Dependência e Independência Linear em Espaços Vetoriais

Álgebra Linear Dependência e Independência Linear Base e Dimensão Katiani Graciela e Marnei Dependência e Independência Linear Definição Sejam v1 v2 vn V sendo V um espaço vetorial Dizemos que o conjunto v1 v2 vn é Linearmente Independente ou que os vetores v1 v2 vn são LI se a equação Nossa preocupação é gerar um espaço com um número mínimo de vetores e identificar a existência de algum vetor descartável nesse conjunto 0 2 2 1 1 anvn a v a v 0 2 1 an a a implicar que Se existir ai 0 que satisfaça a equação dizemos que o conjunto v1 v2 vn é Linearmente Dependente ou que os vetores v1 v2 vn são LD Sugestões de vídeos httpswwwyoutubecomwatchv1NQgheFnX9A httpswwwyoutubecomwatchvVgP7jcypQAYfeatureyo utubet3 Sugestões de vídeos Observações i LD se e somente se pelo menos um dos vetores de S pode ser escrito como combinação linear dos outros de S ii Se o vetor nulo pertencer a um conjunto então este será LD Um conjunto S de dois ou mais vetores é iii LI se e somente se nenhum vetor de S pode ser escrito como combinação linear dos outros de S iv Nos gráficos a seguir temse a interpretação geométrica da dependência linear de dois e três vetores do R3 1 Verifique se são LI ou LD os conjuntos de vetores abaixo a No espaço V R³ e os vetores v₁ 213 v₂ 102 e v₃ 231 a213 b102 c231 000 2a b 2c 0 a 3c 0 3a 2b c 0 Escalonando 2 1 2 0 1 0 3 0 0 2 0 Como a e c estão em função de c os vetores são LD b No espaço V R³ e os vetores v₁ 101 v₂ 110 e v₃ 111 a101 b110 c111 000 a b c 0 b c 0 a c 0 Escalonando 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 Como a0 b0 e c0 os vetores são LI 2 No EV M₂ o conjunto A 1 2 3 2 3 4 3 1 0 3 0 3 é LD Examinemos a equação a₁v₁ a₂v₂ a₃v₃ 0 a₁ 1 2 a₂ 2 3 a₃ 3 4 0 0 0 cuja solução é a₁ a₃ e a₂ 2a₃ Como existem soluções aᵢ 0 o conjunto é LD Exercícios propostos 1 Determine se os subconjuntos de P₂ são LI ou LD a S x² 1 x² b M 7 3x 4x² 6 2x x² 1 8x 5x² 2 Encontre todos os valores reais de k para os quais o conjunto k 11 1 k 1 11 k é linearmente dependente 3 Mostre que se u v w são vetores quaisquer linearmente independentes então os vetores u v v w w u formam um conjunto linearmente dependente Base de um Espaço Vetorial Definição Um conjunto β v₁ v₂ vₙ V será uma base do espaço vetorial V se atender às duas condições i β deve ser LI ii β deve gerar o espaço vetorial V Logo base é o conjunto de vetores necessários para gerar o espaço vetorial V O conjunto β 1001 é uma base do R² pois β é LI e gera R² O conjunto β 100010001 é uma base do R³ pois β é LI e gera R³ O conjunto β 1 0 0 1 0 0 0 0 1 é uma base de M₂₂ pois é LI e gera M₂₂ O conjunto β x² x 1 é uma base de P₂ pois é LI e gera um polinômio de grau 2 Sugestão de vídeo httpswwwyoutubecomwatchvvnqzQbvg2Q Exemplos 1 β 1110 é base de R² Justifique i Verificar se é LI a11 b10 00 a b 0 Logo os vetores são LIs ii β gera o próprio R² Sim pois ao tomarmos xy m11 n10 xy mnm m y e n yx Obtemse xy y11 yx10 Então qualquer vetor xy do R² pode ser obtido como combinação linear dos vetores de β Concluímos que β é base do R² pois gera V e é LI 2 Encontre uma base para o subespaço do R³ W xyz R³ x 2y 3z 0 TEOREMA Se β v₁ v₂ vₙ é uma base para um espaço vetorial V então todo vetor em V pode ser escrito de uma única forma como uma combinação linear dos vetores de β Dimensão de um Espaço Vetorial Definição A dimensão é dado pelo número de vetores de uma base do espaço vetorial Observações A dimensão n de um espaço vetorial V é o número máximo de vetores linearmente independente em V e também o número mínimo de vetores necessários para gerar V i Teorema se V é um espaço vetorial com uma base de n vetores então a dimensão de V é denotada por ii Representação n dimV httpswwwyoutubecomwatchv2JPDqg2ND2Y Dimensão de um Espaço Vetorial W xyz R³x y z 0 Determine uma base e a dimensão do subespaço W Característica de w W x y z u y zyz γ110 z101 Os vetores 110 e 101 são LI Combinação Linear de w Logo a base de W será βu 110101 e a dimensão dim W 2 Note que W é um plano que passa pela origem Uma base para um plano sempre tem dois vetores U a b c d e f a d b e 0 Determine uma base e a dimensão do subespaço U Característica de A U a d 0 a d b e 0 b e A d e c d 1 0 0 e 0 1 0 c 0 0 1 f 0 0 0 Logo a base de U será βu 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 e a dimensão dim W 4 U 210121301 a Determine o subespaço gerado por U xyz a210 b121 c301 2a b 3c x a 2b y b c z Logo U xyz R³x 2y 3z 0 b Determine a dimensão de U U 210 121301 U xyz R³x 2y 3z 0 Subespaço de U Característica de u U x 2y 3z u 2y 3zyz y210 z301 Os vetores 210 e 301 são LI e o vetor 121 é LD Logo a base de U será βU 210 301 e a dimensão dim U 2 TEOREMA Se W for um subespaço de um espaço vetorial V tal que dim V n então a 0 dim W dim V b W V se e somente se dim W dim V Exemplo Se V R³ e W for um subespaço de V então 1 Se W 000 então dim W 0 2 Se W é uma reta que passa pela origem então dim W 1 3 Se W é um plano que passa pela origem então dim W 2 4 Se W R³ então dim W 3 Logo 0 dim W 3 e quando dim W 3 significa que W VR³ 1 Seja W o subespaço vetorial de M2x2 dado por W a b c d a d c a b a Qual é a dimensão de W b O conjunto 1 1 2 1 0 1 3 4 é uma base de W Por quê c Complete o conjunto do item anterior para que forme uma base para o espaço vetorial M2x2 Mostre que de fato o conjunto por vocês sugerido é uma base para M2x2