Superfícies Parametrizadas e Integrais de Superfície

Superfície parametrizadas e integrais de superfície Apresentação Nesta Unidade de Aprendizagem você vai conhecer as superfícies parametrizadas e as integrais de superfície enfocando o caso escalar ou seja as integrais de superfície de uma função fxyx Uma superfície parametrizada é uma superfície cujos pontos são descritos de forma onde as variáveis u v denominadas parâmetros variam numa região denominada domínio dos parâmetros Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir superfície parametrizada e integral de superfície Calcular os vetores tangentes e o vetor normal à superfície S Resolver problemas envolvendo integrais de superfície Desafio Luciano está estudando cálculo com seu colega Pablo pois nesta semana terão prova de integrais de superfície Começaram pelas expressões em que tinham mais dúvidas Luciano compreendeu que Φuv é a parametrização da superfície S mas não entendeu o significado de n uv Então questionou seu colega Escreva o que Pablo pode ter respondido Infográfico Acompanhe no infográfico como se define a função escalar das integrais de superfície Conteúdo do livro Acompanhe um trecho da obra Cálculo Volume 2 de Jon Rogawski que aborda as superfícies parametrizadas e as integrais de superfície Inicie sua leitura pelo item 174 Superfícies parametrizadas e integrais de superfície e vá até o final do Exemplo 6 R721c Rogawski Jon Cálculo recurso eletrônico Jon Rogawski tradução Claus Ivo Doering Dados eletrônicos Porto Alegre Bookman 2009 Editado também como livro impresso em 2009 ISBN 9788577804115 1 Cálculo 2 Matemática I Título CDU 517 Catalogação na publicação Renata de Souza Borges CRB10Prov02108 CAPÍTULO 17 Integrais de Linha e de Superfície 957 174 Superfícies parametrizadas e integrais de superfície Agora passamos a desenvolver o conceito de integral de superfície enfocando nesta se ção o caso escalar O primeiro passo é introduzir as superfícies parametrizadas que de sempenham um papel análogo ao das curvas parametrizadas nas integrais de linha Uma superfície parametrizada é uma superfície cujos pontos são descritos da forma onde as variáveis u v denominadas parâmetros variam numa região denominada domínio dos parâmetros Observe que são necessários dois parâmetros para parametri zar uma superfície porque uma superfície é bidimensional enquanto que é sufi ciente um parâmetro para parametrizar uma curva Vamos supor sempre que é continuamente diferenciável com o que queremos dizer que as funções xu v yu v e zu v têm derivadas parciais contínuas A Figura 1 mostra um esboço da superfície dada pela parametrização Essa superfície consiste em todos pontos x y z de tais que para u v em Domínio D dos parâmetros Φ x y z u Φu EXEMPLO 1 Parametrização de um cone Encontre uma parametrização da porção do cone de equação que fi ca acima ou abaixo do disco Especifi que o domínio da parametrização Solução Essa superfície é um cone cuja seção transversal horizontal à altura z u é o círculo de raio u Figura 2 Portanto as coordenadas de um ponto do cone à altura u são da forma u cos v u sen v u para algum ângulo v Assim o cone tem a parametrização Como estamos interessados na porção do cone em que a variável da altura u satisfaz A variável angular v varia no intervalo e portanto o domínio dos parâmetros é Nos cálculos costumam aparecer três parametrizações padrão Em primeiro lugar o cilindro de raio R dado por é convenientemente parametrizado em coorde nadas cilíndricas Figura 3 O cilindro consiste em todos pontos de coordenadas cilíndri cas portanto faz sentido parametrizar o cilindro usando e z como parâmetros com R fi xado FIGURA 1 A superfície paramétrica FIGURA 2 O cone 958 CÁLCULO Domínio A esfera de raio R centrada na origem pode ser parametrizada usando coordenadas esféricas com Figura 4 Os Pólos Norte e Sul correspondem a e com qualquer valor de a aplicação deixa de ser injetora nos pólos Conforme mostra a Figura 5 aplica cada segmento horizontal numa latitude um círculo paralelo ao Equador e cada segmento vertical num círculo longitudinal passando pelos Pólos Norte e Sul FIGURA 3 A parametrização de um cilindro por coordenadas cilíndricas é efetuada enrolando o retângulo em torno do cilindro Se necessário reveja as coordenadas cilíndricas e esféricas da Seção 137 Elas são muito usadas em contas com superfícies FIGURA 4 Coordenadas esféricas numa esfera de raio R FIGURA 5 A parametrização da esfera por coordenadas esféricas é efetuada enrolando o retângulo em torno da esfera As arestas superior e inferior do retângulo colapsam nos Pólos Norte e Sul CAPÍTULO 17 Integrais de Linha e de Superfície 959 Finalmente existe uma maneira simples de parametrizar o gráfi co de uma função z f x y Figura 6 Colocamos Nesse caso os parâmetros são x e y Curvas coordenadas vetores normais e o plano tangente Suponha que uma superfície tenha uma parametrização que é injetora num domínio Então cada ponto P de corresponde a um único par tal que e é útil pensar em como sendo as coordenadas de P determinadas pela parametrização Coordenadas desse tipo costumam ser denominadas coordenadas curvilíneas No plano uv temos um reticulado ou grade formado pelas famílias de retas paralelas aos eixos coordenados A parametrização leva as retas desse reticulado num sistema de curvas coordenadas na superfície Figura 7 A reta horizontal é levada na cur va a curva coordenada na direção u e a reta vertical é levada na curva a curva coordenada na direção v Φ 0 P Φu0 0 curva Φu curva Φu0 0 u0 u Por cada ponto de passam duas curvas coordenadas a saber a curva na direção u e a curva na direção v Os vetores tangentes dessas curvas coordenadas são Observe que esses vetores são tangentes à superfície em P porque são tangentes a cur vas coordenadas que estão em Figura 8 Denotemos Se esse produto vetorial for nãonulo então ele é normal perpendicular a Nesse caso e geram o plano tangente em P e nu v é um vetor normal ao plano tan gente Muitas vezes escrevemos n em vez de nu v ou nP mas fi ca entendido que FIGURA 6 A parametrização do gráfi co z f x y FIGURA 7 Reticulado de curvas coordenadas 960 CÁLCULO o vetor n varia de ponto a ponto na superfície Analogamente costumamos denotar os vetores tangentes por e Dizemos que a parametrização é regular em P se Observe que e n não precisam ser vetores unitários e que por tanto nossa notação aqui difere da utilizada nas Seções 144 145 e 172 em que T e n denotam vetores unitários u Φ P Φu0 Φu 0 u0 Tu n T 0 EXEMPLO 2 Considere a parametrização do cilindro a Descreva as curvas coordenadas b Calcule e c Encontre uma equação do plano tangente em Solução a As curvas coordenadas do cilindro por são Figura 9 b As derivadas parciais de fornecem os vetores tangentes em P Como mostra a Figura 9 é tangente à curva coordenada um círculo por P e aponta na direção da curva coordenada z a reta vertical por P O vetor normal é Observe que n é horizontal e aponta diretamente para fora do cilindro c Para O plano tangente por P tem vetor normal n e assim tem equação Em cada ponto de uma superfície o vetor normal aponta num dentre dois sentidos opostos Se trocarmos a parametrização pode mudar o comprimento de n bem como pode ser invertido seu sentido FIGURA 8 Os vetores e são tangentes às curvas coordenadas por FIGURA 9 As curvas coordenadas no cilindro P curva coordenada z curva coordenada LEMBRETE Uma equação do plano por com vetor normal n é CAPÍTULO 17 Integrais de Linha e de Superfície 961 Isso pode ser escrito como Pomo poderíamos ter antecipado o plano tangente é vertical já que z não aparece na equação EXEMPLO 3 Helicóide Descreva a superfície de parametrização a Use um sistema algébrico computacional para esboçar b Calcule nu v em Solução Para cada valor fi xado u a a curva é uma hélice de raio a Portanto quando u varia de 0 a 1 descreve uma família de hélices de raio a A superfície resultante é o helicóide ou uma rampa helicoidal a Um comando típico para esboçar uma superfície paramétrica com um sistema algé brico computacional é Obtemos o esboço da Figura 10 b Os vetores tangente e normal são Em temos Φ 1 u u cos u sen u FIGURA 10 O helicóide 962 CÁLCULO Área de superfície Seja uma parametrização de uma superfície de domínio Como queremos que cubra a superfície exatamente uma única vez vamos supor que seja injetora ex ceto possivelmente na fronteira de Também vamos supor que seja regular exceto possivelmente na fronteira de Lembre que é regular em u v se o vetor normal é nãonulo O comprimento do vetor normal tem uma interpretação importante em termos de área Para discutir essa interpretação vamos supor para simplifi car que o domínio seja um retângulo mas nosso argumento é aplicável a domínios mais gerais Dividimos numa grade de pequenos retângulos de tamanho como na Figura 11 Cada retângulo é levado por num paralelogramo torcido na superfície Usan do a notação da fi gura vamos supor que seja um retângulo de vértices onde Seja a imagem de Sejam P Q R e S as imagens de e Assim P R S Φ Φ Retângulo Rij Δu Δu u Δ Δ ij P Φuij P uij ij Paralelogramo torcido Sij ΦRij P Q S R Rij Sij Q TuΔu T FIGURA 11 Examinemos a relação entre a área de e a de Inicialmente observe que se e forem pequenos então o paralelogramo torcido tem aproximadamente a mesma área que o paralelogramo autêntico de lados e Como a área do pa ralelogramo gerado por dois vetores é o comprimento de seu produto vetorial obtemos a aproximação Em seguida usamos a aproximação linear para obter uma estimativa dos vetores e Observe que exigimos injetividade de somente no interior de Muitas parametrizações padrão especialmente as que utilizam coordenadas cilíndricas ou esféricas deixam de ser injetoras na fronteira de seus domínios LEMBRETE A área do paralelogramo gerado pelos vetores v e w em é igual a Teorema 3 da Seção 134 CAPÍTULO 17 Integrais de Linha e de Superfície 963 Obtemos Observando que e podemos escrever nosso resultado como segue Assim é um fator de distorção que nos diz como é alterada a área de um pequeno retângulo pela aplicação A superfície inteira é a união dos pequenos pedaços de modo que podemos aproximar a área total de pela soma A soma do lado direito é uma soma de Riemann para a integral dupla de ao longo do domínio dos parâmetros Quando e tendem a zero essas somas de Riemann convergem à integral dupla seguinte que tomamos como defi nição de área de superfície Uma modifi cação dessa fórmula leva à noção de integral de superfície de uma fun ção f x y z em Consideramos somas da forma onde é um ponto amostral de Se pensarmos em f P como sendo uma densidade de massa contínua na superfície então e 3 é uma aproximação da massa total da superfície De qualquer modo o limite dessas somas quando e tendem a zero se existir é denominado a integral de superfície de f em essa integral é denotada por Para calcular a integral de superfície observe que a aproximação 1 fornece A soma do lado direito é uma soma de Riemann para a integral dupla de ao longo do domínio dos parâmetros Como estamos supondo que seja continuamente diferenciável as somas de Riemann do lado direito tendem ao mesmo limite que as somas do lado esquerdo omitimos a prova fornecendo a fórmula do teorema seguinte A aproximação 1 é válida para qualquer região pequena do plano uv onde e é qualquer ponto arbitrariamente escolhido em Aqui pequeno signifi ca que cabe num disco pequeno Não permitimos que seja muito estreito e comprido Aplicações da integral de superfície se é uma superfície com densidade de massa então Analogamente se uma corrente elétrica estiver distribuída em com densidade de carga então essa integral fornece a carga total em 964 CÁLCULO TEOREMA 1 Integrais de superfície e área de superfície Seja uma parametrização de uma superfície com domínio dos parâmetros Suponha que seja continuamente diferenciável injetora e regular exceto possivelmente na fronteira de Então Para f x y z 1 obtemos a área de superfície de É interessante observar que a Equação 4 inclui a fórmula da mudança de variáveis de integrais duplas Teorema 1 da Seção 165 como um caso especial Se a superfície for um domínio do plano xy em outras palavras se zu v 0 então a integral em reduz à integral dupla da função f x y 0 Podemos ver como uma aplicação do plano uv no plano xy e nesse caso é o jacobiano dessa aplicação A Equação 4 pode ser sintetizada pela expressão simbólica do elemento de superfície EXEMPLO 4 Calcule Área e onde é a parte do cone que fi ca acima do disco Figura 12 Solução Uma parametrização do cone foi encontrada no Exemplo 1 Usando as variáveis e t essa parametrização é dada por Passo 1 Calcular os vetores tangentes e normal O vetor normal tem comprimento Assim No nosso caso estamos integrando ao longo da região em que portanto podemos omitir o valor absoluto Passo 2 Calcular a área de superfície Passo 3 Calcular a integral de superfície Expressamos em termos dos parâmetros t e FIGURA 12 A parte do cone que fi ca acima do disco CAPÍTULO 17 Integrais de Linha e de Superfície 965 Então Para uso no exemplo seguinte e também para referência calculamos o vetor normal na parametrização com coordenadas esféricas da esfera de raio R centrada na origem com vetor normal apontando para fora Figura 13 Temos Observe que o vetor fi ca na esfera unitária e é de fato o vetor radial unitário que aponta no sentido da origem para Portanto para a parametrização com coordenadas esféricas com normal apontando para fora temos O vetor normal é um vetor que aponta para dentro EXEMPLO 5 Carga total numa superfície Encontre a carga total em coulombs numa esfera com 5 cm de raio cuja densidade de carga em coordenadas esféricas é Solução Em geral as integrais numa esfera são mais fáceis de calcular em coordenadas esféricas portanto parametrizamos por Pela Equação 6 e LEMBRETE FIGURA 13 966 CÁLCULO Quando um gráfi co z gx y é parametrizado por os ve tores tangentes são e o vetor normal é Assim e a integral de superfície ao longo da porção de um gráfi co acima de um domínio no plano xy é EXEMPLO 6 Calcule a integral de superfície onde é a porção do gráfi co de em que Figura 14 Solução Seja Então e e Expressamos f x y z z x em termos dos parâmetros x e y e usamos a Equação 8 com o domínio Seja Então e FIGURA 14 A superfície acima de CAPÍTULO 17 Integrais de Linha e de Superfície 967 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Dica do professor Observe no vídeo como as superfícies parametrizadas desempenham um papel análogo ao das curvas parametrizadas nas integrais de linha Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Exercícios 1 Suponha que uma superfície S tenha a parametrização Marque a alternativa que contém nuv A B C D E 2 Suponha que uma superfície S tenha a parametrização Marque a alternativa que contém a equação do plano tangente no ponto A 2x y 3z 0 B 4x y 3z 0 C 4x y 3z 0 D 4x y 3z 0 E 4x y 3z 0 3 Suponha que uma superfície S tenha a parametrização Marque a alternativa que contém a área da superfície S A 4 B 2 C 16π D 16 E 8 4 Suponha que uma superfície S tenha a parametrização Expresse fxyz yz em termos de u e v e marque a alternativa que contém o valor de A B C D E 5 Marque a alternativa que contém considerando fxyz x2y e S a porção do cilindro x2 z2 1 entre os planos y 0 y 1 e acima do plano xy A B 1 Na prática Veja como as integrais de superfície podem ser úteis em problemas aplicados envolvendo fluxo fluido e de calor eletricidade magnetismo massa e centro de gravidade Por exemplo considere uma lâmina curva como um objeto idealizado que é suficientemente fino para poder ser considerado como uma superfície no espaço tridimensional como mostra a figura abaixo Se modelarmos a lâmina curva por uma superfície paramétrica lisa σ então dado um ponto x y z de σ podemos denotar por fx y z o valor correspondente da função densidade Para calcular a massa da lâmina utilizamos uma integral de superfície Ou seja para obter a massa de uma lâmina integramos a função densidade na superfície lisa que modela a lâmina Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Cálculo Este livro tem uma abordagem é direta e concisa seguida de exemplos problemas cuidadosamente resolvidos e exercícios complementares Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino Grings Integral de Superfície de Função Escalar Aula 10 Assista no vídeo a seguir a aula 10 sobre Integral de superfície de função escalar Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Grings Integral de Superfície de Função Escalar Aula 12 Assista no vídeo a seguir a aula 12 sobre Integral de superfície de função escalar Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar