Segunda Lei de Newton - Dinâmica do Ponto Material e Aplicações

MECÂNICA GERAL II Marcelo Quadros Dinâmica do ponto material força Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Descrever a segunda lei de Newton e suas aplicações Reconhecer os movimentos dos corpos com restrição e sem restrição Fundamentar os movimentos retilíneos e curvilíneos uniformes e acelerados Introdução Uma das principais leis da física aplicadas à mecânica dos movimentos a segunda lei de Newton é considerada como o princípio fundamental da dinâmica e é enunciada da seguinte forma a força resultante que atua sobre um corpo é proporcional ao produto da massa pela aceleração por ele adquirida Essa lei tem sua aplicação na análise dos movimentos com ou sem restrições e em todos os tipos de movimento podendo ser retilíneos ou curvilíneos a partir de uma reta de um movimento circular do movimento de um projétil além dos movimentos rotacionais em todas as partículas sejam elas um simples átomo um objeto uma pessoa um mecanismo uma máquina e até mesmo um planeta assim como todos os movimentos de um sistema solar Neste capítulo você conhecerá a segunda lei de Newton e suas aplicações bem como os movimentos dos corpos com restrição e sem restrição Por fim estudará os movimentos retilíneos e curvilíneos uniformes e acelerados Segunda lei de Newton e suas aplicações A dinâmica dos movimentos de uma partícula envolve as forças que agem sobre ela e que resultam em sua aceleração e tem como base a aplicação das três leis do movimento de Newton e suas fórmulas Essas leis de Newton fundamentam a base da física mecânica e são descritas de uma forma simplificada como lei da inércia lei do princípio fundamental da dinâmica e lei da ação e reação Elas são utilizadas para determinar a dinâ mica dos movimentos dos corpos e foram pela primeira vez pelo físico inglês Isaac Newton em 1687 em sua obra de três volumes intitulada Princípios Matemáticos da Filosofia Natural Primeira lei de Newton Figura 1 uma partícula manterá seu estado de repouso ou de movimento uniforme velocidade constante na direção de uma linha reta a menos que alguma força atue para mudar esse estado Em outras palavras uma partícula acelera apenas se uma força desequilibrada agir sobre ela NELSON MCLEAN POTTER 2013 Dinâmica do ponto material força 2 Figura 1 Primeira lei de Newton Fonte Adaptada de udaixShutterstockcom Um corpo em repouso tende a permanecer em repouso e um corpo em movimento tende a permanecer em movimento Um objeto em repouso permanece em repouso Um objeto atuado por uma força equilibrada permanece em repouso Um objeto atuado por forças não equilibradas muda sua velocidade e direção Um objeto em repouso permanece em repouso Um objeto em movimento permanece em movimento Um objeto atuado por forças não equilibradas muda sua velocidade e direção Um objeto atuado por uma força não equilibrada muda sua velocidade e direção Primeira Lei de Newton 3 Dinâmica do ponto material força Segunda lei de Newton Figura 2 a taxa de variação do produto da massa pela velocidade em relação ao tempo de uma partícula é proporcional à força que age sobre a partícula O produto da massa m pela velocidade v é o momento linear L Assim a segunda lei estabelece que NELSON MCLEAN POTTER 2013 F m a As unidades das grandezas na segunda lei de Newton são as seguintes m massa em quilogramas kg a aceleração em ms2 F força em Newtons N Figura 2 Segunda lei de Newton Fonte Adaptada de udaixShutterstockcom A força resultante que atua sobre um corpo é proporcional ao produto da massa pela aceleração por ele adquirida Segunda Lei de Newton Pequena aceleração Grande massa Grande aceleração Pequena massa Força Massa x Aceleração Dinâmica do ponto material força 4 Terceira lei de Newton Figura 3 para toda ação ou força há uma reação ou força igual e oposta Em outras palavras se a partícula A exerce uma força sobre a partícula B então a partícula B exerce uma força numericamente igual e de sentido oposto na partícula A NELSON MCLEAN POTTER 2013 Figura 3 Terceira lei de Newton Fonte Adaptada de udaixShutterstockcom Toda ação corresponde a uma reação de igual intensidade mas que atua no sentido oposto Equilíbro Reação Ação Balão sobe Ar desce Reação Ação Reação Ação 5 Dinâmica do ponto material força A primeira e a terceira leis de Newton do movimento são muito utilizadas na estática para estudar corpos em repouso e as forças que atuam sobre eles Essas duas leis também são usadas em dinâmica de fato elas são suficientes para o estudo do movimento de corpos que não têm aceleração Entretanto quando eles são acelerados isto é quando a intensidade ou a direção de suas velocidades muda é necessário utilizar a segunda lei de Newton do movimento para relacionar o movimento do corpo às forças que atuam sobre ele De acordo com a segunda lei se a resultante das forças que atuam sobre uma partícula não for zero a partícula terá uma aceleração proporcional à intensidade da resultante e na direção dessa força resultante Mais do que isso a razão entre as intensidades da força resultante e da aceleração pode ser usada para defi nir a massa da partícula conforme demonstrado nas fórmulas da Figura 4 a seguir BEER et al 2019 Figura 4 Fórmulas da segunda lei de Newton Fonte Fouad A SaadShutterstockcom Instante inicial t 0 V X V0 X0 Forças Arrasto Empuxo Estágio seguinte t t F Força Empuxo Arrasto Segunda lei de Newton F m a m Massa a Aceleração V Velocidade X Posição a F m V a t V0 X V0t X0 a t2 2 Dinâmica do ponto material força 6 Medidas de força e aceleração podem ser efetuadas no laboratório de modo que de acordo com a segunda lei se uma força F conhecida é aplicada a um ponto material a aceleração a do ponto pode ser medida Uma vez que a força e a aceleração são diretamente proporcionais a constante à proporcionalidade m pode ser determinada considerandose a razão Dessa forma o escalar positivo m é denominado massa do ponto material e a segunda lei de Newton pode ser descrita conforme a seguinte equação F m a Para se aprofundar nos conhecimentos sobre a segunda lei de Newton sua descrição suas características e aplicações leia o livro Física para universitários mecânica de Bauer Westfall e Dias 2012 Movimentos dos corpos com restrição e sem restrição A busca pela compreensão do movimento remonta à antiguidade Os an tigos babilônios chineses e gregos eram especialmente interessados pelos movimentos celestes no céu noturno O filósofo e cientista grego Aristóteles escreveu sistematicamente acerca da natureza dos objetos em movimento Todavia nossa compreensão moderna do movimento não começou de fato até que Galileu 15641642 descrevesse os primeiros conceitos de movimento em termos matemáticos E a partir desses conceitos Newton 16421727 deu continuidade aos cálculos para pôr os conceitos dos movimentos sobre um referencial teórico mais preciso determinando a base da mecânica dos movimentos 7 Dinâmica do ponto material força Como ponto de partida do movimento dos corpos definiremos movimento como a variação da posição de um objeto no transcorrer do tempo É fácil listar exemplos de movimento como bicicletas bolas esportivas carros ae roplanos e foguetes que são todos objetos capazes de se mover O caminho ao longo do qual eles se movem pode ser uma linha reta ou curva chamado de trajetória do objeto A Figura 5 a seguir mostra alguns tipos básicos de movimento dentre os quais temos o movimento em uma reta o circular e o de um projétil além do movimento rotacional que é um pouco diferente dos outros três no sentido de que a rotação é uma variação da posição angular do objeto Figura 5 Tipos de movimentos Fonte Knight 2009 p 3 Dinâmica do ponto material força 8 O movimento dos corpos é um assunto importantíssimo no universo da dinâmica Embora todos tenham intuições sobre o movimento baseadas em suas experiências alguns dos aspectos importantes do movimento são muito sutis A Figura 6 demonstra os diagramas de movimentos de forma a facilitar a compreensão aos conceitos necessários para descrever o movimento de um objeto Figura 6 Exemplo de diagramas de movimento Fonte Knight 2009 p 4 9 Dinâmica do ponto material força Como estudamos os movimentos podem ser determinados por meio da identificação de todas as forças externas em forma vetorial e da aplicação da segunda lei de Newton No entanto em sistemas com vários graus de liberdade restrições e com muitas forças esse procedimento pode tornarse complicado Para isso conheceremos os dois tipos de movimentos a seguir dos corpos sem restrição dos corpos com restrição Movimento dos corpos sem restrição Analisar a dinâmica do movimento dos corpos requer uma análise minuciosa dos diagramas esquemáticos da cinemática dos elos e das juntas que compõem um mecanismo dinâmico Os movimentos possíveis devem estar claros e óbvios durante o desenvolvimento de projetos desses mecanismos Quando não há restrição por exemplo o que mantém o objeto corpo em movimento Essa dúvida pode ser explicada utilizando o exemplo da montanha russa ou da queda livre Figura 7 que é uma particularidade do movimento uniformemente variado Sendo assim tratase de um movimento acelerado fato esse que o próprio Galileu conseguiu provar Esse movimento sofre a ação da aceleração da gravidade que é representada por g e variável para cada ponto da superfície da Terra Porém para o estudo de Física e desprezando a resistência do ar seu valor é constante e aproximadamente igual a 98 ms² Figura 7 Experimento de queda livre analisado por um software Fonte Bauer Westfall e Dias 2012 p 52 Movimento dos corpos com restrição Algumas vezes as condições dentro das quais o movimento se dá impõem restrições a ele para as quais damos o nome de vínculos Os vínculos mais comuns são aqueles dados por superfícies que restringem o movimento de partículas O principal interesse no estudo de sistemas com restrição ao mo vimento é investigar o problema da instabilidade do contato entre os corpos como acontece com mecanismos mecânicos ao interagirem com o ambiente ao seu redor conforme demonstrado na Figura 8 a seguir Figura 8 Análise dinâmica de um mecanismo bielamanivela Fonte Norton 2010 p 570 11 Dinâmica do ponto material força Análise dinâmica dos mecanismos pode ser realizada por vários métodos Porém aquela que fornece mais informações sobre as forças internas do mecanismo requer somente o uso das leis de Newton Elas podem ser escritas como um somatório de todas as forças e todos os torques do sistema NORTON 2010 Movimentos retilíneos e curvilíneos uniformes e acelerados Na fundamentação dos movimentos retilíneos e curvilíneos uniformes e acelera dos inicialmente precisamos compreender a dinâmica e as equações que a regem A equação do movimento A equação de movimento é uma das mais importantes formulações da mecâ nica e é determinada quando mais de uma força age em um ponto material A força resultante é determinada pela soma vetorial de todas as forças descrita pela seguinte equação ΣF m a Essa equação relaciona as forças que atuam sobre a partícula e o vetor m a conforme demonstrado na Figura 9 Figura 9 A soma das forças aplicadas a uma partícula de massa m produz um vetor ma na direção da força resultante Fonte Beer et al 2019 p 723 Dinâmica do ponto material força 12 No século XVIII JeanBaptiste le Rond dAlembert expressou a segunda lei de Newton como ΣF m a 0 de forma que pudesse resolver problemas de dinâmica usando princípios da estática O termo ma é chamado de força inercial fictícia mas é im portante que você saiba que não existem forças inerciais ou força centrífuga que o empurre para fora ao fazer uma curva O princípio de DAlembert também chamado de equilíbrio dinâmico é raramente utilizado na engenharia moderna BEER et al 2019 Duas das mais importantes ferramentas que você usará para resolver pro blemas de dinâmica particularmente aqueles que envolvem a segunda lei de Newton são os diagramas de corpo livre e cinético demonstradas na Figura 10 Esses diagramas têm a função de modelar sistemas dinâmicos e aplicar as equações de movimento mais adequadas Figura 10 Etapas no desenho de diagramas de corpo livre e cinético para resolver pro blemas de dinâmica Fonte Beer et al 2019 p 724 13 Dinâmica do ponto material força A física mecânica divide a dinâmica do ponto material em dois principais movimentos retilíneo curvilíneo Movimento retilíneo é o de um ponto P ao longo de uma linha reta que por conveniência é escolhida como o eixo x Símbolos vetoriais são desnecessários nessa parte A posição do ponto P em qualquer instante t é expressa em termos de sua distância x de uma origem fixa O no eixo x NELSON MCLEAN POTTER 2013 Essa distância x é positiva ou negativa de acordo com a convenção de sinal utilizada A velocidade média vméd do ponto P durante o intervalo de tempo entre t e t Δt durante o qual sua posição muda de x para x Δx é o quociente Δx Δt Matematicamente isso é vméd Δx Δt A velocidade instantânea v do ponto P no tempo t é o limite da velocidade média quando o incremento de tempo aproximase de zero Matematicamente isso é v lim Δt0 Δx Δt dx dt A aceleração média améd do ponto P durante o intervalo de tempo entre t e t Δt durante o qual sua velocidade muda de v para v Δv é o quociente Δv Δt Matematicamente isso é améd Δv Δt A aceleração instantânea a do ponto P no tempo t é o limite da aceleração média quando o incremento de tempo aproximase de zero Matematicamente isso é Para aceleração constante a a0 as seguintes fórmulas são válidas v v0 a0t v2 v0 2 2a0s s v0 t ½ a0t2 s ½ vv0t onde v0 velocidade inicial v velocidade final a0 aceleração constante t tempo s deslocamento O movimento curvilíneo é acontece ao longo de uma curva plana trajetória A velocidade e a aceleração de um ponto sobre essa curva são expressas em componentes retangulares componentes tangencial e normal e componentes radial e transversal NELSON MCLEAN POTTER 2013 As fortes acelerações que sentimos numa montanha russa não são devido a apenas aumentos e diminuições de velocidade mas também são causadas pelo movimento curvilíneo A taxa de aumento da velocidade é apenas uma das componentes da aceleração a aceleração tangencial A outra componente da aceleração depende da velocidade e do raio de curvatura da trajetória dos movimentos curvilíneos em que a direção da aceleração e por conseguinte da força resultante não coincide com a do movimento Tornase comum por parte dos alunos a interpretação de que por exemplo em uma trajetória circular 15 Dinâmica do ponto material força há um cancelamento de componentes radiais de forças já que o movimento não ocorre nessa direção Para definir a posição P ocupada por uma partícula em movimento cur vilíneo em um dado tempo t selecionamos um sistema de referência fixo como os eixos x y z mostrados na Figura 11 e desenhamos o vetor r unindo a origem O e o ponto P O vetor r é caracterizado pela sua intensidade r e sua direção em relação aos eixos de referência de modo que define completamente a posição da partícula em relação a esses eixos Referimonos ao vetor r como o de posição da partícula no tempo t Figura 11 Vetores de posição para uma partícula que se move ao longo de uma curva Fonte Beer et al 2019 p 663 Quando estiver aplicando a segunda lei de Newton aos tipos de movimento você achará mais conveniente expressar os vetores F e a em termos de seus componentes retangulares tangencial e normal ou seus componentes radial e transversal conforme as seguintes aplicações Com componentes retangulares utilizamos as seguintes equações Com componentes tangencial e normal utilizamos as seguintes equações Dinâmica do ponto material força 16 Com componentes radial e transversal utilizamos as seguintes equações ΣFr mr rθ² ΣFθ mrθ 2rθ Saiba mais No desenvolvimento de projetos relacionados à dinâmica dos movimentos com certeza você aplicará a segunda lei de Newton do movimento para relacionar as forças que atuam sobre uma partícula em seu movimento utilizando um dos seguintes métodos ou ambos calculando as equações de movimento dos componentes retangulares dos componentes tangencial e normal e dos componentes radial e transversal desenhando os diagramas de corpo livre e cinético aplicando a segunda lei de Newton utilizando a equação ΣF m a Referências BAUER W WESTFALL G D DIAS H Física para universitários mecânica Porto Alegre AMGH 2012 BEER F P et al Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 11 ed Porto Alegre AMGH 2019 KNIGHT R D Física uma abordagem estratégica 2 ed Porto Alegre Bookman 2009 Mecânica Newtoniana Gravitação Oscilações e Ondas v 1 NELSON E W MCLEAN W G POTTER M C Engenharia mecânica dinâmica 5 ed Porto Alegre Bookman 2013 Série Schaum NORTON R L Cinemática e dinâmica dos mecanismos Porto Alegre AMGH 2010 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo SAGAH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS