Cinematica do Ponto Material - Mecanica Geral II - Deslocamento e Coordenadas

MECÂNICA GERAL II Marcelo Quadros SAGAH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS Cinemática do ponto material I Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Descrever a cinemática dos corpos Analisar os movimentos retilíneo e curvilíneo plano suas características de velocidade e aceleração Reconhecer as coordenadas retangulares e o deslocamento de um projétil Introdução Um dos principais objetivos da cinemática dos corpos é criar movimentos desejados em qualquer partícula e a partir disso determinar suas posições velocidades e acelerações Na engenharia a maioria dos projetos de desenvolvimento de sistemas de movimentação e transmissão iniciase pela definição da configuração cinemática necessária para fornecer os movimentos desejados Em geral a análise das forças tensões e deformações necessita de estudos preliminares da cinemática para o desenvolvimento dos projetos Dentre esses movimentos destacamse os retilíneos e os curvilíneos planos presentes em vários sistemas de movimentação e deslocamento base fundamental para determinação das velocidades e acelerações de todas as partículas Neste capítulo você estudará a cinemática dos corpos analisará os movimentos retilíneo e curvilíneo plano assim como suas características de velocidade e aceleração Por fim conhecerá as coordenadas retangulares e o deslocamento de um projétil Cinemática dos corpos A cinética é o estudo da relação existente entre as forças que atuam sobre um corpo a massa do corpo e seu movimento Usamos a cinética para prever o movimento causado por forças conhecidas ou determinar as forças necessárias para produzir um dado movimento BEER et al 2019 Entretanto o objeto de nosso estudo é a cinemática ou seja o estudo do movimento sem levar em conta as forças ou outros fatores que o influenciam Posição velocidade aceleração e tempo estão relacionados ao movimento de uma partícula que ocupa um ponto no espaço Na realidade uma partícula pode ser uma miçanga em um fio ou um avião no céu NELSON et al 2013 A primeira e a terceira leis de Newton do movimento são muito utilizadas na estática para estudar corpos em repouso e forças que atuam sobre eles Essas duas leis também são usadas em dinâmica De fato elas são suficientes para o estudo do movimento de corpos que não têm aceleração Entretanto quando eles são acelerados isto é na cinemática quando a intensidade ou a direção de suas velocidades mudam é necessário utilizar a segunda lei de Newton do movimento para relacionar o movimento do corpo às forças que atuam sobre ele De acordo com a segunda lei se a resultante das forças que atuam sobre uma partícula não for zero a partícula terá uma aceleração proporcional à intensidade da resultante e na direção dessa força resultante Mais do que isso a razão entre as intensidades da força resultante e da aceleração pode ser usada para definir a massa da partícula BEER et al 2019 Engenheiros projetam e desenvolvem sistemas segundo essas leis para que não haja falhas durante o tempo de vida útil desses mecanismos Para isso o grande objetivo desses profissionais é manter os esforços dentro dos limites aceitáveis para todos os materiais escolhidos conforme cada exigência Esse é um dos objetivos principais da cinemática ou seja criar os movimentos desejados desses sistemas e a partir disso calcular as posições velocidades e acelerações dos movimentos de cada mecanismo Isso requer que todas as forças aplicadas nesses sistemas sejam definidas e mantidas dentro do limite escolhido e proporcionais à aceleração Por exemplo no caso da massa que não se altera com o tempo podemos calcular a aceleração e a força em função do tempo Já as tensões por sua vez são definidas em função das forças inerciais e forças internas Em função dessa análise podemos concluir que a cinemática é a base fundamental no desenvolvimento desses projetos de pleno conhecimento do engenheiro pois muitas definições básicas e decisões iniciais no processo do projeto envolvem os princípios da cinemática A partir do estudo da cinemática Cinemática do ponto material I 2 garantimos que não haja falhas nesses importantes sistemas de movimentação demonstrados na Figura 1 a seguir Figura 1 Exemplos de aplicação da cinemática Fonte a BasynShutterstockcom b u3dShutterstockcom c ADSDESIGNShut terstockcom 3 Cinemática do ponto material I Para iniciarmos o estudo da cinemática o primeiro passo é conhecer o movimento retilíneo das partículas Movimento retilíneo de partículas Dizse que uma partícula em deslocamento ao longo de uma linha reta está em movimento retilíneo As únicas variáveis necessárias para descrever esse movimento são o tempo t e a distância ao longo da linha x em função do tempo Com elas podemos definir a posição a velocidade e a aceleração da partícula que descrevem completamente o seu movimento Quando estudamos o movimento de uma partícula movendose em um plano duas dimensões ou no espaço três dimensões utilizamos um vetor de posição mais geral ao invés de simplesmente a distância ao longo de uma linha BEER et al 2019 Posição velocidade e aceleração Em qualquer instante dado t uma partícula ocupará certa posição sobre a linha reta Para definir a posição P da partícula escolhemos uma origem fixa O na linha reta e um sentido positivo ao longo da reta Medimos a distância x de O a P e anotamos com um sinal positivo ou negativo de acordo com o fato de P ter sido alcançado a partir de O movendose no sentido positivo ou no negativo ao longo da linha A distância x com o sinal adequado define completamente a posição da partícula ela é chamada de coordenada de posição da partícula Por exemplo a coordenada de posição correspondente a P na Figura 2a é de x 5 m e a coordenada correspondente a P na Figura 2b é de x 2 m Quando a coordenada de posição x de uma partícula é conhecida para qualquer valor do tempo t dizemos que o movimento da partícula é conhecido BEER et al 2019 Cinemática do ponto material I 4 Figura 2 a Posição medida a partir da origem de coordenada posi tiva b posição medida a partir da origem de coordenada negativa Fonte Beer et al 2019 p 617 A velocidade e a aceleração podem estar em sentidos iguais ou diferentes No caso de estarem no mesmo sentido a partícula acelera porém quando a aceleração e a velocidade estiverem em sentidos opostos ela desacelera conforme demonstrado na Figura 3 a seguir Figura 3 Sentido da velocidade e da aceleração Fonte Beer et al 2019 p 619 5 Cinemática do ponto material I Em todos os problemas relacionados à área da cinemática você será soli citado a determinar a posição a velocidade e a aceleração de uma partícula em movimento retilíneo À medida que lê cada problema é importante que você identifique a variável independente tipicamente t ou x e também o que é pedido por exemplo a necessidade de expressar v como função de x Nesse caso pode ser útil começar cada problema escrevendo a informação dada e um enunciado simples do que deve ser determinado Resumidamente para todos os problemas envolvendo a cinemática teremos as relações conforme apresentadas na Figura 4 Figura 4 Relações cinemáticas Fonte Beer et al 2019 p 629 Movimentos retilíneo e curvilíneo plano Movimento retilíneo é o movimento de um ponto P ao longo de uma linha reta que por conveniência será escolhida como o eixo x Símbolos vetoriais são desnecessários nessa parte A posição do ponto P em qualquer instante t é expressa em termos de sua distância x de uma origem fixa O no eixo x NELSON et al 2013 Cinemática do ponto material I 6 Essa distância x é positiva ou negativa de acordo com a convenção de sinal utilizada A velocidade média vméd do ponto P durante o intervalo de tempo entre t e t Δt durante o qual sua posição muda de x para x Δx é o quociente Matematicamente isso é A velocidade instantânea v do ponto P no tempo t é o limite da velocidade média quando o incremento de tempo aproximase de zero Matematicamente isso é A aceleração média améd do ponto P durante o intervalo de tempo entre t e t Δt durante o qual sua velocidade muda de v para v Δv é o quociente Matematicamente isso é A aceleração instantânea a do ponto P no tempo t é o limite da aceleração média quando o incremento de tempo aproximase de zero Matematicamente isso é Para aceleração constante a a0 as seguintes fórmulas são válidas v v0 a0t v2 v0 2 2a0s s v0 t ½ a0t2 s ½ vv0t 7 Cinemática do ponto material I onde v0 velocidade inicial v velocidade final a0 aceleração constante t tempo s deslocamento No exemplo prático temos um carrofoguete que se move ao longo de uma pista de teste reta de acordo com a equação x 3t3 t 2 onde x está em metros e t em segundos Em função dessa equação e do tempo quando t 4s podemos determinar deslocamento velocidade aceleração aceleração média no quinto segundo O primeiro passo é determinar o deslocamento em função do tempo Nesse caso temos x 3t3 t 2 x 343 4 2 x 198 m O segundo passo é calcular a velocidade em função do tempo e do deslocamento v dxdt v 9t2 1 v 942 1 v 145 ms O terceiro passo é calcular a aceleração em função da velocidade e do tempo a dvdt a 18t a 184 a 72 ms2 Por fim calculamos a velocidade média no fim do quinto segundo v 952 1 v 226 ms Assim a mudança na velocidade durante o quinto segundo é 226 ms 145 ms 81 ms A aceleração média é Além do movimento retilíneo temos o movimento curvilíneo que em um plano é o movimento ao longo de uma curva plana trajetória A velocidade e a aceleração de um ponto sobre essa curva são expressas em componentes retangulares componentes tangencial e normal e componentes radial e trans versal NELSON et al 2013 Para definir a posição P ocupada por uma partícula em movimento curvi líneo em um dado tempo t selecionamos um sistema de referência fixo como os eixos x y z mostrados na Figura 5 a seguir e desenhamos o vetor r unindo a origem O e o ponto P O vetor r é caracterizado pela sua intensidade r e sua direção em relação aos eixos de referência de modo que define completamente a posição da partícula em relação a esses eixos Referimonos ao vetor r como vetor de posição da partícula no tempo t Figura 5 Vetores de posição para uma partícula que se move ao longo de uma curva Fonte Beer et al 2019 p 663 9 Cinemática do ponto material I Considere agora o vetor r que define a posição P ocupada pela mesma partícula em um momento posterior tΔt O vetor Δr unindo P e P representa a variação no vetor de posição durante o intervalo de tempo Δt e é chamado de vetor de deslocamento Podemos verificar isso diretamente na Figura 6 onde obtemos o vetor r adicionando os vetores r e Δr de acordo com a regra do triângulo Notamos que Δr representa uma variação na direção bem como uma variação na intensidade do vetor de posição r A velocidade média da partícula no intervalo de tempo Δt é definida como o quociente de Δr e Δt Como Δr é um vetor e Δt é um escalar o quociente ΔrΔt é um vetor ligado a P com a mesma direção que Δr e uma intensidade igual à intensidade de Δr dividida por Δt Figura 6 Vetores de velocidade média Fonte Beer et al 2019 p 663 Obtemos a velocidade instantânea da partícula no instante t usando o limite quando o intervalo de tempo Δt aproximase de zero A velocidade instantânea é então representada pelo vetor Cinemática do ponto material I 10 À medida que Δt e Δr se tornam menores os pontos P e P se aproximam Assim o vetor v obtido no limite deve ser tangente à trajetória da partícula conforme demonstrado na Figura 7 Figura 7 Vetor de velocidade instantânea Fonte Beer et al 2019 p 663 Para se aprofundar nos conhecimentos sobre movimentos retilíneo e curvilíneo plano e em suas características de velocidade e aceleração leia o livro Mecânica Vetorial para Engenheiros Dinâmica de Beer et al publicado pela McGrawHill Education Bookman em 2019 11 Cinemática do ponto material I Coordenadas retangulares e descolamento de um projétil Suponha que a posição de uma partícula P seja definida em qualquer instante pelas suas coordenadas retangulares x y e z Nesse caso é frequentemente conveniente decompor a velocidade v e a aceleração a da partícula em compo nentes retangulares conforme demonstrado na Figura 8 BEER et al 2019 Figura 8 Componentes retangulares de posição e de velocidade para uma partícula Fonte Beer et al 2019 p 667 Para decompor o vetor de posição r da partícula em componentes retan gulares escrevemos que as coordenadas x y e z são funções de t Derivando duas vezes obtemos velocidade e aceleração em componentes retangulares conforme Figura 9 a seguir Cinemática do ponto material I 12 Figura 9 Componentes retangulares de aceleração para a partícula P Fonte Beer et al 2019 p 667 Nesse caso o vetor posição r de um ponto P sobre essa curva em termos dos vetores unitários i e j ao longo dos eixos x e y respectivamente é escrito r xi yj À medida que P move r varia e a velocidade v pode ser expressa como Usando dx dt ẋ dydt ẏ e drdt ṙ como símbolos convenientes temos v ṙ ẋi ẏj 13 Cinemática do ponto material I A velocidade do ponto é a magnitude da velocidade v Ou seja A utilização de componentes retangulares para descrever a posição a velocidade e a aceleração de uma partícula é particularmente eficaz quando o componente ax da aceleração depende apenas de t x ou vx e da mesma forma quando ay depende somente de t y ou vy e quando az depende de t z ou vz Nesse caso podemos integrar equações independentemente Em outras palavras o movimento da partícula na direção x seu movimento na direção y e seu movimento na direção z podem ser estudados separadamente No caso do movimento de um projétil por exemplo os componentes da aceleração são Se a resistência do ar for desprezada indicando as coordenadas de uma arma por x0 y0 e z0 e os componentes da velocidade inicial v0 do projétil por vx0 vy0 e vz0 podemos integrar duas vezes em t e obter Se o projétil é disparado no plano xy da origem O temos x0 y0 z0 0 e vz0 0 e as equações de movimento reduzemse a Essas equações mostram que o projétil permanece no plano xy que seu movimento na direção horizontal é uniforme e seu movimento na direção vertical é uniformemente acelerado conforme Figura 10 Cinemática do ponto material I 14 Figura 10 Componentes retangulares de aceleração para a partícula P Fonte Beer et al 2019 p 668 Portanto podemos substituir o movimento de um projétil por dois movi mentos retilíneos independentes Figura 11 que são facilmente visualizados se considerarmos que o projétil é disparado verticalmente com uma velocidade inicial vy0 de uma plataforma movendose com uma velocidade horizontal constante vx0 Figura 11 Componentes retangulares de aceleração para a partícula P Fonte Beer et al 2019 p 668 15 Cinemática do ponto material I De maneira resumida a coordenada x do projétil é igual em qualquer instante à distância percorrida pela plataforma Podemos calcular sua co ordenada y como se o projétil estivesse movendose ao longo de uma linha vertical Além disso como os valores vx0 são os mesmos o projétil pousará na plataforma independentemente do valor de vy0 Observe que as equações que definem as coordenadas x e y de um projétil em um instante qualquer são as equações paramétricas de uma parábola Dessa forma a trajetória de um projétil é parabólica Esse resultado entretanto deixa de ser válido em projetos quando a resistência do ar ou a variação da aceleração da gravidade com a altitude forem levadas em conta BEER et al 2019 BEER F P et al Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 11 ed Porto Alegre AMGH Bookman 2019 894 p NELSON E W et al Engenharia mecânica dinâmica 5 ed Porto Alegre Bookman 2013 310 p Coleção Schaum Leitura recomendada NORTON R L Cinemática e dinâmica dos mecanismos com unidades do Sistema In ternacional Porto Alegre AMGH Bookman 2010 800 p Cinemática do ponto material I 16 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo SAGAH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS