peso para um grupo de cobras cujos comprimentos sao dados por COMPRIMENTO 04 06 08 1 c Se a taxa de metabolismo para o modelo de Von Bertalanffy e β 3 e x0 1 y0 446 λ 1 encontre o peso e o comprimento para um conjunto de cobras depois de um mˆes 2 Em certa especie de peixes verificouse que o consumo de oxigenio Ol dos peixes por unidade de peso diminui com o aumento de seu comprimento l atraves da relacao funcional modelo matematico Ol kql 0 l 80 para certos parˆametros k e q Estimar k e q utilizando os seguintes dados l cm 0 10 30 50 60 70 80 O ml 121 74 30 12 67 37 2 3 Uma plantacao de cana de acucar tem a forma de um retˆangulo de lados 2000 e 3000 m Em cada perıodo de plantacao se planta uma area de forma retangular que esta crescendo em razao de seus lados menor e lado maior a uma velocidade de 4mano e 5mano respectivamente Desejamos achar o modelo matematico do problema que consiste em encontrar a velocidade em litros por ano com que a producao de alcool procedente da cana de acucar esta crescendo sabendose que a producao de alcool e dada pela area da plantacao 22 25 unidade 2 O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 27 unidade2 O Metodo dos Mınimos Quadrados Objetivos Aproximar uma funcao qualquer conhecida ou nao ou um conjunto de pontos por uma combinacao de funcoes conhecidas Determinar a impˆortancia do metodo na Modelagem Matematica Reconhecer a curva de regressao que melhor aproxime o problema ou fenˆomeno estudado O processo de coleta de dados constitui uma parte essencial na Modelagem Matematica e tambem na metodologia cientıfica tambem e fundamental para o desenvolvimento e aplicacao da propria ciˆencia No decorrer da Modelagem Matemaica a parte experi mental ressalta o processo de coleta de dados No processo de obtencao de dados ou medidas utilizamse diversos conceitos como por exemplo dados estatısticos desvios o valor mais provavel de uma grandeza etc fazendo convocacao a nocoes intuitivas a cada novo conceito isto e sem a preocupacao de apresentar uma teoria axiomatica partindo de princıpios gerais Um primeiro passo nessa direcao esta no que se chama de Metodo dos Mınimos Quadrados Este processo de sistematizacao da obtencao de dados permite como veremos obter bons resultados no ajuste de curvas Embora possa ser utilizado no ajuste de outras curvas vamos apresentar este metodo e seu uso para o ajuste de retas por ser no momento nosso principal objetivo Entre os motivos que avaliam a utilizacao do metodo temos desde os mais variados desde o mais simples ate os mais complicados Por exemplo podese querer manipular uma funcao complicada fx cosecot 2x ou entao encontrar uma aproximacao para funcoes que nem sao conhecidas como por exemplo 24 28 21 Ajuste de Curvas Definicao 1 Ajuste de Curvas Um ajuste de curvas ou as vezes chamada curva de regressao e um conjunto de tecnicas numericas que tem por objetivo expressar al guma tendˆencia da relacao de duas grandezas Em outras palavras ajuste de curvas e um mecanismo ou artifıcio que fornece uma relacao funcional de uma variavel depen dente y quando relacionada com a variavel independente x Exemplo 8 Considerando os dados da tabela do Exemplo 7 sobre o comprimento e peso dos atuns podemos ver que existe para cada nıvel de comprimento x uma distri buicao do peso y kxα curva de regressao em cada nıvel correspondente conforme Figura 16 Um ajuste de curvas e muito util para uma formulacao simplificada dos dados ou tambem para uma verificacao de alguma tendˆencia entre as grandezas No estudo de algum fenˆomeno feito por medio de dados numericos dados experi mentais estamos principalmente interessados alem das tendˆencias fornecidas por um ajuste de curvas ou curva de regressao em saber se a correspondente relacao funcio nal y fx e compatıvel para futuras previsoes de y no caso em que x esta fora do domınio de definicao de f Na pratica acontece que nos modelos estaticos essas previsoes se preservam na maioria de casos ja nos modelos dinˆamicos devemos tomar em conta outros tipos de consi deracoes para preservar o ajuste de curvas como por exemplo o comportamento do problema estudado ante perturbacoes das variaveis que definem o fenˆomeno Quando obtemos um conjunto de dados atraves de um processo de experimentacao e desejamos obter um ajuste de curvas ou uma curva de regressao entre as variaveis que definem o problema a priori escolhemos a forma da curva que desejamos ajustar para poder expressar estas variaveis isto implica que existem uma infinidade de curvas de regressao claro esta que nem toda relacao funcional obtida representa um bom modelo matematico Exemplo 9 Considerando os dados da tabela do Exemplo 7 sobre o comprimento e a idade dos atums observamos que a reta Figura 27 y 61t 1517 22 25 29 unidade2 obtida do ajuste entre os dados idade t e comprimento y e uma boa aproximacao para valores de t menores ou iguais a 10 pois seis dados da tabela estao sobre a reta ja no caso em que t 10 isso nao e garantido pois o comprimento dos atuns tende a se estabilizar quando t cresce caso contrario acontece com os valores sobre a reta cujos valores tendem a crescer indefinidamente e portanto nao pode ser feita uma previsao no futuro sobre o comprimento dos atuns Logo concluımos que a equacao 22 nao pode ser considerada de modo geral como um bom modelo matematico pois um dos objetivos principais da modelagem matematica e obter uma relacao funcional que interprete em seus variaveis ou parˆametros qualidades proprias do fenˆomeno estudado nesta parte resulta ser muito importante a validacao da solucao Figura 27 Tendˆencia do crescimento de uma famılia de atuns no perıodo de 10 anos A questao central como vimos para se determinar a equacao da curva e encontrar a melhor curva regular de ajuste dos dados Podese usar um criterio individual para tracar uma curva de ajustamento que se adapte ao conjunto de dados Se for conhecido o tipo de equacao dessa curva e possıvel obter suas constantes mediante a escolha de 26 30 tantos pontos da curva quantas sejam as constantes da equacao Em diversas situacoes como por exemplo num laboratorio nos deparamos com gran dezas que se relacionam entre si Por exemplo a pressao de uma determinada massa de gas depende da sua temperatura e do seu volume a distensao de uma mola de pende da forca aplicada Desejase frequentemente expressar essa relacao sob forma matematica por meio de uma equacao que ligue as variaveis Para auxiliar a deter minacao de uma equacao que relacione as variaveis um primeiro passo consiste em colecionar dados que indiquem os valores correspondentes das variaveis consideradas Por exemplo x pode representar o deslocamento de uma mola causado por uma forca aplicada y para os quais temos um conjunto de n medidas 22 O Metodo dos Mınimos Quadrados Um dos metodos mais utilizados para estimacao aproximacao de parˆametros ou ajuste de curvas e denominado metodo dos mınimos quadrados que a seguir passamos a de talhar De modo geral consideramos as variaveis ou grandezas x e y que definem o fenˆomeno a analisar sujeitas a um conjunto de n medidas ou experimentos observados A x1 y1 x2 y2 xn yn 23 e uma funcao f Rk1 R tal que yx fx α1 α2 αk onde α1 α2 αk sao os parˆametros O metodo dos mınimos quadrados consiste em determinar esses parˆametros de modo que minimize o valor de Sα1 α2 αk n i1 fxi α1 α2 αk yi2 24 isto e o metodo consiste em minimizar a soma dos quadrados de εi fx α1 α2 αk yi entre os diversos valores de yi observados e os valores yxi fxi α1 α2 αk ajus tados Os valores εi sao chamados de desvios Em seguida locamse esses pontos num plano cartesiano O conjunto de pontos resul tante e denominado diagrama ou grafico de dispersao Figura 28 27 31 unidade2 Figura 28 Diagrama de dispersao Curva de regressao e Desvios εn Neste diagrama e possıvel frequentemente visualizar uma curva regular que se apro xime dos pontos dados x1 y1 x2 y2 xn yn isso como foi definido em 211 e chamado ajustamento de curvas 23 Ajuste Linear Definicao 2 Ajuste Linear Suponhamos que as grandezas x y cujas medidas sao dadas por 23 se relacionem linearmente Um ajuste de curvas e denominado linear se a funcao f R3 R e definida por fx a b ax b Em outras palavras um ajuste e linear se e definido pela equacao da reta yx fx a b ax b 25 Assim a equacao 25 sera a melhor reta que se ajusta aos pontos 23 a qual desejase determinar Figura 29 Devido a erros de medida os valores xi yi nao necessaria mente satisfazem exatamente a equacao 25 isto e 28 32 yi axi b Figura 29 Ajuste Linear Para que essa expressao se transforme numa igualdade deveremos levar em conta os erros ou desvios ε cometidos na medida Assim yi axi b εi Portanto εi tambem depende de a e b εia b yi axi b 26 A soma dos quadrados dos desvios e dado por Sa b n i1 yi axi b2 Aplicandose o Metodo dos Mınimos Quadrados temse que os melhores valores para a e b e portanto a melhor reta sao aqueles que minimizam Ea b Como E e uma 29 33 unidade2 funcao de duas quantidades a e b escrevemos essas condicoes necessarias de mınimo como S a 0 e S b 0 ou seja S a 2 n i1 xiyi ax2 i bxi 0 e S b 2 n i1 yi axi b 0 De onde obtemos as chamadas equacoes normais n i1 xiyi n i1 bxi ax2 i 27 n i1 yi n i1 axi b 28 Resolvendo 27 e 28 simultaneamente para a e b encontramos a n i1 xi n i1 yi n n i1 xiyi n i1 xi 2 n n i1 x2 i 29 b n i1 xiyi n i1 xi n i1 x2 i n i1 yi n i1 xi 2 n n i1 x2 i 210 30 34 Por outro lado de 28 obtemos b n i1 yi a n i1 xi n 211 Observacao 1 Um ajuste de curvas e nao linear se a funcao fx α1 α2 αk dada pelos mınimos quadrados nao e uma reta Ao fazer um ajuste linear para relacionar duas variaveis nao sabemos a priori se a reta encontrada e o melhor modelo de ajuste A verificacao da existˆencia e do grau de relacao entre variaveis e o objeto de estudo da correlacao que a seguir definimos Definicao 3 Correlacao Linear A correlacao linear mede a relacao que existe en tre as variaveis xi yi de um conjunto de dados em torno de uma reta ajustada y ax b O coeficiente de correlacao de Pearson r e um mecanismo de medida da correlacao linear e e dado por r n i1 xiyi n i1 xi n i1 yi n n i1 x2 i n i1 xi2 n n i1 y2 i n i1 yi2 n 12 212 Verificase que r 1 1 Se r esta proximo de 1 ou 1 dizemos que a correlacao e mais forte Se r esta proximo de zero dizemos que a correlacao e fraca Se r 1 ou r 1 entao a correlacao entre as variaveis e perfeita Se r 0 nao existe nenhuma correlacao Por ultimo o sinal de r indica o sinal do coeficiente angular da reta ajustada Exemplo 10 Considerandose os dados da tabela do Exemplo 7 sobre a idade t e o peso y dos atuns 31 35 unidade2 ti idade yi peso gr 2 068 3 091 4 10 5 12 6 138 7 148 8 169 9 18 10 23 Encontrar um ajuste linear dos dados ti yi mostrados na tabela anterior e calcular o coeficiente de correlacao linear entre a idade e o peso dos atuns Solucao De acordo com as equacoes 29 e 210 n 9 devemos agora calcular as somas de ti yi tiyi t2 i ti yi tiyi t2 i 2 068 136 4 3 091 273 9 4 10 4 16 5 12 6 25 6 138 828 36 7 148 1036 49 8 169 1352 64 9 18 162 81 10 23 23 100 9 i1 ti 54 9 i1 yi 1244 9 i1 tiyi 8545 9 i1 t2 i 384 32 36 Logo substituindose esses valores nas equacoes 29 e 210 temos a 541244 98545 542 9384 9729 130905 0074 b 854554 3841244 542 9384 0301 Portanto a equacao da melhor reta no sentido dos mınimos quadrados e dada por yt 0074t 0301 Esta equacao define uma reta que passa pelos seguintes pontos corrigidos ti yti 0074ti 3614 2 0449 3 0523 4 0597 5 0671 6 0745 7 0819 8 0893 9 0967 10 1041 Para calcular o coeficiente de correlacao dado por 212 devemos encontrar as somas de y2 i 9 i1 y2 i 0682 0912 1 122 1382 1482 1692 182 232 11875 Substituindo em 212 temos 33 37 unidade2 r 8545 541244 9 384 542 9 11875 12442 9 12 0138 Sendo r 0138 proximo de zero existe uma fraca correlacao entre a idade e o peso dos atuns Observacao 2 O metodo do ajuste linear tambem pode ser aplicado a outros modelos matematicos definidos por funcoes nao lineares isso desde que seja possıvel transformar aquelas funcoes em funcoes lineares atraves de uma mudanca de variavel adequada por exemplo modelos definidos por funcoes de tipo exponencial funcao potˆencia funcoes periodicas Na seguinte secao veremos alguns desses modelos 231 Ajuste Linear para o Modelo Exponencial Suponhamos que a formulacao de um modelo matematico e definido por meio de uma funcao de tipo exponencial Figura 210 yx β eαx β 0 213 Figura 210 Funcao de Tipo Exponencial Fazendo a mudanca de variavel z ln y com o objetivo de transformar a equacao que define o modelo 213 na forma de uma equacao de uma reta obtemos ao tomar logaritmos de ambos os lados de 213 34 38 zx ln y αx ln β 214 Desta forma podemos fazer um ajuste linear para o modelo exponencial pois e mais facil lidar com 214 do que com 213 Alem disso o estabelecimento da curva com dados empıricos e a analise dos desvios sao extremamente facilitados Portanto tomandose a α e b ln β a equacao da reta ajustada ou equacao auxiliar e z ax b Exemplo 11 O aumento de celulas cancerosas num tumor por unidade do tempo t supondo o tempo de duplicacao das celulas constante e dado atraves dos seguintes dados experimentais Tempo dias Numero de celulas miles 15 1778 25 2611 40 4642 50 6813 65 1211 Com estes dados determine a dependˆencia funcional do numero de celulas Nt do tumor em relacao ao tempo t mediante um ajuste linear Solucao Atraves do grafico de dispersao dos dados ti Ni i 1 2 3 4 5 mostrados na Figura 211 podemos ver que a forma da relacao funcional procurada Nt pode ser expressa por uma funcao do tipo exponencial Nt βeαt β 0 α 0 215 Assim a dependˆencia do numero de celulas com o tempo nao e linear ou seja a curva que modela o decaimento nao e uma reta Entao com os dados mostrados na tabela podemos fazer um ajuste linear para o modelo definido por uma funcao de tipo exponencial 35 39 unidade2 Figura 211 Grafico de Dispersao Utilizando a mudanca de variavel yt ln Nt obtemos em 215 a espressao linear nas novas variaveis y αt ln β Utilizando os dados da tabela obtemos os dados auxiliares ti Ni yi ln Ni t2 i tiyi 15 1778 0575 225 08625 25 2611 0959 625 23975 40 4642 1535 16 614 50 6813 1918 25 959 65 12110 2494 4225 16211 5 i1 ti 195 5 i1 yi 7481 5 i1 t2 i 9175 5 i1 tiyi 35201 Para calcular os parˆametros a e b empregamos as equacoes 29 e 210 36 40 a 5 i1 ti 5 i1 yi 5 5 i1 tiyi 5 i1 ti 2 5 5 i1 t2 i 1957481 535201 1952 59175 0383 b 5 i1 tiyi 5 i1 ti 5 i1 t2 i 5 i1 yi 5 i1 ti 2 5 5 i1 t2 i 35201195 91757481 1952 59175 000048 Portanto obtemos a equacao da reta ajustada reta auxiliar y ln N y 0383t 000048 Como a α e b ln β obtemos β eb e000048 09995 A funcao exponencial e Nt 0383e09995t t 0 Figura 212 Ajuste da reta y 0383t 000048 aos pontos t ln t 37 41 unidade2 Figura 213 Modelo Matematico do Numero de celulas na forma exponencial 232 Ajuste Linear de Modelos Geometricos Suponhamos que a formulacao do modelo matematico e definido atraves de um modelo de tipo geometrico isto e um modelo onde a funcao que define o problema e dado por uma funcao potˆencia Figura 214 yx α xβ α 0 e β 0 216 Neste caso a funcao e do tipo dado pela Observacao 2 logo o ajuste de parˆametros pode ser feito atraves de um ajuste linear Fazendo a mudanca de variavel Y ln y e X ln x 217 com o objetivo de transformar a equacao que define o modelo 216 na forma de uma equacao de uma reta obtemos ao tomar logaritmos de ambos os lados de 216 ln y ln α β ln x nas novas variaveis isto e Y a βX onde a ln α 218 38 42 Figura 214 Funcao Potˆencia Portanto tomando b β a equacao da reta ajustada ou equacao auxiliar e Y a bX 219 Exemplo 12 Com os dados do Exemplo 7 da relacao do peso gr e comprimento cm dos atuns determinar a dependˆencia funcional do peso dos atuns yx em relacao ao comprimento x mediante um ajuste linear Solucao Vimos que a relacao funcional que modela o problema e formulado pela funcao potˆencia dado em 11 isto e yx αxβ onde α e a taxa de metabolismo e β da informacao em termos matematicos da forma do atum Entao e possıvel fazer um ajuste linear o que a seguir faremos A reta ajustada dada por 219 e Y a bX onde devemos encontrar os parˆametros a e b por meio de un ajuste linear Formamos a seguinte tabela 39 43 unidade2 xi yi Xi ln xi Yi ln yi XiYi X2 i 1639 068 5099 0385 1963 25999 170 091 5135 0094 0482 26368 1761 10 5171 0 0 26739 1822 12 5205 0182 0947 27092 1883 138 5238 0322 1686 27436 1954 148 5275 0392 2067 27825 2032 169 5314 0524 2784 28238 210 18 5347 0587 3138 28590 2127 23 5359 0832 4438 28718 9 i1 Xi 47143 9 i1 Yi 236 9 i1 XiYi 12615 9 i1 X2 i 247005 Aplicando o metodo dos mınimos quadrados para estimar os parˆametros temos a 9 i1 Xi 9 i1 Yi 9 9 i1 XiYi 9 i1 Xi 2 9 9 i1 X2 i 47143236 912615 471432 9247005 3907 b 9 i1 XiYi 9 i1 Xi 9 i1 X2 i 9 i1 Yi 9 i1 Xi 2 9 9 i1 X2 i 1261547143 247005236 471432 9247005 b 202 Portanto Y 3907X 202 sendo a ln α temos que α ea e3907 49749 Assim obtemos y 49749x202 40 44 Figura 215 Ajuste geometrico para a relacao pesocomprimento dos atuns 24 Ajuste Quadratico Definicao 4 Ajuste Quadratico Sejam x y duas grandezas cujas medidas sao da das por 23 Um ajuste de curvas e denominado ajuste quadratico se a funcao que relaciona as grandezas e definido por f R4 R fx a b c a bx cx2 isto e um ajuste quadratico e definido pela equacao de uma parabola yx fx a b c a bx cx2 220 Aplicando o metodo dos mınimos quadrados determinamos os parˆametros a b e c mi nimizando a funcao Sa b c n i1 fx a b c yi2 n i1 a bx cx2 yi2 As condicoes necessarias de mınimo sao dadas pelas equacoes S a 0 S b 0 S c 0 41 45 unidade2 isto e n i1 yi na b n i1 xi c n i1 x2 i n i1 xiyi a n i1 xi b n i1 x2 i c n i1 x3 i n i1 x2 iyi a n i1 x2 i b n i1 x3 i c n i1 x4 i 221 Exemplo 13 Ajustar uma parabola de mınimos quadrados da forma yx a bx cx2 para os dados da tabela seguinte x 12 18 31 49 57 71 86 98 y 45 59 7 78 72 68 45 27 Solucao Devemos utilizar as equacoes 13 a seguinte tabela permite fazer isso xi yi x2 i x3 i x4 i xiyi x2 iyi 12 45 144 173 208 540 648 18 59 324 583 1049 1062 1912 31 70 961 2979 9235 2170 6727 49 78 2401 11765 57648 3822 18728 57 72 3249 18519 105558 4104 23393 71 68 5041 35791 254116 4828 34279 86 45 7396 63606 547012 3870 33282 98 27 9604 94119 922366 2646 25931 8 i1 xi 422 8 i1 yi 464 8 i1 x2 i 29120 8 i1 x3 i 227535 8 i1 x4 i 18 97192 8 i1 xiyi 23042 8 i1 x2 iyi 144900 Para n 8 as equacoes normais 13 sao 8a 422b 29120c 464 422a 29120b 227535c 23042 29120a 227535b 1897192c 144900 42 46 Resolvendo o sistema algebrico anterior obtemos a 2588 b 2065 c 02110 daı a parabola requerida pelo metodo dos mınimos quadrados tem a equacao y 2588 2065x 02110x2 43 47 unidade2 25 Atividades 1 Demonstre que as equacoes 29 e 210 tambem sao dadas da seguinte forma a n i1 xiyi n xy n i1 x2 i nx2 b y ax onde x n i1 xi n e y n i1 yi n 2 Aplicando o Metodo dos Mınimos Quadradosajuste uma reta ao seguinte con junto de dados A 1 1 3 2 4 4 6 4 8 5 9 7 11 8 14 9 3 Em cinco paıses da Europa foi encontrada uma relacao entre o conteudo de po eira de um elemento quımico no ar em gm3 e o numero de ausˆencias femininas em certas industrias Foram contadas somente ausˆencias de pelo menos sete dias e encontrados os seguintes dados Paıs gm3 Numero de ausˆencias por 1000 empregados Franca 7 19 Espanha 13 44 Italia 14 53 Alemania 17 61 Portugal 20 88 a Desenhe o grafico de dispersao dos dados da tabela b Representar o numero de ausˆencias versus o conteudo de poeira do elemento quımico c Estabelecer uma reta de regressao linear pelo metodo dos mınimos quadrados 4 Mostre que o ajuste de n pontos xi yi a uma reta passando pela origem y kx implica que k n i xiyi n i x2 i 44 48 5 Um grupo de pesquisadores obtem os seguintes dados experimentais depois de fazer algumas medicoes entre o peso gramas e a velocidade ms de um objeto A 2 3 3 4 5 6 6 5 9 7 12 8 Faca um ajuste linear dos dados obtidos obtenha e interprete o coeficiente de correlacao 6 A Tabela seguinte fornece os valores experimentais da pressao P de uma dada massa de gas correspondente a varios valores do volume V De acordo com princıpios termodinˆamicos existe entre as variaveis uma relacao PV β α onde α e β sao constantes a Encontre os valores de α e β aplique o metodo dos mınimos quadrados para ajustar os dados atraves de um modelo de ajuste linear geometrico b Escreva a equacao relacionando P e V c Estimar P quando v 1000 in3 Volume V in3 543 618 724 887 1186 1940 Pressao P lbin 612 495 376 284 192 101 7 A tabela seguinte da informacao do censo de uma populacao em milhoes de um certo paıs em relacao ao tempo anos Anos 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 Populacao 232 314 398 502 629 760 920 1057 1228 1317 1511 a Faca um ajuste quadratico dos dados da tabela pelo metodo dos mınimos quadrados b Calcule os valores da regressao comumente chamados de valores de tendˆencia para os anos dados e comparar com os valores reais c Estime a populacao de 1945 d Estime a populacao de 1960 e compare com o valor real 178 9 45 unidade 49 unidade 3 EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS 51 unidade3 Equacoes de Diferencas Objetivo Analisar as caracterıstica variacionais de uma relacao funcional presentes na mo delagem e saber quando sequˆencias interpretam variaveis contınuas Solucionar uma equacao em diferencas e obter a solucao em forma explıcita Interpretar problemas concretos atraves de equacoes de diferencas 31 Variacoes Como vimos anteriormente no processo da modelagem matematica a obtencao de um modelo matematico que interpreta o problema a estudar constitui a parte mais complicada de dito processo As relacoes de medida que existem entre as variaveis ou grandezas observadas que define o problema que nao necessariamente sao de carater matematico sao a base para a obtencao da formulacao do modelo matematico Uma maneira de interpretar essas relacoes de medidas e em consequˆencia obter um modelo matematico e dada pela variacao ou taxa de variacao dessas variaveis Iniciamos esta secao atraves da definicao a seguir Definicao 5 Entendemos por variaveis quaisquer grandezas que se modificam du rante um processo dinˆamico O termo parˆametro se refere a quantidades que podem ou nao mudar durante o processo dinˆamico As constantes sao quantidades que nao variam durante o processo e assumem valores fixados a priori Lembramos da analise real o seguinte Definicao 6 Sequˆencia de numeros reais Uma sequˆencia de numeros reais e um conjunto de pontos denotado por xn definidos por uma funcao f X N R cujo domınio e um subconjunto X dos numeros naturais N tal que xn fxn Quando este conjunto e finito dizemos que a sequˆencia e finita Uma das caracterısticas importantes de uma sequˆencia e sua convergˆencia que defini mos a seguir Definicao 7 Convergˆencia de uma sequˆencia Dizemos que uma sequˆencia de numeros reais xn converge para um numero real x se xn pode se aproximar tanto quanto se queira de x quando n cresce isto e dado ε 0 arbitrariamente pequeno existe n0 N tal que 0 xn x ε quando n n0 47 52 Notacao Denotamos a convergˆencia de uma sequˆencia xn ao valor x por xn x ou x lim n xn onde a expressao x lim n xn indica que x e o limite da sequˆencia xn quando n se aproxima do infinito Definicao 8 Conjunto Discreto e Variavel discreta Uma variavel discreta e uma variavel que toma valores isolados ou seja nao admite valores intermediarios entre dois valores especıficos O conjunto formado por valores de uma variavel discreta e chamado de conjunto discreto Matematicamente podemos aprofundar essa definicao Dada uma sequˆencia finita de numeros reais x1 x2 x3 xn cada elemento da sequˆencia e chamado de valor dis creto e a variavel x recebe o nome de variavel discreta O conjunto finito x1 x2 x3 xn formado por valores de uma variavel discreta x e denominado conjunto discreto Em outras palavras um conjunto e discreto se existe uma correspondˆencia bijetiva entre os elementos do conjunto e um subconjunto dos numeros naturais 1 2 3 n Exemplo 14 Se desejamos encontrar o numero de peixes capturados em uma empresa pesqueira em cada mˆes n durante un ano devemos usar uma sequˆencia finita xn para representar o numero de peixes capturados no mˆes n isto e x1 x2 x3 x12 e o conjunto discreto e o numero de peixes x e a variavel discreta Definicao 9 Variavel Contınua Uma variavel contınua e aquela que pode assumir valores entre dois numeros Em termos matematicos podemos dar a seguinte interpretacao dada uma sequˆencia finita de numeros reais x1 x2 x3 xn uma variavel x e dita contınua se pode assu mir todos os valores reais intermediarios entre os valores discretos da sequˆencia Em outras palavras uma variavel que nao e contınua sera discreta Exemplo 15 Se y1 068 y2 091 y3 10 y9 23 sao os valores dados do peso dos atuns do Exemplo 7 qualquer valor da variavel peso y pode ser assumido no intervalo 068 23 logo a variavel peso dos atuns e contınua neste intervalo 48 53 unidade3 Na pratica sequˆencias finitas de numeros reais representam grandezas que estao en volvidas na modelagem matematica do problema e portanto constituem conjuntos discretos isto e o caso do numero de peixes do Exemplo 14 entao resulta importante saber quando tais sequˆencias interpretam variaveis contınuas Observacao 3 Uma sequˆencia finita xnk n1 e um conjunto discreto de numeros reais logo x e uma variavel discreta porem se conseguimos representar a variavel x ft por uma funcao definida para todo t R entao na verdade x e t serao variaveis contınuas Definicao 10 Variacao Seja f A R R y fx uma funcao que associa a cada variavel independente x a variavel dependente y A variacao de uma funcao f e definida como a medida do comportamento da funcao em relacao a um estagio da variavel independente x As variacoes sao de dois tipos variacoes discretas e variacoes contınuas A seguir es tudaremos cada tipo de variacao 311 Variacoes Discretas Seja D y1 y2 y3 yn um conjunto discreto tal que a variavel discreta y esta em relacao a grandeza x atraves da funcao f A R R isto e y fx x A subconjunto proprio de R Definicao 11 Variacao Discreta Uma variacao e discreta se os valores da ima gem da funcao f isto e y fx pertence ao conjunto discreto D Definicao 12 Variacao Total A variacao total ou as vezes chamada variacao de y fx D em relacao ao intervalo x1 x2 e definida por y y2 y1 fx2 fx1 322 y tambem e chamado de incremento de y Se y 0 entao a funcao f aumenta em tamanho se y 0 a funcao f experimenta um decrescimo do tamanho se y 0 a funcao permanece inalterada 49 54 Exemplo 16 Em um zoologico uma famılia de pinguins se constituıa de 43 pinguins no primeiro dia de setembro de 1980 e um total de 95 passaros no primeiro dia de setembro de 1981 Calcular a variacao total do numero de indivıduos de pinguins e passaros Solucao Denotando por N o numero de indıviduos de pinguins e passaros podemos considerar N como una funcao do tempo t dado em meses N ft Tomando t1 o primeiro dia de setembro de 1980 e t2 o primeiro dia de setembro de 1981 temos ft1 43 e ft2 95 logo a variacao total sera N ft2 ft1 9543 52 o que implica que o numero de indıviduos aumentou Observe que sendo os valores ft1 43 e ft2 95 inteiros a variavel N e discreta Definicao 13 Taxa Media de Variacao A taxa media de variacao ou variacao media de y fx D em relacao x e definida por y x fx2 fx1 x2 x1 x1 x2 323 x x2 x1 e a extensao do intervalo x1 x2 tambem chamado de incremento da variavel x A taxa de variacao media representa o incremento da funcao f em relacao ao incremento da variavel x Exemplo 17 No Exemplo 16 a taxa media de variacao do numero de indivıduos de pinguins e passaros e N t ft2 ft1 t2 t1 52 12 433 A populacao de pinguins e passaros entre setembro de 1980 a 1981 aumentou em media de 433 por mˆes Naturalmente isso indica que o numero de nascimentos foi maior em relacao ao numero de mortes Outro tipo de medida variacional discreta aparece em particular na dinˆamica popula cional que a seguir definimos Definicao 14 Taxa de Variacao Relativa A taxa de variacao relativa e a taxa de variacao de uma populacao N ft D em que a variacao depende somente do 50 55 unidade3 numero de indıviduos presentes inicialmente e nao de fatores que dependem do tempo Temos os seguintes casos i Taxa de Variacao Relativa Media que e definida por α N N1t N2 N1 N1t N1 ft1 N2 ft2 ii Taxa de Variacao Malthusiana proveniente de um crescimento exponencial em cada unidade de tempo α t Ntt Nt 1 Exemplo 18 A Tabela 31 fornece os censos demograficos do Brasil de 1950 a 2010 Neste caso a variavel temporal t e o numero de indivıduos assumem valores inteiros logo ambas as grandezas tempoindivıduos sao discretas ANOS POPULAC AO TAXAS DE CRESCIMENTO VARIAC AO TOTAL 1950 51944397 32 19047946 1960 70992343 28 22146694 1970 93139037 25 25863669 1980 119002706 19 27822769 1991 146825475 16 22973695 2000 169799170 11 20933524 2010 190732694 Tabela 31 Censos Demograficos do Brasil de 1950 a 2010 As taxas de crescimento dadas em percentagem entre dois censos consecutivos mos trados na tabela sao obtidas utilizandose a taxa de variacao malthusiana Com efeito tomandose como populacao inicial N0 51944397 e depois de dez anos 51 56 N10 70992343 entao a taxa de variacao relativa dada pela variacao malthusiana entre 1950 e 1960 e dada por α 10 70992343 51944397 1 0032 isto e aproximadamente 32 Se agora consideramos os censos de 1950 e 2010 α e dado por α 60 190732694 51944397 1 0022 isto e aproximadamente 22 E isso quer dizer que a populacao brasileira cresceu a uma taxa media de aproximadamente 22 ao ano nos 61 anos Exemplo 19 No Exemplo 16 a taxa de variacao media relativa ao numero de pinguins e passaros e α N N1t 52 4312 01 Neste caso a taxa de variacao populacional entre setembro de 1980 e 1981 aumentou em media 10 por mˆes Se tomamos t t2 t1 12 temos N2 Nt1t 95 e N1 Nt1 43 logo α 12 N2 N1 1 12 95 43 1 0068 entao isso quer dizer que a populacao cresceu em media 68 ao mˆes relativamente a proporcao existente em cada mˆes durante os 12 meses 312 Variacoes Contınuas Definicao 15 Variacao Contınua Uma variacao e contınua se os valores da ima gem da funcao f A R R isto e y fx e valido para todo numero real x A Observamos que uma variavel contınua pode assumir valores em um conjunto dis creto isso significa que podemos generalizar as definicoes de variacoes do caso dis creto para o caso de variacoes contınuas o que faremos a seguir Consideremos uma variavel y contınua ou discreta que esta em relacao com a variavel x atraves da funcao 52 57 unidade3 f A R R isto e y fx x A subconjunto R Definicao 16 Variacao Total A variacao total ou as vezes chamada variacao ab soluta de y fx em relacao ao intervalo x1 x2 e definida por y y2 y1 fx2 fx1 324 A variacao total e a diferenca da variavel dependente y em duas etapas da variavel independente x Definicao 17 Taxa Media de Variacao A taxa media de variacao ou variacao media de y fx em relacao x e definida por y x fx2 fx1 x2 x1 t1 t2 325 x x2 x1 e chamado o incremento da variavel x em relacao a dois estagios x1 x2 A taxa de variacao media representa o incremento da funcao f em relacao ao incre mento da variavel x a variacao media mostra quando variou y por unidade de x Considerandose de forma geral as variaveis x xh onde h x a definicao de taxa media de variacao tambem pode ser dada por y x fx h fx h 326 Geometricamente escalas graduadas a taxa media de variacao tem a seguinte inter pretacao Se consideramos o grafico da funcao f isto e Graf x y R2 y fx a taxa media de variacao tem um significado intuitivo Na Figura 316 a reta l e tracada ligando os dois pontos x fx x h fx h do grafico da funcao f A taxa media de variacao e interpretada como a inclinacao da reta secante l isto e o coeficiente angular da reta coincide com a taxa media de variacao tanα y x fx h fx h 327 E importante deixar claro que o coeficiente angular de uma reta so pode ser dito no caso de que as escalas dos eixos de coordenadas sao igualmente espacados isto e em escala graduada Ja no caso geral quer dizer que quando lidamos com funcoes so podemos dizer de taxa media de variacao ou simplesmente variacao conforme o caso 53 58 Figura 316 Taxa Media de Variacao y x fx h fx h Exemplo 20 Entendemos por metabolismo o conjunto de transformacoes que as subs tˆancias quımicas sofrem no interior dos organismos vivos Seja Mt a massa de um nutriente de um ser vivo como funcao do tempo t Estamos interessados na velocidade de uma reacao quımica A taxa media de variacao da funcao massa ira responder a esta preocupacao Admi tamos a hipotese de que o nutriente se desintegra quimicamente consequentemente a massa M decresce no tempo Se consideramos dois instantes consecutivos t1 t2 t t2 t1 representa o comprimento do intervalo t1 t2 e M ft2 ft1 o decrescimo da massa Logo a taxa media de variacao da massa por unidade de tempo e M t ft2 ft1 t2 t1 Este quociente e chamado a taxa media de reacao no intervalo de tempo de t1 a t2 Pelas hipoteses temos que Mt e negativo e podemos concluir que a reacao quımica nao tem que ter necessariamente uma taxa constante Definicao 18 Taxa de Variacao Relativa A taxa de variacao relativa e a taxa de variacao de uma funcao y fx por unidade de x relativa a etapa inicial y yi 1 yi yi xi fxi1 fxi xi1 xi 1 yi 328 54 59 unidade3 Muitas vezes nao e sempre satisfatorio considerarmos as variacoes simples media e relativa quando os dados envolvidos sao variaveis contınuas nesse sentido precisamos de uma medida de variacao que permita nos informar em tempo real o comportamento da funcao isso pode ser dado por uma variacao em tempo real a qual sera oposta a uma variacao media a variacao instantˆanea que a seguir definimos dara resposta a nossa inquietude Definicao 19 Taxa de Variacao Instantˆanea A taxa de variacao instantˆanea e a taxa de variacao de uma funcao y fx no ponto x dado por lim x0 y x lim h0 fx h fx h f x 329 desde que o limite existir A taxa de variacao instˆantanea f x e chamada de derivada da funcao f no ponto x ela e o numero real cujos valores aproximados sao os quocientes fx h fx h para valores muito pequenos de h A taxa de variacao instˆantanea e o limite das taxas medias de variacao Geometricamente a derivada f x e a inclinacao da reta tangente l ao grafico da funcao f no ponto x Figura 317 Interpretacao geometrica da derivada 55 60 O sinal e o valor da derivada f x indicam a tendˆencia da variacao de f a partir do ponto x Se f x 0 entao fx h fx para pequenos valores positivos de h Se fx 0 temse ao contrario fx h fx para h pequeno e positivo Se f x e um numero positivo grande entao f cresce rapidamente a partir de x E assim por diante A derivada e a nocao fundamental do Calculo Infinitesimal Sua descoberta ha trˆes seculos e meio teve uma grande repercussao e provocou um progresso extraor dinario na Ciˆencia e em toda a civilizacao a partir daquela epoca Exemplo 21 Seja st a posicao de uma partıcula no instante t que se move ao longo de uma linha reta a velocidade media do corpo no intervalo de tempo de t1 a t2 e definida por vm s t st2 st1 t2 t1 330 isto e a velocidade v vt como funcao do tempo e na verdade uma taxa de variacao Suponhamos que estamos interessados em medir a rapidez com que a velocidade au menta ou diminui para isso tomamos como referˆencia dois instantes consecutivos t1 e t2 o quociente v t vt2 vt1 t2 t1 331 e a variacao media da velocidade por unidade de tempo Esta quantidade e usual mente chamada a aceleracao media e e responsavel por medir a rapidez da velocidade Para 0 a aceleracao e positiva caso contrario para 0 a velocidade decresce e a aceleracao e negativa Em concordˆancia com as leis da cinematica o movimento de um corpo e um processo contınuo Um corpo nao pode nem acelerar nem desacelerar no tempo zero Conse quentemente nao ha dificuldade em chegarmos a nocao de uma velocidade instantˆanea no tempo t1 partindo de uma velocidade media com efeito tomando o limite em 330 st1 lim t2t1 s t lim t2t1 st2 st1 t2 t1 332 representa a velocidade instantˆanea no tempo t1 ela e definida como o limite da funcao posicao da partıcula 56 61 unidade3 Da mesma forma a aceleracao instantˆanea no tempo t1 e definida como segue vt1 lim t2t1 v t lim t2t1 vt2 vt1 t2 t1 333 quer dizer o limite da aceleracao media dado por 331 representa a aceleracao ins tantˆanea Modelos matematicos que relacionam as variaveis por meio de suas variacoes contınuas sao formulados por equacoes diferenciais veja Unidade IV Ja os modelos discretos utilizam as equacoes de diferencas como veremos a seguir 32 Equacoes de Diferencas A teoria de equacos de diferencas e rica em muitos ramos das ciˆencias naturais pelas diversas aplicacoes que ela possui Essas equacoes em geral descrevem fenˆomenos ao longo do tempo Essa evolucao do tempo e medida em intervalos iguais de modo a ser interpretado como uma variavel discreta Por exemplo se desejassemos calcular o numero de indivıduos numa populacao de seres vivos em um determinado tempo cada unidade de tempo podera ser considerado como dias ou se se estiver a medir o caudal de um rio o tempo pode ser considerado em semanas ou se pretendemos determinar o produto nacional bruto de uma regiao o tempo pode ser medido em anos etc Definicao 20 Equacao de Diferencas Uma equacao que relaciona os termos de uma sequˆencia y0 y1 y2 yn e chamada equacao de diferencas ou formula de re corrˆencia Se a sequˆencia e finita dizemos que a equacao e uma equacao de diferencas finitas De modo geral temos a seguinte definicao para o caso finito Seja n Z ou n N Uma equacao da forma Fn yn yn1 ynm 0 334 e designada por equacao de diferencas finitas EDF de ordem m n Por ordem entendemos a diferenca entre o maior e o menor dos ındices de y A equacao estabelece uma relacao entre yn e n yn1 ynm Para simplificar admite se que a equacao anterior se pode escrever na forma normal yn fn yn1 ynm 335 57 62 Exemplo 22 Um exemplo de equacao de diferencas e a seguinte n 2yn1 3yn n2 2 A equacao anterior implica que para cada valor de n entre zero e infinito o termo de ordem n 1 na sequˆencia multiplicado por n 2 e menos 3 vezes o termo de ordem n e igual a n2 2 Definicao 21 Solucao de uma Equacao de Diferencas Uma funcao ϕn e de signada uma solucao da EDF yn fn yn1 ynm se ϕn satisfaz ϕn fn ϕn1 ϕnm Uma solucao de uma equacao de diferencas finitas e uma expressao que fornece o valor de uma variavel num estagio n em funcao de n e dos m valores dos estagios iniciais chamados condicoes iniciais Observacao 4 Se uma equacao esta em forma normal entao em princıpio e facil achar as solucoes Considere 335 para os valores sucessivos n m m 1 m 2 ym fm ym1 y0 ym1 fm 1 ym y1 ym2 fm 2 ym1 y2 Notese que se y0 y1 ym1 sao dados arbitrariamente entao fm ym1 y0 nos fornece o valor de ym Sabendo este valor fm 1 ym y1 nos fornece o valor de ym1 e sabendo este fm 2 ym1 y2 nos fornece o valor de ym2 e assim por diante Este processo chamado de iteracao constroi uma solucao da equacao a partir dos m condicoes iniciais y0 y1 ym1 que a seguir definimos e aos quais podem ser atribuıdos valores arbitrarios Definicao 22 Problema de Valor Inicial Um problema de valor inicial PVI e definido pela seguinte expressao PV I yn fn yn1 ynm y0 y1 ym1 sao conhecidos 58 63 unidade3 Exemplo 23 Tomando a condicao inicial y0 0 uma solucao da equacao de primeira ordem do Exemplo 22 e dada pela funcao ϕn yn n Com efeito completamos a sequˆencia a partir da equacao de diferencas 2y1 3y0 2 y1 1 3y2 3y1 3 y2 2 4y3 3y2 6 y3 3 Deduzimos que a solucao obtida a partir da condicao inicial y0 0 e yn n e a obtencao da solucao atraves deste processo e chamado de metodo iterativo Exemplo 24 A funcao yn nn 1 2 e solucao do PVI yn yn1 n 1 y1 0 Com efeito e simples verificar que nn 1 2 n 1n 2 2 n 1 portanto yn nn 12 e solucao da equacao de diferencas dado Por outro lado y1 012 0 verificandose dessa forma a condicao inicial e portanto solucao do problema de valor inicial Observacao 5 Observe que uma vez dados os valores de y0 y1 ym1 os passos iterativos determinam os numeros sucessivos ym ym1 yn de maneira unica Uma outra maneira de expressar isso e a seguinte se u e v sao duas solucoes e se os primeiros m valores coincidem isto e u0 v0 u1 v1 um1 vm1 entao u v Esse resultado e conhecido como Teorema de Unicidade 321 Equacoes de Diferencas Lineares Definicao 23 Equacoes de Diferencas Lineares de Ordem m Uma equacao de diferenca linear de ordem m tem a seguinte forma yn an1yn1 an2yn2 an2ynm fn 59 64 onde ai1 i 1 2 m e fn sao funcoes em n Definicao 24 Equacao Linear de Ordem m com Coeficientes Constantes Uma equacao de diferenca linear de ordem m com coeficientes constantes tem a seguinte forma yn an1yn1 an2yn2 anmynm fn 336 onde ai1 i 1 2 m sao constantes e fn e uma funcao que depende de n No caso fn 0 a equacao 336 e chamada homogˆenea caso contrario e dita nao homogˆenea Observacao 6 Notese a convencao fn e uma expressao em n onde n varia discreta mente e fn e uma expressao em n onde n varia continuamente Assim se fn n2 para n 0 entao fn assume os valores 0 1 4 9 Nessa secao estudamse as EDF de ordem m com coeficientes constantes O metodo iterativo utilizado no ponto precedente nao funciona eficientemente para essas equacoes Exigese assim um metodo alternativo de resolucao Comecase por resolver a equacao 336 assumindo fn 0 Teorema 1 Solucao Geral A solucao geral da equacao homogˆenea yn an1yn1 an2yn2 anmynm 0 e da forma yn c1u1 c2u2 cmum 337 onde ci i 1 m sao constantes arbitrarias ui sao funcoes em n e u1 um e uma base de dimensao m do espaco das solucoes Qualquer solucao particular pode ser obtida a partir da equacao precedente mediante uma escolha apropriada de ci O exemplo seguinte mostra como uma solucao geral de uma equacao de ordem m de pende de m constantes arbitrarias 60 65 unidade3 Exemplo 25 A equacao de segunda ordem yn2 1 2yn yn1 tem como solucao geral yn 1 2 a1n 2nb onde a e b sao numeros quaisquer observe que esta expressao e uma solucao O metodo iterativo nao nos leva necessariamente a enxergar uma maneira compacta de expressar a solucao geral e em geral tal maneira compacta nao existe Para algu mas equacoes importantes porem a solucao geral pode ser expressa em forma util e explıcita Sao essas as equacoes que estudaremos neste curso Exemplo 26 Provar que a EDF de segunda ordem yn1 5yn 6yn1 0 tem como solucao geral yn c12n c23n Solucao Lembrando que uma base do espaco vectorial das solucoes de uma EDF de ordem 2 e um conjunto formado por duas solucoes linearmente independentes entao devemos provar que o conjunto 2n 3n e uma base do mencionado espaco de solucoes Nao e dificil verificar que 2n e 3n sao solucoes da equacao com efeito substituindose na equacao obtemos 2n1 52n 62n1 0 3n1 53n 63n1 0 assim 2n e 3n sao solucoes Essas solucoes sao linearmente independentes se e somente se α12n α23n 0 n α1 α2 0 Tomando agora n 0 e n 1 na equacao anterior obtemos respectivamente α1 α2 0 2α1 3α2 0 e resolvendo o sistema encontramos α1 0 e α2 0 portanto as solucoes sao linear mente independentes Pelo Teorema 1 provamos que a solucao geral e yn c12n c23n 61 66 Sabese ja verificar se determinado conjunto de solucoes forma uma base do espaco das solucoes de uma EDF linear homogˆenea de coeficientes constantes Importa agora estudar um metodo que permita obter a solucao geral da EDF Para isso se comeca por introduzir o operador de avanco forward F Definicao 25 Operador Avanco O operador de avanco F sobre a expressao yn definese como Fyn yn1 Da definicao temos que F 2yn FFyn Fyn1 yn2 Em geral para todo k m N F mynk ynkm Temos a convencao F 0yn yn O operador F aplicado a uma constante resulta na propria constante Fc c Com o operador de avanco podemos escrever a equacao linear homogˆenea de ordem m amymn am1ymn1 a0yn 0 338 na forma amF myn am1F m1yn a0F 0yn 0 ou amF m am1F m1 a0F 0yn 0 Logo pFyn 0 onde pF amF m am1F m1 a0F 0 Definimos o polinˆomio caracterıstico pr amrm am1rm1 a0 e a equacao 62 67 unidade3 caracterıstica associada a equacao homogˆenea pr 0 Estamos diante de uma equacao polinomial de grau m que tem m raızes As solucoes da equacao caracterıstica sao chamadas raızes caracterısticas da equacao e podem ser usadas para estabelecer a solucao geral da equacao que nos da todas as solucoes da equacao de diferencas EDF Linear de Primeira Ordem Teorema 2 EDF Linear de Primeira Ordem m 1 Considerese a EDF a1yn1 a0yn 0 ie a1F a0yn 0 ou ainda pFyn 0 Seja r a raiz do polinˆomio caracterıstico pr a1r a0 isto e r a0a1 Entao yn c1rn c1 R 339 e a solucao geral da EDF Demonstracao Atendendo ao Teorema 1 a demonstracao e simples e deixase como exercıcio Exemplo 27 Resolver a EDF de primeira ordem 2yn1 5yn 0 Solucao A equacao pode ser escrita da forma 2Fyn 5F 0yn 2F 5yn 0 cuja equacao caracterıstica associada a equacao homogˆenea e 2r 5 0 e raiz r 52 Portanto a solucao dada pelo Teorema 2 e yn c 5 2 n c R 63 68 EDF Linear de Segunda Ordem Teorema 3 EDF Linear de Segunda Ordem m 2 Considerese a EDF a2yn2 a1yn1 a0yn 0 ie a2F 2a1F a0yn 0 ou ainda pFyn 0 Sejam r1 e r2 as raızes do polinˆomio caracterıstico pr a2r2 a1r a0 Tˆemse os seguintes casos 1 Se r1 e r2 sao reais e distintas a solucao geral e yn c1rn 1 c2rn 2 c1 c2 R 340 2 Se r1 r2 r a solucao geral e yn c1rn c2nrn c1 c2 R 341 3 Se r1 a bi r2 a bi sao raızes complexas do polinˆomio caracterıstico a solucao geral e yn ρ c1 cosωn c2senωn 342 onde ρ a2 b2 e ω arccosaρ Demonstracao Deixase como exercıcio mostrar que as solucoes em cada caso satis fazem o Teorema 1 Exemplo 28 Resolver a EDF yn2 3yn1 2n 0 Solucao A equacao e uma equacao de diferencas finitas de segunda ordem ho mogˆenea linear e de coeficientes constantes A respectiva equacao caracterıstica e r2 3r 2 0 cujas solucoes sao r1 2 ou r 1 Portanto a solucao dada pelo Teorema 3 e yn c11n c22n c1 c22n c1 c2 R 64 69 unidade3 Exemplo 29 Resolver o problema de valor inicial PV I yn2 yn 0 y0 0 y1 1 Solucao A equacao caracterıstica e r2 1 0 cujas solucoes sao r1 i r i Logo a solucao dada pelo Teorema 3 e yn ρ c1 cosωn c2senωn c1 c2 R onde ρ a2 b2 1 1 e ω arccosaρ arccos0 π 2 Portanto yn c1 cosπ 2 n c2 senπ 2 n c1 c2 R Das condicoes iniciais temos y0 c1 cosπ 2 0 c2 senπ 2 0 c1 0 c1 0 Analogamente y1 c2 senπ 2 c2 1 c2 1 Portanto a solucao do problema de valor inicial e yn sennπ 2 322 Sistemas de Equacoes de Diferencas Na Subsecao 321 estudamos as equacoes de diferencas finitas lineares Agora esten deremos essas equacoes para sistemas de equacoes lineares Veremos a seguir que uma 65 70 equacao de segunda ordem e em geral de ordem m pode ser transformado num sistema linear de duas equacoes de primeira ordem e em geral num sistema de m equacoes de primeira ordem Vamos nos limitar ao caso de sistemas lineares de duas equacoes de primeira ordem com coeficientes constantes Iniciamos com a seguinte definicao Definicao 26 Um sistema de equacoes nas variaveis yn zn da forma yn1 a11yn a12zn zn1 a21yn a22zn 343 onde aij i j 1 2 sao constantes e chamado sistema de duas equacoes em diferencas finitas lineares Um sistema linear de duas equacoes de primeira ordem pode ser transformado em uma equacao linear de segunda ordem yn2 ayn1 byn 0 344 Com efeito da primeira e segunda equacao de 343 temos respectivamente yn2 a11yn1 a12zn1 a11yn1 a12a21yn a22zn a11 a22yn1 a12a21 a11a22yn Portanto yn2 a11 a22yn1 a11a22 a12a21yn 0 345 obtendo assim 344 onde a a11 a22 e b a12a21 a11a22 Reciprocamente a equacao linear de segunda ordem 344 pode ser transformada num sistema linear de duas equacoes de primeira ordem 343 considerandose a mudanca de variaveis zn yn1 yn1 zn zn1 azn byn 346 66 Definição 27 A matriz J beginpmatrix a11 a12 a21 a22 endpmatrix é denominada matriz Jacobianna do sistema 343 Os autovalores desta matriz são valores r tal que detJ rI 0 onde I é a matriz identidade isto é detJ rI beginvmatrix a11 r a12 a21 a22 r endvmatrix 0 iff r2 a11 a22r a11a22 a12a21 0 pr r2 a11 a22r a11a22 a12a21 é o polinômio característico de 345 alpha a11 a22 é o traço da matriz J beta a11a22 a12a21 é o determinante de J alpha2 4beta é o discriminante de J Exemplo 30 Desejamos encontrar a formulação de um modelo matemático que governa a dinâmica populacional dos atuns Sabendo que o atum é considerado jovem alevino até a idade de quatro anos em que inicia sua reprodução sexual e que o número de aleivos no ano n é proporcional ao número de adultos no ano n 1 formular o modelo matemático do problema e solucionálo 72 No inicio n 0 do processo teremos uma quantidade inicial de N0 adultos e J0 0 alevinos que em total sao y0 N0 atuns Passados dois anos n 1 havera ainda N1 N0 adultos e J1 kN0 alevinos quando no total havera y1 N0 kN0 atuns No tempo n 2 isto e transcorridos quatro anos os J1 kN0 alevinos ja sao adultos e se reproduzem logo ha N2 N0 kN0 y1 adultos e J2 kN0 kN1 alevinos que no total sao y2 N0 2kN0 Em n 3 isto e depois de seis anos teremos N3 N0 2kN0 y2 adultos e J3 kN2 kN0 k2N0 alevinos que no total sao y3 N0 3kN0 k2N0 atuns Em geral para qualquer ano n nos teremos Nn yn1 Nn1 Jn1 adultos e Jn kNn1 alevinos que no total somam yn Nn Jn Nn1 Jn1 kNn1 Entao podemos ver que a formula de recorrˆencia para a quantidade de atuns adultos e dada por Nn Nn1 Jn1 Nn1 kNn2 para n 2 351 Como yn Nn Jn temos Nn yn1 yn2 kyn3 para n 3 352 que pode ser reescrito na forma de uma equacao em diferencas lineares de segunda ordem com coeficientes constantes yn yn1 kyn2 para n 2 353 Acrescentando as condicoes inicias y0 N0 N0 y1 N1 N1 N0 obtemos o modelo matematico atraves do seguinte problema de valor inicial yn yn1 kyn2 y0 y1 N0 354 Tomando o valor numerico k 2 encontramos a solucao A equacao caracterıstica e r2 r 2 0 68 73 unidade3 cujas raızes sao r1 2 e r2 1 A solucao geral e yn c12n c21n Das condicoes iniciais temos N0 c1 c2 N0 2c1 c2 Resolvendo o sistema encontramos c1 2N0 3 c2 N0 3 obtendo yn N0 3 2n1 N0 3 1n 69 74 323 Atividades 1 Classifique o tipo de variavel a O numero de indıviduos de uma populacao animal ou vegetal b O raio de uma celula esferica c O numero de moleculas de uma substˆancia radioativa d A posicao de uma partıcula 2 A concentracao C em miligramas por mililitro de um remedio na corrente sanguınea de um cavalo e monitorada a intervalos de 20 minutos durante 2 horas com t dado em minutos conforme a tabela t 0 20 40 60 80 100 120 C 0 17 55 89 111 113 68 Encontre a taxa media de variacao nos intervalos a 0 20 b 60 80 3 Um grupo de excursionistas iniciou uma caminhada de 40 km as 9 horas O grupo alcancou um abrigo a 32 km de distˆancia do ponto de partida as 18 h30 m Aı eles passaram a noite Na manha seguinte as 8 horas o grupo continuou a caminhar e chegou ao seu objetivo as 11 h 30 m A velocidade media do segundo dia e maior ou menor do que a do primeiro 4 Suponhamos que uma populacao de 25000 indivıduos no instante t 0 cresce de acordo com a formula N 25000 45t2 onde o tempo t e medido em dias Encontrar a taxa media de crescimento nos seguintes intervalos de tempo a de t 0 a t 2 b de t 2 a t 10 c de t 0 a t 10 5 O tamanho de uma cultura de bacterias que cresce lentamente no tempo em horas e dado aproximadamente por Nt N0 52t 2t2 Calcular a taxa de variacao instantˆanea em t 6 horas 6 O modelo discreto de um modelo populacional de indivıduos e dado pela taxa de variacao Malthusiana proveniente de um crescimento exponencial α t Ntt Nt 1 a Faca t 1 e prove que Nt1 1 αNt b Considerando a equacao de diferencas de primeira ordem dado em a e uma populacao inicial de N0 N0 prove que o problema de valor inicial tem por solucao Nt 1 αtN0 70 75 unidade3 7 Encontrar a solucao geral da equacao yn2 yn 0 8 Considerese o seguinte modelo econˆomico multiplicadoracelerador simplificado Ct byt1 It Ii t G Ii t kCt Ct1 yt Ct It onde C e o consumo que depende do rendimento nacional y do perıodo anterior I e o investimento que e igual ao investimento induzido Ii mais gastos do estado G e k e o coeficiente de aceleracao A ultima equacao representa a condicao de equilıbrio do modelo econˆomico a Prove que yt b1 kyt1 bkyt2 G b Se b k 1 e G 0 prove que a solucao da equacao em diferencas de segunda ordem dado em a e yt c1 c2t c1 c2 constantes arbitrarias 9 Na data t 0 fazse um deposito de 12000 reais a taxa anual de 5 Se yt representa o capital obtido na data t a Prove que o modelo matematico e dado pelo problema de valor inicial yt 105yt1 y0 1200 b Prove que a solucao do problema de valor inicial e yt 12000105t c Prove que o valor do capital na data t 3 e 13892 71 77 unidade 4 EQUAÇÕES DE DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 79 unidade 41 Equacoes Diferenciais Ordinarias Objetivos Reconhecer e classificar uma equacao diferencial ordinaria e verificar se uma funcao dada e solucao da mesma Mostrar que uma mesma equacao diferencial modela problemas reais diferentes Para os nossos propositos a melhor maneira de entender equacoes diferenciais e fazendo um contraste com as equacoes de diferenca visto na secao anterior Vimos que ao usar equacoes de diferenca no estudo da dinˆamica populacional de indivıduos o tamanho das populacoes e calculado em pontos discretos no tempo Esses resultados tambem podem ser comparados em um instantante de tempo isto e observamos a situacao em pontos no tempo mas nao observamos o que acontece entre esses instantes Nos modelos de equacoes de diferenca que temos discutido ate agora foram tomadas no inıcio de cada perıodo intervalos de tempo Em contraste modelos de equacoes dife renciais se esforcam para observar a populacao em cada momento no tempo Resolver por exemplo uma equacao diferencial para o problema populacional implica encontrar uma funcao Xt para a populacao onde t pode ser qualquer valor nao necessariamente um numero inteiro Em nossa analogia a solucao de uma equacao diferencial e como assistir a um evento se desenrolar observando todas as etapas de sua evolucao Na pratica o processo de encontrar solucoes de equacoes diferenciais nao esta plena mente satisfeita Isto e devido a dificuldade de encontrar as formulas que realmente resolvem equacoes diferenciais e o caso do modelo LotkaVolterra da subsecao 513 O que normalmente acontece e que uma aproximacao numerica da solucao da equacao diferencial e encontrada Isso e feito rotineiramente convertendose a equacao diferen cial em uma equacao de diferenca equivalentepara poder resolver este ultimo Em vez de nos dar informacoes sobre o quanto muda alguma coisa ao longo de um perıodo de tempo integral equacoes diferenciais nos dao uma equacao para a deri vada de uma funcao de alguma quantidade como por exemplo o nıvel da populacao Felizmente para nos a derivada e uma nocao importante para a mudanca de uma quantidade por unidade de tempo Assim tanto quanto nos estamos preocupados nos podemos tratar a equacao para a derivada exatamente da mesma maneira que trata mos a equacao de diferenca para a variacao A unica alteracao e a de que no caso da equacao diferencial e uma boa ideia para usar passos de tempo pequenos em vez de o intervalo de tempos tipicamente utilizado em modelos de equacoes de diferencas 73 4 80 411 Definicoes Basicas As palavras diferencial e equacoes sugerem a resolucao de algum tipo de equacao envol vendo derivadas ou diferenciais Nesse sentido desejamos conhecer algumas definicoes e terminologias basicas sobre o assunto Este e o conteudo desta secao Definicao 28 Equacao Diferencial Ordinaria Uma Equacao Diferencial Ordinaria EDO e uma equacao que contem derivadas ou diferenciais de uma ou mais funcoes variaveis dependentes em relacao a uma variavel independente Exemplo 31 Seja f R R uma funcao onde y fx e a variavel dependente e x a variavel independente As equacoes x2 1 xydx x y3dy 0 e d3f dx3 ex xfx 3 sao exemplos de duas equacoes diferenciais ordinarias na funcao incognita y fx Definicao 29 Ordem de uma EDO A ordem de uma equacao diferencial ordinaria e definida como a ordem da maior derivada presente na equacao Exemplo 32 As equacoes diferenciais yx2 ln x 2dx x 2ydy 0 e d2f dx2 x2 ex df dx 2xfx sao exemplos de equacoes diferenciais de primeira e terceira ordem respectivamente Definicao 30 Forma Geral de uma EDO Dada a relacao F Rn2 R A forma geral de uma equacao diferencial ordinaria de ordem n para a funcao incognita y yx e representada pela igualdade F x y dy dx dny dxn 0 455 Quando a variavel independente x nao aparece explicitamente em 455 dizemos que a equacao diferencial F y dy dx dny dxn 0 e uma equacao autˆonoma 74 81 unidade4 Exemplo 33 As equacoes diferenciais d2y dx2 y2 dy dx 4 e dy dx ky3 y sao exemplos de equacoes diferenciais autˆonomas Definicao 31 EDO linear de ordem n Uma equacao diferencial ordinaria e cha mada linear de ordem n quando pode ser escrita na forma anxdny dxn an1xdn1y dxn1 a1x dy dx a0xy gx 456 onde aix i 0 1 2 n an 0 e gx sao funcoes conhecidas definidas em algum intervalo I Caso contrario dizemos que a equacao diferencial e nao linear Observacao 7 As equacoes diferencias ordinarias lineares de primeira ordem sao ca racterizadas pelas duas propriedades 1 A variavel dependente y e todas as suas derivadas sao do primeiro grau 2 Cada coeficiente depende apenas da variavel independente x Exemplo 34 A relacao F R4 R onde Fx1 x2 x3 x4 x4x1ln x2x3x3 1x2 2 cos 2x1 define a equacao diferencial de segunda ordem nao linear yxln yyx3y2 cos 2x atraves da forma geral Fx y y y 0 Se agora definimos Gx1 x2 x3 x4 x4 x1 x2 1x3 x3 1x2 cos 2x1 onde temos mudado na definicao de Fx1 x2 x3 x4 ln x2 por x2 1 e x2 2 por x2 a equacao diferencial definida pela forma geral Gx y y y 0 y xx2y x3y cos 2x e agora uma equacao linear Definicao 32 Solucao de uma EDO Toda funcao n vezes diferenciavel f I R definida no intervalo I que ao substituir numa equacao diferencial ordinaria de ordem n reduz a equacao a uma identidade e chamada de solucao da equacao diferencial no intervalo I Assim se y fx e solucao da equacao diferencial ordinaria Fx y y yn 0 entao f possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equacao isto e Fx fx f x f nx 0 x I 75 82 Exemplo 35 Para qualquer constante c a funcao f R definida por fx ce4x e solucao da equacao diferencial f x 4fx Com efeito f x 4ce4x 4fx Variando a constante c obteremos infinitas solucoes Em particular fazendo c 0 ob temos uma solucao constante fx 0 x Se c 0 fx 0 e fx 0 para c 0 ver Figura 418 Figura 418 Grafico das diversas solucoes fx ce4x dependendo do valor c Observacao 8 O estudo de equacoes diferenciais ordinarias e tambem semelhante ao estudo do calculo integral Ao calcular uma integral indefinida utilizamos uma unica constante de integracao De forma analoga quando queremos resolver uma equacao diferencial ordinaria por exemplo uma equacao de primeira ordem Fx y y 0 obtemos normalmente uma famılia ou conjunto de funcoes Gx y c 0 contendo um parˆametro arbitrario onde cada elemento do conjunto e uma solucao da equacao diferencial Assim temos a seguinte definicao 76 83 unidade4 Definicao 33 Solucao Geral e Solucao Particular de uma EDO Uma solucao geral de uma equacao diferencial ordinaria de ordem n Fx y y yn 0 obtida ao resolver essa equacao diferencial e uma famılia parametrica de solucoes Gx y c1 cn 0 que depende dos parˆametros c1 c2 cn Escolhendo valores especıficos fixados dos parˆametros obteremos uma solucao que sera chamada de solucao particular da equacao diferencial Exemplo 36 A funcao h R 1 R y hx cx 1 onde c e uma cons tante arbitraria e a solucao geral de x1y y De fato ao multiplicar a derivada y hx c x 12 por x 1 obtemos x 1y c x 1 y Portanto a EDO e verificada Escolhendo por exemplo c 1 obtemos uma solucao particular y 1x 1 x R 1 Ver Figura 419 Figura 419 Solucoes de fx c x 1 c R Solucao particular fx 1 x 1 77 84 412 Atividades 1 Classifique as seguintes equacoes diferenciais segundo a ordem e a linearidade Determine a funcao incognita e a variavel independente a x 3tx ln x b d4x dy4 dx dy 5 cos x c y sec y d y2d3x dy3 2x2 y 2 Verifique se a funcao dada e uma solucao para a equacao diferencial determine o intervalo onde esta definida a solucao a xt 2et tet b fx 1 x2 1 c y 5 tan 5x d x2 ct14c x 2x x 0 f x2xf 2x 0 y 25y2 x 2tx xx2 3 Dado FX X x1 x2 x3 x4 encontre a EDO definida por Fx y y y 0 a FX x3 5x4 ex2 2 FX x2x3 x2 4 b FX ln x2 x3 4x1x1 c Mostre que y1 x2 e y2 x3 sao ambas solucoes particulares da equacao x2y 4xy 6y 0 As funcoes c1y1 e c2y2 com c1 e c2 constantes arbitrarias sao tambem solucoes Prove que a solucao geral e c1y1 c2y2 4 Do Calculo determine quais funcoes trigonometricas satisfazem a equacao dife rencial de segunda ordem d2x dt2 x Verifique que combinacoes lineares dessas funcoes tambem satisfazem a equacao diferencial ie se x1t e x2t sao solucoes entao xt c1x1tc2x2t tambem e solucao Faca um grafico da solucao particular xt para c1 c2 1 5 Verifique que a famılia de funcoes yx 5 3x3 c c R e a solucao geral da equacao y 5x2 Faca o grafico da solucao geral para cada valor de c e a solucao particular yx 5 3x3 1 78 85 unidade4 42 Equacoes Diferenciais Ordinarias de 1a Ordem Como foi visto na secao anterior a forma geral de uma equacao diferencial ordinaria de primeira ordem e Fx y y 0 supondose y yx a funcao incognita Nesta secao estudaremos o caso particular em que Fx y y y fx y onde f R R e uma funcao conhecida definida na regiao retangular R R2 Entao a forma geral Fx y y 0 define a equacao diferencial y fx y 457 Definicao 34 Problema de Valor Inicial Seja f R R uma funcao definida na regiao retangular R x y R2 a x b c y d a b c d R dado x0 y0 R com yx0 y0 um Problema de Valor Inicial PVI para a equacao 457 e definido por PV I y fx y yx0 y0 A condicao yx0 y0 e chamada de condicao inicial do problema PVI Geometrica mente falando o problema de valor inicial acima consiste em procurar uma solucao y da equacao diferencial 457 definida em algum intervalo I tal que o grafico da solucao passe pelo ponto x0 y0 determinado a priori Solucionando a equacao diferencial 457 obteremos uma famılia de solucoes depen dendo de uma constante de integracao agora se acrecentarmos a condicao inicial yx0 y0 a equacao diferencial na verdade estaremos resolvendo o Problema de Valor Inicial PVI isso implica que procuramos uma solucao particular de 457 pas sando pelo ponto x0 y0 A interpretacao geometrica dita acima e a seguinte consideramos uma parametrizacao α I R2 αx x yx x I do grafico de yx onde αx0 x0 y0 x0 I logo o vetor tangente a curva αx e dado por αx 1 yx 1 fx y e no ponto x0 αx0 1 yx0 1 fx0 y0 Ver Figura 420 79 86 Figura 420 Interpretacao Geometrica do PVI Exemplo 37 Achar a solucao do problema de valor inicial PV I x 1y y y2 5 Do Exemplo 36 temos que a solucao da equacao diferencial e y cx 1 x R 1 logo procuramos de todas essas solucoes so aquelas que verificam a condicao inicial y2 5 isto e 5 y2 c2 1 c 3 5 c 15 Portanto a solucao procurada e yx 151 x x R 1 Definicao 35 Solucao Estacionaria Dizemos que y yx e uma solucao esta cionaria da equacao diferencial y fx y se fx y 0 x I Observacao 9 i As solucoes estacionarias sao aquelas solucoes cujo grafico tem por vetor tangente o vetor paralelo ao eixo horizontal x ii A solucao da equacao diferencial 457 sera formado pelas solucoes estacionarias e 80 87 unidade4 nao estacionarias Dado um problema de valor inicial estamos interessados em saber se existe uma solucao do problema e se essa solucao e unica o teorema seguinte da condicoes suficientes para garantir existˆencia e unicidade de solucoes Teorema 4 Existˆencia e Unicidade de Solucoes Seja f R R uma funcao definida no retˆangulo R x y R2 a x b c y d a b c d R que contem o ponto x0 y0 em seu interior Entao se f e fy sao contınuas em R existe um intervalo I ε x0 x0 ε e uma funcao y I R definida em I que satisfaz o problema de valor inicial PVI A demonstracao deste teorema pode ser encontrada em ARNOLD 1997 Uma inter pretacao geometrica do Teorema 4 e ilustrada na Figura 421 Figura 421 Interpretacao Geometrica do Teorema de Existˆencia e Unicidade Com as hipoteses do Teorema 4 fica garantida a existˆencia de uma funcao y definida no intervalo I ε x0 x0 ε onde o problema de valor inicial PVI admite uma unica solucao 81 88 Exemplo 38 Analisar a existˆencia e unicidade de solucoes do problema de valor inicial PV I x x12 1 x0 1 Solucao Nao e difıcil verificar que a funcao constante x R R xt 1 e solucao da equacao diferencial dada pelo problema de valor inicial PVI Sera que e a unica solucao do problema de valor inicial Vejamos para responder a esta questao utiliza mos o Teorema de Existˆencia e Unicidade A funcao ft x x121 e contınua em todo R2 e a derivada parcial xft x 1 2x12 em relacao a variavel dependente x nao e contınua em todo R2 entao xt 1 nao e necessariamente a unica solucao Mas se restringir o domınio R2 ao retˆangulo R R2 0 entao o Teorema de Existˆencia e Unicidade garante uma unica solucao do problema de valor inicial Se em 457 consideramos que a funcao fx y Fx depende apenas de x para alguma funcao Fx entao teremos a equacao diferencial dy dx Fx 458 logo o problema de valor inicial PVC neste caso pode ser resolvido utilizandose um processo inverso da diferenciacao isto e atraves do calculo de antiderivadas ou integracao indefinida dados pelo o Teorema Fundamental do Calculo METODO DE SOLUC AO Integracao Direta Multiplicando em 458 por dx de ambos os lados da igualdade e integrando obtemos ydx Fxdx dy Fydx dy Fxdx C Assim a solucao de 458 e yx Fxdx C 459 82 89 unidade4 Exemplo 39 Eficiˆencia de um funcionario A eficiˆencia F medida em percentagem de um trabalhador para executar uma de terminada tarefa varia com o tempo de trabalho realizado durante um dia 12 horas de trabalho se a eficiˆencia e suposta decrescente nas 6 primeiras horas de trabalho e crescente nas 6 horas restantes a Encontre a funcao eficiˆencia Ft em qualquer instante de tempo t b Supondo que depois de ter trabalhado 4 horas o trabalhador tem uma eficiˆencia de 80 determine Ft Solucao a Primeiro estabeleceremos a equacao diferencial ordinaria que modela o problema do enunciado obtemos o seguinte se t representa o numero de horas de trabalho para 0 t 6 a eficiˆencia Ft e decrescente entao dF dt 0 e para 6 t 12 dF dt 0 Entao dependendo das horas trabalhadas ambas as hipoteses podem ser resumidas numa unica dF dt 10t 6 t 0 12 Assim obtemos uma equacao diferencial na forma 458 para solucionar aplicamos o metodo de solucao acima integramos a equacao diferencial e obtemos Ft 10t 60dt 5t2 60t C 460 Para cada valor da constante C obtemos uma solucao Ft b Da solucao geral 460 encontramos a solucao particular utilizando a condicao ini cial F4 80 F4 542 604 C 80 C 160 80 240 Portanto Ft 5t2 60t 240 Lamentavelmente nem todo problema concreto pode ser modelado por uma mesma equacao diferencial que possa ser resolvido por uma simples integracao Cada metodo 83 90 de solucao depende da forma da equacao a estudar nesse sentido vamos apenas mos trar que uma mesma equacao diferencial pode ser utilizada para modelar problemas diferentes isso e o objetivo da proxima equacao diferencial a definir 421 Variaveis Separaveis Definicao 36 EDO em Variaveis Separaveis Dizemos que a equacao diferencial y fx y e uma equacao diferencial em variaveis separaveis se fx y FxGy para algumas funcoes F e G isto e se a equacao diferencial 457 tem a forma y FxGy 461 As equacoes de primeira ordem em variaveis separaveis aparecem com certa frequˆencia na modelagem matematica Nesta secao vamos estudar algums exemplos simples for mulados com esse tipo de equacoes Observacao 10 i E imediato que 461 se reduz a 458 quando Gy 1 ii As vezes uma equacao diferencial em variaveis separaveis tambem e dada na forma y FxGy METODO DE SOLUC AO Multiplicando em 461 por dx e passando a dividir Gy 0 obtemos ao integrar em x ydx Gyx Fxdx c Como a diferencial da funcao y e dy ydx a integral do lado esquerdo da igualdade anterior e feita em relacao a y depois de uma mudanca de variavel isto e dy Gy Fxdx c 462 Resolvendo essas integrais obtemos a solucao da equacao diferencial 461 84 91 unidade4 Exemplos de Aplicacao Apresentamos alguns exemplos de aplicacao e veremos que o modelo matematico de um problema concreto pode ser modelado por uma mesma equacao diferencial porem com interpretacao diferente das variaveis que o definem Exemplo 40 Decaimento Radioativo Suponhamos que a massa de uma substˆancia radioativa perda de atomos para formar atomos de outra substˆancia no instante t e dado atraves da funcao x R 0 R x xt Se consideramos o intervalo de tempo t th h R e evidente que a perda de massa do material radioativo a medida que o tempo passa implica que a funcao x xt e decrescente logo xt h xt entao se aumenta o tempo diminui a quantidade de massa ou seja temos uma relacao de proporcionalidade inversa assim tem sentido considerar xt h xt φhxt 463 para alguma funcao φ dependendo de h com φh 0 Logo a taxa de variacao de massa por unidade de tempo e dx dt lim h0 xt h xt h kxt sendo k φh h uma constante negativa independente de x Dessa forma obtemos a equacao diferencial que modela o problema de encontrar a massa xt de uma substˆancia radioativa dx dt kx 464 o que nos permite dizer que a variacao da massa por unidade de tempo e proporcional a quantidade de substˆancia presente em cada instante A solucao de 464 depois de separar as variaveis e xt Cekt C R 85 92 Supondo conhecida a quantidade inicial de massa x0 da substˆancia radioativa no ins tante t0 encontraremos a solucao particular que verifica a condicao inicial t0 x0 Com efeito o valor da constante C como e sabido e calculado de x0 Cekt0 isto e C x0ekt0 Portanto a solucao particular e xt x0ektt0 t t0 465 Esta formula pode ser usada na datacao de fosseis da seguinte maneira conhecendose a concentracao x0 de carbono14 quando do inıcio da formacao do fossil e sabendose a concentracao x1 atual no instante t1 no fossil podemos encontrar o instante t0 do inıcio da formacao do fossil Isso pode ser feito manipulandose diretamente a solucao particular no instante t1 x1 xt1 x0ekt1t0 Logo tomando logarıtmo natural obtemos t0 t1 1 k ln x0 x1 Portanto a idade do fossil sera t1 t0 1 k ln x1 x0 Por ultimo a meiavida de um elemento radioativo e definido como o tempo necessario para que a massa decaia a metade ie t12 t1 t0 tal que x1 x02 logo t12 1 k ln 2 Por exemplo a meiavida do Carbono14 e de aproximadamente t12 5730 anos aproximadamente 86 93 unidade4 Exemplo 41 Capitalizacao Contınua com Juros Fixos Uma quantia C0 e aplicada a juros fixos capitalizados continuamente Representando por ct o capital gerado a partir da quantia inicial depois de decorrido o tempo t vemos que ct e uma funcao crescente de t logo no intervalo de tempo t th h 0 temos que cth ct a diferenca cthct representa o lucro obtido quando se investiu a quantia ct durante o prazo h E claro que quando aumenta o capital ct aumentara o lucro obtido ct h ct logo existe uma relacao de proporcionalidade direta entre ambas as grandezas ct h ct φhct 466 onde o fator de proporcionalidade φ R 0 R 0 e uma funcao que depende do prazo h e nao de t com φh 0 A taxa de variacao do capital por unidade de tempo e definido por dc dt lim h0 ct h ct h φh h ct Tomandose r φh h como uma constante positiva independente de x obtemos a equacao dc dt rc 467 Portanto a taxa de variacao instantˆanea de um capital por unidade de tempo capita lizado continuamente a juros fixos e proporcional ao capital presente no instante t Entao em analogia com a equacao 464 concluımos que em ambos exemplos a mode lagem matematica do problema e estabelecida atraves do seguinte princıpio a variacao instantˆanea de uma variavel dependente y em relacao a uma variavel independente x e proporcional a y Como e conhecido a unica funcao que e caracterizada por verificar 464 ou 467 e dada por uma funcao de tipo exponencial ver LIMA 2006 Vemos que ambos os problemas tˆem caracterısticas diferentes mas podem ser modelados matematicamente por uma mesma equacao diferencial em variaveis separaveis De forma geral ambos os problemas sao modelados pelo seguinte problema de valor inicial 87 94 PV I y ky yx0 y0 que a seguir solucionamos Com efeito de 461 e de PVI temos Fx k e Gy y 0 De 462 obtemos dy y kdx c ln y kx c y ekxc y ecekx Fazendo C ec obtemos a solucao geral yx Cekx para C 0 Calculo de C Da condicao inicial temos ao substituir na solucao geral yx0 Cekx0 y0 entao C y0ekx0 Portanto a solucao do problema de valor inicial e yx y0ekxx0 x R 468 Observamos que se y0 0 entao a solucao do PVI e a solucao estacionaria constante y 0 Figura 422 Comportamento da solucao 468 88 95 unidade4 Exemplo 42 Lei de Resfriamento de Newton A Lei de resfriamento de Newton de um corpo diz a taxa de variacao da temperatura Tt de um corpo em resfriamento e proporcional a diferenca entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente Ta em cada instante t Temos entao o modelo matematico dado pelo princıpio de Newton dTt dt k Tt Ta 469 onde k e a constante de proporcionalidade chamada coeficiente de dissipacao termica Como por hipotese o corpo esta esfriando devemos ter que a temperatura do corpo T e maior que a temperatura do meio Ta T Ta logo k 0 Por outro lado as solucoes estacionarias ver Definicao 35 da equacao em variaveis separaveis 469 sao aquelas solucoes onde dT dt 0 Tt Ta 470 ou seja a temperatura ambiente Ta constitui a temperatura onde Tt nao mais varia isto e Ta e a temperatura de equilıbrio onde a temperatura do corpo Tt tende a atingila Identificando Ft k e GT T Ta e aplicando o metodo de solucao de uma equacao em variaveis separaveis obtemos apos a separacao das variaveis e integrar em 469 dT T Ta kdt c ln T Ta kt c T Ta ecekt fazendo C ec obtemos Tt Cekt Ta 471 Fixada a condicao inicial em cada exemplo mostrado acima teremos um problema de valor inicial para cada exemplo assim utilizando esta informacao dada pela condicao inicial encontramos o valor da constante de integracao C e ainda a solucao particular do problema de valor inicial 89 96 422 Atividades 1 Verifique se o Teorema 4 Teorema de Existˆencia e Unicidade garante unicidade de solucao x xt para a equacao diferencial x x2 25 passando pelo ponto a 1 3 b 1 5 2 Nos seguintes problemas indentifique o tipo de equacao diferencial e resolva o problema de valor inicial utilizando o metodo de separacao de variaveis para encontrar a solucao geral a dy dx 4y2 1 b t2dx dt x tx yπ4 1 x1 1 3 A eficiˆencia F medida em percentagem de um trabalhador para executar uma determinada tarefa varia com o tempo de trabalho realizado durante um dia 8 horas de trabalho Se a eficiˆencia e suposta crescente nas 4 primeiras horas de trabalho e decrescente nas 4 horas restantes a Encontre a funcao eficiˆencia Ft em qualquer instante de tempo t b Supondo que depois de ter trabalhado 2 horas o trabalhador tem uma eficiˆencia de 80 determine Ft 4 Sabendo que a meiavida do Carbono14 e de aproximadamente t12 5730 anos e que para um certo fossil x1 x0 22 qual a idade do fossil em consideracao 5 Sabese que um capital C0 aplicado a juros fixos capitalizados continuamente cresce a uma taxa proporcional ao capital presente em qualquer instante Se o capital inicial duplicou em 5 anos quando ela triplicara Quanto quadruplicara 6 Suponha que a temperatura de uma xıcara de cafe segue a lei de esfriamento de Newton Se a xıcara esta a uma temperatura de 950 C e um minuto depois a temperatura baixa para 700 C num quarto onde a temperatura e de 250 C deter minar o tempo que demorara a xıcara de cafe para atingir a temperatura de 300 C 7 Mostre que a meiavida de uma substˆancia radioativa no caso geral e t12 t1 t0 ln 2 lnx0x1 onde x0 xt0 x1 xt1 t0 t1 90 97 unidade4 43 Equacoes Diferenciais Ordinarias de 2a Ordem A forma geral de uma equacao geral de segunda ordem e Fx y y y 0 supondo y yx a funcao incognita Nesta secao vamos considerar certas equacoes de segunda ordem da forma Fx y y y y fx y y para alguma funcao f R R dada na regiao R R3 Assim a forma geral Fx y y y 0 define a equacao diferencial de segunda ordem d2y dx2 fx y y 472 Mais ainda o Problema de Valor Inicial para a equacao 472 e definido a seguir Definicao 37 Problema de Valor Inicial Seja f R R uma funcao definida em uma regiao R R3 e y I R uma funcao duas vezes diferenciavel no intervalo I dado x0 y0 z0 R x0 I onde y0 yx0 e z0 yx0 um Problema de Valor Inicial PVI para a equacao 472 e definido por PVI y fx y y yx0 y0 yx0 z0 As condicoes yx0 y0 yx0 z0 sao chamadas de condicoes iniciais do pro blema PVI As dificuldades na resolucao do PVI anterior estao na forma da funcao fx y y que aparece na equacao A seguir vamos considerar casos particulares que podem ser reduzidos a equacoes de primeira ordem Posteriormente veremos como resolver equacoes de segunda ordem lineares com coeficientes constantes 431 Reducao de Ordem Algumas equacoes de segunda ordem podem ser reduzidas a equacoes de primeira or dem atraves da introducao de novas variaveis dependentes e independentes Caso 1 fx y y fx y Se a equacao 472 tem a forma d2y dx2 fx y 91 98 sempre podemos considerar uma nova incognita definida por v dy dx e obter a equacao diferencial de primeira ordem em v dv dx fx v Se f fx v define uma equacao diferencial separavel poderemos resolver para v vx e em seguida integrar em relacao a y para acharmos y yx Observe que neste processo fazemos uma mudanca na variavel dependente de y para v Exemplo 43 Queda Livre com Amortecimento A segunda Lei de Newton para um corpo em movimento afirma o seguinte a forca resultante de um sistema em movimento e igual ao produto da massa do corpo pela aceleracao Um objeto de massa m se encontra em queda livre a uma altura ht da superfıcie Figura 423 Considerando a presenca de uma forca de resistˆencia do Figura 423 Corpo em queda livre com resistˆencia do ar fr ht e a altura em relacao ao solo v a velocidade No caso a laminar pouca velocidade Em b turbulento velocidade alta ar fr proporcional a velocidade dh dt isto e fr kdh dt e aplicando a segunda Lei de Newton chegamos a seguinte equacao diferencial de segunda ordem para h ht md2h dt2 mg kdh dt 473 92 99 unidade4 onde g e a gravidade e d2h dt2 e a aceleracao Introduzindo a variavel dependente v dh dt 474 conseguimos transformar a equacao de segunda ordem 473 a equacao de primeira ordem na funcao incognita v mdv dt mg kv 475 que e separavel Fazendo α km temos a equacao de primeira ordem dv dt g αv Separando as variaveis temos dv g αv dt Integrando obtemos 1 α ln g αv C t Logo g αv eαCeαt Omitindo o modulo g αv eαCeαt Resolvendo para v vt g α eαC α eαt Substituindo eαCα C2 diferente de zero e lembrando que α km obtemos vt gm k C2ektm Se permitimos que C2 0 obtemos a solucao estacionaria v gmk Voltando a 474 obtemos dh dt gm k C2ektm 93 100 Para obter ht integramos mais uma vez obtendo a solucao geral da equacao do corpo em queda livre com resistˆencia linear ht C1 C2m k ektm gm k t 476 onde C1 e C2 sao constantes reais arbitrarias Isso nos da a famılia de todas as solucoes possıveis Observacao 11 Diferentes modelagens costumam ser consideradas tais como resistˆencia do ar depen dendo linearmente ou quadraticamente da velocidade Na pratica a dependˆencia e mais complicada e a resistˆencia ainda depende da forma do objeto conforme estudado em aerodinˆamica A baixas velocidades a dependˆencia e essencialmente linear como e nosso caso ja em altas velocidades devido a turbulˆencia do ar proxima a superfıcie do objeto a resistˆencia se torna principalmente quadratica dando origem a outro tipo de equacao diferencial que nao apresentaremos neste texto O leitor interessado pode ver ROSA 2006 Caso 2 fx y y fy y Neste caso a substituicao e menos imediata embora a ideia seja a mesma que nao o caso anterior A equacao 472 e da forma d2y dx2 fy y 477 que nao depende explicitamente da variavel independente x Fazemos p dy dx mas consideramos p como uma funcao que depende de y Usando a regra da cadeia d2y dx2 dp dx dp dy dy dx pdp dy Substituindo na equacao 318 obtemos pdp dx fy p dp dy fy p p de onde novamente chegamos a uma equacao de primeira ordem se alem disso a 94 101 unidade4 equacao for separavel podera ser resolvida pelo metodo de separacao de variaveis Ob serve que neste processo mudamos tanto a variavel dependente de y para p como a variavel independente de x para y Assim procuramos obter uma solucao da forma p py Exemplo 44 Lancamento de um Projetil A magnitude da forca de atracao gravitacional entre dois corpos e dada por F GmM r2 onde G e a constante gravitacional m e M sao as massas dos dois corpos e r e a distˆancia entre os seus centros de massa Um projetil e lancado desde um lugar da terra desprezando a atracao que o projetil exerce sobre a terra e considerando h ht a altitude do projetil em relacao a superfıcie da terra temos pela segunda lei de Newton md2h dt2 G mM R h2 onde R e o raio da Terra Usando que para r R temos F mg onde g e a aceleracao da gravidade na superfıcie da Terra temos g GMR2 logo podemos escrever d2h dt2 gR2 R h2 Reduzindo a ordem tomando v dhdt obtemos dv dt gR2 R h2 Considerando v em funcao de h temos dv dh dv dt dt dh 1 v dv dt gR2 vR h2 que e uma equacao separavel Logo vdv gR2dh R h2 define v vh implicitamente em funcao de h Integrando obtemos v2 2gR2 R h C 95 102 A constante C e independente do tempo t mas depende de cada solucao Assumindo que o projetil seja lancado com velocidade inicial v0 a partir do solo temos que v v0 quando h 0 logo para a solucao correspondente C v2 0 2gR Temos assim a solucao particular da equacao para v em funcao de h v2 2gR2 R h v2 0 2gR Se a velocidade vertical for sempre positiva o projetil nao caira de volta para a Terra Como o primeiro termo acima e sempre positivo apesar de ser pequeno caso h seja grande podemos garantir a positividade de v tomando v0 2gR Como g 9 8 ms2 e R 6378 km temos aproximadamente a velocidade de escape v0 11 19 kms Na pratica porem a resistˆencia do ar a rotacao da Terra a inclinacao do foguete no momento do lancamento a longitude do ponto de lancamento e outros fatores mais sutis devem ser levados em consideracao O projetil tambem nao e lancado com velocidade inicial positiva Ele parte com velocidade inicial nula e e impulsionado acelerado atraves de um foquete perdendo massa combustıvel no caminho Figura 424 Lancamento de um projetil com ˆangulo de inclinacao α altura ht veloci dade inicial v0 velocidade v componentes horizontal e vertical vx e vh respectivamente 96 103 unidade4 432 Atividade 1 Verifique se as funcoes xt 2t2 ln t e yx 2πx10 sao solucoes das equacoes x 3x t 4x t2 e x2y 7xy 20y respectivamente 2 Prove que a funcao yx 9e2x 7e3x e solucao do problema de valor inicial y 5y 6y y0 2 y0 3 3 Identifique a seguinte equacao diferencial e resolva fazendo uma mudanca de variavel adequada y 2y x 4 Identifique a seguinte equacao diferencial e resolva fazendo uma mudanca de variavel adequada yy y2 0 5 Um objeto de massa m 1 se encontra em queda livre a uma altura ht da superfıcie Considerando a presenca de uma forca de resistˆencia do ar fr dh dt e gravidade g 9 8 ms2 a Encontre a equacao diferencial que modela o problema de queda com amorte cimento b Se a massa inicia o movimento a uma altura de h0 200 metros com uma velocidade inicial v0 9 8ms determine a funcao altura em cada instante de tempo t 6 Considere um corpo de massa m em queda livre com resistˆencia do ar dependendo quadraticamente da velocidade Se h ht denota a distˆancia do objeto ao solo g e a aceleracao da gravidade e k 0 e o coeficiente de resistˆencia Determine a equacao diferencial que modela o problema independentemente de o objeto estar descendo ou subindo 7 Um projetil e lancado desde um lugar da Terra com velocidade inicial de v0 300 kmhora a partir do solo desprezando a atracao que o projetil exerce sobre a Terra e considerando h ht a altitude do projetil em relacao a superfıcie da Terra Se a gravidade e g 9 8 ms2 e R 6378 km o raio da Terra encontrar a velocidade vh como funcao da altura h 97 104 433 Equacoes Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes Uma outra classe de equacoes de segunda ordem que podem ser resolvidas explicita mente e a de equacoes lineares com coeficientes constantes que passamos a estudar nesta secao Como foi visto na Definicao 31 uma equacao linear de segunda ordem e da forma a2xd2y dx2 a1xdy dx a0xy gx 478 onde aix i 0 1 2 com a2 0 e gx sao funcoes conhecidas definidas em algum intervalo I Dividindo por a2 e isolando d2y dx2 em 478 obtemos a expressao equivalente d2y dx2 hx qxy pxdy dx 479 onde qx a0x a2x px a1x a2x e hx gx a2x Podemos obter esta definicao uti lizando a forma geral de uma equacao diferencial de segunda ordem ver 472 Com efeito uma equacao diferencial de segunda ordem d2y dx2 f x y dy dx e dita linear em relacao a incognita y yx e sua derivada y quando o termo f x y dy dx e dado na forma f x y dy dx hx qxy pxdy dx onde p q e h sao funcoes conhecidas definidas em algum intervalo I obtendo assim a mesma equacao linear de segunda ordem nao homogˆenea 479 d2y dx2 pxdy dx qxy hx 480 Caso hx 0 para todo x R temos uma equacao linear de segunda ordem ho mogˆenea d2y dx2 pxdy dx qxy 0 481 Acontece que nao existe uma formula geral para determinar a solucao desta equacao 98 105 unidade4 481 Mesmo assim um caso particular de bastante interesse que pode ser resolvido de forma geral ocorre quando os coeficientes px e qx sao funcoes constantes no intervalo de definicao isto e d2y dx2 pdy dx qy hx 482 Neste caso dizemos que 482 e uma equacao linear de segunda ordem nao homogˆenea com coeficientes constantes Do mesmo modo se hx 0 temos uma equacao linear de segunda ordem homogˆenea com coeficientes constantes d2y dx2 pdy dx qy 0 483 Exemplo 45 Molas Vibrantes Figura 425 Tipos de movimento de uma mola Fonte wwwstewartcalculuscom Acesso em junho2012 Consideramos o movimento de um objeto de massa m preso a uma extremidade de uma mola de comprimento l que tem a sua outra extremidade fixa o movimento pode ser vertical como na Figura I ou horizontal sobre uma superfıcie plana como na Figura II Uma modelagem para a forca que atua no objeto e dada pela lei de Hooke que diz que a forca de restauracao fr no objeto e diretamente proporcional ao deslocamento x em relacao a posicao de repouso isto e se a mola e esticada ou comprimida unidades a partir do seu comprimento natural em seguida ela exerce uma forca que e proporcional a fr kx 484 99 106 onde k e uma constante positiva chamada o coeficiente de restauracao da mola o sinal negativo em 484 indica que a forca de restauracao se opoe ao movimento da mola como vemos a dependˆencia do deslocamento xt em relacao ao tempo e evi dente Estudaremos os seguintes casos Caso I Movimento Livre nao Amortecido Se ignorarmos a existˆencia de quaisquer outras forcas externas de resistˆencia ao movi mento devido a resistˆencia do ar ou atrito por exemplo entao pela Segunda Lei de Newton forca e igual a massa vezes aceleracao temos md2x dt2 kx ou md2x dt2 kx 0 485 Esta e uma equacao linear de segunda ordem homogˆenea com coeficientes constantes na funcao incognita xt Ver Figura 426 Podemos fazer ω2 km com o intuito de representar a constante positiva km obtemos a versao simplificada de 485 d2x dt2 ω2x 0 486 Figura 426 Diagrama do Movimento Livre nao Amortecido Fontewwwstewartcalculuscom Acesso em junho2012 100 107 unidade4 Caso II Movimento Amortecido A seguir consideramos o movimento de uma mola que esta sujeita a uma forca de atrito no caso da mola horizontal da Figura 425 II ou uma forca de amortecimento no caso em que temos deslocamentos verticais da mola atraves de um fluido como na Figura 427 III Temos como exemplos a forca de amortecimento fornecido por um amortecedor de choque num carro ou uma moto ou por um amortecedor em predios antissısmicos como na Figura 427 Assumimos que a forca de amortecimento fa e Figura 427 Tipos de Forcas de Amortecimento Fonte wwwnipoculturacombr Acesso em junho2012 proporcional a velocidade da massa e atua no sentido oposto ao movimento Isto foi confirmado pelo menos aproximadamente por alguns experimentos fısicos Assim fa β dx dt 487 onde β 0 e chamado a constante de amortecimento Neste caso a Segunda Lei de Newton implica md2x dt2 forca de restauracao forca de amortecimento kx β dx dt ou md2x dt2 β dx dt kx 0 488 101 108 o que e uma equacao diferencial de segunda ordem linear homogˆenea com coeficientes constantes que na verdade e obtida acrescentando o termo de amortecimento 487 a equacao 485 dependendo dos valores assumidos por m β k veremos que e possıvel caracterizar os tipos de solucao da equacao 488 Caso III Movimento Forcado Suponhamos que alem da forca de restauracao e a forca de amortecimento o mo vimento da mola e afetado por uma forca externa Ft Da Segunda Lei de Newton obtemos md2x dt2 forca de restauracao forca de amortecimento forca externa kx β dx dt Ft Assim em vez da equacao homogˆenea 488 o movimento da mola e agora regido pela seguinte equacao diferencial nao homogˆenea md2x dt2 β dx dt kx Ft 489 A forca externa Ft aparece como uma forca de perturbacao no sistema massamola alguns exemplos temos na Figura 428 Figura 428 Presenca da Forca Externa Ft Fonte wwwengrsjsuedu Acesso em junho2012 102 109 unidade4 Solucao da Equacao Diferencial Linear de Seguna Odem com Coeficientes Constantes Nosso estudo sera limitado a solucionar equacoes diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes isto e equacoes da forma 482 ou 483 Consideramos entao de forma geral a equacao na forma md2x dt2 β dx dt kx Ft 490 Observe que nesta forma estamos trocando yx pela funcao incognita x xt visto agora como uma funcao dependendo do tempo t isso tem sua justificativa no fato de que os exemplos mostrados correspondem a problemas relacionados com o tempo Definicao 38 Solucao Dizemos que x xt e solucao da equacao diferencial 335 se pode ser expressa pela soma xt xht xpt 491 onde xht e a solucao geral da equacao homogˆenea md2x dt2 β dx dt kx 0 492 e xpt e uma solucao particular da equacao nao homogˆenea 490 Calculo de xht Para solucionar a equacao homogˆenea 492 suponhamos que xt Cert onde C 0 e r R 493 e uma solucao desta equacao logo ela tem que verificar 492 e assim temos 0 mCert βCert kCert mr2CertβCrertkCert Certmr2 βr k Como Cert 0 temos a equacao algebrica mr2 βr k 0 494 103 110 cujas raızes sao r β β2 4mk 2m e r β β2 4mk 2m 495 Entao o fato de considerar solucoes da forma 493 implica encontrar as raızes do polinˆomio pr mr2 βr k de segundo grau na variavel r chamado de polinˆomio caracterıstico por essa razao a equacao 494 e chamada de equacao caracterıstica Como e conhecido as raızes de um polinˆomio de segunda ordem dependem do valor do discrimimante β2 4mk de ser maior menor ou igual a zero Vejamos cada caso a seguir incluindo ainda o caso β 0 1 Caso 0 Neste caso temos duas raızes reais distintas r e r Observe que 0 β2 4mk β2 logo β e ambas as raızes sao negativas r r 0 A solucao geral tem a forma xht C1ert C2ert 496 Como r 0 as solucoes decrescem exponencialmente para x 0 como era de se esperar Dependendo das constantes C1 e C2 a funcao xht pode nao trocar de sinal decrescendo diretamente para x 0 ou trocar de sinal apenas uma vez tendo um unico ponto crıtico x ht 0 Figura 429 Figura 429 Comportamento da solucao xh Caso 0 Fontewwwstewartcalculuscom Acesso em junho2012 2 Caso 0 Nesse caso temos duas raızes iguais r β2m A solucao geral e xht C1 C2teβ2mt 497 104 111 unidade4 Analisando essa funcao vemos que caso C2 0 a solucao decresce exponencialmente para a posicao x 0 sem xht trocar de sinal Caso C2 0 a funcao xht se anula em t C1C2 e tem um unico ponto crıtico t βC1 C2C2 Figura 430 Figura 430 Comportamento da solucao xh Caso 0Fontewwwstewartcalculuscom Acesso em junho2012 3 Caso 0 Nesse caso as raızes sao complexas r α2m iα onde α A solucao geral e xht eβ2mtC1 cos αt C2 sen αt 498 Vemos que esta funcao esta limitada pela funcao exponencial eβ2mt pois xht Ceβ2mt xh oscila indefinidamente mas com amplitude decrescendo exponencial mente Figura 431 Figura 431 Comportamento da solucao xh Caso 0 Fonte wwwstewartcalculuscom Acesso em junho2012 105 112 Mas caso contrario obtemos ao considerar β 0 obtendo a solucao geral periodica xht C1 cos αt C2 sen αt 499 Neste caso o sistema oscila indefinidamente Figura 432 Figura 432 Comportamento da solucao xh Caso 0 e β 0 Por outro lado a solucao particular xpt de 490 pode ser obtida pelo metodo dos coeficientes indeterminados ou pelo metodo da variacao dos parˆametros Ver ARNOLD 1997 Exemplo 46 Voltando ao Exemplo 45 do sistema massamola vamos interpretar em cada caso a solucao da equacao diferencial de segunda ordem obtida No Caso I do movimento livre nao amortecido de uma mola o problema foi modelado pela equacao homogˆenea de segunda ordem d2x dt2 ω2x 0 4100 A equacao caracterıstica e r2 ω2 0 cujas raızes complexas sao r iω r iω onde i 1 Pelo que foi visto isso corresponde ao caso em que 0 e β 0 mais exatamente a equacao 498 Logo 106 113 unidade4 a solucao de 4100 e xt C1 cos ωt C2 sen ωt onde ω2 km ou xt C1 cos k m t C2 sen k m t 4101 Entao neste caso as solucoes oscilam indefinidamente sem diminuir a amplitude A C2 1 C2 2 como era de se esperar pois nao existe forca de amortecimento este movimento e chamado de Movimento Harmˆonico Simples e ω km e a frequˆencia O comportamento da funcao e dado pela Figura 432 No Caso II do movimento amortecido dado por 488 e dizer md2x dt2 β dx dt kx 0 onde β 0 e a constante de amortecimento e k 0 e o coeficiente de restauracao a equacao caracterıstica neste caso e mr2 βr k 0 4102 cujas raızes sao dadas por 495 entao dependendo do valor do discriminante β2 4mk temos as seguintes possibilidades a 0 a solucao e dada por 496 isto e xt C1ert C2ert Como r e r sao menores que zero temos xt 0 quando t quer dizer que as solucoes decrescem exponencialmente para a posicao de equilıbrio xt 0 Neste caso o sistema nao oscila porque o coeficiente de amortecimento e relativamente muito forte ou o coeficiente de restauracao e relativamente muito fraco o movimento e chamado de Movimento Superamortecido Ver Figura 429 para o comportamento da solucao b 0 a solucao geral e dada por 341 isto e xt C1 C2teβ2mt 107 114 Se C2 0 a solucao decresce exponencialmente para a posicao de equilıbrio x 0 sem oscilar isto e xt nao troca de sinal Se C2 0 a funcao xt se anula em t C1C2 e tem um unico ponto crıtico t βC1 C2C2 Neste caso a variavel xt troca de sinal apenas uma vez o movimento recebe o nome de Movimento Criticamente Amortecido Ver Figura 430 c 0 Neste caso temos raızes complexas a solucao geral e dada por 498 a seguir xt eβ2mtC1 cos αt C2 sen αt Conforme foi visto neste caso o sistema oscila indefinidamente mas com amplitude decrescendo exponencialmente Este movimento e chamado de Movimento Suba mortecido o comportamento da solucao se mostra na Figura 432 Exemplo 47 Uma mola e esticada 20 centımetros por uma forca de 5 Newtons Um corpo de massa m 4 kg esta ligado a uma mola Em t 0 a massa e puxada para baixo a partir da sua posicao de equilıbrio a uma distˆancia de 50 centımetros e lancada com uma velocidade de queda de 1 metro por segundo Suponhamos que existe uma forca de amortecimento de 5 Newtons de magnitude quando a velocidade do corpo e 05 metros por segundo Encontrar um modelo matematico que representa o movimento do corpo Solucao Como existe forca de resistˆencia o problema sera modelado pela equacao 492 As unidades sao convertidas para as unidades de quilogramasmetro do sistema metrico A massa e m 4 A constante da mola k e encontrada pela lei de Hoke k 502 25 A constante de amortecimento e dada por β 505 10 Uma vez que nenhuma forca externa e mencionada podemos assumir que e zero As condicoes iniciais sao x0 05 e x0 1 O problema e modelado pelo problema de valor inicial 4xt 10yt 25y 0 x0 05 x0 1 A equacao caracterıstica e 4r2 10r 25 0 cujas raızes sao r 5 4 5 3i 4 Logo a solucao geral e xt e5t4 C1 cos 5 3 4 t C2sen 5 3 4 t 108 115 unidade4 Susbtituindo as condicoes iniciais encontramos que C1 05 e C2 13 3 30 Portanto a solucao e xt e5t4 05 cos 5 3 4 t 13 3 30 sen 5 3 4 t 109 116 434 Atividades 1 Verifique o princıpio da superposicao suponha que y1x e y2x sejam solucoes da equacao linear de segunda ordem homogˆenea d2y dx2 bxdy dx cxy 0 mostre que yx C1y1x C2y2x tambem e solucao desta equacao para quaisquer constantes C1 C2 reais 2 Encontre a solucao geral das seguintes equacoes lineares homogˆeneas de segunda ordem com coeficientes constantes a y 5y 6y 0 b y y y 0 c y 4y 4y 0 3 Verifique que a funcao ypx 6ex e uma solucao particular da equacao nao homogˆenea y 7y 10y 24ex Prove que a solucao da equacao e yx C1e2x C2e5x 6ex C1 C2 R 4 Uma mola de comprimento l 30 cm e esticada 2 cm quando se coloca uma massa de 1 kg no seu extremo inferior Suponhamos que a mola e deformada em 3 cm de sua posicao de equilıbrio e depois liberada com velocidade inicial de 10 cm min Suponha que nao existem forcas externas que perturbem o movimento Assuma que a aceleracao da gravidade e 10 a Encontre a equacao diferencial que modela o problema b Calcular a solucao da equacao diferencial do problema 5 Uma mola de comprimento l 1 5 m e esticada por uma massa de 0 5 Kg no seu extremo inferior Suponhamos que a mola e deformada pelo peso em 2 48 m ate a posicao de equilıbrio e depois liberada a partir do repouso de um ponto situado 2 m acima da posicao de equilıbrio Suponha que existe uma forca de resistˆencia numericamente igual a velocidade instantˆanea Assuma que a aceleracao da gravidade e de 9 8 a Encontre a equacao diferencial que modela o problema b Calcular a solucao da equacao diferencial do problema 6 Interprete fisicamente o problema de valor inicial 1 5 d2x dt2 1 2dx dt 2x 5sen 3t x0 1 2 x0 0 110 unidade 117 unidade 5 APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 119 unidade 5 Aplicacoes de Equacoes Diferenciais Ordinarias Objetivos Estabelecer a importˆancia das Equacoes Diferenciais Ordinarias na Modelagem Matematica da dinˆamica populacional Solucionar problemas concretos utilizando a nocao de taxa de variacao de gran dezas contınuas Reconhecer a aproximacao entre a Matematica e a Biologia atraves de aplicacao de modelos simples 51 Modelos de Dinˆamica Populacional Entendemos por dinˆamica populacional a disciplina que estuda num curto ou largo prazo a variacao do tamanho de uma populacao de seres vivos bem como os processos biologicos e ambientais que influenciam essas mudancas O estudo da dinˆamica popula cional lida com a forma de como as populacoes sao afetados por diversos fatores taxas de nascimento e mortalidade pela imigracao e emigracao fatores de envelhecimento da populacao ou o declınio da populacao etc Dinˆamica populacional tem sido tradicionalmente o ramo dominante da Biologia Ma tematica que tem uma historia de mais de dois seculos embora mais recentemente no ˆambito da Biologia Matematica tem se expandido muito O primeiro princıpio da dinˆamica populacional e amplamente considerado como a lei exponencial de Malthus chamado O Modelo de Crescimento Malthusiano o qual afirma que a taxa de variacao de qualquer populacao e proporcional a populacao ja existente Apos esse perıodo ini cial a dinˆamica populacional foi dominada por estudos demograficos podendose citar entre eles o estudo de Francois Pierre Verhulst no inıcio do seculo XIX que refinou e ajustou o modelo demografico Malthusiano As equacoes de predador presa Lotka Volterra sao outro exemplo muito estudado e que apresentaremos na secao 513 Por ultimo podemos dizer que a dinˆamica populacional se sobrepoe com outras areas ativas de pesquisa em Biologia Matematica epidemiologia matematica o estudo de doencas infecciosas que afetam as populacoes Varios modelos de propagacao viral tˆem sido propostos e analisados e fornecem resultados importantes que podem ser aplica dos as decisoes de polıtica de saude Ver BATSCHELET 1978 Pretendemos estudar modelos formulados por poucas variaveis isto e modelos matematicos simples mode los determinısticos que sirvam de motivacao ao aluno em futuros estudos de fenˆomenos biologicos mais complexos que tˆem sua formulacao atraves de um grande numero de variaveis e parˆametros os chamados modelos realistas porem que representam uma 112 120 formulacao mais proxima da magnitude do problema 511 Modelo de Malthus A catastrofe malthusiana tem o nome do economista polıtico conservador e demografo Thomas Robert Malthus e da visao pessimista de crescimento da populacao exibido em seu Ensaio sobre o Princıpio da Populacao Malthus passou a afirmar que o cres cimento da populacao livre de alteracoes era um crescimento exponencial enquanto a producao de alimentos de acordo com seu argumento era de um crescimento linear Como a taxa de crescimento da populacao foi mais rapida do que a taxa de crescimento dos alimentos a partir de um certo tamanho de populacao Malthus previu que haveria escassez de alimentos e fome na metade do seculo XIX A grande fome prevista por Malthus nunca aconteceu mostrando que essas hipoteses eram simplistas e as vezes ate enganosas Se o crescimento ou decrescimento de uma populacao varia no tempo dizemos que o problema evolui no tempo Em nosso dia a dia e comum encontrar fenˆomenos que evo luem no tempo Alguns exemplos que podem comprovar esse fato sao a reproducao das bacterias juros simples juros compostos a taxa com que um determinado remedio e extraıdo do corpo de uma pessoa o crescimento da populacao etc E importante notar que o tempo t pode ser contınuo ou discreto por exemplo no caso dos juros simples ou compostos a variavel t pode ser de dias meses ou anos logo t e um numero inteiro positivo ja no crescimento da populacao o tempo e uma variavel pertencente aos reais positivos Desse modo esta evolucao pode ser descrita por equacoes diferenciais se o tempo e contınuo ou equacoes de diferencas se o tempo e medido em intervalos discretos Muitas especies nao tˆem um aumento contınuo de geracoes e o crescimento da po pulacao se da em passos discretos por exemplo elas se propagam em epocas deter minadas do ano Nesses casos o crescimento populacional pode ser descrito de uma maneira mais precisa por um modelo discreto em vez de contınuo Nesse trabalho ci taremos dois modelos a saber modelo populacional de Malthus e modelo populacional de Verhulst cada um com sua versao contınua O Modelo Contınuo de Malthus Representando por Nt o numero de indivıduos no tempo t de uma determinada po pulacao de seres vivos com uma populacao inicial de N0 indivıduos temos que na 113 121 unidade5 verdade Nt e t assumem somente valores inteiros sendo assim N uma funcao dis creta da variavel temporal t Ver subsecao 311 No entanto quando o numero de indivıduos e o tempo sao suficientemente grandes temos que a funcao N pode ser apro ximada por uma funcao contınua que varia continuamente no tempo para t variando tambem continuamente no conjunto de numeros reais A hipotese de crescimento expo nencial implica que em termos de equacoes diferenciais o modelo contınuo de Malthus e o seguinte dN dt kNt N0 N0 5103 onde k n m e a constante de proporcionalidade chamada a taxa de crescimento especıfico da populacao Nt n e a taxa de natalidade e m a taxa de mortalidade su postas constantes Como e sabido dependendo de n ser maior ou menor do que m teremos respectivamente um crescimento ou decrescimento de tipo exponencial Ver Figura 533 Figura 533 Modelo Contınuo de Malthus Por outro lado se At representa a quantidade total de alimentos no instante t a hipotese de crescimento linear para a producao de alimentos e interpretada atraves da equacao diferencial ordinaria dA dt rA0 A0 A0 5104 114 122 onde r e a constante de proporcionalidade que mede o crescimento da producao dos alimentos e A0 e a quantidade inicial dos alimentos Como foi visto na secao 421 as solucoes dos problemas de valores iniciais 5103 e 5104 sao dadas respectivamente por Nt N0ekt 5105 At A01 rt 5106 Assim a partir de uma populacao inicial N0 Nt At com k 0 em outras pa lavras Malthus afirmou que a capacidade de reproducao das pessoas e maior do que a capacidade da Terra de produzir mecanismos para sua subsistˆencia a populacao au menta a uma razao geometrica e os mecanismos de subsistˆencia a uma razao aritmetica A solucao de ambas equacoes acima leva a entender que a quantidade de alimentos por pessoa e dada pela funcao αt At Nt A01 rt N0ekt α01 rtekt α0 A0 N0 Como foi visto na subsecao 311 a solucao no caso do modelo discreto de Malthus para uma populacao inical de N0 ver exercicio 6 Actividade 323 e Nt N01 αt onde α representa a taxa de variacao media relativa ou taxa de variacao malthusiana Na sua forma exponencial a ultima igualdade pode ser escrita na forma Nt N0eln1αt 5107 Logo comparandose o modelo contınuo 5103 e o modelo discreto de Malthus atraves de suas solucoes 5105 e 5107 respectivamente ambos modelos irao fornecer a mesma solucao quando k ln1 α 5108 Exemplo 48 Considerandose o Exemplo 18 da subsecao 311 referente aos censos demograficos do Brasil do ano de 1950 a 2010 da Tabela 31 temos que α 22 115 123 unidade5 Portanto de 5108 temos k ln1 0022 ln1022 0021 Portanto considerandose a populacao de 1950 como a populacao inicial N0 51944397 o modelo discreto de Malthus e dado pela seguinte funcao Nt 51944397e0021t a qual fornece a populacao em milhoes de habitantes em cada ano t Para obter a solucao do modelo contınuo 5105 precisamos encontrar o valor de k Como temos um conjunto de dados ti N1 i 0 1 6 fornecidos pela Tabela 31 podemos estimar o valor de k fazendo um ajuste linear do modelo exponencial 5105 Ver subsecao 231 512 Modelo de Verhulst Pierre Francois Verhulst foi um matematico belga doutor em teoria dos numeros Verhulst propˆos em 1838 um modelo de crescimento populacional baseado nas ava liacoes estatısticas disponıveis na epoca O seu modelo complementa o modelo de crescimento exponencial dado por Malthus atraves da inclusao de fatores de inibicao do crescimento Em seu modelo tambem conhecido como modelo logıstico Verhulst considera que os recursos do meio sao limitados e a taxa de crescimento da populacao e proporcional a populacao em cada instante e nao constante como suposto no modelo Malthusiano o que impede o crescimento ilimitado da populacao como no modelo de Malthus crescimento exponencial No modelo de Verhulst uma populacao num de terminado meio atinge um limite maximo sustentavel que representa a capacidade de suporte do ambiente isto e expressado matematicamente como lim t Nt k 5109 onde Nt e a populacao de indivıduos no tempo t e k e a capacidade de suporte do meio a interpretacao de 5109 e que a populacao passado um tempo tende a se estabilizar devido a presenca dos fatores de inibicao Entao podemos dizer essencialmente que o modelo de Verhulst e uma reformulacao do modelo de Malthus isto e no modelo de Verhulst a taxa de variacao instantˆanea em cada instante de tempo t e proporcional a populacao Assim obtemos 116 124 dN dt PNN 5110 por PN denotamos o fator de proporcionalidade em cada tempo t dado como uma funcao P que depende do numero de indivıduos N Assim se a populacao inicial N for maior que a capacidade de suporte do meio k terıamos um declınio da populacao logo dNdt 0 portanto de 5110 PN 0 De outro lado se a populacao inicial for menor que a capacidade de suporte do meio terıamos um aumento da populacao logo dNdt 0 e assim PN 0 Considerandose uma constante r 0 uma equacao que tem essas caracterısticas e PN r rN k 5111 Dessa forma em 5110 obtemos a equacao diferencial ordinaria de primeira ordem nao linear dN dt rN 1 N k 5112 Supondose conhecida uma populacao inicial de N0 N0 indivıduos o modelo classico de Verhulst tambem chamado modelo logıstico e definido pelo seguinte pro blema de valor incial dN dt rN 1 N k N0 N0 5113 Observamos que as solucoes estacionarias dNdt 0 da equacao diferencial dada em 5113 sao Nt 0 e Nt k A solucao particular do problema de valor ini cial 5113 e encontrada aplicandose o metodo de separacao de variaveis estudado na subsecao 421 Com efeito separando as variaveis e integrando obtemos dN N1 Nk rdt 5114 117 Como 1N1 Nk 1N 1k 1 Nk temos 1N 1k 1 Nk dN lnN ln1 Nk Logo em 5114 obtemos ln Nt 1 Ntk rt C Da condição inicial N0 N0 determinamos o valor da constante de integração C C ln N0 1 N0k ln kN0 k N0 Portanto ln kNt k Nt rt ln kN0 k N0 simplificando o logaritmo natural ln Nk N0 N0k N rt Tomando exponencial na igualdade anterior obtemos Nk N0 N0k N ert ou N k N N0 k N0 ert Finalmente obtemos Nt kN0 k N0e rt N0 5115 126 A funcao Nt encontrada acima e denominado funcao logıstica e seu grafico e cha mado curva logıstica Vejamos o comportamento qualitativo da funcao logıstica Se N0 k entao k N0ert N0 N0 logo N0 Nt k e Nt tende a k decrescendo A equacao 5113 neste caso mostra que dN dt 0 Se N0 k entao k N0ert N0 N0 logo N0 Nt k e Nt tende a k crescendo A equacao 5113 neste caso mostra que dN dt 0 Portanto em qualquer caso sempre temos lim t Nt k De 5113 temos que dN dt rN rN 2 k r k N k 2 2 rk 4 5116 isto e dN dt vista como funcao de N representa uma funcao quadratica cujo grafico e uma parabola com concavidade para abaixo e vertice k 2 rk 4 com raızes dadas pelas solucoes estacionarias N 0 e Nt N0 da equacao 5113 Ver Figura 534 Sendo N t rN 1 2N k 5117 e r 0 temos que N t 0 se 0 Nt k 2 isso implica que dN dt e crescente se 0 Nt k 2 analogamente vemos que dN dt e decrescente se k 2 Nt k O valor maximo de dN dt em relacao a N e atingido em Nt k 2 ou seja o maximo valor de N acontecera quando a populacao de indivıduos for igual a metade da po pulacao limite k Podemos encontrar este valor t tm em que a populacao atinge a maxima variacao dN dt tm da seguinte forma 119 127 unidade5 Figura 534 Variacao de Nt Em 5115 temos ao igualar Nt k 2 k 2 kN0 k N0ert N0 de onde ertm k N0 N0 Tomando logarıtmo natural obtemos o valor de tm tm 1 r ln k N0 N0 5118 desde que k N0 Logo Ntm k 2 5119 120 128 Agora encontraremos o ponto de inflexao de Nt Em 5113 vemos que dN dt tm rk 2 1 k2 k rk 4 0 5120 De 5117 obtemos N tm rN 1 2k2 k 0 logo tm e um ponto de inflexao de Nt Finalizando a analise temos de 5118 se N0 k 2 entao tm 0 Por ultimo se k 2 N0 k nao existe ponto de inflexao pois neste caso ln k N0 N0 e negativo implicando de 5118 que tm tambem e negativo isso seria uma contradicao Figura 535 Curva logıstica 121 129 unidade5 Figura 536 Relacao Variacoes Logıstica e Malthus Exemplo 49 Estamos interessados em estudar a propagacao de uma doenca infecciosa numa populacao de indivıduos sensıveis A propagacao da doenca e dada atraves de contato fısico entre os membros da populacao procurase obter um modelo matematico do problema de propagacao da infeccao Solucao De inicio introduzimos uma hipoteses de simplificacao considerando que o processo de infeccao e originado por um unico infectante Atraves do contato entre os indivıduos a doenca se espalhara originando um aumento do numero de infectantes No inıcio e compreensıvel que o numero de infectantes aumentara lentamente depois o processo sera acelerado para finalmente estabilizarse quando a maior parte dos indivıduos es tiver infectada Outra hipoteses de simplificacao que consideramos e que um indivıduo que foi infec tado uma vez permanecera assim durante todo o processo e que nenhum indivıduo foi removido da populacao de infectados Definimos as seguintes variaveis xt e a funcao que representa o numero de indivıduos suscetıveis a doenca no instante t yt e a funcao que representa o numero de infectantes no instante t e n o numero 122 130 total da populacao na qual foi introduzido um infectante Logo em qualquer instante de tempo t temos x y n 1 5121 O estudo sera feito considerandose as variaveis x e y como variaveis contınuas As sim a taxa de variacao instantˆanea pela qual o numero de infectantes aumenta como sabemos e dado pela derivada dydx Quanto maior for o numero dos indivıduos in fectantes e suscetıveis presentes maior sera a frequˆencia em que ocorrerao contatos que levarao a infeccao E entao possıvel admitirmos que dydx seja proporcional a x e tambem a y Portanto o modelo matematico de nosso problema pode ser expresso pela equacao diferencial de primeira ordem dy dx kxy 5122 onde k e uma constante positiva chamada taxa especıfica de infeccao Em virtdude de 5121 a equacao tornase dy dx kyn 1 y 5123 Esta equacao e da forma 5112 e pode ser solucionada pela Formula 5115 junto com a condicao inicial y0 1 pois de inıcio existe um indivıduo infectado y n 1 1 nekn1t 5124 isso significa que com nossas hipoteses de simplificacao a propagacao da infeccao segue uma lei logıstica 123 131 unidade5 513 Modelo de Lotka Volterra Os modelos que temos discutido ate agora Malthus e Logıstica sao modelos de especies individuais Muitas das dinˆamicas mais interessantes no mundo biologico tˆem a ver com interacoes entre as especies Modelos matematicos que incorporam essas interacoes sao necessarias se esperamos simular essas dinˆamicas Um dos primeiros modelos de in corporar as interacoes entre predadores e presas foi proposto em 1925 pelo biofısico americano Alfred Lotka e o matematico italiano Vito Volterra Ao contrario dos mo delos malthusianos e Logıstica que vimos anteriormente o modelo de LotkaVolterra e baseado em um sistema de equacoes diferenciais O modelo de LotkaVolterra descreve as interacoes entre duas especies em um ecos sistema uma chamada de predador e a outra especie denominada presa Quando as especies interagem a dinˆamica populacional de cada especie e afetada Existem trˆes tipos principais de interacao i se a taxa de crescimento de uma populacao diminui e a outra aumenta as populacoes estao numa situacao presapredador ii se a taxa de crescimento de cada populacao diminui entao eles estao em competicao iii se a taxa de crescimento de cada populacao aumenta entao o processo e chamado de sim biose Uma vez que sao consideradas duas especies o modelo envolve duas equacoes diferenciais uma que descreve as mudancas da populacao de presas e a segunda que descreve as mudancas na populacao de predadores Se definimos as seguintes variaveis x xt como sendo a densidade da populacao de presas em um determinado tempo t e y yt representa a densidade populacional de predadores das presas no instante t entao o modelo matematico de LotkaVolterra e dx dt x a by dy dt y cx d 5125 5126 onde a b c e d sao constantes positivas As suposicoes do modelo sao as seguintes As presas na ausˆencia de qualquer predador y 0 crescem de uma forma exponencial sem barreiras modelo malthusiano este e o termo ax em 5125 O efeito da predacao e reduzir a taxa de crescimento da presa dxdt por habi tante por um termo proporcional as populacoes de presas e predadores este e o termo bxy Na ausˆencia de qualquer presa x 0 para o sustento do predador a taxa de mor talidade do predador dydt tem um decaimento exponencial isto e representado 124 132 pelo termo dy em 5126 A contribuicao da presa a taxa de crescimento dos predadores e dydt cxy isto e dydt e proporcional ao numero de presas disponıveis x assim como ao tamanho da populacao dos predadores y O termo xy pode ser modelado como representando o numero de encontros possıveis entre as duas especies bxy e re tirado da presa e cxy reverte para o predador Em resumo o modelo de interrelacao predadorpresa afirma que na ausˆencia de preda dores a densidade de populacao de presas aumenta exponencialmente isto e a variacao dxdt do numero de presas e proporcional ao numero de presas presente nesse instante modelo Malthusiano e que a taxa de variacao instantˆanea dos predadores dydt di minui diretamente proporcional ao numero de predadores no instante t quando nao existem presas isto e a morte de predadores e por falta de alimentos O sistema de equacoes diferenciais 5125 5126 e dito sistema de equacoes diferen ciais ordinarias nao linear ja que as equacoes contˆem o produto xy de duas funcoes desconhecidas xt e yt Nao existe nenhuma solucao explıcita das Equacoes dife renciais 5125 5126 Quando valores numericos ou graficos da solucao xt yt sao requeridos a solucao pode ser resolvida atraves de um computador empregando metodos de analise numerica Por sorte e possıvel fazer um analise qualitativa no plano de fase do comportamento das solucoes derivando uma relacao muito facil entre x e y que revelam algumas propriedades da solucao e isso e feito eliminandose a variavel independente t utilizandose a regra da cadeia dy dx dy dt dx dt donde obtemos a equacao autˆonoma ver Definicao 30 correspondente a 5125 e 5126 dy dx ycx d xa by 5127 Ja que um instante t especıfico a variavel y esta unicamente associada com x as sim podemos considerar y como funcao de x Em consequˆencia 5127 representa uma equacao diferencial nao linear para a funcao y que pode ser resolvida aplicando o metodo de separacao de variaveis introduzida na subsecao 421 Separando as variaveis temos a y b dy c d x dx 125 133 unidade5 integrando a y b dy c d x dx x 0 y 0 obtemos a ln y by cx d ln x K 5128 onde K e uma constante de integracao que e determinada impondo condicoes iniciais x0 y0 Como vemos nao e possıvel resolver esta equacao explicitamente com relacao a y ou a x Porem com ajuda da analise numerica e possıvel encontrarmos pares x y que satisfazem a equacao 5128 Em um sistema de coordenadas retan gulares os pontos x y representam uma curva fechada Com efeito definimos a funcao φx y cx d ln x by a ln y 5129 Essa funcao e da forma φx y gx hy onde gx cx d ln x hy by a ln y Resulta bem mais simples esbocar o grafico de funcoes da forma φx y gx hy pois basta visualizar o grafico de cada uma das funcoes gx e hy e combinalas de maneira apropriada isso devido a que os graficos de gx e hy sao parecidos pois as funcoes tˆem a mesma forma Vamos analisar a funcao gx a melhor forma e fazˆelo atraves de suas derivadas Temos gx c d x gx d x2 O unico ponto crıtico da funcao gxgx 0 e em x0 dc e este ponto crıtico e ponto de mınimo pois a concavidade dada por gx e sempre positiva O valor do mınimo e dado por 126 134 gx0 g d c d 1 ln d c que pode ser positivo ou negativo dependendo dos parˆametros c d Alem disso lim x0 gx e lim x gx Assim obtemos um esboco do grafico de gx Figura 537 Figura 537 Esboco dos graficos de gx e hy No esboco da funcao z φx y gx hy devemos juntar os graficos de gx e hy para isso observamos que cada corte paralelo ao eixo x equivale a manter o valor de y constante o que nos da o mesmo grafico de gx apenas transladado ver ticalmente pelo valor de hy Analogamente cada corte paralelo ao eixo y equivale a manter o valor de x constante obtendo assim o mesmo grafico de hy transladado verticalmente por gx O grafico de φx y possui um ponto de mınimo global em x0 y onde x0 dc e y0 ab Portanto as curvas de nıvel de φ φx y K constante sao curvas fechadas em torno desse ponto de mınimo por isso dc ab tambem e chamado de centro As curvas de nıvel estao ilustradas na Figura 538 127 135 unidade5 Figura 538 a Esboco da superfıcie φx y b Trajetorias xt yt Observamos que as curvas de nıvel da superfıcie φx y coincidem com as trajetorias do sistema O sentido antihorario das trajetorias pode ser deduzido a partir do campo de vetores tangentes V x y dxdt dydt x a by y cx d as trajetorias Com efeito se tomarmos y y0 ab e x x0 dc vemos que fx ab x a b a b 0 e gx ab a b cx d 0 Entao o campo de vetores tangente as trajetorias nos pontos x ab e V x a b 0 a b cx d o que indica que a direita do ponto x0 y0 as trajetorias crescem verticalmente Em nossa modelagem isso e representado como uma trajetoria com uma oscilacao no numero de indivıduos de cada especie Em um certo momento temos uma diminuicao na populacao de presas devido ao aumento de predadores em seguida uma diminuicao na populacao de predadores devido a diminuicao na populacao de presas depois um aumento na populacao de presas devido a diminuicao no numero de predadores e finalmente um aumento no numero de predadores devido ao aumento na populacao de presas 128 136 Exemplo 50 Em um ecossistema formado por coelhos e raposas temos os seguintes dados em ausˆencia de raposas os coelhos crescem de forma exponencial com uma taxa de crescimento de 1 coelho por unidade de tempo dias A taxa de crescimento dos coelhos tambem esta afetada por uma diminuicao dos coelhos dado em forma pro porcional ao produto de coelhos e raposas com constante de proporcionalidade 0 5 Em ausˆencia de coelhos a taxa de mortalidade das raposas e proporcional ao numero de raposas nesse instante com constante de proporcionalidade dado por 0 75 A con tribuicao dos coelhos a taxa de crescimento das raposas e aumentada por um termo proporcional ao produto de coelhos e raposas com constante de proporcionalidade 0 25 Faca uma modelagem da interrelacao de coelhos e raposas atraves das equacoes de LotkaVolterra Solucao Identificando as presas e predadores temos xt representa o numero de coelhos presas no instante t yt representa o numero de raposas predadores no instante t Do problema temos que quando y 0 a taxa de crescimento da populacao de coelhos e a 1 e a taxa de mortalidade da populacao de raposas e d 0 75 b 0 5 e c 0 25 sao as medidas do efeito de interacao entre os coelhos e raposas respectiva mente Entao o modelo de LotkaVolterra e dx dt x 0 5xy dy dt 0 25xy 0 75y 5130 5131 As trajetorias sao encontradas atraves de 5128 isto e ln y 0 5y 0 25x 0 75 ln x K 5132 Um ponto de mınimo global de φx y ln y 0 5y 0 25x 0 75 ln x e dado em x0 y0 dc ab isto e no ponto 0 75 0 25 1 0 5 3 2 onde φ3 2 0 287 A taxa intrınseca da populacao de coelhos e 1 x dx dt 1 0 5y e a taxa intrınseca da 129 137 unidade5 populacao de raposas e 1 y dy dt 0 25x0 75 Observamos que na ausˆencia de coelhos isto e x 0 a populacao de raposas y tende a diminuir ate ser zero o que implica que a populacao de coelhos tende a crescer O centro e x0 y0 3 2 e as trajetorias comportamse como elıpses para condicoes iniciais perto do centro A Figura 540 representa a variacao de coelhos e raposas em funcao do tempo ambas as funcoes sao periodicas no tempo t Se tivessemos a condicao inicial x0 40 e y0 20 entao substituindo na equacao 5132 obtemos o valor da constante k 14 238 Figura 539 Um retrato de fase do sistema 5130 e 5131 para diversas condicoes iniciais Fonte MURRAY 2000 Figura 540 Variacao da populacao de coelhos e raposas Fonte BOYCE W E DIPRIMA R C 2010 130 138 514 Atividades 1 Suponhamos que uma populacao de celulas cancerıgenas crescem de tal maneira que a taxa especıfica de crescimento 1 N dN dt permaneca constante Seja N1 o numero de celulas cancerıgenas no instante t1 Determinar N Nt 2 Uma quantidade de 435 trutas foram introduzidas em uma lagoa Dez anos de pois o produto da pesca comercial foi de 1234 000 libras Suponhamos que o peso de uma truta e de uma libra O crescimento da populacao foi tao rapida que e razoavel modelar o problema atraves do modelo de Malthus Encontrar um limite inferior para a taxa especıfica de crescimento k constante 3 O crescimento populacional de uma cidade e dado pelo modelo de Malthus 5103 para uma populacao inicial de N0 1 000 indivıduos e a quantidade de alimen tos At em toneladas da populacao em um ano t e dado por 5106 para uma quantidade incial de A0 100 000 toneladas de alimentos Se as taxas de crescimento especıfica da populacao e dos alimentos sao respectivamente k 1 e r 1 encontre a quantidade de suministros para cada pessoa depois de 10 anos 4 Uma doenca infecciosa se espalha numa populacao de indivıduos sensıveis A propagacao da doenca e dada atraves de contato fısico entre os membros da populacao originado por uma pessoa doente obter e solucionar o modelo ma tematico do problema de propagacao da infeccao sabendose que a taxa especıfica de infeccao e k 0 5 5 No problema anterior encontrar a populacao de indivıduos com a doenca sabendo se que a propagacao da infeccao e iniciada por trˆes pessoas e que a taxa especıfica de infeccao e k 1 6 O modelo matematico da dinˆamica de uma populacao de pumas e modelado pela equacao de Verhulst isto e a taxa de variacao xt de uma populacao de pumas xt em certa area e proporcional a x se x e pequeno isto e a populacao au menta mas proporcional a 1 xk se x e grande isto e a populacao diminui onde k e a capacidade maxima que uma populacao pode sustentar por um longo tempo num dado ambiente Dados estatısticos mostram que r 2 e k 127 Sabendose que no instante inicial a populacao de pumas era de 83 determinar 131 139 unidade5 a populacao de pumas em qualquer instante de tempo Prove que neste caso nao existe ponto de inflexao tm Se fosem introduzidos no ambiente 50 pumas qual e a previsao da populacao de pumas 7 Prove que a solucao x y do sistema de LotkaVolterra dado em forma implıcita pela equacao 5128 e dado por xdecxyaeby constante 8 Em um ecossistema formado por babuınos e leopardos temos os seguintes dados em ausˆencia de leopardos os babuınos crescem de forma exponencial com uma taxa de crescimento de 3 babuınos por unidade de tempo anos A taxa de cres cimento dos babuınos tambem esta afetada por uma diminuicao dos babuınos dada em forma proporcional ao produto de babuınos e leopardos com constante de proporcionalidade 2 Em ausˆencia de babuınos a taxa de mortalidade dos leo pardos e proporcional ao numero de leopardos nesse instante com constante de proporcionalidade dada por 3 A contribuicao dos babuınos a taxa de crescimento dos leopardos e aumentada por um termo proporcional ao produto de babuınos e leopardos com constante de proporcionalidade 2 Faca uma modelagem da interrelacao de babuınos e leopardos atraves das equacoes de LotkaVolterra 9 Duas especies de leoes e gazelas interagem em um ecossistema dado pelo modelo matematico de LotkaVolterra onde x e o numero de gazelas e y a populacao de leoes dx dt x 0 5xy dy dt 1 3xy y a Encontre a solucao implıcita 5128 e o centro do sistema do LotkaVolterra b Ache a taxa de variacao intrınseca da populacao de gazelas x para uma po pulacao de y 50 leoes interprete o resultado c Ache a taxa de variacao intrınseca da populacao de leoes y para uma po pulacao de x 30 gazelas interprete o resultado d Se as condicoes iniciais sao x0 300 e y0 30 encontre a solucao parti cular dado por 5128 132 141 61 Respostas das Atividades Atividade 114 1 5 41 metros 3 Retˆangulo de dimensoes 30 e 60 metros 4 a pv ct b r kls c F km1m2d2 5 Atividade 124 1 a yx 0025x3 x e o comprimento y o peso Modelo de tipo estatico b PESO 28544 96336 228352 446 133 142 c y1 446 e 1 e 3 x1 e3 1 e3 2 k 121 q 0 955 3 Sejam x xt y yt os lados maior e menor do retˆangulo respectivamente dx dt dy dt as velocidades dos lados A area do retˆangulo e fx y xy A velocidade de crescimento da producao de alcool e df dt f x dx dt f y dy dt ydx dt xdy dt Portanto df dt 30005 20004 23000 litrosano Atividade 25 2 A reta y 064x 055 3 Sejam x a quantidade do elemento quımico no ar y o numero de ausˆencias 5 11 xi 71 5 11 yi 265 5 11 xiyi 4244 5 11 x2 i 1103 y 5 074x 19 049 5 y 0473x 258 6 Tomando logaritmos em base decimal em PV β α obtemos Y a bX onde a lg β b α Obtemos as somas 6 x1 Xi 116953 6 x1 Yi 87975 6 x1 X2 i 230059 6 x1 XiYi 168543 a 42 b 14 a α 16 104 β 14 b PV 140 16 000 c P 251 lbin2 7 a Localizamos a origem x 0 com o ano medio 1900 e a cada uma unidade dos anos 1910 1920 1930 1940 1950 e 1890 1880 1870 1860 1850 correspondem os valores x1 1 x2 2 x3 3 x4 4 x5 5 and x7 1 x8 2 x9 3 x10 4 x11 5 respectivamente onde x6 0 Obtemos 11 i1 xi 0 11 i1 yi 8868 11 i1 x2 i 110 11 i1 x3 i 0 11 i1 x4 i 1958 134 143 11 i1 xiy1 14298 11 i1 x2 i yi 9209 e a equacao quadratica y 7664 1300x 03974x2 b Ano x1 5 1850 x2 4 1860 x3 3 1870 x4 2 1880 x5 1 1890 Valores de tendˆencia 216 310 412 522 640 Valor atual 232 314 398 502 629 Ano x6 0 1900 x7 1 1910 x8 2 1920 x9 3 1930 x10 4 1940 x11 5 1950 Valores de tendˆencia 766 900 1042 1192 1350 1516 Valor atual 760 920 1057 1228 1317 1511 c 1945 corresponde a x 45 para o qual y 7664 1300452 03974452 1432 d 1960 corresponde a x 6 para o qual y 7664 13006 0397462 1689 Isso nao concorda muito bem com o valor real 1789 Atividade 323 1 a Variavel discreta b Variavel contınua c Variavel discreta d Variavel contınua 2 a 085 miligramas por mililitro por cada 10 minutos b 11 miligramas por mililitro por cada 10 minutos 3 v1 33 km h1 v2 22 km h1 logo v1 v2 4 a N t 90 b N t 540 c N t 450 5 72 h1 6 Aplique o procedimento da equacao caracterıstica 135 144 7 yn c11n c2 Atividade 412 1 a Equacao linear na incognita x variavel independente t de segunda ordem b Equacao nao linear na incognita x variavel independente y de quarta ordem c Equacao nao linear na incognita y variavel independente x de segunda ordem d Equacao nao linear na incognita x variavel independente y de terceira ordem 2 a Nao e solucao b Se e solucao x R 1 c Se e solucao x π10 kπ5 k Z d Nao e solucao 3 a 5y y ey 0 b yy y2 0 c ln y y 4xx 0 4 As funcoes c1y1 e c2y2 sao solucoes 5 Solucao geral xt C1sent C2 cos t definida para t R com parˆametros C1 C2 R Atividade 422 1 a sim b nao 2 a y tan 4x 3π 4 b x e11t t 3 a Ft 40t 5t2 C b Ft 40t 5t2 20 4 2868 anos 5 Aproximadamente 79 anos 10 anos 6 A temperatura e dada pela funcao T 25 70e0442t t 5 97 minutos 136 145 Atividade 432 1 Ambas funcoes sao solucoes 2 Encontre y y e substitua na equacao logo verifique as condicoes iniciais 3 yx c1x3 c2 onde c1 e c2 sao constantes arbitrarias 4 y2 c1x c2 onde c1 e c2 sao constantes arbitrarias 5 a h g h b ht 209 8 9 8et 9 8t 6 mh mg kh2 7 vh2 19 663782 6378 h 35008 8 Atividade 434 1 Como y1t e y2t sao solucoes temos que eles verificam a equacao d2y1 dx2 bxdy1 dx cxy1 0 d2y2 dx2 bxdy2 dx cxy2 0 somando membro a membro vemos que yx C1y1x C2y2x verifica a equacao 2 Em cada caso encontre as raızes do polinˆomio caracterıstico a yx C1e2x C2e3x b yx ex2 C1 cos 32x C2sen 32x c yx e2x C1 C2x C1 C2 R 3 A solucao da equacao e procurada da forma yx yhx ypx onde yhx C1e2x C2e5x encontre as raızes do polinˆomio caracterıstico 4 a xt representa o deslocamento da massa e e definido como solucao do pro blema de valor inicial d2x dt2 kx x0 3 x0 10 b Da lei de Hooke temos 10 2k logo k 5 A solucao e xt 3 cos 5t 2 5sen 5t 137 146 5 xt representa o deslocamento da massa e e definido como solucao do problema de valor inicial 2md2x dt2 2dx dt 2kx 0 x0 2 x0 0 b A massa m 16 32 1 2 Kg Da lei de Hooke temos 0 59 8 k0 98 logo k 5 A solucao e xt et 2 cos 3t 2 3sen 3t 6 O problema de valor incial modela um problema vibratorio de movimento forcado amortecido a forca externa e Ft sen 3t massa m 15 kg atada a uma mola k 2 N m constante de amortecimento β 1 2 A massa parte de repouso x0 0 com 12 metro abaixo da posicao de equilıbrio com velocidade inicial Atividade 514 1 Nt N1ektt1 2 k 0 705 0 5 se t e dado em anos 3 0 05 toneladas por pessoa 4 2 1 et 5 4 1 e4t 3 6 xt 10541 44e2t 83 nao existe ponto de inflexao pois k2 x0 k No futuro os pumas morreriam ate chegar ao valor limite de k 127 7 8 Centro 32 32 9 a 3 2 b 26 c 9 d k 106 300 138 147 REFERˆENCIAS ARNOLD V I Ordinary Differential Equations 3rd ed New York Springer 1997 BASSANEZI R C Ensino e aprendizagem com Modelagem Matematica uma nova estrategia Sao Paulo Contexto 2011 BATSCHELET E Introducao a Matematica para biocientistas Sao Paulo Interciˆencia 1978 BOYCE W E DIPRIMA R C Equacoes diferenciais elementares e problemas de valor de contorno Rio de Janeiro LTC 2010 BURGHES D N BORRIE M S Modelling with differential equations Michigan Elis Horwood 1981 DA COSTA J F M CALDEIRA A D DOS SANTOS A P Modelagem em educacao matematica Colecao Tendˆencias em Educacao Matematica American Philosophical Society 1999 LIMA E L CARVALLO P C WAGNER E MORGADO A C A Matematica do Ensino Medio Volume 1 SBM Colecao do Professor de Matematica 2006 MURRAY J D Mathematical biology I An Introduction 3rd ed California Sprin ger 2000 ROSA M S R Equacoes diferenciais Rio de Janeiro IMUFRJ 2006 ZILL D G Equacoes diferenciais com aplicacoes em modelagem Sao Paulo Afi liada 2003 139