Definição e Propriedades de Autovalores e Autovetores

Autovalor e Autovetor Definição Seja T V V um Operador Linear Um escalar é chamado autovalor ou valor próprio ou valor característico de T se é possível encontrar v em V com v 0 tal que v T v Os vetores não nulos v para os quais vale que Tv v são chamados autovetores ou vetores próprios ou vetores característicos associados ao autovalor Autovetor de T Não é Autovetor de T Dependendo do valor de o operador T dilata v contrai v inverte o sentido de v ou anula v no caso de 0 v T v Autovalor e Autovetor Observações i Cálculo dos Autovalores Seja o operador linear T V V cuja a matriz canônica é dado por A T Se v e são respectivamente o autovetor e o autovalor do operador T temse v T v v Av 0 v Av 0 I v Av 0 I v A O sistema homogêneo deve admitir soluções nãonulas SPI para isso devemos ter detA I 0 A equação acima é denominada Equação Característica do operador linear T ou da matriz A e as suas raízes são os autovalores do operador T ou da matriz A Equação Característica 0 0 0 x x x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a a a a a a a a a n 2 1 nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 0 0 0 x x x a a a a a a a a a n 2 1 nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 0 0 0 x x x 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a n 2 1 nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 0 a a a a a a a a a nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 v T v v Av 0 v Av 0 I v Av 0 I v A 0 0 0 x x x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a a a a a a a a a n 2 1 nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 0 0 0 x x x a a a a a a a a a n 2 1 nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 0 0 0 x x x 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a n 2 1 nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 0 a a a a a a a a a nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 Autovalor e Autovetor ii Determinação dos Autovetores a substituição de pelos seus valores no sistema homogêneo de equações lineares A Iv 0 permite determinar os autovetores associados iii Matriz Triangular nas matrizes triangular inferior superior ou diagonal os autovalores são os elementos da diagonal principal da própria matriz iv Matriz Inversa Os autovalores de A1 são os inversos dos autovalores de A Uma matriz é inversa se e somente se os autovalores forem diferentes de zero v Aplicações de autovalores e autovetores Flambagem de colunas Vibrações de estruturas Vibrações amortecidas etc 0 0 0 x x x a a a a a a a a a n 2 1 nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 0 0 0 x x x a a a a a a a a a n 2 1 nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 Autovalor e Autovetor 01 Determinar os autovalores e os autovetores da matriz 1 2 5 4 A Exemplos 02 Determinar os autovalores e os autovetores do operador linear 3z y xz 5y x z y 3x zy x R T T R 3 3 03 Determinar os autovalores e os autovetores da matriz 8 16 10 16 A 1 2 5 4 A 3z y xz 5y x z y 3x zy x R T T R 3 3 8 16 10 16 A