Lista de Exercícios Resolvidos - Álgebra Linear - Sistemas e Espaços Vetoriais

S T Q Q S S D exercicios 1 Determine os valores de a re existe de forma que o sistema x y 2 1 2x 3y a2 3 x ay 3z 2 2 admita solução unica ii Seja SPI iii Não existe soluçao 2 Calcule det 9 1 9 9 9 9 0 9 9 1 4 0 5 2 0 9 0 3 0 0 4 0 0 0 0 3 Verifique se os conjuntos abaixo sao subespaÒos Vetoriais de V a VR3 S 4T 2T T T IR b VIR3 S xyz xy0 V M 22 S ab e o t b i a b e I R 4 Qual dos conjuntos forma uma base para P2 A t2 2T 1 37 2 44 14 B 2x2 x 4 x2 3x I C 2 1 x 1 x 2 iO posto da matriz aumentada será igual ao número de linhas não nulas da forma escalonada Então para o sistema ter uma solução única o posto deve ser igual a 3 Assim podemos ter uma solução única quando a 1 iiO posto da matriz dos coeficientes será igual ao número de linhas não nulas da forma escalonada ou seja 3 a26a5a1 que é 1 para a 2 ou a 4 Assim podemos ter SPI quando a 2 ou a 4 iii O posto da matriz aumentada é 2 e o número de equações independentes é 2 Portanto para a 1 o sistema não tem solução Resumindo O sistema tem solução única quando a 1 O sistema tem SPI quando a 2 ou a 4 O sistema não tem solução quando a 1 Para calcular o determinante dessa matriz podemos usar o método de Laplace Vamos expandir em relação à primeira coluna det 9 det0 9 9 1 0 0 5 2 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 1 det9 9 1 0 4 5 2 0 0 9 3 0 0 0 4 0 0 0 0 9 det9 0 9 1 0 4 0 2 0 0 9 0 0 0 0 4 0 0 0 0 9 det9 0 9 1 0 0 5 2 0 0 9 0 0 0 0 4 0 0 0 0 9 det9 0 9 9 1 4 0 5 2 0 9 0 3 0 0 4 0 0 0 0 A partir daqui podemos continuar expandindo cada determinante em relação a uma linha ou coluna até chegarmos a determinantes de ordem 1 que são simplesmente os elementos da matriz Fazendo isso encontramos det 9 5 0 0 0 2 0 0 0 1 9 0 0 0 0 1 2 0 0 9 1 5 0 3 4 9 0 2 0 0 0 5 0 0 9 0 0 0 0 0 5 0 0 9 0 2 0 0 0 1 5 0 0 0 1 0 3 0 4 0 0 0 0 0 Simplificando cada termo temos det 0 18 60 0 0 24 102 Portanto o determinante dessa matriz é igual a 102 3 verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de V a V R³ S 4t2tt t IR O vetor nulo é 0000 que não pertence a S então S não contém o vetor nulo Para mostrar que S é fechado em relação à adição suponha que u v S então u 4 t1 2t1 t1 e v 4 t2 2t2 t2 para algum t1 t2 IR Então a soma de u e v é 8 t1t2 2t1t2 t1t2 Como t1t2 IR a soma está em S Portanto S é fechado em relação à adição Para mostrar que S é fechado em relação à multiplicação por um escalar suponha que u S e k IR Então u 4 t 2t t para algum t IR O produto de k e u é k4 t 2t t 4k kt 2kt kt Como kt IR o produto está em S Portanto S é fechado em relação à multiplicação por um escalar Portanto S é um subespaço vetorial de R³ b V R³ S xyz xy 0 O vetor nulo é 000 que pertence a S Para mostrar que S é fechado em relação à adição suponha que u v S então u x1 y1 0 e v x2 y2 0 para algum x1 y1 x2 y2 IR Então a soma de u e v é x1x2 y1y2 0 Como xy 0 para qualquer x y IR a soma está em S Portanto S é fechado em relação à adição Para mostrar que S é fechado em relação à multiplicação por um escalar suponha que u S e k IR Então u x y 0 para algum x y IR O produto de k e u é kx y 0 kx ky 0 Como xy 0 para qualquer x y IR o produto está em S Portanto S é fechado em relação à multiplicação por um escalar Portanto S é um subespaço vetorial de R³ c não é um subespaço vetorial de R³ A letra c representa o espaço vetorial das matrizes 2x2 com entradas reais e não um subespaço de R³ que é o espaço vetorial das tuplas de três componentes com entradas reais 4 Quais dos conjuntos forma uma base para p2 A T² 2T1 3T² 4T1 B2x² x4 x²3x1 c2 1x 1x² O conjunto B forma uma base para P2 Para verificar precisamos mostrar que os vetores em B são linearmente independentes e geram todo o espaço vetorial P2 Linearmente independentes Para mostrar que os vetores em B são linearmente independentes devemos encontrar uma combinação linear deles que resulte no vetor nulo o polinômio zero Suponha que existam constantes a e b tais que a2x² x4 bx²3x1 0 Isso implica que o polinômio 2abx² a3bx 4ab 0 Para este polinômio ser o polinômio nulo as constantes devem ser a0 e b0 o que implica que os vetores em B são linearmente independentes Geram todo o espaço vetorial P2 Para mostrar que os vetores em B geram todo o espaço vetorial P2 precisamos mostrar que qualquer polinômio de grau 2 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em B Seja um polinômio genérico px ax² bx c em P2 Podemos escrever px a22x² x4 b3a2 a2 b3a2 c Portanto os vetores em B geram todo o espaço vetorial P2 e formam uma base para P2