Lista de Exercícios Resolucao de Sistemas Lineares e Algebra Linear

4 Utilize o método da eliminação de Gauss para encontrar a solução dos sistemas abaixo se possível a x 2y z 2t 1 x 2y 2z t 1 2x z t 0 b x y z 2 2x y z 0 2x 2y 2z 1 c 2x 4y 3z 16 3x 3y 6z 15 5x y 7z 5 5 Determine todos os valores de a se existe de forma que o sistema ax y z 1 x ay z 1 x y az 1 i admita apenas uma solução Exiba a solução ii admita infinitas soluções Exiba duas soluções iii não admita solução 6 Considere as matrizes A 1 2 1 4 8 5 2 4 k X x y z e B 1 k 1 4 onde k ℜ Determine se possível os valores de k para os quais o sistema AX B se torna i impossível ii possível e indeterminado iii possível e determinado 7 Encontre o conjunto solução de cada sistema abaixo a x 2y 3z 0 2x 5y 2z 0 3x y 4z 0 b x 2y z 0 2x 5y 2z 0 x 4y 7z 0 x 3y 3z 0 8 Dado um sistema homogêneo AX 0 com solução diferente da trivial mostre que se X₁ e X₂ são duas das suas soluções então qualquer combinação destas soluções αX₁ βX₂ α β ℝ também é solução do sistema 9 Se AX 0 é um sistema de 4 equações e 7 incógnitas o que pode ser dito em relação ao conjunto solução Faça considerações em termos do posto e da nulidade 10 Indique se a afirmação é verdadeira ou falsa Justifique sua resposta usando argumentos relacionados ao posto e a nulidade a Se o sistema AX B tem infinitas soluções então o sistema AX 0 também tem infinitas soluções b Se o sistema AX B é inconsistente então o sistema AX 0 possui somente a solução trivial Teorema Se A é inversível então o sistema de n equações e n variáveis AX B é sempre possível e determinado SPD e sua única solução é dada por X A¹B Justificativa 3 Resolva os sistemas abaixo a 2x 3y z 1 3x 3y z 1 2x 4y z 2 b 2x 3y z 4 3x 3y z 8 2x 4y z 5 c 2x 3y z 0 3x 3y z 0 2x 4y z 0 Determinantes propriedades Seja A uma matriz quadrada de ordem n x n com n 2 São válidas as seguintes propriedades i Se k ℝ então detk A kⁿ detA ii Se Aᵀ é a matriz transposta de A então detAᵀ detA iii Se B é uma matriz quadrada de mesma ordem que A então detA B detA detB iv A é uma matriz invertível se e somente se detA 0 Ainda a inversa A¹ é tal que detA¹ 1detA v Se A possui alguma linha ou coluna inteiramente nula então detA 0 vi Se A possuir duas linhas ou duas colunas idênticas então detA 0 vii Se A possuir duas linhas ou duas colunas múltiplas entre si então detA 0 4 Sabendo que A é n x n tal que det A 2 e que existe uma matriz P inversível tal que B PAP¹ obtenha det2Bᵀ 5 Considere A B X matrizes de ordem n x n e det A 2 det B 3 Encontre o det X sabendo que AAᵀ 3Bᵀ BX 0 6 Considere as matrizes A 0 1 0 0 2 1 0 0 1 0 5 0 0 2 0 1 B 1 4 1 3 e C 0 1 2 1 Determine se possível o resultado das operações abaixo Em caso de impossibilidade justifique o porquê a det2A²ᵀ detBᵀ C b B A Cᵀ¹ c Discuta a solução do sistema linear homogêneo cuja matriz dos coeficientes é a matriz A Aplicação de sistemas lineares 1 Considere a rede de tráfego com quatro cruzamentos A B C e D que está representada na figura ao lado A unidade de medida é veículos por minuto O tráfego flui ao longo das vias no sentido assinalado e é válida a lei que o número de veículos que entra num cruzamento é igual ao número de veículos que sai desse cruzamento a Obter o modelo matemático que analisa a rede de trafego b Interpretando a solução para o modelo obtido determine o número mínimo de veículos que deve sair i do cruzamento D e seguir na direção superior ii entrar no cruzamento C vindo da direita iii entrar no cruzamento B vindo de baixo Aplicação de Sistemas Lineares 1 a A soma de veículos que entra em um cruzamento é igual a soma de veículos que sai do cruzamento Cruzamento A x 75 t 30 Cruzamento B y 90 75 90 50 x 50 Cruzamento C t 90 y 35 75 Cruzamento D t 35 45 50 z 90 x 0 0 t45 x y 0 025 0 y 0 t20 0 0 z t40 Solução x t 45 y t 20 z t 40 As equações não são LI A solução e o fluxo dependem do valor de t b i O número de veículos que sai do cruzamento D na direção superior é representado por Z Z é uma função de t Matematicamente não existe restrição mínima para Z Então ele pode assumir qualquer valor real Porém devemos fazer algumas considerações Fisicamente não há como sair um valor negativo de carros Então fisicamente o número mínimo seria 1 Se adortamos que nenhum fluxo deve ser contrário ao sentido das setas e nem nulo O fluxo t seria que ser maior que 45 Nesse contexto o valor mínimo de Z seria Z 4540 85 veículos min ii Fazendo as mesmas considerações do item i Matematicamente não há mínimo para y Fisicamente o mínimo seria 1 para y Sem inverter nenhum fluxo Y 45 20 25 veículos min iii Fazendo as mesmas considerações do item i Matematicamente não há mínimo para Y Fisicamente o mínimo seria 0 para Y Sem inverter nenhum fluxo 0 Já que Y está entrando no cruzamento 3 a 2 x 3 y z1 3 x 3 y z1 2 x 4 y z2 Fazendo a linha 3 1 temos que y 1 Fazendo a linha 2 1 temos que x 2 Substituindo x e y na linha 2 z 2 b 2 x 3 y z4 3 x 3 y z8 2 x 4 y z5 Fazendo a linha 3 1 temos que y 1 Fazendo a linha 2 1 temos que x 4 Substituindo x e y na linha 2 z 7 c 2 x 3 y z0 3 x 3 y z0 2 x 4 y z0 Fazendo a linha 3 1 temos que y 0 Fazendo a linha 2 1 temos que x 0 Substituindo x e y na linha 2 z 0 4 det2B T2 ndetB T2 ndetB2 ndetP A P 12 ndetPdet AdetP 12 ndet p2 1 detP2 n1 det 2B T2 n 1 5 A A T3B T B X0 3 B T B XA A T det3 B T B XdetA A T 3 ndetB TdetBdetX1 ndetA Tdet A 3 n 1 detBdetBdet X1 n 1 detAdet A 3 ndet X1 n det X3 n 6 A 0 1 0 0 2 1 0 0 1 0 5 0 0 2 0 1 B1 4 1 3 e C0 1 2 1 a det2 A 2 TdetB T C2 ndetA 1 A 1detB T C2 ndet A 1detA 1detB T C B T C 0 1 2 1 0 4 8 4 0 1 2 1 0 3 6 3 det A2 21540 detB T C0 2 ndetA 1det A 1detB T C2 4 1 det A 1 det1detB T C2 4 1 40 1 400 1 100 b B A7 9 5 3 B AC T4 B AC T 1 1 16 4 1 4 c Sistema linear homogêneo é o sistema que os termos independentes são nulos No caso da matriz A isso geraria uma resposta trivial Todas as variáveis também seriam nulas 4 a x 2 y z 2t1 x 2 y 2z t1 2x 0 z t0 x 2 y z 2t1 x 2 y 2z t1 0 4 y z 5t2 x 2 y z 2t1 0 0 1z t2 0 4 y z 5t2 x 2 y z 2t1 0 4 y z 5t2 0 0 1z t2 Como são 3 equações e 4 variáveis a solução ficará em função de pelo menos uma variável z2t y13 2 t x3 b x y z2 2 x y z0 2 x 2 y 2 z1 x y z2 2 x y z0 0 4 y 4 z5 x y z2 0 3 y 3 z4 0 4 y 4 z5 O sistema é LD Portanto x y z2 0 4 y 4 z5 y5 4 z x13 4 2 z c 2 x 4 y 3z16 3 x 3 y 6 z15 5 x y 7 z5 2 x 4 y 3 z16 3 x 3 y 6 z15 0 11 y 1 2 z45 2 x 4 y 3z16 0 3 y 3 2 z9 0 11 y 1 2 z45 2 x 4 y 3 z16 0 3 y 3 2 z9 0 0 6z12 z2 y4 x3 5 ax y z1 x a y z1 x y az1 i ax y z1 x a y z1 0 a1 y a 21 za1 ax y z1 0 a 21 y a1za1 0 a1 y a 21 za1 ax y z1 0 a 21 y a1 za1 0 0 a1 2a1a1za1a1a1 z a 2a a1a 22a 1 a2 para a 0 z ½ y ½ x ½ ii Se determinante da matriz for igual a zero a 33a20 a 1 a 2 Se a1 x y z 1 Solução 1 0 0 ou Solução ½ 0 ½ iii Se a 2 6 A 1 2 1 4 8 5 2 4 k X x y z B 1 k1 4 i A x 2 y z1 4 x 8 y 5 zk1 2 x 4 y k z4 A x 2 y z1 4 x 8 y 5 zk1 0 0 2k5zk9 z k9 2k5 Se k 52 o sistema é impossível ii Se os vetores forem LD detA é sempre 0 Então há infinitas soluções para os valores adotados de k iii Os vetores da matriz A são LD Portanto não é possível ter uma solução única 7 a A x 2 y 3 z0 2x 5 y 2 z0 3x 1 y 4 z0 só existe a solução trivial 0 0 0 b A x 2 y z0 2x 5 y 2z0 x 4 y 7 z0 x 3 y 3 z0 L4 é combinação linear de L1 e L2 L3 é combinação linear de L1 e L2 O sistema tem infinitas soluções y 4 9 x z x 9 8 Sim Se A X10 e A X20 Então Aα X1β X2Aα X1A β X2α A X1β A X2α0β00 9 Posto é o número de linha nãonulas de uma matriz Em um sistema de 7 incógnitas e 4 equações o posto pode varias em 0 e 4 Nulidade é o grau de liberdade de uma matriz Em informa se a solução do sistema é única ou se há mais graus de liberdade Em uma matriz com 7 incógnitas e 4 equações a nulidade pode variar entre 3 e 7 A solução pode ter entre 3 e 7 graus de liberdade Não há solução única 10 a Verdadeiro Se o sistema tem infinitas soluções a nulidade da matriz A é diferente de zero Então para AX 0 a nulidade não se altera Por isso o sistema também admite infinitas soluções b Verdadeiro Se o sistema é inconsistente ele não admite solução Porém o ponto de uma matriz varia sempre entre 0 e m onde m é a ordem na matriz E a nulidade é n m p Então há sempre uma condição mesmo que seja para AX0 que o sistema admita solução Mesmo que essa solução seja apenas a trivial