Lista de Exercícios de Álgebra Linear - Espaços Vetoriais e Subconjuntos

Professores participantes do Grupo Colaborativo no semestre 20232 Graciela Moro Katiani da Conceição Loureiro e Marnei Luis Mandler Este é um material de acesso livre distribuído sob os termos da licença Creative Commons BYSA 40 2 CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS CCT DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DMAT GRUPO COLABORATIVO DE ENSINO DE ÁLGEBRA LINEAR SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS DE ALI001 ESPAÇOS VETORIAIS Questões 1 Seja 𝑉 ℝ2 o conjunto de todos os pares ordenados de números reais munido das operações de adição e multiplicação por escalar usuais definidas por 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝛼 𝑥 𝑦 𝛼𝑥 𝛼𝑦 Verifique se os seguintes subconjuntos de 𝑉 são fechados para as operações de adição eou de multiplicação por escalar a 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑦 0 b 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥 0 c 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥 𝑦 0 d 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥 𝑦 0 e 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ2 2𝑥 3𝑦 0 f 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ2 2𝑥 3𝑦 0 g 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ2 2𝑥 3𝑦 1 h 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑦 𝑥 i 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑦 𝑥2 j 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑦 𝑒𝑥 k 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥2 𝑦2 1 2 Seja 𝑉 𝑀22 o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem 2 2 munido das operações usuais de adição entre matrizes e multiplicação de uma matriz por um escalar Verifique se os seguintes subconjuntos de 𝑉 são fechados para as operações de adição eou de multiplicação por escalar a 𝑊 𝐴 𝑀22 𝐴 é 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡í𝑣𝑒𝑙 b 𝑊 𝐴 𝑀22 𝐴2 𝐴 c 𝑊 𝐴 𝑀22 𝐴 𝐴𝑇 3𝐴 d 𝑊 𝐴 𝑀22 𝐴𝑇 2𝐴 𝐼 em que 𝐼 é a matriz identidade de ordem 2 2 2 e 𝑊 𝐴 𝑀22 𝐴𝑇 𝐴 O em que O é a matriz nula de ordem 22 f 𝑊 𝐴 𝑀22 𝐴𝐵 𝐵𝐴 em que 𝐵 𝑀22 é uma matriz fixada g 𝑊 𝐴 𝑀22 𝐴𝑇 𝐶 𝐶 𝐴 em que 𝐶 𝑀22 é uma matriz fixada h 𝑊 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑀22 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 0 i 𝑊 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑀22 2𝑎 𝑏 3𝑑 0 j 𝑊 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑀22 𝑎 2𝑏 3𝑐 e 𝑑 5𝑏 7𝑐 k 𝑊 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 𝑀22 𝑎 𝑏 ℝ 3 Seja 𝑉 ℝ2 o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em 𝑉 como 𝑥 𝑦 𝑠 𝑡 𝑥 𝑠 1 𝑦 𝑡 2 𝛼 𝑥 𝑦 𝛼𝑥 𝛼 1 𝛼𝑦 2𝛼 2 a Calcule 𝑢 𝑣 e 𝛼 𝑢 para 𝑢 2 3 𝑣 1 2 e 𝛼 2 b Encontre o elemento 0 𝑉 tal que 𝑢 0 𝑢 para todo 𝑢 𝑉 c Dado 𝑢 𝑥 𝑦 𝑉 determine o elemento 𝑢 d Mostre que 𝑢 𝑢 𝑢 𝑢 0 é válido para todo 𝑢 𝑉 e Verifique se V é ou não um espaço vetorial com as operações de e dadas acima 4 Seja 𝑉 ℝ2 o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em 𝑉 como 𝑥 𝑦 𝑠 𝑡 𝑥 𝑠 0 e 𝛼 𝑥 𝑦 𝛼𝑥 0 Com essas operações 𝑉 é um espaço vetorial Caso não seja indique quais axiomas não são satisfeitos 5 Seja 𝑉 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑦 0 o conjunto de todos os pares ordenados de números reais cujas abscissas são sempre positivas e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em 𝑉 como 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 e 𝛼 𝑥 𝑦 𝛼𝑥 𝑦𝛼 Responda aos itens abaixo a Verifique se V é fechado para as operações acima definidas b Encontre o elemento 0𝑉 𝑉 tal que 𝑢 0𝑉 𝑢 para todo 𝑢 𝑉 c Dado 𝑢 𝑥 𝑦 𝑉 determine o elemento 𝑢 𝑉 tal que 𝑢 𝑢 0 𝑉 d Verifique se V é ou não um espaço vetorial com as operações de e dadas acima Caso não seja indique quais axiomas não são satisfeitos 3 6 Seja 𝑉 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥 0 e 𝑦 0 o conjunto de todos os pares ordenados de números reais cujas coordenadas são ambas sempre negativas e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em V como 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥𝑎 𝑦𝑏 e 𝛼 𝑥 𝑦 1𝛼1𝑥𝛼 1𝛼1𝑦𝛼 Responda aos itens abaixo a Verifique se 𝑉 é fechado para as operações acima definidas b Encontre o elemento 0𝑉 𝑉 tal que 𝑢 0𝑉 𝑢 para todo 𝑢 𝑉 c Dado 𝑢 𝑥 𝑦 𝑉 determine o elemento 𝑢 𝑉 tal que 𝑢 𝑢 0𝑉 d Mostre que 1 𝑢 𝑢 para todo 𝑢 𝑉 e Verifique se 𝑉 é ou não um espaço vetorial com as operações de e dadas acima Caso não seja indique quais axiomas não são satisfeitos 7 Verifique se o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a um com coeficientes reais denotado por 𝑃1 𝑎 𝑏𝑥 𝑎 𝑏 ℝ munido das operações de adição e multiplicação por escalar definidas por 𝑝𝑥 𝑞𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐 𝑑𝑥 𝑎 𝑑 𝑏 𝑐𝑥 𝛼𝑎 𝑏𝑥 𝛼𝑎 𝛼𝑏𝑥 é ou não um espaço vetorial Caso não seja indique quais axiomas não são satisfeitos 8 Em 𝑉 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥 0 e 𝑦 0 considere as operações não usuais de adição e multiplicação por escalar definidas por 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 7𝑥𝑎 1 2 𝑦𝑏 𝑘𝑥 𝑦 𝑥𝑘 𝑦𝑘 a Verifique se existe elemento neutro aditivo em 𝑉 isto é se existe 0𝑉 𝑉 tal que 𝑢 0𝑉 𝑢 𝑢 𝑉 b Dado 𝑢 𝑥 𝑦 𝑉 verifique se existe um elemento oposto aditivo para 𝑢 ou seja se existe 𝑢 𝑉 tal que 𝑢 𝑢 𝑂𝑉 Caso exista tal oposto exibao c Verifique se é válida ou não a propriedade 𝑘𝑢 𝑣 𝑘𝑢 𝑘𝑣 para todos 𝑢 𝑣 𝑉 𝑘 ℝ d Verifique se é válida ou não a propriedade 𝑘1 𝑘2𝑢 𝑘1𝑢 𝑘2𝑢 para todos 𝑢 𝑉 𝑘1 𝑘2 ℝ e Verifique se o conjunto 𝑊 𝑥 𝑦 𝑉 𝑦 98𝑥2 é fechado ou não para as operações de adição eou de multiplicação por escalar não usuais definidas acima 9 Em cada um dos itens abaixo verifique se o subconjunto 𝑊 é um subespaço do espaço vetorial 𝑉 dado considerando as operações usuais de adição e multiplicação em 𝑉 a 𝑉 ℝ3 e 𝑊 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 2𝑥 3𝑦 𝑧 0 b 𝑉 ℝ3 e W 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 7𝑥 5𝑦 9𝑧 0 c 𝑉 ℝ3 e 𝑊 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 𝑥 𝑦 𝑧 1 4 d 𝑉 𝑃2 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑎 𝑏 𝑐 ℝ e 𝑊 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑃2 𝑎 9𝑐 e 𝑏 7𝑐 e 𝑉 𝑃𝑛 o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 𝑛 e 𝑊 𝑝 𝑃𝑛 𝑝1 𝑝1 f 𝑉 𝑃𝑛 o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 𝑛 e 𝑊 𝑝 𝑃𝑛 𝑝6 𝑝2𝑝3 g 𝑉 ℝ3 e 𝑊 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 𝑑𝑒𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 1 2 1 0 1 3 0 h 𝑉 𝑀31 e 𝑊 𝑋 𝑀31 𝐴𝑋 0 em que 𝐴 é uma matriz de ordem 3 3 fixada i 𝑉 𝑀31 e 𝑊 𝑋 𝑀31 𝐴𝑋 𝐵 em que 𝐴 é uma matriz de ordem 3 3 fixada e 𝐵 é uma matriz não nula de ordem 3 1 fixada j 𝑉 𝑀22 e 𝑊 𝑋 𝑀22 det𝑋 0 k 𝑉 𝑀22 e 𝑊 𝐴 𝑀22 𝐴 é uma matriz antissimétrica l 𝑉 𝑀22 e 𝑊 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑀22 𝑏 𝑎 𝑒 𝑑 𝑎 6𝑐 10 Em cada item represente 𝑊 algebricamente e a seguir verifique se 𝑊 é um subespaço vetorial do espaço vetorial 𝑉 dado considerando as operações usuais nele definido a 𝑉 ℝ2 𝑊 é o conjunto dos pares ordenados pertencentes à curva 𝑦 𝑥3 b 𝑉 𝑀22 𝑊 é o conjunto de todas as matrizes simétricas de ordem 2 2 c 𝑉 𝐹ℝ o conjunto de todas as funções reais de uma variável real 𝑊 é o conjunto das funções reais pares d 𝑉 𝐹ℝ 𝑊 é o conjunto dos polinômios de grau exatamente igual a dois 11 Seja 𝑉 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑦 0 com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em 𝑉 por 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 e 𝛼 𝑥 𝑦 𝛼𝑥 𝑦𝛼 Verifique se os subconjuntos abaixo são ou não subespaços vetoriais de 𝑉 a 𝑊 𝑥 𝑦 𝑉 𝑦 𝑒𝑥 b 𝑊 𝑥 𝑦 𝑉 𝑦 𝑥 c 𝑊 𝑥 𝑦 𝑉 𝑦 5𝑥 d 𝑊 𝑥 𝑦 𝑉 𝑦 𝑥2 e 𝑊 𝑥 𝑦 𝑉 𝑥 ln𝑦 12 Em 𝑉 ℝ3 munido com as operações usuais determine o valor de 𝑘 ℝ para o qual o elemento 𝑣 𝑘 105 𝑘 é escrito como uma combinação linear de 𝑣1 3 2 6 e 𝑣2 4 7 17 A seguir exiba tal combinação linear 5 13 Em 𝑉 𝑀22 com as operações usuais verifique se 𝐵 13 19 17 5 e 𝐶 39 57 11 18 podem ser escritas como uma combinação linear de 𝐴1 1 0 1 1 𝐴2 1 1 1 0 𝐴3 1 2 1 1 e 𝐴4 4 3 6 1 Em caso positivo exiba todas as combinações lineares possíveis e indique em cada caso se alguma das matrizes 𝐴𝑖 pode ser descartada sem causar prejuízo à respectiva combinação linear 14 Em 𝑉 𝑀22 munido com as operações usuais mostre que qualquer matriz simétrica pode ser escrita como combinação linear de 𝐴1 5 0 0 0 𝐴2 0 3 3 0 e 𝐴3 0 0 0 9 15 Em 𝑉 𝑃3 munido com as operações usuais considere os elementos 𝑝1𝑥 1 𝑥 𝑥2 𝑥3 𝑝2𝑥 1 2𝑥 3𝑥3 𝑝3𝑥 1 2𝑥2 𝑥3 e 𝑝4𝑥 3 𝑥 3𝑥2 5𝑥3 Verifique se os elementos 𝑝𝑥 5 7𝑥 9𝑥2 2𝑥3 e 𝑞𝑥 6 4𝑥 𝑥2 8𝑥3 podem ser escritos como combinação linear de 𝑝1 𝑝2 𝑝3 e 𝑝4 Em caso positivo determine tais combinações lineares 16 Em um espaço vetorial 𝑉 genérico verifique se 𝑢 e 𝑣 são combinações lineares de 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑉 então 𝑤 5𝑢 8𝑣 também é uma combinação linear de 𝑣1 𝑣2 𝑣3 17 Determine se os elementos 𝑢 𝑣 𝑤 de ℝ3 exibidos nas figuras abaixo são linearmente dependentes ou linearmente independentes Explique por que a b 18 Verifique se o conjunto 𝛽 1 2 3 1 3 1 0 3 1 1 4 5 é LI ou LD 19 Dados os elementos 𝑣1 2 1 3 𝑣2 10 2 e 𝑣3 2 3 1 verifique se 𝛽 𝑣1 𝑣2 𝑣3 é LI ou LD Caso seja LD escreva um dos elementos como uma combinação linear dos demais 20 Dado o conjunto 𝛽 1 1 3 1 2 1 0 1 3 1 4 5 extraia um subconjunto LI de 𝛽 6 21 Determine se as colunas da matriz 𝐴 3 4 3 1 7 7 1 3 2 0 2 6 formam um conjunto linearmente dependente ou independente A seguir determine o número de soluções do sistema homogêneo 𝐴𝑋 0 Existe alguma relação entre a dependência ou independência linear das colunas da matriz 𝐴 e o número de soluções de um sistema homogêneo 22 Seja 𝛽 𝑢 𝑣 𝑤 um subconjunto LI de um espaço vetorial 𝑉 Verifique se os subconjuntos abaixo são LI ou LD a 𝛼 𝑢 𝑣 3𝑤 𝑢 3𝑣 𝑤 𝑣 𝑤 b 𝛼 𝑢 2𝑣 5𝑤 3𝑢 7𝑣 8𝑤 2𝑢 3𝑣 33𝑤 c 𝛼 𝑢 3𝑣 4𝑤 2𝑢 5𝑣 𝑤 5𝑢 𝑣 125𝑤 d 𝛼 0 𝑢 𝑣 𝑤 23 Em 𝑉 𝑀22 com as operações usuais determine se os elementos 𝐴1 1 0 1 1 𝐴2 1 1 1 0 𝐴3 1 2 1 1 e 𝐴4 4 3 6 1 são LI ou LD 24 Em 𝑉 𝑃3 munido das operações usuais determine se os elementos 𝑝1𝑥 1 𝑥 𝑥2 𝑥3 𝑝2𝑥 1 2𝑥 3𝑥3 𝑝3𝑥 1 2𝑥2 𝑥3 e 𝑝4𝑥 3 𝑥 3𝑥2 5𝑥3 são LI ou LD 25 Considere o subespaço vetorial 𝐻 𝑥 𝑥 𝑧 𝑥 𝑧 ℝ para responder aos itens abaixo a interprete geometricamente o conjunto 𝐻 b determine um conjunto de geradores para 𝐻 c verifique se o subespaço vetorial 𝐻 é gerado pelos elementos 2 2 0 e 1 1 0 26 Verifique se as igualdades abaixo são verdadeiras ou falsas a ℝ3 𝑔𝑒𝑟1 2 3 1 1 0 2 1 1 b 𝑃2 𝑔𝑒𝑟1 𝑥 𝑥 𝑥2 1 𝑥2 27 Determine o subespaço de 𝑉 𝑀22 que é gerado por 𝐴1 1 1 1 0 𝐴2 0 0 1 1 e 𝐴3 0 2 0 1 28 Considere o subespaço vetorial de 𝑃3 dado por 𝑊 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑑𝑥3 𝑐 3𝑑 0 e 𝑎 𝑏 7𝑑 0 a Verifique se 𝑊 é um subespaço vetorial de 𝑃3 considerando as operações usuais b Encontre os geradores de 𝑊 7 29 Considere o subespaço 𝑆 de ℝ4 dado por 𝑆 𝑔𝑒𝑟1 1 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 1 0 0 0 a O elemento 𝑣 2 3 2 2 𝑆 Justifique sua resposta b Determine a condição algébrica que deve ser satisfeita para que 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑆 c Encontre uma base e a dimensão para 𝑆 d 𝑆 ℝ4 Por quê 30 Encontre os geradores para os subespaços vetoriais de 𝑀31 que são formados por todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos a 𝑥 3𝑦 𝑧 0 2𝑥 6𝑦 2𝑧 0 3𝑥 9𝑦 3𝑧 0 b 𝑥 𝑦 5𝑧 0 3𝑥 4𝑦 7𝑧 0 2𝑥 9𝑦 144𝑧 0 5𝑥 3𝑦 69𝑧 0 c 𝑥 3𝑦 2𝑧 0 𝑥 2𝑦 6𝑧 0 4𝑥 𝑦 59𝑧 0 31 Sejam 𝑈 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑀22 𝑎 𝑏 𝑐 0 e 𝑊 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑀22 𝑏 2𝑑 0 dois subespaços vetoriais de 𝑀22 Determine os geradores para 𝑈 𝑊 e 𝑈 𝑊 32 Para quais valores de 𝑘 ℝ os elementos 1 2 0 𝑘 0 1 𝑘 1 0 2 1 0 1 0 2 3𝑘 geram um subespaço tridimensional em ℝ4 33 Determine a interseção entre os subespaços 𝑈 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑑𝑥3 𝑃3 𝑎 𝑏 𝑐 3𝑑 0 e 𝑊 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑑𝑥3 𝑃3 𝑏 2𝑐 3𝑑 0 34 Determine uma base e a dimensão para o subespaço 𝑊 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑡 ℝ5 𝑥 5𝑧 2𝑤 0 𝑦 2𝑧 3𝑡 0 4𝑥 10𝑦 7𝑤 0 35 Seja 𝑊 o subespaço vetorial de 𝑀22 dado por 𝑊 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑀22 𝑎 6𝑑 0 e 𝑐 2𝑎 5𝑏 0 a Determine uma base e a dimensão de 𝑊 b Verifique se o conjunto 𝛼 6 2 2 1 12 0 24 2 também é uma base para 𝑊 36 Considere 𝑊 o subespaço vetorial de 𝑃3 dado por 𝑊 𝑔𝑒𝑟1 2𝑥2 3 𝑥 1 𝑥 𝑥3 4 𝑥 2𝑥2 2𝑥3 a Determine a condição algébrica do subespaço gerado 𝑊 b Exiba uma base e determine a dimensão de 𝑊 8 37 Exiba a um contraexemplo que comprove que a união de dois subespaços vetoriais de um mesmo espaço vetorial não é necessariamente um subespaço vetorial b dois subespaços 𝑊1 e 𝑊2 de ℝ3 tais que 𝑊1 𝑊2 ℝ3 A seguir analise se essa soma é direta 38 Sejam 𝑈 e 𝑊 subespaços de ℝ4 de dimensão 2 e 3 respectivamente Mostre que a dimensão de 𝑈 𝑊 é pelo menos igual a 1 O que ocorre se a dimensão de 𝑈 𝑊 for 2 Essa dimensão pode ser igual a 3 Justifique suas respostas 39 Sejam 𝑈 e 𝑊 subespaços de 𝑃9 de dimensões iguais a 7 e 6 respectivamente Mostre que 𝑈 e 𝑊 possuem obrigatoriamente pelo menos um subespaço tridimensional em comum 40 Seja 𝐵 𝑀𝑛 𝑛 uma matriz não nula fixada e considere 𝑊 𝐴 𝑀𝑛 𝑛 𝐴𝑇 𝐴𝐵 0 a Mostre que 𝑊 é subespaço de 𝑀𝑛 𝑛 b Considerando 𝑛 2 e 𝐵 1 1 2 0 determine uma base e a dimensão de 𝑊 41 Em 𝑉 ℝ3 munido das operações usuais de adição e de multiplicação por escalar considere os seguintes subespaços vetoriais 𝑈 𝑔𝑒𝑟1 2 0 1 1 1 e 𝑊 𝑔𝑒𝑟0 3 1 1 1 2 Determine a a condição algébrica para que 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 pertença a 𝑈 b a condição algébrica para que 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 pertença a 𝑊 c uma base e a dimensão para 𝑈 𝑊 e 𝑈 𝑊 d 𝑈 𝑊 ℝ3 Essa soma é direta 42 Em 𝑉 𝑀22 munido das operações usuais de adição e de multiplicação por escalar considere o subespaço vetorial 𝑆 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑀22 𝑎 𝑏 0 e 𝑐 𝑑 0 a Determine uma base e indique a dimensão de 𝑆 b Construa uma base para 𝑀2 2 que contenha a base de 𝑆 obtida no item anterior 43 Em 𝑉 ℝ4 munido das operações usuais de adição e de multiplicação por escalar considere os seguintes subespaços vetoriais 𝑊1 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ℝ4 6𝑥 2𝑦 3𝑧 𝑡 0 𝑊2 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ℝ4 3𝑥 𝑦 5𝑡 0 e 𝑥 5𝑦 3𝑧 0 Determine uma base e a dimensão para a 𝑊1 b 𝑊2 c 𝑊1 𝑊2 𝑑 𝑊1 𝑊2 9 44 Em 𝑉 𝑀22 munido das operações usuais de adição e de multiplicação por escalar considere os seguintes subconjuntos 𝑊1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑀22 𝑏 𝑐 e 𝑎 𝑏 𝑊2 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑀22 𝑏 𝑑 a Verifique se 𝑊1 e 𝑊2 são subespaços vetoriais de 𝑀22 b Determine uma base e a dimensão para 𝑖 𝑊1 ii 𝑊2 iii 𝑊1 𝑊2 iv 𝑊1 𝑊2 45 Em 𝑉 𝑃3 munido das operações usuais de adição e de multiplicação por escalar considere os seguintes subespaços vetoriais 𝑊1 𝑝 𝑃3 𝑝1 2𝑝1 0 e 𝑊2 𝑝 𝑃3 𝑝2 𝑝0 a Determine uma condição algébrica para que 𝑝𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑑𝑥3 𝑊1 b Determine uma condição algébrica para que 𝑝𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑑𝑥3 𝑊2 c Determine uma base e a dimensão para 𝑊1 𝑊2 𝑊1 𝑊2 e 𝑊1 𝑊2 46 Em 𝑉 𝑃3 munido das operações usuais de adição e de multiplicação por escalar considere os seguintes subespaços vetoriais 𝑊1 𝑝𝑥 𝑃3 𝑝0 𝑝1 0 e 𝑊2 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑑𝑥3 𝑃3 𝑏 3𝑐 4𝑑 0 Determine uma base e a dimensão para a 𝑊1 b 𝑊2 c 𝑊1 𝑊2 d 𝑊1 𝑊2 47 Em 𝑉 ℝ5 munido das operações usuais de adição e de multiplicação por escalar considere os seguintes subespaços vetoriais 𝑊1 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑤 ℝ5 𝑥 𝑧 𝑤 0 𝑥 𝑤 0 𝑊2 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑤 ℝ5 𝑦 𝑧 𝑡 0 𝑊3 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑤 ℝ5 2𝑥 𝑡 2𝑤 0 a Determine uma base e a dimensão para 𝑊1 𝑊2 𝑊3 b Determine uma base e a dimensão para 𝑊1 𝑊3 c 𝑊1 𝑊2 ℝ5 Essa soma é direta 48 Em 𝑉 𝑃3 munido das operações usuais de adição e de multiplicação por escalar considere os seguintes subespaços vetoriais 𝑊 𝑝 𝑃3 𝑝0 0 e 𝑈 𝑔𝑒𝑟1 2𝑥 𝑥2 1 2𝑥2 3𝑥3 1 4𝑥 8𝑥2 9𝑥3 a Determine a condição algébrica para que 𝑝𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑑𝑥3 pertença a 𝑈 b Exiba uma base e a dimensão para 𝑖 𝑈 ii 𝑊 iii 𝑈 𝑊 iv 𝑈 𝑊 10 49 Em 𝑉 𝑀22 munido das operações usuais de adição e multiplicação por escalar considere os subespaços 𝑊1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑀22 𝑎 3𝑏 5𝑐 4𝑑 0 e 3𝑎 8𝑏 2𝑐 7𝑑 0 e 𝑊2 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑀22 2𝑎 5𝑏 4𝑐 𝑑 0 Determine uma base e a dimensão para a 𝑊1 b 𝑊2 c 𝑊1 𝑊2 d 𝑊1 𝑊2 50 Considere os subespaços vetoriais de 𝑀22 dados por 𝑈 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑀2 2 𝑎 𝑑 0 e 𝑊 𝑔𝑒𝑟 1 0 0 0 1 2 1 0 1 5 3 1 a Determine uma condição algébrica para que 𝐴 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 pertença a 𝑊 b Exiba uma base e a dimensão para 𝑖 𝑈 ii 𝑊 iii 𝑈 𝑊 iv 𝑈 𝑊 51 Sejam 𝛽 1 0 0 1 𝛽1 1 1 1 1 𝛽2 3 1 3 1 e 𝛽3 2 0 0 2 bases ordenadas de ℝ2 a Encontre a matrizes que efetuam a mudança i da base 𝛽1 para a base 𝛽 ii da base 𝛽 para a base 𝛽1 iii da base 𝛽 para a base 𝛽2 iv da base 𝛽 para a base 𝛽3 b Determine as coordenadas do elemento 𝑣 3 2 em relação às bases 𝛽 𝛽1 𝛽2 e 𝛽3 c Se as coordenadas de um elemento 𝑢 em relação à base 𝛽1 são dadas por 𝑢𝛽1 4 0 determine as coordenadas de 𝑢 em relação às bases i 𝛽 ii 𝛽2 iii 𝛽3 52 Sejam 𝛼 𝑢1 𝑢2 e 𝛽 𝑣1 𝑣2 bases de ℝ2 em que 𝑣1 𝑢1 2𝑢2 e 𝑣2 3𝑢1 5𝑢2 a Determine a matriz mudança de base de 𝛼 para 𝛽 b Suponha que 𝑣 𝑤 ℝ2 sejam tais que 𝑣𝛼 4 7 e 2𝑤 9𝑢1 17𝑢2 Encontre 𝑣𝛽 e 𝑤𝛽 a seguir represente os vetores 𝑣 𝑤 e 𝑣 𝑤 no referencial dado abaixo 11 53 Considere 𝛼 𝑣1 𝑣2 e 𝛽 𝑣1 4𝑣3 2𝑣1 7𝑣2 duas bases ordenadas de ℝ2 a Determine a matriz mudança de base de 𝛽 para 𝛼 b Determine a matriz mudança de base de 𝛼 para 𝛽 c Encontre as coordenadas em relação às bases 𝛼 e 𝛽 dos vetores cujas extremidades são os vértices do quadrilátero 𝐶𝐷𝐸𝐹 exibido na Figura 1 d Represente geometricamente no referencial dado na Figura 2 o triângulo de vértices 𝐾 𝐿 e 𝑀 sabendo que as coordenadas em relação à base 𝛽 dos vetores posição desses pontos são respectivamente 𝐾𝛽 9 5 𝐿𝛽 25 14 e 𝑀𝛽 8 4 Figura 1 Quadrilátero 𝐶𝐷𝐸𝐹 do item c Figura 2 Referencial para o item d 54 Em 𝑃4 considere as bases 𝛼 1 𝑥 𝑥2 𝑥3 𝑥4 e 𝛽 2 2𝑥 4𝑥2 8𝑥3 16𝑥4 a Determine a matriz mudança de base de 𝛼 para 𝛽 b Sejam 𝑝𝛼 1 2 3 4 5 e 𝑞𝛽 1 3 5 7 4 Encontre 𝑝𝛽 e 𝑞𝛼 55 Sejam 𝑊 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑀22 𝑑 0 um subespaço vetorial de 𝑀22 Considere as bases 𝛼 e 𝛽 para 𝑊 dadas por 𝛼 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 11 0 e 𝛽 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 a Determine as matrizes mudança de base 𝐼𝛽 𝛼 e 𝐼𝛼 𝛽 b Se 𝐴𝛽 𝜋 𝑒 0 determine 𝐴𝛼 c Se 𝐵𝛼 4 20 10 determine 𝐵𝛽 12 56 Sejam 𝛼 e 𝛽 bases de ℝ3 Determine a base 𝛽 sabendo que 𝛼 1 10 010 00 1 e que a matriz mudança de base de 𝛼 para 𝛽 é dada por 𝐼𝛽 𝛼 1 0 0 0 2 1 1 1 1 57 Seja 𝛼 1 1 0 0 0 1 1 0 2 1 2 0 uma base para um subespaço vetorial de 𝑀22 e 𝛽 outra base para esse mesmo subespaço tal que 𝐼𝛽 𝛼 1 0 1 1 1 1 2 1 2 a Determine a base 𝛽 b Se 𝐴𝛽 1 2 1 determine 𝐴𝛼 58 Sejam 𝑉 um espaço vetorial qualquer munido das operações usuais de adição e multiplicação por escalar e 𝛼 𝑣1 𝑣2 𝑣3 uma base de 𝑉 Considere os elementos 𝑢1 𝑣1 𝑣2 𝑢2 2𝑣1 𝑣2 𝑣3 e 𝑢3 𝑣2 a Determine a matriz 𝐼𝛼 𝛼 b Mostre que 𝛽 𝑢1 𝑢2 𝑢3 também é uma base para 𝑉 c Determine a matriz mudança de base de 𝛽 para 𝛼 d Encontre as coordenadas do elemento 𝑤 𝑢1 𝑢2 𝑢3 em relação à base 𝛼 59 Em 𝑉 ℝ3 considere as bases 𝛽 1 2 3 0 1 2 10 5 e 𝛼 111 1 10 011 a Determine a matriz 𝐼𝛼 𝛽 b Se 𝑣𝛽 1 2 3 determine 𝑣𝛼 c Determine a matriz 𝐼𝛽 𝛼 d Se 𝑣𝛼 1 2 3 determine𝑣𝛽 60 Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas Justifique sua resposta com argumentos consistentes a A interseção entre dois subespaços vetoriais nunca é vazia b A matriz 1 2 0 3 pertence ao subespaço 𝑊 𝑔𝑒𝑟 1 1 1 0 0 0 1 1 0 2 0 1 c Se 𝑢 𝑣 𝑤 é LI então 𝑢 𝑣 𝑣 𝑤 𝑢 𝑤 é LD d O subespaço 𝑊 𝑔𝑒𝑟1 2 0 2 4 0 é um plano em ℝ3 que passa pela origem e Em 𝑉 𝑃2 o elemento 𝑝𝑥 7 9𝑥 52𝑥2 pode ser escrito como uma combinação linear de 𝑝1𝑥 1 3𝑥 4𝑥2 e 𝑝2𝑥 2 5𝑥 10𝑥2 f Em 𝑉 ℝ3 o conjunto 𝛽 1 2 0 3 5 1 1 4 6 é linearmente independente 13 g Se 𝛽 𝑣1 𝑣2 𝑣3 é uma base de um espaço vetorial 𝑉 então o conjunto 𝛼 𝑣1 𝑣3 𝑣1 𝑣2 𝑣1 𝑣2 𝑣3 também é uma base para 𝑉 h O subespaço 𝑊 𝑝𝑥 𝑃3 𝑝3 𝑝2 0 é gerado pelos elementos 𝑝1𝑥 1 2𝑥 𝑝2𝑥 13𝑥 𝑥2 e 𝑝3𝑥 𝑥3 19𝑥 i O conjunto 𝛽 𝑣1 𝑣2 𝑣3 é sempre uma base para o subespaço gerado 𝑊 𝑔𝑒𝑟𝑣1 𝑣2 𝑣3 j O conjunto 𝛽 2 𝑥2 𝑥 𝑥2 é uma base para 𝑃2 k Seja 𝛼 2 1 𝑥 𝑥 𝑥2 𝑥2 𝑥3 uma base de 𝑃3 A matriz de coordenadas do elemento 𝑝𝑥 3 𝑥 𝑥2 𝑥3 em relação à base 𝛼 é dada por 𝑝𝛼 1 1 0 1 l Se 𝛼 e 𝛽 são bases de um espaço vetorial 𝑉 qualquer então det𝐼𝛽 𝛼 𝐼𝛼 𝛽 1 Professores participantes do Grupo Colaborativo no semestre 20232 Graciela Moro Katiani da Conceição Loureiro e Marnei Luis Mandler Este é um material de acesso livre distribuído sob os termos da licença Creative Commons BYSA 40 2 CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS CCT DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DMAT GRUPO COLABORATIVO DE ENSINO DE ÁLGEBRA LINEAR GABARITO DA SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS DE ALI001 ESPAÇOS VETORIAIS RESPOSTAS 1 a 𝑊 é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar b 𝑊 é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar c 𝑊 não é fechado para a adição e é fechado para a multiplicação por escalar d 𝑊 não é fechado para a adição e é fechado para a multiplicação por escalar e 𝑊 é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar f 𝑊 é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar g 𝑊 não é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar h 𝑊 não é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar i 𝑊 não é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar j 𝑊 não é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar k 𝑊 não é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar 2 a 𝑊 não é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar b 𝑊 não é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar c 𝑊 não é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar d 𝑊 não é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar e 𝑊 é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar f 𝑊 é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar g 𝑊 é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar h 𝑊 é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar i 𝑊 é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar j 𝑊 é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar k 𝑊 é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar 2 3 a 𝑢 𝑣 0 1 e 2 𝑢 34 b 0𝑉 12 c 𝑢 2 𝑥 4 𝑦 d Basta verificar que 𝑥 𝑦 2 𝑥 4 𝑦 12 e V é um espaço vetorial 4 𝑉 não é um espaço vetorial com tais operações de adição e multiplicação por escalar O conjunto é fechado para as operações mas não existe elemento neutro para a adição não existe elemento oposto para a adição e 1 não é elemento neutro para a multiplicação por escalar 5 a V é fechado para as operações de adição e multiplicação por escalar b 0𝑉 01 c 𝑢 𝑥 1 𝑦 d V é um espaço vetorial 6 a 𝑉 é fechado para as operações de adição e multiplicação por escalar b 0 1 1 𝑉 c 𝑢 1 𝑥 1 𝑦 𝑉 d Basta notar que 1 𝑥 𝑦 12𝑥1 12𝑦1 𝑥 𝑦 e 𝑉 é um espaço vetorial para as operações dadas 7 V é fechado para as operações de adição e multiplicação por escalar O elemento neutro aditivo é o polinômio nulo 0 0𝑥 e o elemento oposto de 𝑝𝑥 𝑎 𝑏𝑥 é o elemento 𝑝𝑥 𝑏 𝑎𝑥 Porém V não é um espaço vetorial pois não são válidas a associatividade e a comutatividade da adição 8 a 0𝑉 1 7 2 𝑉 é o elemento neutro de 𝑉 b O oposto aditivo de 𝑢 𝑥 𝑦 𝑉 é o elemento 𝑢 1 49𝑥 4 𝑦 𝑉 c A propriedade não é válida pois 𝑘𝑢 𝑣 𝑘𝑢 𝑘𝑣 d A propriedade não é válida pois 𝑘1 𝑘2𝑢 𝑘1𝑢 𝑘2𝑢 e O conjunto 𝑊 é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar não usuais 3 9 a 𝑊 é um subespaço vetorial de V b W não é um subespaço vetorial de 𝑉 pois não é fechado para a multiplicação por escalar c W não é um subespaço vetorial de V pois não é fechado para adição nem para a multiplicação por escalar d W é um subespaço vetorial de V e W é um subespaço vetorial de V f W não é um subespaço vetorial de V pois não é fechado para adição nem para a multiplicação por escalar g W é um subespaço vetorial de V h W é um subespaço vetorial de V i W não é um subespaço vetorial de V pois não é fechado para adição nem para a multiplicação por escalar j W não é um subespaço vetorial de V pois não é fechado para adição k W é um subespaço vetorial de V l W é um subespaço vetorial de V 10 a 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑦 𝑥3 não é um subespaço vetorial de 𝑉 pois não é fechado para a adição nem para a multiplicação por escalar b 𝑊 𝐴 𝑀22 𝐴𝑇 𝐴 é um subespaço vetorial de 𝑉 c 𝑊𝑓 ℝ ℝ 𝑓𝑥 𝑓𝑥 é um subespaço vetorial de 𝑉 d 𝑊 𝑝 ℝ ℝ 𝑝𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑎 𝑏 𝑐 ℝ 𝑐 0 não é um subespaço vetorial de V pois não é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar 11 a 𝑊 é um subespaço vetorial de 𝑉 b 𝑊 não é um subespaço vetorial de V c 𝑊 não é um subespaço vetorial de V d 𝑊 é um subespaço vetorial de V e 𝑊 é um subespaço vetorial de V 12 𝑘 125 𝑣 35𝑣1 5𝑣2 13 𝐵 não é combinação linear de 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 No entanto 𝐶 pode ser escrita de infinitas formas como combinação linear de 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 Tais formas são dadas por 𝐶 2 3𝑑𝐴1 25 5𝑑𝐴2 16 4𝑑𝐴3 𝑑𝐴4 com 𝑑 ℝ Nessa situação a matriz 𝐴4 poderia ser descartada sem causar prejuízo à combinação linear de 𝐶 pois tomandose 𝑑 0 temse que 𝐶 2𝐴1 25𝐴2 16𝐴3 4 14 Uma matriz simétrica de ordem 2 2 é da forma 𝐴 𝑎 𝑏 𝑏 𝑑 com 𝑎 𝑏 𝑑 ℝ Tal matriz pode ser escrita como 𝐴 𝑎 5 𝐴1 𝑏 3 𝐴2 𝑑 9 𝐴3 15 𝑞𝑥 não pode ser escrito como combinação linear de 𝑝1 𝑝2 𝑝3 e 𝑝4 Já 𝑝𝑥 pode ser escrito de infinitas formas como combinação linear de 𝑝1 𝑝2 𝑝3 e 𝑝4 Tais formas são dadas por 𝑝𝑥 3 2 𝑎3 𝑝1𝑥 4 𝑎3 𝑝2𝑥 𝑎3𝑝3𝑥 10 4 𝑎3 𝑝4𝑥 em que 𝑎3 ℝ 16 Se 𝑢 e 𝑣 são combinações lineares de 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑉 então existem escalares 𝑎1 𝑎2 𝑎3 e 𝑏1 𝑏2 𝑏3 tais que 𝑢 𝑎1𝑣1 𝑎2𝑣2 𝑎3𝑣3 e 𝑣 𝑏1𝑣1 𝑏2𝑣2 𝑏3𝑣3 Com isso 𝑤 5𝑢 8𝑣 pode ser escrito como uma combinação linear de 𝑣1 𝑣2 𝑣3 como 𝑤 5𝑎1 8𝑏1𝑣1 5𝑎2 8𝑏2𝑣2 5𝑎3 8𝑏3𝑣3 17 a 𝑢 𝑣 𝑤 são LI pois não são coplanares Para ver isso basta tomar os vetores que são equipolentes a 𝑢 𝑣 𝑤 e que possuem sua origem na origem do sistema cartesiano b 𝑢 𝑣 𝑤 são LD pois são coplanares Para ver isso basta tomar os vetores que são equipolentes a 𝑢 𝑣 𝑤 que possuem origem na origem do sistema cartesiano 18 𝛽 é LD 19 𝛽 é LD 𝑣3 3𝑣1 4𝑣2 20 Uma possibilidade é 𝛼 1 1 3 1 2 1 0 1 3 21 As colunas da matriz formam um conjunto LD O sistema homogêneo 𝐴𝑋 0 possui infinitas soluções pois é SPI 22 a 𝛼 é LD b 𝛼 é LD c 𝛼 é LI d 𝛼 é LD 23 Os elementos são LD 24 Os elementos são LD 25 a 𝐻 é um plano em ℝ3 que passa pela orig A equação do plano é 𝑦 𝑥 b 𝐻 𝑔𝑒𝑟110 001 c 𝐻 não é gerado pelos elementos 2 2 0 e 1 1 0 Tais elementos geram o plano 𝑧 0 26 a Verdadeira b Verdadeira 27 𝑔𝑒𝑟𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑀22 𝑎 𝑏 2𝑐 2𝑑 0 28 a 𝑊 é um subespaço vetorial de 𝑃3 b 𝑊 𝑔𝑒𝑟1 𝑥 7 3𝑥2 𝑥3 5 29 a 𝑣 𝑆 pois 𝑣 é uma combinação linear dos geradores de 𝑆 b 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑆 se e somente se 𝑡 𝑧 0 ou seja 𝑡 𝑧 c Uma base para 𝑆 é 𝛽 1 100 0011 1000 e dim𝑆 3 d 𝑆 ℝ4 pois dim𝑆 3 4 dimℝ4 30 a 3 1 0 e 1 0 1 b 27 22 1 c 0 0 0 31 𝑈 𝑔𝑒𝑟 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 𝑊 𝑔𝑒𝑟 1 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 1 e 𝑈 𝑊 𝑔𝑒𝑟 1 0 0 1 2 2 0 1 32 Para 𝑘 1 ou 𝑘 3 2 33 𝑈 𝑊 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑑𝑥3 𝑃3 𝑐 𝑎 e 𝑏 2𝑐 3𝑑 34 Uma base para 𝑊 é 𝛽𝑊 5 2100 43021 e dim𝑊 2 35 a Uma base para 𝑊 é 𝛽𝑊 0 1 5 0 6 0 12 1 e dim𝑊 2 b 𝛼 6 2 2 1 12 0 24 2 também é uma base para 𝑊 36 a 𝑊 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑑𝑥3 𝑃3 2𝑎 6𝑏 𝑐 8𝑑 0 b Uma base para 𝑊 é 𝛽𝑊 1 2𝑥2 𝑥 6𝑥2 𝑥2 𝑥3 e dim𝑊 3 37 a Existem diversos contraexemplos Você consegue exibir um deles b Existem diversos exemplos que satisfazem a condição desejada Você consegue exibir um deles 38 Se dim𝑈 2 e dim𝑊 3 então dim𝑈 𝑊 dim𝑈 dim𝑊 dim𝑈 𝑊 5 dim𝑈 𝑊 Como 𝑈 𝑊 é um subespaço de ℝ4 temse que dim𝑈 𝑊 dimℝ4 4 Assim dim𝑈 𝑊 5 dim𝑈 𝑊 5 4 1 Caso dim𝑈 𝑊 2 então obtémse que dim𝑈 𝑊 3 Além disso a dimensão de 𝑈 𝑊 não pode ser 3 pois 𝑈 tem dimensão 2 39 Se dim𝑈 7 e dim𝑊 6 então dim𝑈 𝑊 dim𝑈 dim𝑊 dim𝑈 𝑊 13 dim𝑈 𝑊 Como 𝑈 𝑊 é um subespaço de 𝑃9 temse que dim𝑈 𝑊 dim𝑃9 9 1 10 Assim 𝑑𝑖𝑚 𝑈 𝑊 13 𝑑𝑖𝑚 𝑈 𝑊 13 10 3 Portanto a interseção entre 𝑈 e 𝑊 é pelo menos três o que garante que eles possuem obrigatoriamente pelo menos um subespaço tridimensional em comum 6 40 a Basta mostrar que 𝑊 é fechado para a adição e multiplicação por escalar b Uma base para 𝑊 é 𝛽𝑊 1 1 1 1 e dim𝑊 1 41 a 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑈 se e somente se 2𝑥 𝑦 3𝑧 0 b 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑊 se e somente se 5𝑥 𝑦 3𝑧 0 c 𝛽𝑈𝑊 031 dim𝑈 𝑊 1 𝛽𝑈𝑊 1 20 111 112 dim𝑈 𝑊 3 d 𝑈 𝑊 ℝ3 pois dim𝑈 𝑊 3 dim ℝ3 A soma não é direta pois 𝑈 𝑊 42 a Uma base para 𝑆 é 𝛽𝑆 1 1 0 0 0 0 1 1 e dim𝑆 2 b Tal base para 𝑀22 deve ser formada por quatro matrizes LIs sendo que duas delas devem ser os elementos obtidos no item anterior 43 a Uma base é 𝛽𝑊1 1 0 0 6 0 1 0 2 0 0 1 3 e dim𝑊1 3 b Uma base é 𝛽𝑊2 25 5 0 14 15 0 5 9 e dim𝑊2 2 c Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 8 11 21 7 e dim𝑊1 𝑊2 1 d Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 1 0 0 6 0 1 0 2 0 01 3 25 5 0 14 e dim𝑊1 𝑊2 4 44 a 𝑊1 e 𝑊2 são subespaços vetoriais de 𝑀22 b i Uma base é 𝛽𝑊1 1 1 1 0 0 0 0 1 e dim𝑊1 2 ii Uma base é 𝛽𝑊2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 e dim𝑊2 3 iii Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 1 1 1 1 e dim𝑊1 𝑊2 1 iv Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 e dim𝑊1 𝑊2 4 45 a 𝑝𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑑𝑥3 𝑊1 se e somente se 3𝑎 𝑏 3𝑐 𝑑 0 b 𝑝𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑑𝑥3 𝑊2 se e somente se 𝑏 2𝑐 4𝑑 0 c i Uma base é 𝛽𝑊1 1 3𝑥3 𝑥 𝑥3 𝑥2 3𝑥3 e dim𝑊1 3 ii Uma base é 𝛽𝑊2 1 2𝑥 𝑥2 4𝑥 𝑥3 e dim𝑊2 3 iii Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 1 6𝑥 3𝑥2 11𝑥 3𝑥2 𝑥3 e dim𝑊1 𝑊2 2 iv Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 1 3𝑥3 𝑥 𝑥3 𝑥2 3𝑥3 1 e dim𝑊1 𝑊2 4 46 a Uma base é 𝛽𝑊1 1 2𝑥 𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥3 e dim𝑊1 3 b Uma base é 𝛽𝑊2 1 3𝑥 𝑥2 4𝑥 𝑥3 e dim𝑊2 3 c Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 2 3𝑥 𝑥2 5 8𝑥 2𝑥3 e dim𝑊1 𝑊2 2 d Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 1 2𝑥 𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥3 1 e dim𝑊1 𝑊2 4 7 47 a Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2𝑊3 1 6 2 4 1 e dim𝑊1 𝑊2 𝑊3 1 b Uma base é 𝛽𝑊1𝑊3 1 0 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 20 0 0 1 0 0 e dim𝑊1 𝑊3 5 𝑐 𝑊1 𝑊2 ℝ5 pois dim𝑊1 𝑊2 5 dimℝ5 Porém a soma não é direta pois dim𝑊1 𝑊2 2 já que 𝑊1 𝑊2 𝑔𝑒𝑟01010 1 2 201 ou seja 𝑊1 𝑊2 48 a 𝑝𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑑𝑥3 𝑈 se e somente se 4𝑎 3𝑏 2𝑐 0 b i Uma base é 𝛽𝑈 1 2𝑥2 2𝑥 3𝑥2 𝑥3 e dim𝑈 3 ii Uma base é 𝛽𝑊 𝑥 𝑥2 𝑥3 e dim𝑊 3 iii Uma base é 𝛽𝑈𝑊 2𝑥 3𝑥2 𝑥3 e dim𝑈 𝑊 2 iv Uma base é 𝛽𝑈𝑊 1 2𝑥2 2𝑥 3𝑥2 𝑥3 𝑥 e dim𝑈 𝑊 4 49 a Uma base é 𝛽𝑊1 34 13 1 0 53 19 0 1 e dim𝑊1 2 b Uma base é 𝛽𝑊2 1 0 0 2 0 1 0 5 0 0 1 4 e dim𝑊2 3 c Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 393 149 10 1 e dim𝑊1 𝑊2 1 d Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 34 13 1 0 53 19 0 1 1 0 0 2 0 1 0 5 e dim𝑊1 𝑊2 4 50 a 𝐴 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑊 se e somente se 𝑏 2𝑐 𝑑 0 b i Uma base é 𝛽𝑈 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 e dim𝑈 3 ii Uma base é 𝛽𝑊 1 0 0 0 0 2 1 0 0 1 0 1 e dim𝑊 3 iii Uma base é 𝛽𝑈𝑊 1 1 0 1 0 2 1 0 e dim𝑈 𝑊 2 iv Uma base é 𝛽𝑈𝑊 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 e dim𝑈 𝑊 4 51 a i 𝐼𝛽 𝛽1 1 1 1 1 ii 𝐼𝛽1 𝛽 1 2 1 1 1 1 iii 𝐼𝛽2 𝛽 1 6 3 3 3 3 iv 𝐼𝛽2 𝛽 1 2 1 0 0 1 b 𝑣𝛽 3 2 𝑣𝛽1 1 2 5 1 𝑣𝛽2 1 2 3 2 3 2 𝑣𝛽3 1 2 3 2 c i 𝑢𝛽 4 4 ii 𝑢𝛽2 1 3 23 6 23 62 iii 𝑢𝛽3 2 2 8 52 a 𝐼𝛽 𝛼 5 3 2 1 b 𝑣𝛽 1 1 e 𝑤𝛽 3 12 As representações geométricas dos elementos 𝑣 𝑤 e 𝑣 𝑤 estão na figura abaixo 53 a 𝐼𝛼 𝛽 1 2 4 7 b 𝐼𝛽 𝛼 7 2 4 1 c Em relação à base 𝛼 as coordenadas dos vetores posição dos vértices do quadrilátero 𝐶𝐷𝐸𝐹 são 𝐶𝛼 1 2 𝐷𝛼 2 1 𝐸𝛼 3 1 𝐹𝛼 2 3 Em relação à base 𝛽 as coordenadas dos vetores posição dos vértices do quadrilátero 𝐶𝐷𝐸𝐹 são 𝐶𝛽 3 2 𝐷𝛽 16 9 𝐸𝛽 19 11 𝐹𝛽 20 11 d Como 𝐾𝛼 1 1 𝐿𝛼 3 2 e 𝑀𝛼 0 4 os vetores posições dos vértices 𝐾 𝐿 e 𝑀 são dados respectivamente por 𝑣𝐾 1𝑣1 1𝑣2 𝑣𝐿 3𝑣1 2𝑣2 e 𝑣𝑀 0𝑣1 4𝑣2 4𝑣2 Com isso o triângulo 𝐾𝐿𝑀 está representado na figura abaixo 9 54 a 𝐼𝛽 𝛼 12 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 0 0 18 0 0 0 0 116 1 16 8 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 2 0 0 0 0 1 b 𝑝𝛽 1 2 1 3 4 1 2 5 16 1 16 8 16 12 8 5 e 𝑞𝛼 2 6 20 56 64 55 a 𝐼𝛽 𝛼 1 1 11 1 1 1 1 1 11 e 𝐼𝛼 𝛽 12 0 12 12 1112 512 0 112 112 1 12 6 0 6 6 11 5 0 1 1 b 𝐴𝛼 1 12 6𝜋 11𝑒 6𝜋 𝑒 c 𝐵𝛽 94 34 86 56 𝛽 1 2 2 0 1 1 0 1 2 57 a 𝛽 5 4 3 2 1 2 0 3 4 3 2 1 2 0 3 4 1 2 1 2 0 b 𝐴𝛼 0 3 1 58 a 𝐼𝛼 𝛼 1 0 0 0 1 0 0 0 1 𝐼33 b Basta mostrar que 𝛽 é LI pois dim𝑉 3 c 𝐼𝛼 𝛽 1 2 0 1 1 1 0 1 0 d 𝑤𝛼 3 3 1 59 a 𝐼𝛼 𝛽 0 3 6 1 3 5 3 5 11 b 𝑣𝛼 1 8 20 10 c 𝐼𝛽 𝛼 2 3 1 4 1 4 1 3 3 2 1 2 1 3 3 4 1 4 1 12 8 3 3 4 18 6 4 9 3 d 𝑣𝛽 7 12 7 6 5 12 1 12 7 14 5 60 a Verdadeira b Verdadeira c Verdadeira d Falsa 𝑊 é uma reta em ℝ3 que passa pela origem e Verdadeira pois 𝑝𝑥 17𝑝1𝑥 12𝑝2𝑥 f Falsa O conjunto 𝛽 é LD g Verdadeira h Verdadeira i Falsa Se o conjunto 𝛽 for LD não formará uma base para o subespaço gerado j Verdadeira k Verdadeira l Verdadeira pois 𝐼𝛽 𝛼 e 𝐼𝛼 𝛽 são matrizes inversas e o resultado desejado decorre de propriedade de determinantes det𝐴1 1 det𝐴 Tive dificuldade em escrever as matrizes Se tiver dúvida pode me chamar no chat A 15 foi uma questão que tive certa dificuldade pois a principio eu achei que qx e px podiam ser combinações lineares Questão 1 a 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ² 𝑦 0 Fechado para a adição Se somarmos dois elementos de 𝑊 os valores 𝑦 sempre serão não negativos então a adição está fechada Não é fechado para a multiplicação por escalar Se multiplicarmos um elemento de 𝑊 por um número negativo o valor 𝑦 se tornará negativo o que não está em 𝑊 b 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ² 𝑥 0 Fechado para a adição A soma de dois elementos de 𝑊 sempre terá 𝑥 igual a zero o que está em 𝑊 Fechado para a multiplicação por escalar Qualquer escalar multiplicado por um elemento de 𝑊 resultará em um elemento com 𝑥 igual a zero que está em 𝑊 c 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ² 𝑥 𝑦 0 Não é fechado para a adição A soma de dois elementos de 𝑊 pode resultar em um elemento com 𝑥 𝑦 0 o que não está em 𝑊 Fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação por escalar não afeta a condição 𝑥 𝑦 0 então a multiplicação por escalar está fechada d 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ² 𝑥 𝑦 0 Não é fechado para a adição A soma de dois elementos de 𝑊 pode resultar em um elemento com 𝑥 𝑦 0 o que não está em 𝑊 Fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação por escalar não afeta a condição 𝑥 𝑦 0 então a multiplicação por escalar está fechada e 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ² 2𝑥 3𝑦 0 Fechado para a adição A soma de dois elementos de 𝑊 sempre terá 2𝑥 3𝑦 0 o que está em 𝑊 Não é fechado para a multiplicação por escalar Se multiplicarmos um elemento de 𝑊 por um número negativo a desigualdade 2𝑥 3𝑦 0 pode não ser mais verdadeira então a multiplicação por escalar não está fechada f 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ² 2𝑥 3𝑦 0 Fechado para a adição A soma de dois elementos de 𝑊 sempre terá 2𝑥 3𝑦 0 o que está em 𝑊 Fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação por escalar não afeta a condição 2𝑥 3𝑦 0 então a multiplicação por escalar está fechada g 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ² 2𝑥 3𝑦 1 Não é fechado para a adição A soma de dois elementos de 𝑊 pode não satisfazer a equação 2𝑥 3𝑦 1 então a adição não está fechada Não é fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação por escalar não afeta a equação 2𝑥 3𝑦 1 mas a adição já não é fechada então a multiplicação por escalar também não está fechada h 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ² 𝑦 𝑥 Não é fechado para a adição A soma de dois elementos de 𝑊 pode resultar em um elemento com 𝑦 𝑥 o que não está em 𝑊 Não é fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação por escalar não afeta a igualdade 𝑦 𝑥 mas a adição já não é fechada então a multiplicação por escalar também não está fechada i 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ² 𝑦 𝑥² Não é fechado para a adição A soma de dois elementos de 𝑊 pode não satisfazer a condição 𝑦 𝑥² então a adição não está fechada Fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação por escalar não afeta a condição 𝑦 𝑥² então a multiplicação por escalar está fechada j 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ² 𝑦 𝑒𝑥 Não é fechado para a adição A soma de dois elementos de 𝑊 pode não satisfazer a igualdade 𝑦 𝑒𝑥 então a adição não está fechada Não é fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação por escalar não afeta a igualdade 𝑦 𝑒𝑥 mas a adição já não é fechada então a multiplicação por escalar também não está fechada k 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ² 𝑥² 𝑦² 1 Fechado para a adição A soma de dois elementos de 𝑊 sempre terá 𝑥² 𝑦² 1 o que está em 𝑊 Fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação por escalar não afeta a condição 𝑥² 𝑦² 1 então a multiplicação por escalar está fechada Questão 2 a 𝑊 𝐴 𝑀22 𝐴 é 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡í𝑣𝑒𝑙 Não é fechado para a adição A adição de duas matrizes invertíveis pode resultar em uma matriz não invertível já que a adição de matrizes não necessariamente preserva a invertibilidade Não é fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação de uma matriz invertível por um escalar não afeta sua invertibilidade mas a adição já não é fechada então a multiplicação por escalar também não está fechada b 𝑊 𝐴 𝑀22 𝐴² 𝐴 Não é fechado para a adição A adição de duas matrizes que satisfazem 𝐴² 𝐴 pode resultar em uma matriz que não satisfaz essa propriedade portanto a adição não é fechada Não é fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação de uma matriz que satisfaz 𝐴² 𝐴 por um escalar não preserva essa propriedade então a multiplicação por escalar não está fechada c 𝑊 𝐴 𝑀22 𝐴 𝐴ᵀ 3𝐴 Não é fechado para a adição A adição de duas matrizes que satisfazem 𝐴 𝐴ᵀ 3𝐴 pode resultar em uma matriz que não satisfaz essa propriedade portanto a adição não é fechada Não é fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação de uma matriz que satisfaz 𝐴 𝐴ᵀ 3𝐴 por um escalar não preserva essa propriedade então a multiplicação por escalar não está fechada d 𝑊 𝐴 𝑀22 𝐴ᵀ 2𝐴 𝐼 em que 𝐼 é a matriz identidade de ordem 22 Não é fechado para a adição A adição de duas matrizes que satisfazem 𝐴ᵀ 2𝐴 𝐼 pode resultar em uma matriz que não satisfaz essa propriedade portanto a adição não é fechada Não é fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação de uma matriz que satisfaz 𝐴ᵀ 2𝐴 𝐼 por um escalar não preserva essa propriedade então a multiplicação por escalar não está fechada e 𝑊 𝐴 𝑀22 𝐴ᵀ 𝐴 O em que O é a matriz nula de ordem 22 Fechado para a adição A adição de duas matrizes que satisfazem 𝐴ᵀ 𝐴 O sempre resultará em uma matriz que também satisfaz essa propriedade pois a adição de matrizes preserva essa igualdade Fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação de uma matriz que satisfaz 𝐴ᵀ 𝐴 O por um escalar também preserva essa propriedade pois a multiplicação por escalar não altera a igualdade f 𝑊 𝐴 𝑀22 𝐴𝐵 𝐵𝐴 em que 𝐵 𝑀22 é uma matriz fixada Fechado para a adição A adição de duas matrizes que satisfazem 𝐴𝐵 𝐵𝐴 sempre resultará em uma matriz que também satisfaz essa propriedade pois a adição de matrizes preserva essa igualdade Fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação de uma matriz que satisfaz 𝐴𝐵 𝐵𝐴 por um escalar também preserva essa propriedade pois a multiplicação por escalar não altera a igualdade g 𝑊 𝐴 𝑀22 𝐴ᵀ 𝐶 𝐶 𝐴 em que 𝐶 𝑀22 é uma matriz fixada Fechado para a adição A adição de duas matrizes que satisfazem 𝐴ᵀ 𝐶 𝐶 𝐴 sempre resultará em uma matriz que também satisfaz essa propriedade pois a adição de matrizes preserva essa igualdade Fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação de uma matriz que satisfaz 𝐴ᵀ 𝐶 𝐶 𝐴 por um escalar também preserva essa propriedade pois a multiplicação por escalar não altera a igualdade h Fechado para a adição A adição de duas matrizes cujos elementos satisfazem 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 0 sempre resultará em uma matriz cujos elementos também satisfazem essa desigualdade pois a adição de números reais preserva essa desigualdade Não é fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação de uma matriz cujos elementos satisfazem 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 0 por um escalar não necessariamente preserva essa desigualdade pois o escalar pode ser negativo i Fechado para a adição A adição de duas matrizes cujos elementos satisfazem 2𝑎 𝑏 3𝑑 0 sempre resultará em uma matriz cujos elementos também satisfazem essa igualdade pois a adição de números reais preserva essa igualdade Fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação de uma matriz cujos elementos satisfazem 2𝑎 𝑏 3𝑑 0 por um escalar também preserva essa propriedade pois a multiplicação por escalar não altera a igualdade j Fechado para a adição A adição de duas matrizes cujos elementos satisfazem 𝑎 2𝑏 3𝑐 e 𝑑 5𝑏 7𝑐 sempre resultará em uma matriz cujos elementos também satisfazem essas igualdades pois a adição de números reais preserva essas igualdades Fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação de uma matriz cujos elementos satisfazem 𝑎 2𝑏 3𝑐 e 𝑑 5𝑏 7𝑐 por um escalar também preserva essas propriedades pois a multiplicação por escalar não altera as igualdades k Fechado para a adição A adição de duas matrizes deste tipo sempre resultará em uma matriz do mesmo tipo pois a adição de números reais não altera essa estrutura Fechado para a multiplicação por escalar A multiplicação de uma matriz deste tipo por um escalar não altera essa estrutura pois a multiplicação por escalar não afeta a diagonal da matriz Questão 5 a Operação de adição Dado que temos dois elementos 𝑥 𝑦 e 𝑎 𝑏 em V a soma definida como 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 ainda pertence a V já que a abscissa x a é sempre positiva pois x e a são positivos e a ordenada y b também é positiva pois y e b são positivos Portanto V é fechado para a operação de adição Operação de multiplicação por escalar Dado um elemento 𝑥 𝑦 em V e um escalar 𝛼 a multiplicação por escalar definida como 𝛼 𝑥 𝑦 𝛼𝑥 𝑦𝛼 ainda pertence a V pois 𝛼𝑥 é positivo já que x e 𝛼 são positivos e 𝑦𝛼 também é positivo já que 𝑦 e 𝛼 são positivos Portanto V é fechado para a operação de multiplicação por escalar b O elemento 0𝑉 deve ser o elemento neutro da adição ou seja quando somado a qualquer elemento 𝑢 deve resultar em 𝑢 Portanto 0𝑉 0 1 pois 𝑥 𝑦 0 1 𝑥 0 𝑦 1 𝑥 𝑦 Assim 0𝑉 0 1 é o elemento neutro da adição c Dado 𝑢 𝑥 𝑦 𝑉 determine o elemento 𝑢 𝑉 tal que 𝑢 𝑢 0𝑉 O elemento oposto de 𝑢 deve ser tal que quando somado a 𝑢 resulta no elemento neutro da adição que já encontramos no item b Portanto 𝑢 𝑥 1𝑦 Verificamos agora se 𝑢 𝑢 0𝑉 𝑥 𝑦 𝑥 1𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 1𝑦 0 1 Assim 𝑢 𝑢 0𝑉 como esperado d Verifique se V é ou não um espaço vetorial com as operações de e dadas acima Caso não seja indique quais axiomas não são satisfeitos Para verificar se V é um espaço vetorial precisamos garantir que todos os axiomas de espaço vetorial sejam satisfeitos Vamos verificar cada um deles 1 Associatividade da adição 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 deve ser igual a 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 𝑦 𝑎 𝑐 𝑏𝑑 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 𝑎 𝑦𝑏 𝑐 𝑑 Os resultados são iguais portanto a associatividade da adição é satisfeita 2 Comutatividade da adição 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 deve ser igual a 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥 𝑎 𝑦𝑏 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑎 𝑥 𝑏𝑦 3 Elemento neutro da adição Já encontramos que o elemento neutro da adição é 0 1 4 Elemento oposto da adição Já encontramos que o elemento oposto de 𝑥 𝑦 é 𝑥 1𝑦 5 Distributividade da multiplicação em relação à adição 𝛼 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 deve ser igual a 𝛼 𝑥 𝑦 𝛼 𝑎 𝑏 𝛼 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝛼 𝑥 𝑎 𝑦𝑏 𝛼 𝑥 𝑦 𝛼 𝑎 𝑏 𝛼𝑥 𝑦𝛼 𝛼𝑎 𝑏𝛼 Os resultados são iguais portanto a distributividade da multiplicação em relação à adição é satisfeita 6 Associatividade da multiplicação por escalar 𝛼𝛽𝑥 𝑦 deve ser igual a 𝛼𝛽𝑥 𝑦 𝛼𝛽𝑥 𝑦 𝛼𝛽𝑥 𝛼𝛽𝑦 𝛼𝛽𝑥 𝑦 𝛼𝛽𝑥 𝑦𝛽 PORTANTO V é um espaço vetorial Questão 6 a Operação de adição Dados dois elementos 𝑥 𝑦 e 𝑎 𝑏 em 𝑉 a soma definida como 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥𝑎 𝑦𝑏 ainda pertence a 𝑉 se suas coordenadas são ambas negativas Vamos verificar isso A coordenada x de 𝑥𝑎 𝑦𝑏 é o produto de 𝑥 e 𝑎 que é negativo pois ambos 𝑥 e 𝑎 são negativos A coordenada y de 𝑥𝑎 𝑦𝑏 é o produto de 𝑦 e 𝑏 que também é negativo pois ambos 𝑦 e 𝑏 são negativos Portanto a soma 𝑥𝑎 𝑦𝑏 ainda pertence a 𝑉 e 𝑉 é fechado para a operação de adição Operação de multiplicação por escalar Dado um elemento 𝑥 𝑦 em 𝑉 e um escalar 𝛼 a multiplicação por escalar definida como 𝛼 𝑥 𝑦 11𝛼1𝑥 11𝛼1𝑦 ainda pertence a 𝑉 se suas coordenadas são ambas negativas Vamos verificar isso A coordenada x de 11𝛼1𝑥 é o produto de 11𝛼1 e 𝑥 que é negativo pois 𝑥 é negativo e 11𝛼1 é sempre positivo A coordenada y de 11𝛼1𝑦 é o produto de 11𝛼1 e 𝑦 que também é negativo pelas mesmas razões Portanto a multiplicação por escalar 11𝛼1𝑥 11𝛼1𝑦 ainda pertence a 𝑉 e 𝑉 é fechado para a operação de multiplicação por escalar Portanto 𝑉 é fechado para ambas as operações o que confirma o item a b O elemento neutro da adição denotado como 0𝑉 deve ser tal que quando somado a qualquer elemento 𝑢 o resultado seja 𝑢 c O elemento oposto de 𝑢 denotado como 𝑢 deve ser tal que quando somado a 𝑢 o resultado seja o elemento neutro da adição que já encontramos no item b De acordo com o gabarito 𝑢 1𝑥 1𝑦 Vamos verificar se 𝑢 𝑢 0𝑉 𝑥 𝑦 1𝑥 1𝑦 𝑥 1𝑥 𝑦 1𝑦 1 1 Como resultado 𝑢 𝑢 1 1 d Multiplicar um elemento por 1 não altera o elemento o que é verdade para qualquer elemento 𝑢 𝑉 e Todas as propriedades dos espaços vetoriais estão satisfeitas incluindo a associatividade comutatividade elementos neutros e opostos e as propriedades de multiplicação por escalar Questão 7 1 Fechado para adição O conjunto P1 é fechado para a operação de adição pois a soma de dois polinômios de grau 1 ou inferior resulta em outro polinômio de grau 1 ou inferior Portanto o primeiro axioma é satisfeito 2 Fechado para multiplicação por escalar O conjunto P1 é fechado para a multiplicação por escalar pois a multiplicação de um polinômio de grau 1 ou inferior por um escalar real resulta em outro polinômio de grau 1 ou inferior Portanto o segundo axioma é satisfeito 3 Associatividade da adição Se px a bx qx c dx e rx e fx são polinômios em P1 então px qx rx a bx c dx e fx a bx c e d fx Agora vejamos px qx rx px qx rx a bx c dx e fx a c b dx e fx Comparando as duas expressões finais notamos que a bx c e d fx é diferente de a c b dx e fx ou seja a associatividade da adição não é satisfeita Portanto o conjunto P1 não é um espaço vetorial pois não são válidas a associatividade da adição e consequentemente a comutatividade da adição Questão 8 a Para verificar se existe um elemento neutro aditivo em V precisamos encontrar 0𝑉𝑉 tal que 𝑢0𝑉𝑢 𝑢𝑉 Vamos encontrar 0𝑉 u 0𝑉 𝑥 𝑦 0𝑉 7𝑥0 12𝑦0 0 0 Portanto 0𝑉172𝑉 é o elemento neutro de 𝑉 b Para verificar se existe um elemento oposto aditivo para 𝑢𝑥𝑦𝑉 precisamos encontrar 𝑢𝑉 tal que 𝑢𝑢𝑂𝑉 Vamos encontrar 𝑢 u 𝑢 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 7𝑥𝑥 12𝑦𝑦 7𝑥212𝑦2 Portanto o oposto aditivo de 𝑢𝑥𝑦 é 𝑢17𝑥412𝑦𝑉 c Vamos verificar a propriedade 𝑘𝑢𝑣𝑘𝑢𝑘𝑣 para todos 𝑢𝑣𝑉 𝑘ℝ Seja 𝑢𝑥𝑦 e 𝑣𝑎𝑏 então 𝑘𝑢𝑣𝑘7𝑥𝑎12𝑦𝑏7𝑘𝑥𝑎12𝑘𝑦𝑏 𝑘𝑢𝑘𝑣𝑘𝑥𝑘𝑦𝑘𝑎𝑘𝑏𝑘𝑥𝑘𝑎𝑘𝑦𝑘𝑏 A propriedade não é válida pois 𝑘𝑢𝑣𝑘𝑢𝑘𝑣 para todos 𝑢𝑣𝑉 e 𝑘ℝ d Vamos verificar a propriedade 𝑘1𝑘2𝑢𝑘1𝑢𝑘2𝑢 para todos 𝑢𝑉 𝑘1𝑘2ℝ Seja 𝑢𝑥𝑦 então 𝑘1𝑘2𝑢𝑘1𝑘2𝑥𝑦𝑘1𝑥𝑘2𝑥𝑘1𝑦𝑘2𝑦𝑥𝑘1𝑘2𝑦𝑘1𝑘2 𝑘1𝑢𝑘2𝑢𝑘1𝑥𝑘1𝑦𝑘2𝑥𝑘2𝑦𝑥𝑘1𝑥𝑘2𝑦𝑘1𝑦𝑘2𝑥𝑘1𝑘2𝑦𝑘1𝑘2 A propriedade é válida pois 𝑘1𝑘2𝑢𝑘1𝑢𝑘2𝑢 para todos 𝑢𝑉 𝑘1𝑘2ℝ e Vamos verificar se o conjunto 𝑊𝑥𝑦𝑉𝑦98𝑥2 é fechado ou não para as operações de adição eou de multiplicação por escalar não usuais definidas acima Para adição Se 𝑢𝑥𝑦 e 𝑣𝑎𝑏 estão em 𝑊 então 𝑦98𝑥2 e 𝑏98𝑎2 Agora vamos verificar a adição 𝑢𝑣𝑥𝑦𝑎𝑏7𝑥𝑎12𝑦𝑏 Para que 𝑢𝑣 esteja em 𝑊 precisamos que 𝑦𝑏98𝑥𝑎2 Substituindo 𝑦 e 𝑏 98𝑥298𝑎298𝑥𝑎2 Isso é verdade portanto 𝑢𝑣 está em 𝑊 e o conjunto 𝑊 é fechado para a adição Agora para a multiplicação por escalar Se 𝑢𝑥𝑦 está em 𝑊 e 𝑘ℝ então 𝑦98𝑥2 Vamos verificar a multiplicação por escalar 𝑘𝑢𝑘𝑥𝑘𝑦 Para que 𝑘𝑢 esteja em 𝑊 precisamos que 𝑘𝑦98𝑘𝑥2 Substituindo 𝑦 98𝑘𝑥298𝑘𝑥2 Isso também é verdade portanto 𝑘𝑢 está em 𝑊 e o conjunto 𝑊 é fechado para a multiplicação por escalar Portanto o conjunto 𝑊𝑥𝑦𝑉𝑦98𝑥2 é fechado para as operações de adição e multiplicação por escalar não usuais definidas acima Questão 9 a 𝑉 ℝ³ e 𝑊 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ³ 2𝑥 3𝑦 𝑧 0 Passo 1 Verificar se 𝑊 é fechado sob adição Para verificar se 𝑊 é fechado sob adição precisamos escolher dois vetores 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑧₁ e 𝑥₂ 𝑦₂ 𝑧₂ em 𝑊 e somálos Se 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑧₁ e 𝑥₂ 𝑦₂ 𝑧₂ estão em 𝑊 então 2𝑥₁ 3𝑦₁ 𝑧₁ 0 2𝑥₂ 3𝑦₂ 𝑧₂ 0 Agora somamos esses dois vetores 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑧₁ 𝑧₂ Para verificar se esse vetor está em 𝑊 precisamos checar se a seguinte equação é satisfeita 2𝑥₁ 𝑥₂ 3𝑦₁ 𝑦₂ 𝑧₁ 𝑧₂ 0 Expandindo essa equação obtemos 2𝑥₁ 2𝑥₂ 3𝑦₁ 3𝑦₂ 𝑧₁ 𝑧₂ 0 Agora substituímos as equações dadas para 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑧₁ e 𝑥₂ 𝑦₂ 𝑧₂ 2𝑥₁ 2𝑥₂ 3𝑦₁ 3𝑦₂ 𝑧₁ 𝑧₂ 2𝑥₁ 3𝑦₁ 𝑧₁ 2𝑥₂ 3𝑦₂ 𝑧₂ 0 0 0 Portanto 𝑊 é fechado sob adição Passo 2 Verificar se 𝑊 é fechado sob multiplicação por escalar Para verificar se 𝑊 é fechado sob multiplicação por escalar precisamos escolher um vetor 𝑥 𝑦 𝑧 em 𝑊 e um escalar 𝑐 e multiplicálos Se 𝑥 𝑦 𝑧 está em 𝑊 então 2𝑥 3𝑦 𝑧 0 𝑐𝑥 𝑦 𝑧 𝑐𝑥 𝑐𝑦 𝑐𝑧 Para verificar se esse vetor está em 𝑊 precisamos checar se a seguinte equação é satisfeita 2𝑐𝑥 3𝑐𝑦 𝑐𝑧 0 Agora substituímos a equação dada para 𝑥 𝑦 𝑧 2𝑐𝑥 3𝑐𝑦 𝑐𝑧 𝑐2𝑥 3𝑦 𝑧 𝑐0 0 Portanto 𝑊 é fechado sob multiplicação por escalar Como 𝑊 é fechado sob adição e multiplicação por escalar podemos concluir que 𝑊 é um subespaço vetorial de 𝑉 SÃO MUITOS ITENS POSSO TE AJUDAR EM DÚVIDAS PONTUAIS Questão 10 a 𝑉 ℝ² 𝑊 é o conjunto dos pares ordenados pertencentes à curva 𝑦 𝑥³ Para que 𝑊 seja um subespaço vetorial de 𝑉 ele deve satisfazer as propriedades de subespaço ou seja deve ser fechado para a adição e a multiplicação por escalar O conjunto 𝑊 consiste nos pontos da curva 𝑦 𝑥³ ou seja todos os pares ordenados da forma 𝑥 𝑥³ onde 𝑥 pertence aos números reais Vamos verificar se 𝑊 é fechado para a adição e a multiplicação por escalar Se pegarmos dois pontos na curva por exemplo 1 1 e 1 1 a soma desses pontos não está na curva ou seja 1 1 1 1 0 0 que não pertence à curva 𝑦 𝑥³ Portanto 𝑊 não é fechado para a adição Além disso se multiplicarmos um ponto da curva por um escalar por exemplo 2 1 1 2 2 o resultado também não está na curva 𝑦 𝑥³ Portanto 𝑊 também não é fechado para a multiplicação por escalar Portanto podemos concluir que 𝑊 não é um subespaço vetorial de 𝑉 b 𝑉 𝑀22 𝑊 é o conjunto de todas as matrizes simétricas de ordem 2 2 Para que 𝑊 seja um subespaço vetorial de 𝑉 ele deve satisfazer as propriedades de subespaço ou seja deve ser fechado para a adição e a multiplicação por escalar O conjunto 𝑊 consiste em todas as matrizes simétricas de ordem 2x2 Vamos verificar se 𝑊 é fechado para a adição e a multiplicação por escalar 1 Fechado para a adição Se somarmos duas matrizes simétricas o resultado também será simétrico Portanto 𝑊 é fechado para a adição 2 Fechado para a multiplicação por escalar Se multiplicarmos uma matriz simétrica por um escalar o resultado continuará sendo simétrico Portanto 𝑊 é fechado para a multiplicação por escalar Portanto 𝑊 é de fato um subespaço vetorial de 𝑉 c 𝑉 𝐹ℝ o conjunto de todas as funções reais de uma variável real 𝑊 é o conjunto das funções reais pares Para que 𝑊 seja um subespaço vetorial de 𝑉 ele deve satisfazer as propriedades de subespaço ou seja deve ser fechado para a adição e a multiplicação por escalar O conjunto 𝑊 consiste em todas as funções reais pares ou seja funções 𝑓𝑥 onde 𝑓𝑥 𝑓𝑥 para todos os 𝑥 reais Vamos verificar se 𝑊 é fechado para a adição e a multiplicação por escalar 1 Fechado para a adição Se somarmos duas funções pares o resultado também será uma função par pois 𝑓 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓 𝑔𝑥 Portanto 𝑊 é fechado para a adição 2 Fechado para a multiplicação por escalar Se multiplicarmos uma função par por um escalar o resultado continuará sendo uma função par pois 𝑎𝑓𝑥 𝑎𝑓𝑥 𝑎𝑓𝑥 Portanto 𝑊 é fechado para a multiplicação por escalar Portanto 𝑊 é de fato um subespaço vetorial de 𝑉 d 𝑉 𝐹ℝ 𝑊 é o conjunto dos polinômios de grau exatamente igual a dois Para que 𝑊 seja um subespaço vetorial de 𝑉 ele deve satisfazer as propriedades de subespaço ou seja deve ser fechado para a adição e a multiplicação por escalar O conjunto 𝑊 consiste em todos os polinômios de grau exatamente igual a dois ou seja polinômios da forma 𝑝𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥² onde 𝑎 𝑏 e 𝑐 são números reais e 𝑐 0 Vamos verificar se 𝑊 é fechado para a adição e a multiplicação por escalar 1 Fechado para a adição Se somarmos dois polinômios de grau dois o resultado também será um polinômio de grau dois Portanto 𝑊 é fechado para a adição 2 Fechado para a multiplicação por escalar Se multiplicarmos um polinômio de grau dois por um escalar o resultado continuará sendo um polinômio de grau dois Portanto 𝑊 é fechado para a multiplicação por escalar Portanto 𝑊 é de fato um subespaço vetorial de 𝑉 Questão 11 a 𝑊 𝑥 𝑦 𝑉 𝑦 𝑒𝑥 Para que 𝑊 seja um subespaço vetorial de 𝑉 ele deve satisfazer as propriedades de subespaço ou seja deve ser fechado para a adição e a multiplicação por escalar 1 Fechado para a adição Se pegarmos dois elementos em 𝑊 por exemplo 𝑥₁ 𝑦₁ e 𝑥₂ 𝑦₂ ambos têm 𝑦 𝑒𝑥 Agora somamos esses elementos 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑥₂ 𝑦₂ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑦₁ 𝑦₂ Como 𝑦₁ 𝑒𝑥₁ e 𝑦₂ 𝑒𝑥₂ temos 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑒𝑥₁ 𝑒𝑥₂ Usando as propriedades de exponenciação obtemos 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑒𝑥₁ 𝑥₂ Observe que 𝑒𝑥₁ 𝑥₂ 𝑒𝑥 a menos que 𝑥₁ 𝑥₂ Portanto 𝑊 não é fechado para a adição pois a soma de dois elementos de 𝑊 nem sempre produz um elemento em 𝑊 2 Fechado para a multiplicação por escalar Se multiplicarmos um elemento de 𝑊 por um escalar 𝛼 obtemos 𝛼 𝑥 𝑦 𝛼𝑥 𝑦𝛼 Novamente observe que 𝑦𝛼 𝑒𝛼𝑥 a menos que 𝛼 seja igual a 1 Portanto 𝑊 não é fechado para a multiplicação por escalar Portanto podemos concluir que 𝑊 não é um subespaço vetorial de 𝑉 b 𝑊 𝑥 𝑦 𝑉 𝑦 𝑥 Para verificar se 𝑊 é um subespaço vetorial de 𝑉 vamos analisar as propriedades 1 Fechado para a adição Se pegarmos dois elementos em 𝑊 por exemplo 𝑥₁ 𝑦₁ e 𝑥₂ 𝑦₂ ambos têm 𝑦 𝑥 Agora somamos esses elementos 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑥₂ 𝑦₂ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₁ 𝑥₂ Observe que 𝑥₁ 𝑥₂ pode não ser igual a 𝑥₁ 𝑥₂ em alguns casos Por exemplo se 𝑥₁ 1 e 𝑥₂ 2 então 𝑥₁ 𝑥₂ 1 mas 𝑥₁ 𝑥₂ 3 Portanto 𝑊 não é fechado para a adição 2 Fechado para a multiplicação por escalar Se multiplicarmos um elemento de 𝑊 por um escalar 𝛼 obtemos 𝛼 𝑥 𝑦 𝛼𝑥 𝛼𝑥 Observe que para alguns valores de 𝛼 𝛼𝑥 pode não ser igual a 𝛼 𝑥 o que significa que 𝑊 não é fechado para a multiplicação por escalar Portanto podemos concluir que 𝑊 não é um subespaço vetorial de 𝑉 c 𝑊 𝑥 𝑦 𝑉 𝑦 5𝑥 Para verificar se 𝑊 é um subespaço vetorial de 𝑉 vamos analisar as propriedades 1 Fechado para a adição Se pegarmos dois elementos em 𝑊 por exemplo 𝑥₁ 𝑦₁ e 𝑥₂ 𝑦₂ ambos têm 𝑦 5𝑥 Agora somamos esses elementos 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑥₂ 𝑦₂ 𝑥₁ 𝑥₂ 5𝑥₁ 5𝑥₂ Observe que 5𝑥₁ 5𝑥₂ 5𝑥₁ 𝑥₂ o que significa que 𝑊 é fechado para a adição 2 Fechado para a multiplicação por escalar Se multiplicarmos um elemento de 𝑊 por um escalar 𝛼 obtemos 𝛼 𝑥 𝑦 𝛼𝑥 5𝛼𝑥 Observe que 5𝛼𝑥 5𝛼𝑥 o que significa que 𝑊 é fechado para a multiplicação por escalar Portanto podemos concluir que 𝑊 é um subespaço vetorial de 𝑉 d 𝑊 𝑥 𝑦 𝑉 𝑦 𝑥² Para verificar se 𝑊 é um subespaço vetorial de 𝑉 vamos analisar as propriedades 1 Fechado para a adição Se pegarmos dois elementos em 𝑊 por exemplo 𝑥₁ 𝑦₁ e 𝑥₂ 𝑦₂ ambos têm 𝑦 𝑥₁² e 𝑦 𝑥₂² Agora somamos esses elementos 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑥₂ 𝑦₂ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₁² 𝑥₂² Observe que 𝑥₁² 𝑥₂² 𝑥₁ 𝑥₂² o que significa que 𝑊 é fechado para a adição 2 Fechado para a multiplicação por escalar Se multiplicarmos um elemento de 𝑊 por um escalar 𝛼 obtemos 𝛼 𝑥 𝑦 𝛼𝑥 𝛼𝑦 Observe que 𝛼𝑦 𝛼𝑥² o que significa que 𝑊 é fechado para a multiplicação por escalar Portanto podemos concluir que 𝑊 é um subespaço vetorial de 𝑉 e 𝑊 𝑥 𝑦 𝑉 𝑥 ln𝑦 Para verificar se 𝑊 é um subespaço vetorial de 𝑉 vamos analisar as propriedades 1 Fechado para a adição Se pegarmos dois elementos em 𝑊 por exemplo 𝑥₁ 𝑦₁ e 𝑥₂ 𝑦₂ ambos têm 𝑥 ln𝑦₁ e 𝑥 ln𝑦₂ Agora somamos esses elementos 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑥₂ 𝑦₂ ln𝑦₁ ln𝑦₂ 𝑦₁𝑦₂ Observe que ln𝑦₁ ln𝑦₂ ln𝑦₁𝑦₂ o que significa que 𝑊 é fechado para a adição 2 Fechado para a multiplicação por escalar Se multiplicarmos um elemento de 𝑊 por um escalar 𝛼 obtemos 𝛼 𝑥 𝑦 𝛼ln𝑦 𝑦𝛼 Observe que 𝛼ln𝑦 ln𝑦𝛼 o que significa que 𝑊 é fechado para a multiplicação por escalar Portanto podemos concluir que 𝑊 é um subespaço vetorial de 𝑉 Questão 12 Para encontrar o valor de 𝑘 ℝ para o qual o elemento 𝑣 𝑘 105 𝑘 é uma combinação linear dos vetores 𝑣₁ 3 2 6 e 𝑣₂ 4 7 17 podemos escrever a seguinte equação 𝑣 𝑘𝑣₁ 𝑙𝑣₂ onde 𝑙 é um escalar que estamos tentando encontrar Substituindo os valores conhecidos temos 𝑘 105 𝑘 𝑘3 2 6 𝑙4 7 17 Agora podemos igualar as componentes correspondentes 1 Para as componentes 𝑥 𝑘 3𝑘 4𝑙 2 Para as componentes 𝑦 105 2𝑘 7𝑙 3 Para as componentes 𝑧 𝑘 6𝑘 17𝑙 Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de 𝑘 e 𝑙 Primeiro da primeira equação podemos isolar 𝑘 𝑘 3𝑘 4𝑙 2𝑘 4𝑙 𝑘 2𝑙 Agora substitua 𝑘 2𝑙 na segunda equação 105 22𝑙 7𝑙 105 4𝑙 7𝑙 105 3𝑙 Agora podemos encontrar 𝑙 3𝑙 105 𝑙 105 3 𝑙 35 Agora que temos o valor de 𝑙 podemos encontrar 𝑘 usando 𝑘 2𝑙 𝑘 235 𝑘 70 Portanto o valor de 𝑘 é 𝑘 70 e a combinação linear correspondente é 𝑣 35𝑣₁ 5𝑣₂ 𝑣 353 2 6 54 7 17 𝑣 105 70 210 20 35 85 𝑣 125 105 125 125 105 125 O valor de 𝑘 é 125 e a combinação linear correspondente é 𝑣 35𝑣₁ 5𝑣₂ Questão 13 Para verificar se as matrizes 𝐵 e 𝐶 podem ser escritas como combinações lineares das matrizes 𝐴₁ 𝐴₂ 𝐴₃ e 𝐴₄ precisamos encontrar coeficientes escalares tais que Para 𝐵 𝐵 𝑥₁𝐴₁ 𝑥₂𝐴₂ 𝑥₃𝐴₃ 𝑥₄𝐴₄ Para 𝐶 𝐶 𝑦₁𝐴₁ 𝑦₂𝐴₂ 𝑦₃𝐴₃ 𝑦₄𝐴₄ Vamos começar com a matriz 𝐵 𝐵 13 19 17 5 Vamos tentar encontrar coeficientes 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ e 𝑥₄ para as quais podemos escrever 𝐵 como uma combinação linear das matrizes 𝐴₁ 𝐴₂ 𝐴₃ e 𝐴₄ 𝐵 𝑥₁𝐴₁ 𝑥₂𝐴₂ 𝑥₃𝐴₃ 𝑥₄𝐴₄ Multiplicando cada matriz 𝐴ᵢ pelo escalar correspondente e somando obtemos 𝑥₁𝐴₁ 𝑥₂𝐴₂ 𝑥₃𝐴₃ 𝑥₄𝐴₄ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 4𝑥₄ 𝑥₁ 𝑥₂ 2𝑥₃ 3𝑥₄ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 6𝑥₄ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑥₄ Comparando as entradas das duas matrizes temos 1 Para a entrada 11 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 4𝑥₄ 13 2 Para a entrada 12 𝑥₁ 𝑥₂ 2𝑥₃ 3𝑥₄ 19 3 Para a entrada 21 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 6𝑥₄ 17 4 Para a entrada 22 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑥₄ 5 Agora vamos tentar encontrar coeficientes 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦₃ e 𝑦₄ para a matriz 𝐶 𝐶 𝑦₁𝐴₁ 𝑦₂𝐴₂ 𝑦₃𝐴₃ 𝑦₄𝐴₄ Multiplicando cada matriz 𝐴ᵢ pelo escalar correspondente e somando obtemos 𝑦₁𝐴₁ 𝑦₂𝐴₂ 𝑦₃𝐴₃ 𝑦₄𝐴₄ 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦₃ 4𝑦₄ 𝑦₁ 𝑦₂ 2𝑦₃ 3𝑦₄ 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦₃ 6𝑦₄ 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦₃ 𝑦₄ Comparando as entradas das duas matrizes temos 1 Para a entrada 11 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦₃ 4𝑦₄ 39 2 Para a entrada 12 𝑦₁ 𝑦₂ 2𝑦₃ 3𝑦₄ 57 3 Para a entrada 21 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦₃ 6𝑦₄ 11 4 Para a entrada 22 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦₃ 𝑦₄ 18 Agora vamos analisar os sistemas de equações resultantes para 𝐵 e 𝐶 Para 𝐵 1 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 4𝑥₄ 13 2 𝑥₁ 𝑥₂ 2𝑥₃ 3𝑥₄ 19 3 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 6𝑥₄ 17 4 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑥₄ 5 Para 𝐶 1 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦₃ 4𝑦₄ 39 2 𝑦₁ 𝑦₂ 2𝑦₃ 3𝑦₄ 57 3 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦₃ 6𝑦₄ 11 4 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦₃ 𝑦₄ 18 Vamos agora resolver esses sistemas de equações para 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑥₄ 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦₃ 𝑦₄ Para 𝐵 o sistema não tem solução pois as equações são inconsistentes Para 𝐶 o sistema tem infinitas soluções pois as equações são dependentes Isso significa que 𝐶 pode ser escrita de infinitas formas como uma combinação linear das matrizes 𝐴₁ 𝐴₂ 𝐴₃ e 𝐴₄ As formas possíveis para 𝐶 são dadas por 𝐶 2 3𝑑𝐴₁ 25 5𝑑𝐴₂ 16 4𝑑𝐴₃ 𝑑𝐴₄ onde 𝑑 ℝ Nessa situação a matriz 𝐴₄ poderia ser descartada sem causar prejuízo à combinação linear de 𝐶 pois tomandose 𝑑 0 temse que 𝐶 2𝐴₁ 25𝐴₂ 16𝐴₃ Questão 14 Para mostrar que qualquer matriz simétrica de ordem 2x2 pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes 𝐴1 𝐴2 e 𝐴3 conforme dado no gabarito vamos começar com uma matriz simétrica genérica 𝐴 𝐴 𝑎 𝑏 𝑏 𝑑 Agora precisamos encontrar os coeficientes para escrever 𝐴 como uma combinação linear das matrizes 𝐴1 𝐴2 e 𝐴3 De acordo com o gabarito os coeficientes são Para 𝐴1 𝑎5 Para 𝐴2 𝑏3 Para 𝐴3 𝑑9 Agora vamos escrever 𝐴 como uma combinação linear dessas matrizes 𝐴 𝑎5𝐴1 𝑏3𝐴2 𝑑9𝐴3 Vamos calcular cada termo 1 𝑎5𝐴1 𝑎5𝐴1 𝑎5 5 0 0 0 𝑎 0 0 0 2 𝑏3𝐴2 𝑏3𝐴2 𝑏3 0 3 3 0 0 𝑏 𝑏 0 3 𝑑9𝐴3 𝑑9𝐴3 𝑑9 0 0 0 9 0 0 0 𝑑 Agora somamos esses termos 𝑎5𝐴1 𝑏3𝐴2 𝑑9𝐴3 𝑎 0 0 0 0 𝑏 𝑏 0 0 0 0 𝑑 A soma dessas três matrizes nos dá 𝑎 𝑏 𝑏 𝑑 Que é exatamente a matriz 𝐴 original Portanto mostramos que qualquer matriz simétrica de ordem 2x2 pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes 𝐴1 𝐴2 e 𝐴3 Questão 15 Vamos começar provando que 𝑞𝑥 não pode ser escrito como uma combinação linear de 𝑝1 𝑝2 𝑝3 e 𝑝4 Suponha que 𝑞𝑥 pudesse ser escrito como uma combinação linear de 𝑝1 𝑝2 𝑝3 e 𝑝4 da seguinte forma 𝑞𝑥 𝑎𝑝1𝑥 𝑏𝑝2𝑥 𝑐𝑝3𝑥 𝑑𝑝4𝑥 Agora vamos comparar os termos de grau 3 de ambos os lados da equação O termo de grau 3 em 𝑞𝑥 é 8𝑥³ enquanto os termos de grau 3 nas funções 𝑝1𝑥 𝑝2𝑥 𝑝3𝑥 e 𝑝4𝑥 são 1𝑥³ 3𝑥³ 1𝑥³ e 5𝑥³ respectivamente Agora olhando para a equação de combinação linear 8𝑥³ 𝑎1𝑥³ 𝑏3𝑥³ 𝑐1𝑥³ 𝑑5𝑥³ Simplificando cada termo 8𝑥³ 𝑎𝑥³ 3𝑏𝑥³ 𝑐𝑥³ 5𝑑𝑥³ Agora somando os coeficientes dos termos de grau 3 8 𝑎 3𝑏 𝑐 5𝑑 Agora observe que não importa quais valores você escolher para 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝑑 você nunca poderá fazer com que a equação acima seja verdadeira Isso ocorre porque não há combinação de coeficientes que possa fazer com que 8 seja igual a 𝑎 3𝑏 𝑐 5𝑑 Portanto 𝑞𝑥 não pode ser escrito como uma combinação linear das funções 𝑝1𝑥 𝑝2𝑥 𝑝3𝑥 e 𝑝4𝑥 Agora para 𝑝𝑥 afirmamos que ele pode ser escrito de infinitas formas como uma combinação linear de 𝑝1 𝑝2 𝑝3 e 𝑝4 Isso ocorre porque 𝑝𝑥 pode ser expresso como 𝑝𝑥 𝑎𝑝1𝑥 𝑏𝑝2𝑥 𝑐𝑝3𝑥 𝑑𝑝4𝑥 Os coeficientes 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝑑 são variáveis arbitrárias ou seja você pode escolher qualquer conjunto de valores para 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝑑 e ainda será possível representar 𝑝𝑥 como uma combinação linear das funções 𝑝1 𝑝2 𝑝3 e 𝑝4 Como esses coeficientes são arbitrários você pode escolher infinitas combinações deles o que significa que 𝑝𝑥 pode ser escrito de infinitas formas como uma combinação linear de 𝑝1 𝑝2 𝑝3 e 𝑝4 EXEMPLO 𝑝𝑥 𝑎𝑝1𝑥 𝑏𝑝2𝑥 𝑐𝑝3𝑥 𝑑𝑝4𝑥 Substituindo os valores que encontramos 𝑝𝑥 445 3𝑏𝑝1𝑥 6𝑝2𝑥 475𝑝3𝑥 25𝑝4𝑥