Resolução Numérica de Modelos Matemáticos

RESOLUÇÃO NUMÉRICA DOS MODELOS MATEMÁTICOS DEFINIÇÕES Resolução numérica é uma solução aproximada através de manipulação numérica de uma equação Logo A solução numérica é obtida através de uma série de testes e procedimentos numéricos e não da manipulação analítica da equação A solução é sempre aproximada portanto a A solução numérica e analítica são diferentes coincidindo apenas em um certo intervalo de tolerância b Várias soluções numéricas podem ser obtidas Os modelos matemáticos dão origem a sistemas de equações que precisam ser resolvidas para fins de projeto ou simulação de processos Quase sempre estes modelos não admitem solução analítica e portanto precisam ser resolvidos numericamente DEFINIÇÕES Métodos numéricos que veremos I Newton Raphson Utilizado para resolver equações algébricas nãolineares II Euler Utilizado para resolver EDOs III Runge Kutta Utilizado para resolver EDOs Temos ainda Eq Algébricas nãolineares Método de Monte Carlo Método da Bissecação Método da Regulafalsi Método da Substituição sucessiva EDOs Euler explícito Euler implícito RungeKutta EDPs Mét Volume fininito Mét Diferenças finitas Mét Elementos finitos MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Desenvolvido por Isaac Newton e Joseph Raphson cujo objetivo é determinar as raízes de uma função É um método iterativo tentativa e erro no qual desejase obter o valor da raíz na forma mais aproximada possível do valor real É necessário adotar um valor inicial chute para que a resposta seja obtida MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Equação da reta tangente 𝑦 𝑓 𝑥0 𝑓 𝑥0 𝑋 𝑋0 𝑦 𝑦 0 𝑎 𝑋 𝑋0 𝑎 𝑦 𝑦 0 𝑋 𝑋0 𝑎 𝑓𝑥 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 𝑦 𝑎 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Aplicação do método Para x1 temos y 0 0 𝑓 𝑥0 𝑓 𝑥0 𝑋1 𝑋0 𝑥1 𝑥0 𝑓 𝑥0 𝑓 𝑥0 Para x2 temos y 0 0 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥1 𝑋2 𝑋1 𝑥2 𝑥1 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥1 Forma geral 𝑥𝑛1 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛 Forma padrão 𝑓 𝑥 0 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 0 Erro 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑋𝑛1 𝑋𝑛 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Exemplo 1 Resolução analítica de uma equação de 2 grau Comparação com resolução numérica 𝑦 2𝑥2 4𝑥 6 𝑥 𝑏 2𝑎 𝑏2 4 𝑎 𝑐 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Exemplo 2 Encontre as raízes da função abaixo para um erro de 107 𝑦 𝑥3 3𝑥 1 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Exemplo 3 Encontre o volume específico do isobutano a T 408C e P 36 atm quando utilizada a equação de estado 𝑉 𝑅 𝑇 𝛽 𝑉 𝛾 𝑉2 𝜎 𝑉3 1 𝑃 𝛽 𝑅 𝑇 𝐵0 𝐴0 𝑅 𝐶 𝑇2 𝛾 𝑅 𝑇 𝐵0 𝑏 𝑎 𝐴0 𝑅 𝐵0 𝐶 𝑇2 𝜎 𝑅 𝐵0 𝑏 𝐶 𝑇2 𝐴0 166037 𝐵0 02354 𝑎 011171 𝑏 007697 𝑐 3𝑥106 𝑅 008206 𝑎𝑡𝑚 𝐿 𝑚𝑜𝑙 𝐾 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Exemplo 4 A capacidade calorífica do O2 na faixa de temperatura entre 298 1500 K apresenta a seguinte função 𝐶𝑝 716 103 𝑇 04 105 𝑇2 onde T está em K e Cp em calmolC Determine qual é a temperatura em que a Cp do O2 é 815 calmolC MÉTODO DE EULER Procedimento numérico de primeira ordem para resolver equações diferenciais ordinárias com um valor inicial dado Resolver uma EDO é encontrar sua função y Se a função for um tanto complexa a solução será baseada em aproximação numérica Encontrar uma aproximação numérica para uma EDO é encontrar os pontos x e y que estão próximos da solução real O método baseiase no conhecimento dos pontos iniciais da função x0 e y0 no qual o gráfico passa Com essas informações encontrase os próximos pontos x1 e y1 através de uma reta tangente aos pontos iniciais Os pontos x1 e y1 devem ser próximos aos pontos reais MÉTODO DE EULER Temos que 𝑦1 𝑦 0 𝑦 𝑋1 𝑋0 𝑎 𝑦1 𝑦 0 𝑋1 𝑋0 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 𝑦 𝑎 𝑦 𝑦1 𝑦 0 𝑋1 𝑋0 𝑦1 𝑦0 𝑦0 ℎ 𝑦2 𝑦1 𝑦1 ℎ 𝑦3 𝑦2 𝑦2 ℎ 𝑦𝑛1 𝑦𝑛 𝑦𝑥𝑛 ℎ h passo de tempo Yn ponto anterior Yn1 próximo ponto MÉTODO DE EULER As EDOs podem ser classificadas como PVI problema do valor inicial ou seja uma condição inicial deve ser especificada para cada derivada Forma padrão 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑓𝑦𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝑥 𝑦 MÉTODO DE EULER Exemplo 1 Resolva a seguinte EDO pelo método de Euler Utilize como dados iniciais x 0 e y 1 O valor do passo de tempo é de 01 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝑥 𝑦 Solução analítica da EDO 𝑦 3𝑒𝑥 2𝑥 2 MÉTODO DE EULER Exemplo 2 Resolva a seguinte EDO pelo método de Euler Utilize como dados iniciais x 05 e y 15 O valor do passo de tempo é de 04 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝑥 4𝑦 Solução analítica da EDO 𝑦 𝑥 2 0125 1016 𝑒4𝑥 MÉTODO DE EULER Exemplo 3 Um reator batelada isotérmico com volume constante de 1 L processa a seguinte reação elementar consecutiva A B C As constantes cinéticas da reação são K1 03 h¹ e K2 02 h¹ No início temse no reator apenas A a uma concentração de 12 molL O passo de tempo é 1 a Obtenha o modelo para a concentração dos reagentes e produtos b Resolva as EDOs graficamente pelo método de Euler Se possível compare com a solução analítica MÉTODO DE EULER Exemplo 4 Um reator CSTR isotérmico de volume constante V está processando a seguinte reação elementar A 2B C No inicio há no reator os reagentes A e B numa concentração CA0 e CB0 em proporção estequiométrica a Obtenha o modelo para a concentração dos reagentes e produtos b Resolva as EDOs graficamente pelo método de Euler para um passo de tempo de 05 V m³ k1 CA0 molL F Lmin 10 005 2 50 MÉTODO DE RUNGEKUTTA O método de RK generaliza os esquemas do método de Euler inserindo mais etapas de cálculos O método calcula uma solução aproximada Yi da solução exata Yxi Enquanto o método de Euler é de primeira ordem o método de RK é de 4ª ordem O método de Euler utiliza apenas uma reta tangente para prever o próximo ponto enquanto o método de RK utiliza quatro retas Por ser um método de 4ª ordem o método de RK é mais preciso MÉTODO DE RUNGEKUTTA 𝑘1 𝑓 𝑥𝑛 𝑦𝑛 ℎ 𝑦𝑛1 𝑦𝑛 1 6 𝑘1 2𝑘2 2𝑘3 𝑘4 𝑘2 𝑓 𝑥𝑛 ℎ 2 𝑦𝑛 𝑘1 2 ℎ 𝑘3 𝑓 𝑥𝑛 ℎ 2 𝑦𝑛 𝑘2 2 ℎ 𝑘4 𝑓 𝑥𝑛 ℎ 𝑦𝑛 𝑘3 MÉTODO DE RUNGEKUTTA Exemplo 1 Resolva a seguinte EDO pelo método de RK Utilize como dados iniciais x 0 e y 0 O valor do passo de tempo é de 01 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑦 Solução analítica da EDO 𝑦 𝑥 𝑒𝑥 1 MÉTODO DE RUNGE KUTTA Exemplo 2 Resolva a seguinte EDO pelo método de RK Utilize como dados iniciais x 0 e y 1 O valor do passo de tempo é de 001 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 𝑥 4𝑦 Solução analítica da EDO 𝑦 19 16 𝑒4𝑥 1 4 𝑥 3 16 MÉTODO DE RUNGE KUTTA Exemplo 3 Um reator batelada isotérmico com volume constante de 1 L processa a seguinte reação elementar consecutiva A B C As constantes cinéticas da reação são K1 03 h¹ e K2 02 h¹ No início temse no reator apenas A a uma concentração de 12 molL O passo de tempo é 1 a Obtenha o modelo para a concentração dos reagentes e produtos b Resolva as EDOs graficamente pelo método de RK Se possível compare com a solução analítica MÉTODO DE RUNGE KUTTA Exemplo 4 Um reator CSTR isotérmico de volume constante V está processando a seguinte reação elementar A 2B C No inicio há no reator os reagentes A e B numa concentração CA0 e CB0 em proporção estequiométrica a Obtenha o modelo para a concentração dos reagentes e produtos b Resolva as EDOs graficamente pelo método de RK V m³ k1 CA0 molL F Lmin 10 005 2 50