Sumário de Álgebra Linear: Matrizes, Sistemas e Operadores Lineares

Sumário 1 MATRIZES E SISTEMAS 4 11 Tipos de matrizes 4 12 Operações com matrizes 7 13 Matriz na forma escada reduzida por linhas 11 14 Cálculo da inversa 13 15 Determinantes 14 16 Primeira lista de exercícios 18 17 Sistema de equações lineares 21 171 Introdução 21 172 Sistemas e matrizes 22 173 Solução de um sistema por matriz inversa 25 18 Segunda lista de exercícios 27 19 Apêndice 31 191 Cálculo da inversa por adjunta 31 192 Regra de Cramer 32 2 ESPAÇOS VETORIAIS 36 21 Introdução 36 22 Subespaços 43 23 Intersecção de dois Subespaços Vetoriais 46 24 Combinação Linear 48 25 Dependência e Independência Linear 49 26 Subespaços Gerados 51 27 Soma de Subespaços 53 28 Base e Dimensão de um Espaço Vetorial 54 281 Base 54 282 Dimensão 59 283 Dimensão da Soma de Subespaços Vetoriais 60 284 Coordenadas 60 29 Mudança de Base 61 210 A Inversa da Matriz de Mudança de Base 65 211 Terceira lista de exercícios 67 1 3 TRANSFORMAÇÕES LINEARES 73 31 Propriedades das Transformações Lineares 77 32 Transformações Lineares e Matrizes 83 321 Transformação linear associada a uma matriz 83 322 Matriz de uma transformação linear 86 33 Composição de transformações lineares 90 34 A Inversa de uma transformação linear 91 35 Quarta lista de exercícios 95 4 OPERADORES LINEARES 100 41 Transformações especiais no plano e no espaço 100 42 Propriedades dos operadores inversíveis 121 43 Operadores autoadjuntos e ortogonais 124 44 Quinta lista de exercícios 126 5 AUTOVALORES E AUTOVETORES 128 51 Autovalores e autovetores de uma matriz 129 511 Polinômio Característico 129 512 Matrizes Semelhantes 136 52 Diagonalização de Operadores 137 521 Matriz Diagonalizadora 139 53 Calculando potências de uma matriz 141 54 Sexta lista de exercícios 144 6 PRODUTO INTERNO 149 61 Normas Distâncias e Ângulos em Espaços com Produto Interno 153 62 Ortogonalidade 154 621 Conjunto Ortogonal de Vetores 155 622 Base ortogonal 155 623 Base ortonormal 155 624 Coordenadas em relação a Bases Ortonormais 156 625 Coordenadas em relação a Bases Ortogonais 156 63 Complementos Ortogonais 157 64 Projeções Ortogonais 158 65 Encontrando Bases Ortogonais e Ortonormais Processo de Or togonalização de GramSchmidt 159 66 Fatoração QR 161 661 Aplicação da fatoração QR 162 67 Sétima lista de exercícios 163 2 Apresentação da disciplina Caro aluno Esta apostila segue de muito perto a bibliograa referenciada no Plano de Ensino da disciplina e que correspondem aos livros texto deste curso Sugere se a sua aquisição O único objetivo deste material é facilitar as atividades dos alunos em sala de aula de forma que possam complementar o assunto aqui proposto com as notas expostas pelos professores em sala de aula e ainda servir de referência aos professores e alunos sobre quais tópicos deverão ser trabalhados em cada capítulo De maneira nenhuma a leitura ou consulta da bibliograa está descartada isto é dever do aluno Este material podem conter eventuais erros enganos ou omissões caso encontrar por favor comunique seu professor As respostas da maior parte dos exercícios serão disponibilizadas na página httpwww2joinvilleudescbrdma2gm A Álgebra Linear constitui uma parte da Matemática da qual necessitam matemáticos físicos engenheiros programadores de computadore economis tas administradores e outros cientistas Este requisito reete a importância desta disciplina pelas múltiplas aplicações e pelo alcance de sua linguagem Ela também se faz presente nos diversos ramos da matemática aparecendo em dis ciplinas como cálculo equações diferenciais matemática discreta estatística análise numérica e outras Sendo assim a Álgebra Linear se tornou uma ferra menta indispensável em quase todas as áreas da matemática e ciências ans Os objetos de que trata a Álgebra Linear não são apenas matrizes e sistemas lin eares A sua essência está no estudo dos espaços vetoriais e das transformações lineares Desejamos a todos um ótimo semestre de estudos 3 2 Capitulo 1 Definigao de matriz Chamase matriz de ordem m x n a uma tabela de mn elementos dispostos em m linhas e n colunas ay aj42 senaseee Ain a21 a22 seeeeeee a2n A Ami Amd eerveeee Amn Notacao Costumamos denotar as matrizes por letras latinas maitisculas A BC Definigao 1 Sejam A aij e B bij duas matrizes de ordem m x n Dizemos que as matrizes A e B sao iguais se e somente se ay by 3 t1m e gln 11 Tipos de matrizes Matriz coluna E a matriz de ordem m x 1 1 1 2 2 3 Al B 3 C 4 Jax 999 1000 J y000x1 4 Matriz linha E a matriz de ordem 1 x n Exemplo 2 Ali D 1 2 3 4 5 6 7 10 hiss Matriz nula Ea matriz A Qijlinsen Onde ayy 0 paral imeljn Exemplo 3 000 0 0 0 000 0 0 0 Mo 90000 7 000 0 0 0 Observacgao Denotaremos freqiientemente a matriz nula por 0 Matriz quadrada E a matriz de ordem n x n G11 Gin oe ne Qnl ose Ann Os elementos da forma a costituem a diagonal principal Os elementos a em que i 7 n1 constituem a diagonal secundaria 33 Exemplo 4 A 0 B 3 3 Matriz diagonal Matriz diagonal é a matriz quadrada A a onde aj 0 parai 4 j Qi1 0 cae 0 0 QO jt wee eee Af ob bo O foe TH 0 0 O O dna Notagdao diagA a11 nn 3 0 Exemplo 5 A0 B 0 3 5 Matriz identidade E a matriz diagonal I onde diagI 1 1 Notagao I representa a matriz identidade de ordem n Exemplo 6 1 Q ee e 0 0 1 OO O 1 0 toe h 4 Tooot ob te tte 00 0 0 0 O 1 Matriz transposta Dada uma matriz A ajj podemos obter uma outra matriz A bij nsem Cujas linhas sao as colunas de A isto é bij aji A é denominada a transposta de A Qi1 ai2 seeeeeee Qin a1 Q21 seeeeeee Aml1 a21 a22 seeanees aon a42 a22 seseeeee Om A AT Qm1l Am2 seceeeee Amn mxn Ain Q2n seceeeee Amn nxm Exemplo 7 1 2 3 4 6 1 11 21 31 41 11 12 13 14 15 2 12 22 32 42 A 21 22 23 24 25 s3AT 3 13 23 33 43 31 32 33 34 35 4 14 24 34 44 41 42 43 44 45 5 15 25 35 45 1 2 3 T D1 2 3 4 5 6D 4 5 6 6x1 Matriz simétrica Uma matriz quadrada S a é simétrica se ST 9 isto é se Aig Gy Assim os elementos simetricamente opostos a diagonal principal sAo iguais Exemplo 8 1 5 9 S5 3 8 N F 0 9 8 7 6 Matriz antisimétrica Uma matriz quadrada A a antisimétrica se AT A isto 6 se ajj Aji Assim i os elementos da diagonal principal sao todos nulos ii os elementos simetricamente dispostos em relacgao 4 diagonal principal sao opostos 0 3 4 Exemplo 9 A 3 0 6 4 6 O Matriz triangular superior A matriz quadrada A a que tem os elementos a 0 parai j chamada matriz triagular superior 5 4 7 9 0 3 8 4 0 1 A 00 2 3 B Lio0000 00 0 6 Matriz triangular inferior A matriz quadrada A a que tem os elementos a 0 para i j 6 chamada matriz triangular inferior Exemplo 10 5 0 0 O 1 00 0 4 3 0 O 0 2 0 0 Bl 4 20 S0 02 0 9 1 2 6 0 0 0 2 12 Operagoes com matrizes Adigao Dados A 4ij yen B Diglinsen definimos A B por A B aij bishnsn Propriedades i A BBA ii AB4CAB4C iii AOA 7 Multiplicagao por escalar Seja A aij um ntimero real definimos k A por kA k ij insen 2 10 4 20 Exemplo 11 2 f3 6 Propriedades i kKA BkAkB li ky hkgAhjA kA iii 0A0 iv ky k2 A ky k2A Multiplicagao de Matrizes Sejam A aij B bij xp definimos A B por AB cj onde Cy S aikdk ai1b1 e Ginbny k1 Observe que o ntimero de colunas de A deve ser igual ao ntimero de linhas de B Exemplo 12 2 1 11 21410 21414 2 2 4 2 F 4 41420 414244 4 5 3 sy5 2x2 51430 51434 5 7 Propriedades da multiplicagao de matrizes i ATIAA ii ABC AB AC iii A BC AC BC iv ABC ABC v AB BT AT vi OA AO0 8 Observagao 13 Note que em geral AB 4 BA Por exemplodadas as matrizes 1 1 1 1 2 3 A 3 2 l e Bj2 4 6 2 1 0 1 2 3 ll1 6 1l Verifique qu AB Oe que BA 22 12 2 ll1 6 1l Propriedades da matriz transposta i AB AT BT ii AA AA onde A é um niimerto real iii ATT A iv AB BT AT Exemplo 14 Mostre que se A é uma matriz quadrada entéo A A é simétrica e A AT é antisimétrica Matriz inversa Dada uma matriz quadrada A a se existir uma matriz B que satisfaca AB BAT dizse que B é a inversa de A e denotase B por A ou seja AAAA I Exemplo 15 fil 3 f2 3 a4 A 2 Dizemos que uma matriz A é inversivel nao singular se existe a matriz inversa A caso contrario dizemos que a matriz A é nao inversfvel singular Algumas propriedades importantes 1 A é nao singular se o determinante de A é diferente de zero A é singular se determinante de A é igual a zero 2 Se A admite inversa det A F 0 esta é tinica 3 Se A é nao singular sua inversa A também 6 isto é se det A 4 0 entao det A 0 A matriz inversa de A é A 4 A matriz identidade J é nao singular pois det 1 e 71 I 9 5 Se a matriz A é nao singular sua transposta A também é A matriz inversa de A é A7 isto é A7 A71 dai concluimos que se det A 4 0 entao det A 0 6 Se as matrizes A e B sao nao singulares e de mesma ordem o produto AB é uma matriz nao singular Vale a relagdo AB BA7 Exemplo 16 2 3 2 3 Ax os A 2 9 det 2 9 2 A é nado singular 1 10 1 10 5 B 1 10 det 1 10 0 A é singular Exemplo 17 Demonstre as propriedades 2 e 6 Matriz ortogonal Uma matriz M quadrada cuja inversa conicide com sua transposta é denomi nada matriz ortogonal Portanto M é ortogonal se M M7 ou seja MMMMI 1 V3 Exemplo 18 M vB 4 2 2 Poténcia de uma matriz Seja A a uma matriz quadrada de ordem n 1 Definese A I 2 A matriz AY AAA é chamada késima poténcia de A para SS p vezes k1 3 Se A for invertivel definese A A1 KEN f1 2 9 8 3 41 4 A 4 a i vale a 3 Tracgo de uma matriz Seja A a uma matriz quadrada de ordem n O traco de A que denotamos por trA 6 a soma dos elementos da diagonal principal isto é trA 441 a92 Gnn Soaii il 10 13 Matriz na forma escada reduzida por linhas Definigao 19 Uma matrizm x n é linha reduzida a forma escada ou escalon ada se a O primeiro elemento nao nulo de uma linha néo nula é 1 b Cada coluna que contém o primeiro elemento néo nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero c Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas néo nulas isto é daquelas que possuem pelo menos um elemento nao nulo d Se as linhas 1p so as linhas nao nulas e se o primeiro elemento nao nulo da linha ocorre na coluna ky entao ky kg u Ky Exemplo 20 100 O 1 0 1 1 O nao é forma escada Nao vale b 0 0 1 0 02 1 2 1 O 8 nao é forma escada Nao vale a e b 1 0 O 0 1 3 0 1 3 0 0 0 O O nao é forma escada Nao vale c 000 1 2 0 1 3 0 1 4 0 0 0 1 8 é forma escada 000 0 0 Operacoes elementares linha Sao trés as operacdes elementares sobre as linhas de uma matriz 1 Permuta da i ésima e j ésima linha L L Exemplo 21 1 0 1 0 4 1 lgeLs3 3 4 3 4 4 1 2 Multiplicagao da i ésima linha por um escalar nao nulo k L kL Exemplo 22 1 0 1 0 4 1 Lg 3L2 12 3 3 4 3 4 11 3 Substituicéo da iésima linha pela iésima linha mais k vezes a 7 ésima Exemplo 23 1 0 1 0 4 1 L3 LI32L 4 1 3 4 1 4 Observagao 24 Se A e B sao matrizes m x n dizemos que B é linha equiv alente a A se B for obtida de A através de um ntimero finito de operagdes elementares sobre as linhas de A Notagado A B Exemplo 25 1 0 1 0 4 1 élinha equivalente a 0 1 pois 3 4 0 0 1 0 1 0 1 0 4 1 Lg Lg 41 0 1 D3 3 3L QO 1 3 4 3 4 0 4 1 0 1 0 Dy L 0 1 Lz Lg 4D5 0 1 0 4 0 0 Teorema Toda matriz A de ordem m x n é linha equivalente a uma tinica matriz linhareduzida a forma escada 2 1 3 Exemplo 26 Dada a matriz A 4 5 6 obtenha uma tinica matriz 3 1 2 B na forma escada linha equivalente a matriz A Solucao 2 1 3 15 3 143 4 5 6 Ly l 4 5 6 Ig I24f 0 3 O 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 i 3 y i 3 2 2 2 2 D3 Lg 3Ly 0 3 0 Lz 312 0 1 0 D3 L3 go i 28 g i B 2 2 2 2 gbe 13 3 13 3 10 3 0 1 0 L3 L3 0 1 0 Li L l 0 1 0 0 0 00 1 0 0 1 1 0 0 Ly Ty 313 0 1 0 0 0 1 12 Exercicio 27 Dada a matriz A obtenha uma matriz na forma escada equiva lente a matriz dada 1 0 0 0 1 01 0 1 0 1 0 0 10 1 o 101 yo 1041 1 00 1 01411 Posto de uma matriz Dada uma matriz Am yn seja Bmyxn a matriz linha reduzida 4 forma escada linha equivalente 4 matriz A O posto de A denotado por p é o numero de linhas nao nulas de B e a nulidade de A é n p onde n é 0 ntimero de colunas de Ae péo posto de A Exemplo 28 Encontrar o posto e a nulidade das matrizes 1 2 1 0 a A 1 0 3 5 1 2 141 1 0 0 Solugao A matriz A é linha equivalente a matriz B 0 1 0 7 0 0 1 3 portanto o posto de A é 3 o ntimero de linhas nao nulas da matriz B e a nulidade 6 np 43 1 n é0 numero de colunas da matriz A e p é 0 posto de A 14 oie 4 b A 0 0 0 0 0 0 Solucao posto A 2 e nulidade de Aé321 2 1 10 2 1 10 0 1 5 o0 1 DA11 990 Fo0 0 8 1 3 0 0 0 O Solugéo posto de A 3 e nulidade de A é 0 14 Cdalculo da inversa Calculo da inversa por escalonamento Para se determinar a matriz inversa de uma matriz A nao singular através de operacoes elementares entre as linhas da matriz fazemos o seguinte 13 a Colocase ao lado da matriz A a matriz I separada por um trago vertical tracejado b Transformase por meio de operacdes elementares a matriz A na matriz I aplicando simultaneamente 4 matriz I colocada ao lado da matriz A as mesmas operacoes elementares aplicadas 4 matriz A 2 1 Exemplo 29 Calcular inversa da matriz A 4 3 Por escalonamento 2110 1 14 10 3 0 e sea 4 3 0 1 te 4a y i 1 0 10 3 1 2 2 l 2 2 foi 9 1 f ate 9 1 A291 Logo 1 3 l 1 2 2 8 15 Determinantes Definigao 30 Determinante de uma matriz A é um ntmero real associado 4 matriz A Notagao det A Denotamos também o determinante da matriz A 11 a12 st Gin1 Glin 21 a22 sot GQn1 G2n A ot Gn11 Gn12 7 An1n anl An2 ue Qnin Ann por 11 a12 st Gin1 Glin 21 a22 tt G2n1 G2n det A LS Qn11 An12 7 An1n ani an2 Qan1n Onn 14 Propriedades do determinante 1 det A det A 2 detAB det Adet B 3 Se a matriz A possui uma linha ou coluna nula entao det A 0 4 Se a matriz A tem duas linhas ou colunas iguais entaéo det A 0 5 Se na matriz A uma linha ou coluna é miltipla de outra linha coluna entao det A 0 6 Trocando a posigéo de duas linhas colunas o derminante muda de sinal 7 Quando se multiplica uma linha coluna de uma matriz A por um ntimero k 0 o determinante fica multiplicado por esse mesmo numero 8 O determinante de uma matriz A nao se altera quando se faz a seguinte operacao entre linha L L kL 9 O determinante de uma matriz triangular superior ou inferior é igual ao produto do elementos da diagonal principal 10 A partir de detAB det Adet B temos 1 detAA det I det Adet A 1 det A det A CAalculo do determinante por triangulagao Para se calcular o determi nante de uma matriz A usamos as operacoes elementares linha de modo a obter uma matriz triangular superior ou inferior observando as propriedades do de terminante e fazendo as compensacoes necessarias 2 1 1 Exemplo 31 A 2 0 1 31 0 2 1 1 det A 2 0 1 Ly Ls Quando permutamos as linhas o deter 31 0 minante troca de sinal 2 1 1 1detA 3 1 0 Ly LQuando multiplicamos uma linha 2 0 1 por um ntimero o det fica multiplicado pelo mesmo ntimero 1 o 1 2 2 l1detA 3 1 0 Lz Lz 3L1 Esta operacao nao al 2 0 l D3 Ds 21 tera o determinante 15 o 1 2 2 sldetA0 5 Esta operacao nao altera o 0 1 2 L3 L3 2L2 determinante 1 2 1 2 2 1detA 0 4 O determinante de uma matriz triangular 0 0 1 superior é 0 produto dos elementos da diagonal principal 1det A 4 detA1 CAalculo do determinante por desenvolvimento de Laplace Regra de Chi6 Se a matriz A é de ordem 2 x 2 entao G11 12 det 011422 4214 Go ao 11422 21412 5 1 ct 2 3 532113 Regra de Sarrus Se A é é de ordem 3 x 3 Q11 a12 13 Q11 a12 G11 412 413 7 7 A G21 422 423 a2 a22 a23 a21 a22 a3i 432 33 7 7 a31 a32 33 a31 a32 det A 411422433 a12423431 413421432 a31422413 432423411 a33421412 Desenvolvimento de Laplace Para uma matriz de ordem n x n usamos o desenvolvimento de Laplace qué é dado pela férmula n det Anxn S aj19 det Ai jl onde A é a submatriz obtida a partir da matriz A eliminandose a i ésima linha e a j ésima coluna da matriz A Se chamarmos A 1T det Aj entao n det Anxn S aij Ai jl Exemplo 32 16 1 2 8 4 4 2 0 0O A 1 2 3 0 2 5 3 1 Vamos calcular o determinante da matriz fazendo o desenvolvimento pela primeira linha note que seria mais conveniente desenvolver pela segunda linha pois ela possui dois elementos nulos 2 0 O 4 0 O det A 11 2 3 0 421 1 3 0 5 3 1 2 8 1 4 2 0 4 2 0 3118 1 2 0 414 1 2 3 2 5 1 2 5 8 det A 116 2112 3110 4178 det A 372 17 16 Primeira lista de exercicios a2b 2ab 9 2 1 Dadas as matrizes A ot d c ol eB if 7 determine a bc ed para que A B 2 x 2 Seja A 1 0 Determine o valor de x para que A seja uma matriz simétrica 3 Mostre que se A é simétrica entao B AB simétrica B quadrada de mesma ordem que A 4 Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica com uma matriz antisimétrica ou seja A N onde S éuma matriz simétrica e N é uma matriz antisimétrica Sugestao Use o exemplo 14 5 Seja A invertivel Mostre que se AB BC entao B C Dé um exemplo de uma matriz naonula A tal que AB BC mas BC 6 Mostre que a matriz cosé sin 0 Mj sin cosé 0 0 0 1 é uma matriz ortogonal 7 Sejam Pe Q matrizes ortogonais de mesma ordem a PQ éuma matriz ortogonal P 6 uma matriz ortogonal Justifique sua resposta b Quais os valores que det Q pode ter 8 Dada uma matriz A de ordem m x n mostre que a matriz AAT é uma matriz simétrica de ordem m x m A matriz A A é simétrica Qual sua ordem 2 2 4 9 Mostre que a matriz A 1 3 4 éidempotente isto é A A 1 2 8 10 Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem Qual a condigaéo que devemos ter para que A B A 2AB B 11 Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa moderno mediterraneo e colonial A quantidade empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz 18 Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo Moderno 5 20 16 7 17 Mediterraneo 7 18 12 9 21 Colonial 6 25 8 5 13 a Se ele vai construir 57 e 12 casas dos tipos moderno mediterraneo e colonial respectivamente quantas unidades de cada material serao empregadas b Suponha agora que os precos por unidade de ferro madeira vidro tinta e tijolo sejam respectivamente 15 8 5 1 e 10 reais Qual o preco unitdrio de cada tipo de casa c Qual o custo total do material empregado 12 Calcule o determinante de A onde 31 5 O 02 0 1 A 5 9 1 3 1 1 2 0 3 OO 0 0 O 19 18 0 0 0O b A 6 mam 5 0 0O 4 V2 V3 0 0 8 38 5 6 l 919 9 9 909 9 2 c A4 0 0 5 0 9 0 3 9 O 6 0 0 7 0 13 Encontre A onde 4 1 2 2 31 0 O A5 3 1 9 0 7 1 1 1 0 b A 1 1 2 2 2 2 14 Encontre os valores d k para os quais a matriz k38 0 3 A 0 k2 0 5 0 k5 19 é nao inversivel 15 Existe alguma matriz inversivelX tal que X 0 Justifique sua re sposta 16 Encontre todos os valores de para os quais a matriz A AJ tem inversa em que 2 0 0 0O 2 0 0 0O A 1 2 1 4O 32 1 2 17 Para a matriz A ade ordem 2 definida por a i calcular ft detA tly e resolver a equagado do segundo grau ft 0 18 Para a matriz definida por a b wale calcular ft detMtl2 e resolver a equacao do segundo grau ft 0 19 Verifique se as afirmacdes abaixo sto VERDADEIRAS ou FALSAS Se forem verdadeiras demonstre Se forem falsas dé um contraexemplo a Se uma matriz quadrada A for ortogonal entaéo det A 1 b detI A 1det A c Se A é uma matriz simétrica entao A A também é simétrica d Se Ae B sao inversiveis entao A B também é e Se A é uma matriz quadrada simétrica e B é uma matriz ortogonal entao a matriz A B nunca sera simétrica f Se A é uma matriz antisimétrica de ordem 3 entéo det A 0 g Se A é naoinversivel e AB 0 entao B 0 h Se A é antisimétrica inversivel entao A é antisimétrica i Seja A uma matriz quadrada entao trA B trA trB j Se A Be C sao matrizes nxn inversfveis entao ABC CB1A7 2 3 1 O 2 1 0 1 1 4 1 1 O 5 2 1 3 1 2 1 k SeA1 2 1 4 3 feD1 1 1 1 14 satis 00 1 3 2 l 4 1 2 1 2 3 1 0 1 2 12 1 2 fazem a relacao ABA D entao det B 24 20 e e 17 Sistema de equacoes lineares 171 Introducgao Uma equagao linear 6 uma equacao da forma G1 21 A22 033 F Antn 5 na qual a1 G2 43 dn SAO OS respectivos coeficientes das varidveies 1 12 13 Ln e b o termo independente Os ntimeros 4 a2 43n 0 termo indepen dente b geralmente sao ntimeros conhecidos e as varidveis 123 Ln Sao as incdgnitas Os valores das varidveis que transformam uma equagao linear em uma iden tidade isto é que satisfazem a equacao constituem sua solucao Esses valores sao denominados raizes das equacoes lineares A um conjunto de equagées lineares se dA o nome de sistema de equagdes lineares e tem a seguinte representacao 44121 GyQ2Q 4133 4ntn 0 2121 G22q 933 4 dantn be Am1L1 Am22 Gm33Gmntn bm Os valores das varidveis que transformam simultaneamente as equacoes de um sistema de equacoes lineares em uma identidade isto é que satisfazem a equacao constituem sua solucao Dizse que dois sistemas de equacoes lineares sao equivalentes quando ad mitem a mesma solucao Exemplo 33 Os sistemas 2 3y 11 102 2y 38 e xty3 32 5y 7 sao equivalentes pois possuem as mesmas solucées x 4 ey1 Quanto as solucoes trés casos podem ocorrer 1 O sistema possui uma tinica solugao Neste caso dizemos que o sistema é compativel e determinado 2 O sistema possui infinitas solugoes Neste caso dizemos que o sistema é compativel e indeterminado 3 O sistema nao possui nenhuma solucao Neste caso dizemos que o sistema é incompativel 21 172 Sistemas e matrizes Dado um sistema linear na forma 44121 GyQ2Q 4133 4ntn 0 2121 G22q 933 4 dantn be Coot 11 Am1 1 Am2X2 Am3t3 Amntn dm podemos representalo matricialmente utilizando as notacoes da teoria de ma trizes da seguinte maneira Se 11 412 7 Gin a21 422 sts G2n A be Gm1 Am2 te amn Ty by r2 i X B Xn bm podemos escrever o sistema 11 na forma matricial AX B onde A éa matriz dos coeficientes B a matriz coluna dos termos indepen dentes e X é a matriz coluna das incégnitas Ao sistema 11 associamos a seguinte matriz Q11 412 7 Gin by G21 422 G2n be Qml1 Am2 ute Amn bn que chamamos matriz ampliada do sistema Teorema Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes sao equivalentes Dada a matriz ampliada do sistema de equacgoes lineares consideramos a matriz linha reduzida a forma escada obtida a partir da matriz ampliada do sistema Teorema 1 Um sistema de m equagoes e n incégnitas admite solucao se e somente se o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes 22 2 Se as duas matrizes tem o mesmo posto p e p n numero de colunas da matriz dos coeficientes ou nimeros de varidveis a solugdo é tnica 3 Se as duas matrizes tem o mesmo posto e p n podemos escolher n p incégnitas e as outras incégnitas serao dadas em funcao destas O ntimero n p chamado grau de liberdade do sistema Resumo Dado um sistema de m equagoes e n incégnitas seja Ag a matriz ampliada do sistema e seja A a matriz linha equivalente a matriz A onde a matriz dos coeficientes estao na forma escada Seja pg o posto da matriz ampliada e p o posto da matriz dos coeficientes obtidos a partir da matriz Ae e Se pa Pc entao o sistema é incompativel néo possui solugao e Se pa pc entao o sistema é compativel possui solucao Seja p pa Pe se p n entao o sistema é compativel e determinado possui uma tnica solucdo Se p n o sistema é compativel e indeterminado possui infini tas solugdes Sempre que um sistema possuir infinitas solugdes deveremos atribuir valores a algumas varidveis e determinar o valor das outras var idveis em funcgao destas O ntimero de varidveis as quais deveremos atribuir valor é o grau de liberdade do sistema dado pelo nimero n p Exemplo 34 Classificar e resolver o sistema 221 29 323 8 224 5x2 323 12 Solugao Matriz Ampliada 213 8 Av4 2 2 4 25 3 12 Matriz linha equivalente a matriz ampliada onde a parte da matriz dos coeficientes esta na forma escada 100 2 Ae0 1 0 5 001 3 De A obtemos p 3 pg 3en3 P Pc Pa 3 sistema compativel p n sistema compativel e determinado possui uma tinica solugao A matriz A é a matriz ampliada do seguinte sistema 23 vy 2 v2 5 v3 3 Como sistemas equivalentes tem a mesma solugao a solugao do sistema 12 é ey 2 v2 5 v3 3 Exemplo 35 Classificar e resolver o sistema Ay 2a 6z 6 4z2y3x 38 x3z2y 3 Solugao Reescrevendo o sistema obtémse 2a4y6z 6 3a 2y4z 38 13 x23z 3 2 4 6 6 Aag3 2 4 38 12 8 3 1 41 5 at Ae 0 1 3 3 0 0 0 O Neste caso temos n3 Pa 2 Po 2p2 p n sistema compatfvel e indeterminado infinitas solugdes grau de liberdade np1 O sistema 13 é equivalente ao sistema ge o tz 4 y Be B Para encontrar uma solucéo note que existem infinitas solugdes devemos atribuir valor a uma das varidveis pois o grau de liberdade é 1 e determinar as outras Note que fica mais facil se atribuirmos valor a varidvel z Por exemplo fazendo z 0 temos que x 4 ey 2 Poderiamos atribuir outro valor qualquer a z e para cada valor de z teremos os valores correspondentes de x e y daf temos infinitas solugées Exemplo 36 Classificar e resolver o sistema 24 Solucao 62 4y2z 3 rytz 1 3a 2yz 1 6 4 2 3 Ag1 1 1 1 32 1 1 1 0 5 p A 0 1 5 10 00 0 3 Neste caso n3 Pe 2 Da 3 Da F Pe sistema incompativel nao possui solucao 173 Solugao de um sistema por matriz inversa Usando a notacao matricial para sistemas lineares temos que CX B supondo que existe C CCX CB observe que estamos multiplicando C pela esquerda IX CB X CB Logo para se determinar a solucgao basta multiplicar a matriz inversa dos coeficientes pela matriz dos termos independentes pela esquerda j4 que a mul tiplicagéo de matrizes nao é comutativa Se a matriz C nao tem inversa entéo ou o sistema nao possui solucao ou possui infinitas solugoes 2e3yz 1 Exemplo 37 Resolva o sistema x3yz 1 pelo método da in x2yz 1 Versa Solucao 2 3 1 1 x C 1 3 1 B1 Xy 1 2 1 1 Zz 1 1 0 Ct 0 1 l 1 1 3 CX B XCB 25 x 1 1 0 1 2 y 0 1 1 1 2 z 1 1 3 1 3 O préximo teorema apresenta resultados importantes sobre sistemas lineares e matrizes inversiveis Teorema 38 Se A uma matriz n x n entado as seguintes afirmagdes sao equi valentes a A é inverstvel b AX 0 86 tem a solugéo trivial c A é equivalentes por linha a matriz In d AX B tem exatamente uma solugao para cada matriz By x1 Demonstragao A demonstragao fica como exercicio 26 18 Segunda lista de exercicios 1 Resolva o sistema de equacoes escrevendo a matriz ampliada do sistema inicial e escrevendo o sistema final do qual se obtera a solugao do sistema original 2ay3z 11 4x 3y2z 0 utytz 6 saytz 4 xry3z2 2 Considere o sitema linear x2y4z3 Para que valores de ae b x3yazb o sistema a tem uma infinidade de solugdes b tem tinica solugéo c é impossivel a 0b 2 3 Sejalg q 4 4 amatriz ampliada de um sistema linear Para quais 0 a2 b valores de a e b o sistema tem a tinica solugao b nenhuma solucgao c uma solugdo com duas varidveis livres x2y3za 4 Encontre a relagao entre a bec para que o sistema linear 2 3y3z 52 9y6zc seja possivel para quaisquer valores de ab ec 5 Reduza as matrizes 4 forma escada através de operagoes linhas 1 2 3 1 a 2 1 2 3 3 1 2 8 0 2 2 1 1 3 b 34 2 2 3 1 27 6 Determine para que o sistema admita solugao 4r3y 2 sa 4y 0 2ay k 7 Encontre todas as solugoes do sistema 322 234347r5 14 2 62 243 2455 2 14 329 273 225 1 8 Apresente todos os possfveis resultados na discussao de um sistema néo homogéneo de 6 equacoes lineares com 4 incégnitas 9 Se A é uma matriz 3 x 5 quais sAo os possiveis valores da nulidade de A E se A for 4 x 2 10 Explique por que a nulidade de uma matriz nunca é negativa 11 Um sistema homogéneo com 3 equacgoes e 4 incégnitas sempre tem uma solugao naotrivial 12 Chamamos de sistema homogéneo de n equacdese m incdgnitas aquele sistema cujos termos independentes sao todos nulos a Um sistema homogéneo admite pelo menos uma solucao Qual é ela b Encontre os valores de k R tais que o sistema homogéneo 24 5y2z 0 ztytz 0 2a kz 0 tenha uma solugao distinta da solugao trivial 13 Se det A 0 entao o sistema homogéneo AX 0 tem infinitas solugdes Justifique sua resposta 14 Podemos resolver um sistema usando matriz inversa da seguinte forma AX B AAX AB X AB Isto é uitil quando desejamos resolver varios sistemas lineares que possuem a mesma matriz dos coeficientes 1 2 2 Usando a teoria acima resolva os sistema AX BondeA 2 5 4 37 5 e 28 1 1 1000 111 a B 2 b B 3 c 10 d 311 3 100 100 511 15 Resolva o sistema matricial DX A onde D diag123 45 6 1 00 0 1 1 O12 2 2 2 001 1 41 1 A 0 00 1 1 1 000 0 1 0 000 0 0 1 16 Classifique o sistema e exiba uma solugao caso ela exista 2e4y6z 6 3x 2y4z 38 e2y3z 3 17 Uma editora publica um bestseller potencial com trés encadernacoes difer entes capa mole capa dura e encardenagao de luxo Cada exemplar ne cessita de um certo tempo para costura e cola conforme mostra a tabela abaixo Capa Mole 1 pain 2 rin Se o local onde sao feitas as costuras fica disponivel 6 horas por dia e o local onde se cola 11 horas por dia quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia de modo que os locais de trabalho sejam plenamente utilizados 18 Num grande acampamento militar hd 150 blindados dos tipos BM3 BM4 e BM5 isto é equipados com 3 4 e 5 canhoes do tipo MX9 respectivamente O total de canhées disponiveis é igual a 530 A soma dos BM4 com os BM5 corresponde aos 2 3 dos BM3 Se para o inicio de uma manobra militar cada canhao carrega 12 projéteis quantos projéteis serao necessdrios para o grupo dos BM4 no inicio da operagao 19 a Em cada parte use a informacao da tabela para determinar se o sistema AX B possivel Se for determine o niimero de varidveis livres da solugao geral Justifique sua resposta a OO Om me Tamanho de A r PotodeA 2 4 03 Posto de 4B 3 4 0 3 29 b Para cada uma das matrizes da tabela acima determine se o sistema homogêneo AX 0 é possível Indique a quantidade de soluções para cada caso 30 19 Apéndice 191 Cdalculo da inversa por adjunta Dada uma matriz lmbramos que o cofator d do elemento a da matriz A é o elemento 1 det A onde Ajj é a submatriz de A obtida extraindose a 2 ésima linha e a j sima coluna Com estes cofatores formase uma nova matriz A denomindada matriz dos cofatores denotada por A Portanto A dij onde dis 1 det Ai Exemplo 39 2 1 0 Aj3 1 4 1 6 5 141 14 a44y 2 dy 1 det 6 5 1x 19 19 142 3 4 ai2 1 di2 1 det 1 5 l1 19 19 a3 0 dig 18 det a 1x 19 19 241 1 0 ag 3 dg 1 det 6 5 l1 5 5 242 2 07 a22 1 dyg2 1 det 15 1x 10 10 a3 4 doz 128 det 11111 31 1 0 a3 1 dz 1 det 14 1x44 342 2 0 a32 6 d32 1 det 3 4 1 x 8 8 343 2 1 a33 5 d33 1 det 3 1 155 19 19 19 A5 10 1l1 4 8 5 Definigéo Dada uma matriz quadrada A chamaremos de matriz adjunta de A a transposta da matriz dos cofatores de A e denotaremos adj A Portanto adj A Teorema Uma matriz quadrada A admite inversa se e somente se det A 4 0 Neste caso 1 1 AU Jet A q adi 31 192 Regra de Cramer Um outro método de resolugao de sistemas lineares de ordem n x n é a Regra de Cramer onde as solugoes do sistema linear sao calculadas usando o deter minante Justamente por usar o determinante este método tornase invidvel computacionalmente mas é bastante pradtico em certas questoes tedricas 4121 0492 4133 A1ntn 01 2121 A99X2 A933 dantn be An1 21 Ane2 An33 4 FAnntn by Na forma matricial este sistema é escrito da seguinte maneira G11 412 G1n Ty by G21 G22 Gan v2 by Qnl An2 ste ann In bn Supondo que det C 4 0 e portanto que C tenha inversa C obtemos CX B CCX CB observe que estamos multiplicando C pela esquerda IX CB X CB usando a relagao 1 C7t adjC dere 8 temos x adjcB a det OF 32 Ly 411 G12 Gin by XQ 1 dj a21 422 Q2n be Df acto PP Ln Qnl1 QAn2 Ann bn Ty Dis Dayz Dain by x2 1 Daz Daz Dar be det C mot Ln Dan Dang Dann Dn Ly bb Dut b2Dayg bnDain v2 1 b Dag bz Daze treet b Darn det ms Ln 6b Dani bz Dane tte by Dann b Dy b2D bD t det C 111 2La12 nL ain bi a2 Gin 1 det by a2 Aan act by Qn2 ose ann by a2 Gin by ag2 Aan det eek by QAn2 ose ann Ly SO oO G11 G12 Gin a21 422 Gn det bee Anl1 an2 ute Ann Analogamente a1 eee by eee Ain a21 eee by eee a2n det An eee bn eee Ann ae 441 G12 Gin 421 422 Q2n det eek ani An2 ote ann 4230 Podemos escrever esta relagao na forma 33 D Li D onde ai eee b1 eee Ain Q21 eee bo eee Q2n An eee Dn eee Ann e G11 412 G1n G21 G22 Gan Ddet ee Qn1 Gn2 ann Usando a Regra de Cramer podemos classificar um sistema n Xx n Se D 0 entao o sistema possui uma tinica solugéo compativel e determi nado Se D 0 e algum dos D 4 0 entao o sistema é incompativel Se D 0e todos os D 0 parai 1n entao o sistema possui infinitas solugoes Note que nao podemos determinar o grau de liberdade pela Regra de Cramer Exemplo 40 Resolver o sistema zty2 10x 10y 20 1 1 p det 10 10 0 2 1 D det 20 10 0 1 2 Dy det 10 20 0 Logo o sistema possui infinitas solugoes Exemplo 41 Resolver o sistema 2a yz0 20x 20y 20z 1 xrtyz0 2 1 1 Ddet 20 20 20 0 1 1 1 34 0 1 1 Ddet 1 20 20 0 0 1 1 2 1 l Dzdet 20 0 20 20 1 1 1 2 1 0 D3 det 20 20 141 1 1 0 Como Dz 20 e D3 1 o sistema é incompativel Exemplo 42 Resolva o sistema xrtyz0 Lyz1 Ltyz1 1 1 tl Ddet 1 1 1 4 1 1 1 Logo o sistema tem uma tinica solugao 0 1 l Ddet 1 1 1 4 1 1 1 1 0 l Dygdet 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 D3det 1 1 1 2 1 1 1 A solugao é Dm 4 TO D4 Dz 21 2 D4 2 D2 1 3 Ds 4 2 Exercicio Usando a Regra de Cramer faca a classificagao de um sistema homogéneo AX 0 35 Capitulo pitulo 2 21 Introducao Algebra linear é uma parte da Algebra que por sua vez 6 um ramo da Matematica na qual sao estudados matrizes espacos vetoriais e transformacgoes lineares Todos esses itens servem para um estudo detalhado de sistemas lineares de equacgoes Tanto a algebra Linear como a Geometria Analitica aplicamse a varias areas em especial As Engenharias Citamos a seguir alguma delas E claro que neste curso nao conseguiremos abordalas todas Contudo nosso objetivo no momento é que o estudante tome contato com o que representa o estado da arte neste contexto Jogos de Estratégia no jogo de roleta o jogador da seu lance com uma aposta e o cassino responde com o giro da roleta o lucro para o jogador ou para o cassino é determinado a partir destes dois movimentos Esses sao os ingredientes bdsicos de uma variedade de jogos que contém elementos tanto de estratégia quanto de acaso Os métodos matriciais podem ser usados para desenvolver estratégias otimizadas para os jogadores Administragao de Florestas o administrador de uma plantacao de ar vores de Natal quer plantar e cortar as arvores de uma maneira tal que a con figuracao da floresta permaneca inalterada de um ano para outro O admin istrador também procura maximizar os rendimentos que dependem de nimero e do tamanho das arvores cortadas Técnicas matriciais podem quantificar este problema e auxiliar o administrador a escolher uma programagao sustentavel de corte Computagao grdéfica uma das aplicacgoes mais tteis da computacao gra fica é a do simulador de véo As matrizes fornecem uma maneira conveniente de lidar com a enorme quantidade de dados necessdrios para construir e animar 36 os objetos tridimensionais usados por simuladores de véo para representar um cendrio em movimento Outras aplicagoes mais simples em computacao grafica sao vetores e matrizes sdo utilizados em espacgos de coresRGB HSV etc em coordenadas e transformacoes geométricas em duas e trés dimensoes em combi nac6des convexas e lineares de pontos curvas e superffcies spline em represen tacao compacta de sessdes cénicas etc coordenadas homogéneas e geometria projetiva utilizando comumente para representar consistentemente transfor macoes afins e processos de projecao paralela perspectiva modelos de camera virtual ntimeros complexos em rotagéo no plano e também em processa mento de imagens incluindo transformadas de coseno Fourier etc quatérnios rotacgdo espaciais e implementacao de cinematica inversa resolver problemas de posicionamento de juntas articuladas Redes Elétricas circuitos elétricos que contenham somente resisténcias e geradores de energia podem se analisados usando sistemas lineares derivados das leias badsicas da teoria de circuitos Distribuigdo de Temperatura de Equiltbrio uma tarefa basica da cién cia e da engenharias que pode se reduzida a resolver um sistema de equagdes lineares através de técnicas matriciais interativas é determinar a distribuicgao de temperatura de objetos tais como a do aco saindo da fornalha Cadeias de Markov os registros meteorolé6gicos de uma localidade es pecifica podem ser usados para estimar a probabilidade de que vad chover em um certo dia a partir da informacaéo de que choveu ou nao no dia anterior A teoria das cadeias de Markov pode utilizar tais dados para prever com muita antecedéncia a probabilidade de um dia chuvoso na localidade Genética os mandatarios do Egito recorriam a casamentos entre irmaos para manter a pureza da linhagem real Este costume propagou e acentuou certos tracos genéticos através de muitas geracoes A teoria das matrizes fornece um referencial matemdtico para examinar o problema geral da propagacgao de tragos genéticos Crescimento Populacional por Faiza Etéria a configuracgao popula cional futura pode ser projetada aplicando algebra matricial as taxas especifi cas por faixas etdrias de nascimento e mortalidade da populagao A evolugao a longo prazo da populacao depende das caracteristicas matemadticas de uma matriz de projegao que contém os parametros demograficos da populacao Colheita de Populagées Animais a colheita sustentada de uma criagao de animais requer o conhecimento da demografia da populacao animal Para maximizar o lucro de uma colheita periddica podem ser comparadas diversas estratégias de colheita sustentada utilizando técnicas matriciais que descrevem 37 a dinaémica do crescimento populacional Criptografia durante a Segunda Guerra Mundial os decodificadores norte americanos e britdnicos tiveram éxito em quebrar o cédigo militar inimigo usando técnicas matematicas e mdquinas sofisticadas por exemplo a Enigma Hoje me dia o principal impulso para o desenvolvimento de cédigos seguros é dado pelas comunicacgoes confidencias entre computadores e em telecomuni cacoes Construgao de Curvas e Superficies pé Pontos Especificos em seu tra balho Principia Mathematica os princfpios matemdaticos da Filosofia Nat ural I Newton Abordou o problema da construgéo de uma elipse por cinco pontos dados Isto ilustraria como encontrar a é6rbita de um cometa ou de um planeta através da andlise de cinco observagées Ao invés de utilizarmos o procedimento geométrico de Newton podemos utilizar os determinantes para resolver o problema analiticamente Programacgao Linear Geométrica um problema usual tratado na drea de programacao linear é o da determinacao de proporcoes dos ingredientes em uma mistura com o objetivo de minimizar seu custo quando as proporgdes variam dentro de certos limites Um tempo enorme do uso de computadores na administracao e na indtistria é dedicado a problemas de programagao linear O problema na Alocagaéo de Tarefas um problema importante na in dtistria 6 o do deslocamento de pessoal e de recursos de uma maneira eficiente quanto ao custo Por exemplo uma construtora pode querer escolher rotas para movimentar equipamento pesado de seus depésitos para os locais de construgao de maneira a minimizar a distancia total percorrida Modelos Econémicos de Leontief num sistema econdmico simplificado uma mina de carvao uma ferrovia e uma usina de energia necessitam cada uma de uma parte da produgao das outras para sua manutencao e para suprir outros consumidores de seu produto Os Modelos de produgao de Leontief podem ser usados para determinar o nivel de producao necessdrio as trés industrias para manter o sistema econémico Interpolagao Spline Cubica as fontes tipogrdficas PostScript e True Type usadas em telas de monitores e por impressoras sao definidas por curvas polinomiais por partes denominadas splines Os pardmetros que os determinam estao armazenados na memoria do computador um conjunto de parémetros para cada um dos caracteres de uma particular fonte Teoria de Grafos a classificagao social num grupo de animais é uma relagao que pode ser descrita e analisada com a teoria de grafos Esta teoria 38 também tem aplicagoes a problemas tao distintos como a determinacao de rotas de companhias aéreas e a andlise de padroes de votagao Tomografia Computadorizada um dos principais avangos no diagnés tico médico é o desenvolvimento de métodos nao invasivos para obter imagens de segoes transversais do corpo humano como a tomografia computadorizada e a ressonancia magnética Os métodos da Algebra Linear podem ser usados para reconstruir imagens a partir do escaneamento por raios X da tomografia computadorizada Conjuntos Fractais conjuntos que podem ser repartidos em versdes congruentes proporcionalmente reduzidas do conjunto original sao denominadas fractais Os fractais sao atualmente aplicados 4 compactagao de dados com putacionais Os métodos de Algebra Linear podem ser usados para construir e classificar fractais Teoria do Caos os pixels que constituem ema imagem matricial podem ser embaralhados repetidamente de uma mesma maneira na tentativa de torna los aleatérios Contudo padroes indesejados podem continuar aparecendo no processo A aplicagéo matricial que descreve 0 processo de embaralhar ilustra tanto a ordem quanto a desordem que caracterizam estes processos cadticos Um Modelo de Minimos Quadrados para a Audigao Humana o ouvido interno contém uma estrutura com milhares de receptores sensoriais ciliares Estes receptores movidos pelas vibracoes do timpano respondem a freqiiéncias diferentes de acordo com sua localizagao e produzem impulsos elétricos que viajam até o cérebro através do nervo auditivo Desta maneira o ouvido interno age como um processador de sinais que decompoe uma onda sonora complexa em um espectro de freqiiéncias distintas Deformagoes e Morfismos vocé jé deve ter visto em programas de televisao ou clips musicais imagens mostrando rapidamente o envelhecimento de uma mulher ao longo do tempo ou a transformacao de um rosto de mul her no de uma pantera a previsao de como seria hoje o rosto de uma criancga desaparecida ha 15 anos atras etc Estes processos sao feitos a partir de al gumas poucas fotos A idéia de continuidade de evolucaéo do processo é feita através do computadorEste processo de deformagao é chamado de morfismo que se caracteriza por misturas de fotografias reais com fotografias modificadas pelo computador Tais técnicas de manipulagao de imagens tém encontrado aplicagoes na industria médica cientifica e de entretenimento Produto de dez anos de intensa pesquisa e desenvolvimento 0 primeiro 6nibus espacial dos EUA lancgado em 1981 foi uma vit6éria da engenharia de controle de sistemas envolvendo muitas areas da engenharia aerondutica 39 quimica elétrica hidrdulica e mecénica Os sistemas de controle de 6nibus espacial sao absolutamente criticos para véo Ele requer um constante moni toramento por computador durante o véo atmosférico O sistema de véo en via uma sequéncia de comandos para a superficie de controle aerodinamico Matematicamente os sinais de entrada e safda de um sistema de Engenharia sao fungoes E importante para as aplicagoes que essas fungoes possam ser somadas e multiplicadas por escalares Essas duas operacoes em fungoes tem propriedades algébricas que sao completamente andlogas 4s operacoes de soma de vetor e multiplicagao de vetor por escalar no R Por esse motivo o conjunto de todas as entradas possfveis fungdes é chamado de um espaco vetorial A fundamentacao matematica para a engenharia de sistemas repousa sobre es pacos vetoriais de fungdoes portanto precisamos estender a teoria de vetores do R de modo a incluir tais fungoes Antes de apresentarmos a sua definigaéo analisaremos em paralelo dois objetos o conjunto formado pelas fungdes f R R denotado por FR e o conjunto das matrizes quadradas de ordem n com coeficientes reais que denotaremos por MR A soma de duas fungdes f e g de FR é definida como f 9x fx g2 Note também que se a R podemos multiplicar o escalar a pela fungao f da seguinte forma af x af2 resultando num elemento de FR Com relagéo a M R podemos somar duas matrizes quadradas de ordem n A B ai bij nan que é um elemento de M R Com relagaéo 4 multiplicagao do escalar a pela matriz A R aA adijnan o qual também MR O que estes dois exemplos acima com a adigao de seus elementos e multiplicagao de seus elementos por escalares tém em comum Verificase facilmente a partir das propriedades dos ntimeros reais que com relagao a quaisquer fungdes f g eh em FR e paraa 3 R sao validos os seguintes resultados lL ftggf 2 fgthfgh 3 Se g representa a funcao nula entao fgf 4 ff0 40 5 aS f a8 f 6 a Bfaf hf 7 af 9 af ag 8 1ff Agora com relacéo a quaisquer matrizes AB e C em M e para todo a 0 R também sao validos os seguintes resultados 1ABBA 2ABCAB4C 3 Se 0 representa a matriz nula entao A0A 4 AA 0 5 aBA aBA 6 a 8AaA4 GBA 7 aABaAaB 8 1AA Observamos que o conjunto das fungoes bem como o das matrizes quando munidos de soma e multiplicagao por escalar apresentam propriedades algébri cas comuns Existem muitos outros exemplos de conjuntos que apresentam as mesmas propriedades acima Para nao estudarmos separadamente cada con junto estudaremos um conjunto genérico e nao vazio V sobre o qual supomos estar definidas as operagoes de adicgao e multiplicacao por escalar Definigao 43 Um espaco vetorial V é um conjunto cujos elementos sao chama dos vetores no qual estado definidas duas operagoes a adicgao que a cada par de vetores ue v V faz corresponder um novo vetor denotado poruvu V chamado a soma deu ev e a multiplicacao por um nimero real que a cada a R e a cada vetor v V faz corresponder um vetor denotado por av chamado produto de a por v Estas operacgdes devem satisfazer para quaisquer a R eu vew V as seguintes propriedades 1 Comutatividade utuvu 2 Associatividade uvwutuw 3 Vetor nulo existe um vetor nulo 0 V tal que v 0 v para todo v V 4 Inverso aditivo Para cadavu V existe v V tal que vv0 5 Distributividade a 6v av Bu 41 6 aBv aBv 7 auv auav 8 Multiplicagao por 1 lu u Exemplo 44 Para todo nitimero natural n 0 stmbolo R representa o espago vetorial euclidiano ndimensional Os elementos de R sao as listas ordenadas chamadas nuplas u 2123nU Y1 Y2Y3Yn de nimeros reais Por definicao a igualdade vetorial u v significa as n igualdades numéri cas Ly Y1 TQ Y2 Tn Yn Em R definimos as operagoes uty a y1 22 Yo0In Yn e AU A21 AL ALn Verificase sem dificuldades que estas definigdes fazem do R um E V veri fique Exemplo 45 O conjunto dos polinédmios em x de grau menor ou igual an é definido por P p2 o tay n Hane Ao 1 On1 An R com as operacées de adicao de polindmios e multiplicagao de um polindmio por um escalar é um espago vetorial Note que cada elemento de P é uma fungao pRR Exemplo 46 O conjunto das matrizes definido por Mmn aiilmsen aj ER i1mej Ln com a soma usual de matrizes e multiplicagao usual de um escalar por uma matriz um espaco vetorial No caso particular das matrizes quadradas de ordem n denotaremos Mnn por Mp Exemplo 47 Seja o conjunto R xy 7 xy R com as operacées assim definidas v1 41 2 ya t1 22 y1 yo ax y ax y 42 O conjunto R com estas operacées no é um espaco vetorial de fato Vamos mostrar que falha a propriedade 5 do EV a Bua B21y1 Bt1y1 av 8x1 41 aut Bu ax1y1 Bt1y1 a1y1 8x1 y1 ax 8x1 2y1 atfu4 aut Bu Exercicio 48 Verifique se V Mz com as operacoes a ob az bo arta bi be i Soma i 7 C2 dy dy ii Multiplicacgao por escalar a ab aby C1 dy AC dy é um espaco vetorial Solugao Como a adicao é a usual entao todas as propriedades da adicgao serao sat isfeitas Se alguma propriedade falhar seré na multiplicacao por escalar pois esta nao é a usual Sejam A i eB c d Oo p Vamos mostrar que falha a propriedade a 8AaA 8A a b a ab Bb a9A048 9 ceh ge a a b a b fa ab a Bb 2a ab Bb ii oABA 4 i 8 i cen Qd Por i e ii conclufmos que a BA 4 aA BA Logo V M2 com as operacoes definidas acima nao é um espaco vetorial 22 Subespacgos Definigao 49 Seja V um espaco vetorial Dizemos queW C V é um subespago vetorial de V se forem satisfeitas as sequintes condicées 1 seu vE W entaoutvEeWw 2 seu W entao au W para todo aE R Podemos fazer trés observacgoes e as condicées da definicgéo garantem que ao operarmos em W soma e mul tiplicacéo por escalar néo obteremos um vetor fora de W Isto é suficiente para afirmar que W é ele préprio um EV 43 e Qualquer subespaco W de V precisa conter o vetor nulo e Todo espaco vetorial admite pelo menos dois subespacgos 0 conjunto for mado pelo vetor nulo e o proprio EV Exemplo 50 Seja V R e W 022732425 W um subespago vetorial Resolugao verificamos as condigdes de subespago seja u 02345 E We v 0 243 Y4 Ys W 1 utv 022 yov3 y3 04 ys 25 ys CW 2 au a0 203 0405 0 at2a3 04005 W logo W é um subespaco vetorial Exemplo 51 Seja S zyz B83 rxyz0 S é um subespaco de R Resolugao Dados u 21 y1 21 S ev 22 ya 22 S 1 uttu 211 21 2 yo 22 1 2 y1 Yo 21 22 Como u 21 91 21 S 41 41 21 0 Analogamente x2 yo 22 0 e podemos concluir que 41 2 yi y2 21 22 OSutves 2 au a1 41 21 21 wy121 para todo a ax ay az at 41 21 a0Oedaiaque S Portanto S é um subespaco vetorial de R Exemplo 52 V M e W é 0 subconjunto das matrizes triangulares superi ores W é subespacgo de V pois a soma das matrizes triangulares superiores ainda é uma matriz triangular superior assim como o produto de uma matriz triangular por um escalar Verifique Exemplo 53 Uma situagao importante em que aparece um subespaco é obtida ao resolvermos um sistema linear homogéneo Considere o sistema homogéneo AX O onde A é uma matrizmxn eX éuma matriz colunanx1Se X e X sao duas solucées do sistema AX O entao temse AX O e AXo O Mas AX X2 AX14 AX O0 O logo X1 Xo é wma solugado do sistema AX O Também AkX1 kAX O portanto kX1é uma solugdéo do sistema AX O Como o conjuntos das matrizes Xyx1 uma espacgo vetorial temos que o subconjunto de todas as matrizes de ordem n x 1 que sao solugdes do sistema AX O é uma subespaco vetorial do espaco vetorial formadso por todas as matrizes de ordem n x 1 44 Exemplo 54 Seja V R e W 227 Rx R Se escolhermos u 11 ev 24 W temos uv 35 W portanto W néo é subespaco vetorial de R Exemplo 55 Seja V R e W zy Ry 2 W subespaco vetorial de R pois temos 1 Para u x1221 ev 42242 EW temse uvu 41 22 2a1 x2 W pois a segunda componente de u v é igual ao dobro da primeira 2 au ax 271 ax 2ax1 W pois a segunda componente de au é igual ao dobro da primeira 0 l Exemplo 56 Considere o espaco vetorial Mz e a matriz B fi 3 M2Seja W A M2 AB BA Verifique se W é um espaco vetorial de Mp 1 Solugéo Sejam A Ap petencente a Mo Ay Ag B ABA2B BABA2 B Ay Ag Ay Ag M2 Logo W é um subespaco vetorial de W 2 Solucao Tomando A i W sabese que a matriz A deve satis fazer a relagao AB BAPortanto a bjO 1 JO 1 Ja 6b c dj 1 0 1 Ofte d b al e d d cl a bd b e a dad a d c bbc Li A lawe a cM abeER a b a 27 Sejam u S ev 2 b a y 2 jab x yl jatae bty atz bty urus A o a oy atzx Ww 45 a b ka kb husk A be a ew ComouttvEeWekue W W é um subespaco vetorial de M2 Exemplo 57 Verifique se W px P3p 2p 1 0 é um sub espaco vetorial de V P3 Resolugao Sejam px qx EW p 2p 1 0eg 2q 1 0 Assim p qx px qx é tal que p 2 p 1 p 2 4 2 p 1 4 1 p 2p1 4 2 4 1 000 e entao p qa W Da mesma forma apx apx é tal que ap 2 ap 1 ap 2 ap1 a p2 p 1 00 0 e entao apx W Portanto W é subespaco vetorial de P3 23 Intersecgao de dois Subespacos Vetoriais Definigao 58 Dados W e W2 subespacos de um espaco vetorial V a inter seccao W1 1 We ainda é um subespaco de V Exemplo 59 V R Seja Wi zyz R y0 e Wo 2y 2 R 2 0 Wi NW a reta de interseccao dos planos W e Wo ou seja Wi NWe 2y2z R r0ey0 Exemplo 60 V R Seja W zyz R xty2z20 eWo a y 2 R TryzZ 0 Para encontrarmos a interseccao dos dois subespacos devemos resolver o sistema xetyz0 rtyz0 A solucao desse sistema é z 0 y 2 Portanto Win W2 2y2 R zO0ey2 46 Exemplo 61 V P3 Seja W p P3 p10 e Wo pe P3 p1 0 Como p P3 entao p a bx cx dx com abcd R Se p W entao p1 0 b 2c 3d 0 Se p Wy entao p1 0 2c 6d 0 Para que p pertenga a Wi M W2 devemos resolver o sistema b 2c3d0 2c6d0 c dd b 3d Portanto WNW2pe P3 pat3dxr 3dzx dx Exemplo 62 V MnnWi matrizes triangulares superiores W2 matrizes triangulares inferiores Entao W 1 Wa matrizes diagonais a b Exemplo 63 Seja V Mz cd a b m 0 0 aber a 0 m acer WWNW2 um subespaco de V pois a 0 v5 Soe Exemplo 64 Sejam W e W2 dados por Wi ay Ray0 e Wo ay R 2 y 0 seré que W U W2 é um subespaco vetorial de V Solucao Nao Basta considerar V R U 1 1 EW v 1 1 ew mas uv 114 11 20 Wi U W2 represente graficamente esta soma de vetores AT 24 Combinagao Linear Definigao 65 SejaV um espaco vetorial real V1 Va Un V G1 424n E R Entao o vetor UV ALY A2V2 F AnUn é um elemento de V ao que chamamos de combinagao linear de v1 V2 Un Exemplo 66 Em R os vetor v 1016 é uma combinagdao linear dos vetores vy 12 ve 84 pois v 4u 2vo Exemplo 67 Verifique se o vetor v 3 21 pode ser escrito como uma com binagao linear dos vetores v 111 ve 111 v3 11 1 Devemos verificar se existem ntimeros a bc tais que v av bv2cvs ou seja 3 21 a111 b1 11 11 1 devemos entao resolver o sistema 1 1 1 a 3 1 1 1 b 2 1 1 I1 Je 1 Mas esse sistema tem uma tinica solugao a 3 b e c 1 Portanto v pode realmente ser escrito como combinacao de v1 v2 e v3 da forma v 3u1 2 U3 Exemplo 68 No espago vetorial Py o polindmio p 7x 11x 26 é combi nacao linear dos polindmios q 5x 3a 2 e qg 2x 5x 8 de fato p 3m 4q2 confira Exemplo 69 Verifique que em P2 0 polindmio px 127 uma combinagao dos polindmios qx 1 rz 12 esz 14a242 Resolugao Precisamos encontrar niimeros reais a1 2 a3 tais que px aiqx aarx a3sx Ou seja precisamos encontrar a1a2 a3 satisfazendo la ay ag12 a312 27 1140r1a a a2a3 a2 a32 a32 que é equivalente ao sistema ay aga31 a2 a3 0 a lag leag3z1 a3 1 48 Exemplo 70 Consideremos no R os seguintes vetores v 132 e vg 241 Escreva o vetor v 4187 como combinagao linear dos vetores V1 V2 Resolugao V Qa V1 A2QV2 4 187 ai 1 3 2a22 4 1 lai 3a1 2a12a2 4a2 laz a1 2a2 3a 4a22a1 a2 que é equivalente ao sistema a 2a2 4 3a 4ag 18 Say 2 ag 3 2a4 aQq 7 Portanto v 2v 3v2 Agora mostre que o vetor v 436 nao é combinagao linear dos vetores v1 1 32 e ve 24 1 25 Dependéncia e Independéncia Linear Definigao 71 Seja V um espago vetorial e v1 V2Un V Dizemos que o conjunto 1V2Un linearmente independente LI se a equacao Q1V1 dgv2 AnUn 0 implica que a a2 4 0 No caso em que exista algum a 4 0 dizemos que v1v2Un linear mente dependente LD Para determinarmos se um conjunto é LI ou LD devemos fazer a combinagao linear do conjunto de vetores e igualar esta combinagao linear ao vetor nulo do espaco Portanto é muito importante ter conhecimento do vetor nulo do espaco em que estamos trabalhando Definigéo 72 Considere o espaco vetorial R e os conjunto de vetores a 12311 100 p 1 23 11 1 35 7 Os conjuntos e 2 acima sao LI ou LD Solucao Fazendo a combinacao linear a123 1 11 c1 00 00 0 49 temos o sistema homogéneo abc 0 2ab 0 3ab 0 cuja tinica solugao é a bc0 Portanto o conjunto a é LI Fazendo a combinacao linear a123 61 11 c357 00 0 temos o sistema homogéneo ab3c 0 2ab5c 0 3ab7 0 que possui infinitas solugdes grau de liberdade 1 Portanto além da solucgao nula que todo sistema homogéneo tem este sistema possui outras solugdes diferentes da solucao nula logo o conjunto 6 é LD Teorema 73 O conjunto v1v2Un LD se e somente se um dos vetores do conjunto for uma combinagao linear dos outros Exemplo 74 a Seja V R Sejam v1 v2 V O conjunto v1v2 é LD se e somente se v1 vo estiverem na mesma reta que passa pela origem um vetor miltiplo do outro v1 Xv2 b Em V R e 10 e e2 01 sao LI pois aye agé2 0 aj 10 a20 1 00 a1a2 0 0 logo a 0 e ag 0 portanto e e e2 sao LI Exemplo 75 No espaco Vetorial Mz o conjunto 1 2 2 3 34 aLaalsos a é LD Examinemos a equagao a1V1 agv2g a3v3 0 1 2 2 38 34 0 0 ao ae 0 ee 1 J0 0 cuja solugao a a3 ag 2a3 Como existem solugées a 4 0 o conjunto é LD 50 Propriedades da Dependéncia e da Independéncia Linear Seja V um EV 1 Se A vu CVev 0 entao A é LI 2 Se um conjunto A C V contém o vetor nulo entao A é LD 3 Se um conjunto A Cc V é LI qualquer parte A de A também é LI 26 Subespacgos Gerados Definigao 76 Seja V um espaco vetorial Consideramos um subconjunto A U1 V2 Un C VA BO conjunto W de todos os vetores de V que sdéo combinagées lineares dos vetores de A é um subespaco de V Simbolicamente o subespaco W é Wv eV vayry t agve GnUn O subespaco W dizse gerado pelos vetores vj V2 Un ou gerado pelo con junto A e representase por W v1v2Un ou W GA Os vetores V1 V2 Un8ao chamados geradores do sube spacgo W enquanto A é 0 conjunto gerador de W Para o caso particular de A definese 0 AC GA ou seja v1 V2Un C v1 V2 Un Todo conjunto A Cc V gera um subespaco vetorial de V podendo ocorrer GA V Nesse caso A é um conjunto gerador de V Exemplo 77 Os vetores i 10 e j 01 geram o espago vetorial R pois qualquer xy R é combinacao linear dei e 3 xy xi yj 01 y0 1 a 0 0y a y Entao ij R Exemplo 78 Seja V R Determinar o subespaco gerado pelo vetor v1 1 23 Solucao Temos vi zy 2 Ray 2 a1 23a R Da igualdade 2yz a123 vem x a y 2a z 3a donde y2xez32 logo vu ay 2 Ry 22 e z 32 ou v1 a 22 3x 2 R 51 Exemplo 79 Encontre o subespago vetorial de P3 gerado por U 1tt1 t Resolugao Note que t t 1 1 Assim dado pt a at agt a3t P3 podemos escrever pt ao a3 at ast a3t 1 U Ou seja qualquer vetor polindmio de P3 pode ser escrito como uma combi nacao linear dos vetores do conjunto U Logo P3 U Exemplo 80 Encontre o subespaco vetorial gerado de M2 gerado por 1 1 2 1 eo 1 a Resolugao Temos que A G se e somente se existirem a e bE R tais que y 1 l 2 1 aa N0 4 1 re 4 Dat temse 0 sistema a2b2 aby 3b z a4bt que é possivel se 5a 2y zx2tyet 3 v y Logo G y soty LY Ee RI Exemplo 81 Encontre um conjunto de geradores para W X M41 7 AX 0 onde 1 1 1 0 2 O 1 1 A 3 1 0 1 0 2 3 1 Resolugao 52 a 1 1 1 0 a 0 b 2 O 1 1 b 0 X 01513 1 0 1 ec o d 0 2 3 1 d 0 1 1 1 0 a 0 0 2 3 1 b 0 an 0 O 0 O ec 0 0 O 0 O d 0 1 1 tl 0 a 0 0 1 32 12 by f oO a 33 0 0 0 0 c 0 b 3 0 0 0 0 d 0 isto 6 e d i a1 za 2 2 2 2 2 xX C c i d 0 d 0 1 1 1 3 i 2 2 portanto W i 0 0 1 27 Soma de Subespacgos Definigao 82 Sejam W e W2 dois subespacos vetoriais de V Entao 0 conjunto Wi4tWv eV fv u 4 wo EW e we Wo é um subespaco de V a b 0 0 Exemplo 83 W 0 0 eW cd onde abcd R a b Entao W W2 Mo c d Exemplo 84 Sejam os subespacos vetoriais W a60ab R e We 00ccE R do espaco vetorial R A soma W W2 abcabc R é subespago vetorial que nesse caso é 0 proprio R 53 Proposigéo 85 Quando Win W2 0 entao W W2 chamado soma direta de W com Wo e denotado por W Wo Observagao 86 Usando os geradores podemos obter uma caracterizagao da soma de dois subespagos Sejam W eU subespagos de V se W u1Un U wiWm entédo W U uy Un W1 Wm Exemplo 87 Verifique que R é a soma direta de W 2y2 Rey20 e W2 a y 2 R a y 0 Resolugao Note que W2 é de fato um subespaco vetorial de R Verifique Dado ve W vayye we Wo u 00 z utvay2yz R vamos mostrar que W 1 W2 0 Seja 2 yz Wi N We temos Zytz0 r0 xyz 000 y0 Exemplo 88 Encontre os geradores do subespago U W onde U xy 2 ER atyz0 W y2 eR rty0e z0 Resolugéo Se v U uv ayx y 101 y01 1 logo U 1 0 1 0 1 1 Seve W v a22 x111 logo W 1 1 1 Usando a teoria acima explicada temos que UW 10 1 01 1 1 1 1 28 Base e Dimensao de um Espaco Vetorial 281 Base Um conjunto 3 v1 v2 Un C V é uma base do EV se 1 BéLl 2 8 gera V 54 Exemplo 89 6 1110 é base de R De fato 1 8 LI pois a1 1 b10 00 ab0 2 B gera R pois para todo a y R temse Realmente a igualdade xy a11 610 ayebyx Exemplo 90 O conjunto 0102ndo é base de R pois é um conjunto LD Se 00 a0 1 B0 2 temos a 2b Assim para cada valor de b conseguimos um valor para a ou seja temos infinitas solugées Exemplo 91 Seja V R entéo a 100 01 0 001 é uma base do R verifique Exemplo 92 O conjunto 8 122x72 uma base do espaco vetorial P De fato Ao 12 Gx Ona 0 Ao 12 0227 n 2 00r Or 0x dp a1 An 0 portanto 6 é LI gera o espaco vetorial P pois qualquer polinédmio p P pode ser escrito assim paAotayxt aga 2 Ont que é uma combinacao linear de 12 2 Logo 8 é uma base de PEssa é a base candnica de P e tem n 1 vetores Exemplo 93 Encontre uma base para U W onde U 2y2 eR etyz0 e W zy2Rey0exz0 Resolugao U 101011 e W 111 Jé vimos este exemplo UW 10 1 01 1 1 1 1 JA temos um conjunto que gera a soma se este conjunto for LI entao ele sera uma base a10 1 60 1 1 c1 1 1 00 0 55 1 0 1 a 0 0 1 1 b 0 1 1 1 c 0 1 0 1 0 1 1 A0 1 ljsAt1 2 1 1 1 1 1 1 1 a 0 1 1 0 0 b 1 2 1 0 0 c 1 1 1 0 0 logo o conjunto é LI e portanto 6 10 1 01 1 111 é uma base de U W Exemplo 94 Encontre uma base para U W onde U 2y2 eR eyz0exry0e W 2yzR eyz0erz0 Sev yz US nar v a20 x110 portanto U 110 Se uzyz W a a u x0x2 x101portanto W 10 1 Assim UW 110 10 1 Como 0 conjunto 8 110 10 1 é LI entao ele 6 uma base para U W Como o conjunto 8 10 1 01 1 1 1 1 é LI verifique isto e gera o espaco U W entao ele é uma base do espaco U W Exemplo 95 Dados 11 UAe M2RAA e We 01 em Mo encontre uma base para UWU NWW U Resolugao ParaU A cbportanto A U se existirem aj a2 a3 R tais que 1 0 0 1 0 0 Aa 4 5 ta 4 5 a 4 podese verificar facilmente que as matrizes 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 sao LI e portanto como geram U formam uma base de U 56 Para W Como a matriz 1 1 0 1 gera W ela serve para base de W ParaUNw ACUNWSAA e existe a R tal que aa 9 8 isto 6 se e somente se existir a R tal que aa fa 0 0a aa que é satisfeita quando a 0 ou seja A 0Desse modo UM W 0 Uma base para UN W 6 Veja a observagao a seguir para elucidar esse fato Observagao Seja V um espaco vetorial e 0 Vo vetor nulo de V Como 0 conjunto 8 0 é LD mostre isto temos que este conjunto nao pode ser uma base do conjunto N 0 Este é um caso patoldgico e para que nao seja contrariada a definigéo de base tomamos 3 conjunto vazio como sendo base para o espaco N o ParaU W Como UNW 0 temos U W é soma direta e portanto uma base é 1 0 0 1 0 0 1 1 0 071 07 0 17 0 1 Proposigao 96 Todo conjunto LI de um espago vetorial V é base do subespago por ele gerado Exemplo 97 O conjunto 6 1211 30 Cc R é Ll e gera o sube Spaco W 2y2 R3x y2z O Entao 8 é base de W pois 8 é LI e gera W Teorema 98 Sejam vj V2Un vetores néo nulos que geram um espago veto rial V Entao dentre estes vetores podemos extrair uma base de V Proposigao 99 Seja um EV V gerado por um conjunto finito de vetores U1 U2Un Entéo qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD e portanto qualquer conjunto LI tem no méximo n vetores b Exemplo 100 SejamU eW subespacgos de V M2 tal queU Mgbc of 0 1 1 0O 1 1 w00G 2 a 57 a Determine uma base para U 1 W Inicialmente encontremos o subespaco gerado W fa b 0 1 1 0 1 1 Sea de W A a 2 0 85 Sart A matriz ampliada desse sistema é 0 1 1 a 1 0 1 b 101 bY Gaassi limination 2 71 1 1 0 0 cl Gaussian elimination 5 9 1 pie 0 1 1 4d 0 O O da O sistema s6 é possivel se d a 0 daf observamos que o subespaco gerado We dado por w 4 Masaah E portanto obtemos UN W 5ace RI Uma base para W 6 1 0 0 1 B 0 iJelt oo Note que as matrizes geram UMW e sao LI pois nao sao multiplas uma da outra b Encontre uma base para U W Obtemos os geradores de U W unindo os geradores de U e W Vamos obter os geradores de U fa b f1 0 0 1 0 0 Sia eu A 1 2 5 9 i ta 1 0 0 1 0 0 v 0 Zo 9 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 vew a a 3 Go G A 1 Uma base para UW deve ter no maximo 4 matrizes entao ja sabemos que este conjunto é LD e que temos que eliminar no minimo 2 matrizes para este conjunto se tornar LI Vejamos quantas e quais matrizes serao eliminadas alt 5f 1 0 0 9 1 1 0 afh t 0 0 0 1 0 o 1 1 07o 1 0 1 o 0 a 1 0 0 0 1 1 100 0 1 I1486 0 1 0 r 0 1 Gaussian elimination 2 9 9 Je eZ 010 1 9 9 Gaussianelimination 9 g 1 4 a 0 0 1 0 1 1 000 0 0 1 e f 0 aef0 acez 0 J onaasao 587 0 cef0 f 7 0 0 f0 58 Veja que nao podemos excluir a ultima matriz e que existe uma relagao entre a 1 3 e 5 entao devemos excluir uma dentre estas 3 e ainda a 2 esta relacionada com a 4 entao temos que excluir uma das duas Excluindo a 1 e a 2 temse que 0 0 0 1l 1 0 1 1 B 1 t 0 0 1 é uma base para U W 282 Dimensao Seja V um Espaco Vetorial Se V possui uma base com n vetores entao V tem dimensao n e denotase dimV n Se V nao possui uma base ou seja a base é 6 entao dimV 0 Se V possui uma base com infinitos vetores entao dimV é infinita e anotase dim V oo Exemplo 101 dim R 2 pois toda base de R tem 2 vetores Exemplo 102 dim M22 4 Exemplo 103 dim Mmn mn Exemplo 104 dim P n1 Proposigao 105 Seja V um E V tal que dimV n Se W um subespaco de V entao dimW n No caso de dimW n temse W V Para permitir uma interpretagao geométrica consideremos o espaco tridimensional Rdim R 3 A dimensio de qualquer subespaco W do R so podera ser 012 ou 3 Portanto temos os seguintes casos 1 dim W 0 entéo W 0 é a origem 2 dimW 1 entao W é uma reta que passa pela origem 3 dim W 2 entao W é um plano que passa pela origem 4 dim W 3 entao W R Proposigao 106 SejaV um E V de dimensdo n Entao qualquer subconjunto de V com mais de n vetores é Linearmente Dependente LD Proposigao 107 Sabemos que o conjunto GB é base de um espago vetorial se B for LI e geraV No entanto se soubermos que dimV n para obtermos uma base de V basta que apenas uma das condigoes de base esteja satisfeita Exemplo 108 O conjunto 6 2113 é uma base do R De fato como dim R 2 e os dois vetores dados sao LI pois nenhum vetor é miiltiplo escalar do outro eles formam uma base do R 59 Exemplo 109 Seja W px P3p 2p 1 o um subespago veto rial de P3 Encontre uma base e a dimensdo de W Resolugao Vamos entao encontrar uma base comecemos pelos geradores de W Se px ax ba cx d W temos que p 2 p 1 0Entao como p 1 3a2bc a 7 biay ae p2 12a 2b obtémse de p 2 p 1 0 que c 15a 4b Portanto px W é da forma px ax 15a bx 4x d Logo W 2 15a 2 4a 1 Como esse conjunto é LI facil de veri ficar temos que uma base de W é a a 15a 2 4x 1 edimW 3 283 Dimensao da Soma de Subespacos Vetoriais Proposigao 110 Seja V um espaco vetorial de dimensao finita Se U eW sao subespacos vetoriais de V entao dimU W dimU dimW dimUNW No exemplo 95 de base para encontrar a base de U W podemos usar esta proposicao dimU W dimU dimW dimUNW 310 4 dim M2 portanto U W M2 e uma base pode ser dada por 1 0 0 1 0 0 11 0 0L0 O0O7 1 07 0 1 284 Coordenadas Seja V um espaco vetorial gerado e G uma base de V formada pelos vetores U1 U2Un uv V sendo V XU XQUQ LynUn Os coeficientes 71 9 sao chamados componentes ou coordenadas de v em relacao a base e se representa por Zy1 x ule In Exemplo 111 No R consideremos as bases 10 0 1 8 20 13 ey 1 3 24 Dado o vetor v 86 temse 60 86 81 0 60 1 86 320 213 86 21 3 32 4 8 3 2 temos l 6 rlo3 e th3 Exemplo 112 Mostre que os vetores 111011 e 001 formam uma base de IR Encontre as coordenadas de 120 R com relagéo a base B formada pelos vetores acima Resolugao J sabemos que dim R 3Entao verificamos se os vetores acima sao LI Os vetores sao LI se ajvy adgvq a3v3 0 ay ag ag O Isto é equivalente a que o sistema ay 0 a a2 0 a tag a3 0 cuja solugao é ay az ag 0 portanto os vetores v1 v2 e v3 sao LI 1 20 a1 11 00 1 1 00 1 aa6bab4c que é equivalente ao sistema a1 ab2 Sa1blec2 atbc0 Desse modo as coordenadas de 120 em relagéo 4 base é dado por 1 vla 1 2 29 Mudanga de Base Muitos problemas aplicados podem ser simplificados mudandose de um sistema de coordenadas para outro Mudar sistemas de coordenadas em um espaco vetorial 6 essencialmente a mesma coisa que mudar de base Por exemplo num problema em que um corpo se move no plano xy cuja trajetéria uma elipse de equacdo x zy y 3 0 ver figura a descricéo do moviemnto tornase muito simplificada se ao invés de trabalharmos com os eixos x e y utilizarmos um referencial que se apdéia nos eixos principais da elipse Neste novo referencial a equacao da trajetoria seré mais simples 3u 2u 6 61 u Fy CNY SA Nesta segao vamos discutir o problema de mudar de um sistema de coorde nadas para outro Sejam 8 uUn e B w1Wn duas bases ordenadas de um mesmo espaco vetorial V Dado um vetor v V podemos escrevélo como Vv xu t LpnUn 21 Vv Ywit YnWn Como podemos relacionar as coordenadas de v em relagao a base 3 2 v2 vle Ln com as coordenadas do mesmo vetor v em relacdo a base 3 Y2 ul gv Yn JA que w1Un base de V podemos escrever os vetores w como combinacao linear dos uj isto é 62 Wy a41U A21U2 F An1Un We ay2Uy Gaatia oF An2Un 22 Wn AinU1 Gang AnnUn Substituindo em 21 temos v Yi YnWn yiGi1t1 Gora AniUn Yn Ginus QgnU2 AnnUn auyi GinYnur Gniyi Onn Yn Un Mas v 21U1 ZaUn como as coordenadas em relagao a uma base sao tinicas temos Ly A11Y1 G12Y2Q A1nYn TQ Agq1y1 A2Q2Yy2 AanYn Tn AniY1 an2Y2 tet AnnYn Em forma matricial Ly a11 Gin Y1 Ln GQni QAn2 Ann Yn Logo se usarmos a notagao a Qi1 Gin 3 GQn1 GAn2 Ann temos a relacao B ule 15 ely A matriz I 3 é chamada matriz mudanga de base para a base Compare 3 com 22 e observe que esta matriz é obtida colocando as coordenadas em relacao a de w na iésima coluna Note que uma vez obtida I i podemos encontrar as coordenadas de qualquer vetor v em relagao a base 6 multiplicando a matriz pelas coordenadas de v na base 3 supostamente conhecida Exemplo 113 Sejam 8 2134 e 6 10 01 bases de R Procuremos inicialmente I 5 wy 1 0 aii2 1 a213 4 2a11 3a21 a11 4ag1 Isto implica que a4 4 ean 4 w2 0 1 a422 1 a223 4 Resolvendo ayz 3 A299 2 63 A 3 al Tl il Portanto I B 1 2 11 T1 Podemos usar esta matriz para encontrar por exemplo vg para v 5 8 4 3 a iT oT 5 4 5 8a Hg 65 8a a 2 8 l il il Isto é 5 8 42 1 13 4 Exemplo 114 Considere as bases em R3 6 101 1 11 112 e 6 100 0 10 00 EncontreI 5 Resolugao 1 0 0 ai1 0 1 aoi1 1 1 asi1 1 2 0 1 0 aio1 0 1 ao21 1 1 a3o1 1 2 0 0 1 a3i1 0 1 a3 1 1 1 a331 1 2 G11 G21 43121 431011 G21 2a31 100 12 d22 432022 a3212 ad22 2a32 010 a13 a23 433423 433413 G23 2a33 001 Note que cada linha acima representa um sistema de trés equagoes com trés incdégnitas e que a matriz associada a cada um destes sistemas é a mesma e 0 que muda sao os nomes das varidveis e o segundo membro Utilizando como varidveis xy e z basta resolvermos o seguinte sistema 1 11 x a 011 y b 1 1 2 z Cc onde abc R O sistema acima é equivalente a 1 11 x a 0 0 1 Zz ca cuja solugao é dada por x abyabcezca Tomando a bc 100obtemos a1 21 31 11 1 Tomando a bc 010obtemos a12 a22 a32 1 10 Tomando a bc 00 1 obtemos a13 a23 a33 0 11 Desta forma obtemos 1 1 0 Ws 1 1 1 1 O 1 64 210 A Inversa da Matriz de Mudanga de Base Se em 21 comegarmos escrevendo os u em fungao dos w chegaremos a relacao ular U5 ele Um fato importante é que as matrizes I iA e I 15 sao inversveis e B ine in Exemplo 115 No exemplo 113 anterior podemos obter 3 a partir de I Note que z5 é facil de ser calculada pois 8 é a base candnica 3 4 31 0 40 1 Bo 1 4 Entao a a of Br 2 3 ne 2 i a 2 11 I Exemplo 116 SejaV P ea 22a7 123 x ef 34 4127 30 bases de P3 a Encontre 1 Escrevendo os elementos da base como combinagao dos elementos da base B 2a34 bx 1 ex d32 xe3f14 gr h32 ze 1i134j14 1c m32 2 2n340x1 paz q32 Rearranjando os termos 4 direita de cada igualdade temos 2 3ab ba cx 3d2 a 3ef fa gx 3hx3 x 1 3i j ja 1a 3mz x x 3n0 02 pa 3qzx3 Dai comparando ambos os lados das igualdades obtémse 2 1 1 1 M519 9 1 0 1 0 0 0 3 1 2 b Encontre pq sabendo que pg 1 4 65 3 1 1 Q 10 1 0 3 Devemos usar a relaco pla 1 pls onde 7 113 lo 0 41 6 0 0 O 8 bE boy 1 3 w 2 1 9 3 2 Pla 10 0 1 Of 1 1 0 0 0 8 4 12 66 211 Terceira lista de exercicios 1 Verifique se R com as operacées definidas por i xy st sy t onde u xy e v st pertencem a R ii ax y ax y onde a Re u zy R é um espaco vetorial 2 Moste que R com as operacées definidas por i xy st x 8y 1 onde u 2 y e v st pertencem a R2 ii azy av ay onde a Re u 2y e v st pertencem a R é um espaco vetorial 3 Verifique se em cada um dos itens abaixo 0 subconjunto W é um subespaco do espaco vetorial V Se for encontre uma base para cada subespaco a VR2 eW ayz R 22 3y z 0 b VRewWe 1 2 3 ER M 1 c VP eW pe Pr p0 p1 d V M22eSX My detX 0 S 0 conjunto das matrizes singulares ec VM22e FX M AX XA F 0 conjunto das matrizes que comutam com a matriz A f V P3 e W 0 conjunto dos polindmios de grau 3 que passam pelo ponto P0 0 g VPpeW px Ee Py So padx 0 uy 2 h VReW 2 yz ER det 1 2 1 0 0 1 1 i V Mox2 e W A Moxy A A 4 Dé um exemplo de um subespaco vetorial de P3 com dimensao 2 5 a Verifique se 0 conjunto S A M33A é uma matriz anti simétrica é um subespaco vetorial de M 33 b Considere 0 subconjunto de Mz dado por W EM baed a Verifique se 0 subconjunto W é um espaco vetorial 67 6 Verifique se o conjunto W 123 13 1 03 1 145 C R é LI ou LD 7 Dado o conjunto W 113 12 1 013 145 C R extrair um subconjunto de vetores LI 8 a Seo conjunto 8 v1 va Un 6 um conjunto Linearmente Indepen dente entao o o conjunto a v1 002 1s Un é LI ou LD Justifique sua resposta b Considere 0 subespago N o Qual é a base e a dimensao de N 9 Sejam U a bx cx dx P3 abc3d0eW px P3 p1 0 dois subespacos vetoriais de P3 Determine UN W 10 Considere o subespaco de R gerado pelos vetores v 1100 vo 00 11 v3 22 11 e v4 10 00 a O vetor 2 3 22 v1 v2 v3 v4 Justifique b Exiba uma base para v1 V2 V3 V4 Qual é a dimensao deste espago c v1 V9 V3 V4 R Por qué 1 1 0 0 0 2 1 1 1 2 11 Qual o subespaco gerado pelas matrizes i e a b a b 12 Sejam U cd attbc0 eW cd b2d0 dois subespacos vetoriais de M2 Determine os geradores de UN W 13 Considere 0 espago vetorial P3 e o conjunto W px P3 p1 0 a Verifique se W é um subespaco vetorial de P3 b Obtenha os geradores de W 14 a Encontre as coordenadas do vetor p 1t em relacao base a 214t00 19 de P b O conjunto 6 2tt é LI ou LD Justifique sua resposta 15 Mostre com um exemplo que a uniao de dois subespacos vetoriais de um mesmo espaco vetorial nao precisa ser um subespaco vetorial desse espaco 16 Responda se os subconjuntos abaixo séo subespacos de M 2 2 a b a V od com abcdR cbcceab 68 b V com abcd ER ebdl Em caso afirmativo determine i uma base para W 1 W2 ii W W2 é soma direta iii WW2 M2 2 17 Considere os subespacos de R W zy ztwa2w0rwO0 Wo 2y2twytzt0eWs 2yztw 2a t 2w O a Determine uma base para o subespaco Wi 9 W2N W3 b Determine uma base e a dimensao de W W3 c Wi We é soma direta Justifique d W W2 R 18 Considere os seguintes subespacos de P3 U pe P3 p 1 0 eW pe Pyp 1 o Determine dimU W e dimUNW 19 Considere 0 subespago W de P3 que é gerado pelos polinémios p2 1 2x 4 27 pox 14 2x 32 e p3x 14 4x 8x 9x 0 subespaco de P3 U p P3 p0 0 a Determine uma base e a dimensao de W b Determine uma base para UN W c Determine uma base para U W 20 Sejam U 100 111 e V 010 00 1 subespagos gerados do R Determine a uma base e a dimensao de UN W b UW R3 21 Considere 0 seguinte subespaco de M2 2 a bd S i MQ2abcd0 a Determine uma base e indique a dimensao de S 69 b Construa uma base de M22 que contenha a base de S obtida no item a 22 Determine a dimensao e encontre uma base do espagosolucao do sistema x3yz0 2x 6y2z0 3z 9y3z0 23 Dé exemplos de dois subespacos do R tais que V Vo R A soma é direta Justifique sua resposta 24 Sejam U e W subespacos de R de dimensdo 2 e 3 respectivamente Mostre que a dimensao de UMW 6 pelo menos 1 O que ocorre se a dimensao de UN W for 2 Pode ser 3 Justifique sua resposta 25 O conjunto A 102 aa0 10a uma base para um sube spaco do R de dimensao 2 se e somente se a 2 zrytaz0 26 Seja S X M3x1 AX 0 oespaco solucéo do sistema xtaytz0 axyz20 Determine os valores de a para os quais S seja a propria origem uma reta que passa pela origem e um plano que passa pela origem 27 Sejam B 1 0 0 1 By 1 1 1 1 By Vv3 1 V3 1 e B 20 02 bases ordenadas de R a Encontre a matrizes mudanga de base i yi HL Nv WS b Quais séo as coordenadas do vetor v 3 2 em relagao a base i B ii By iii 6B iv Bs c As coordenadas de um vetor u em relacaéo 4 base 6 séo dadas por 4 ls 4 Quais as coordenadas do vetor u em relacgao a base i 8 ii Bo iii Bs 28 Sejam Py p ag ax aga aga agx a0 a1 4243 44 R a 12a70 a4 e 8 2 2x 4a 8x7 16a a Determine J 3 2 b Se p 3 determinar p 4 5 70 c Determine o polindmio p cujas coordenadas séo dadas no item b acima 29 Considere 0 seguinte subespaco de Mz W Jd of Sejam 11 1 1 1 1 oO 1 01 0 11 0 g 1 0 11 1 0 7 1 O0 0 OF 0 O a Detemine J vi b Se uv e determine v 0 30 Sejam ae bases de R Determine a base 3 sabendo que a 1 10 0 10 00 1 e a matriz mudanga de base de a para 6 é 1 0 0 Wgo 21 1 11 ffi 1 0 1 2 1 a 31 Seja a i i i 2 i uma base para um subespaco 1 OO l de Mox2 e 13 1 1 1 onde 8 é também uma base para um 2 1 2 subespaco de Moy a Determine a base 1 b Se vg 2 determine vq 1 32 Seja E um espaco vetorial qualquer e a u1U2u3 uma base de EF Considere ainda os vetores v1 uy U2 V2 2u U2 Ug e V3 U2 a Determine a matriz S de mudanga da base 3 v1v2v3 para a base u1 U2 us b Calcule as coordenadas do vetor w vv21v3 na base uz U2 Us 33 Sejam a e 6 bases de um espaco vetorial V a Mostre que det in3 ir 1 71 b Determine J 34 Verifique se as afirmacoes abaixo sao VERDADEIRAS ou FALSAS Se forem verdadeiras demonstre Se forem falsas dé um contraexemplo a A intersegaéo de dois subespacgos vetoriais nunca é vazia l1 2 1 1 0 0 0 2 b A matriz 0 s pertence ao subespaco W i i c Se os vetores U v e W sao LI entao os vetores wWvv0 we 1 u w sao LIs d W 1 20 240 é um plano no R que passa pela origem ec Se 8 W1 V2 U3 uma base de um espaco vetorial V entao o conjunto A v1 0301 V201 02 3 é lineramente independente f O subespaco W p P3 p1 0 e p1 0 é gerado pelos polindmios p 1 e pp 9x 3a 2 g Oconjunto 7 1 U2 U3 sempre uma base para o subespaco V1 U2 U3 72 2 Capitulo 3 Definigao 117 Sejam V eW dois espagos vetoriais Uma Transformagao Lin ear aplicagao linear é uma fungao de V em W T V W que satisfaz as seguintes condigoes e Qualquer que sejamuevemV Tuv TuTv e Qualquer que sejamk ERevemV T kv kTv Exemplo 118 Um agricultor planta e comercializa trés tipos de verduras Tomate Batata Cenoura Sejam x1 2x3 as quantidades em quilos de To mate Batata Cenoura respectivamente Se o agricultor vende o quilo do to mate a R 200da batata a R 150 e da cenoura a R 190 entao o total de vendas Ty é dado por 2a 15x2 19x3 A aplicagdo que a cada tripla 21 2223 Rassocia o total de vendas Ty 21 2223 uma aplicacao linear Matematicamente temos uma transformagao linear do EV R no EVR Ty RoR Ty 1 2 3 221 1522 1923 Vamos agora mostrar que de fato esta aplicagao é uma transformagao linear Chamando u 21 273 R v y1 y2y3 R e k R temos 73 i TV u v TV x1 x2 x3 y1 y2 y3 TV x1 y1 x2 y2 x3 y3 2x1 y1 1 5x2 y2 1 9x3 y3 2x1 1 5x2 1 9x3 2y1 1 5y2 1 9y3 2x1 1 5x2 1 9x3 2y1 1 5y2 1 9y3 TV u Tx1 x2 x3 2x1 1 5x2 1 9x3 TV v Ty1 y2 y3 2y1 1 5y2 1 9y3 TV u TV v 2x1 1 5x2 1 9x3 2y1 1 5y2 1 9y3 Logo TV u v TV u TV v ii TV ku TV kx1 x2 x3 TV kx1 kx2 kx3 2kx1 1 5kx2 1 9kx3 k 2x1 1 5x2 1 9x3 kTu Logo TV ku kTV u De i e ii vemos que TV é uma transformação linear Exemplo 119 Sejam V R W R e F R R dado Fu u2 A aplicação F não é uma transformação linear pois Fu v u v2 u2 2uv v2 Fu Fv u2 v2 Fu v 6 Fu Fv Exemplo 120 T R2 R3 Tx y 2x 0 x y T é uma transformação linear pois i Tu v T x1 y1 x2 y2 Tx1 x2 y1 y2 2x1 x2 0 x1 x2 y1 y2 2x1 2x2 0 0 x1 y1 x2 y2 2x1 0 x1 y1 2x2 0 x2 y2 Tu Tv 74 ii Tku Tkx1y1 Tkx1ky1 2ka0 ka ky k 200 24 y1 kT u Portanto T é uma transformacao linear Exemplo 121 VWP e D PrPri Df f a aplicagado derivada que a cada polinédmio associa sua derivada a qual também é um polindmio é uma aplicagao linear De fato para quaisquer fg Py e KER i Diftg9 f9 f 4 DfDg Dkf kfy kf kDf Exemplo 122 V PW Pnii px a0 a12 ag7 an2 T Py Pati Tpx apx aor aya aga ana A aplicagéo T é uma transformagaéo linear pois Tkp xkpx vkpx kapx kT p Tpq 2xpq 2px gx zpx xqx Tp TQ Exemplo 123 V W P px ao a1 ag7 an2 abER T PPh Tpx plax b ao a4 ax b ag aw b Gn ax b 75 Esta aplicacao também é linear pois Tkp kpax b kpax b kTp Tpq pqax b pax b qax b Tp Tq Exemplo 124 Uma transformagao linear inportante é aquela que se obtém usandose o produto escalar Seja R com o produto escalar usual vp R um vetor qualquer fizado Seja T RR Tv vv0 T é uma aplicagao linear mostre isso use as propriedades do produto escalar Exemplo 125 Sejam CR fRR f é continua Considere J CRR Jf f Por exemplo se ft t entéo Jf f0 0 0 J é uma aplicagdao linear pois se fg CR ek R entao Jfg f90 FO 90 Jf Jy Jkf kf 0 kfO kJf Exemplo 126 Seja T Mo Mo T a b ab be c d cd da Esta aplicacgao é uma transformagao linear pois ay by a2 bg a a2 by bg re a deS al ase ata aagb 62 bi b2e42 Cy eg d dy d dg a 42 ajtb bb c 4 a2 be bo ce qd dya cotdg dgtaag a by az bg re are a 76 a b ka kb rel a tLe te kakb kbkc ketkd kdka 2 b be ctd da a b lo a Exemplo 127 Seja T MR TA detA Esta aplicagéo néo é uma transformacao linear pois em geral detA Az 4 detA detA2 31 Propriedades das Transformacgoes Lineares Teorema 128 Dados dois espagos vetoriais reais V e W e uma base de 8 v1 Un de V Sejam wi wy elementos arbitrérios de W Entdo existe uma tinica aplicagao linear T V W tal que Tv1 wi T vn Wn Esta aplicagao é dada por Se v ay GnUn entao Tv Tayvit4nvn como T é linear Tv ayTv1 anT vn Tv ayw anWn 1 42dn devem ser determinados Exemplo 129 Qual a transformacdao linear T R R tal que T10 210 e T11 001 Solucdo Temos neste caso vj 10 e vg 11 base de R e w 2 10 e wa 00 1 Dado v xy arbitrario xy a10 011 Tty Tey40 y1 Txy yT10 yTQ 1 Txy y210 y00 1 Txy 2a 2yy 77 Exemplo 130 Qual a transformacao linear T Mz Py tal que 1 0 4 T 0 atta 0 1 3 2 T ot ote 0 0 og 3 rt 8 2 0 0 7 4 T n rts Solucao Uma matriz A Mp é da forma A Podemos escrever a b 1 0 0 1 0 0 0 0 w 0 5 6 a rel o elo portanto a b 1 0 0 1 0 0 0 0 ULC atCelo olen ote a eeto a 1 0 0 1 0 0 0 0 Lo olJeorLo ofrr ls ol eerfo 1 a b 3 2 2 3 4 r od ax 2 b a 2 e 2 tdaxa T atdabca bcx a da Definigao 131 SejaT V W uma transformagao linear A imagem de T é 0 conjunto de vetores w W tats que existe um vetor v V que satisfaz Tv w Ou seja ImTweW Tv w para algum v V Observagao 132 Note que ImT é um subconjunto de W e além disso é um subespaco vetorial de W Exemplo 133 Seja T R R a transformagéo linear dada por Tx y 2a y 10a y Qual dos vetores abaixo pertence a imagem de T a u 12 b w 12 78 Solugéo a Para que u ImT deve existir algum v xy tal que Tv u ou seja Tx y 12 temos entao Txy 12 2a y 10x y 1 2 2x y1 10y2 Resolvendo o sistema temos x 3 ey f logo u pertence a imagem de T pois T21 u b Analogamente deve existir algum v xy tal que Tv w ou seja Tzy 1 2 2x y1 10y2 Resolvendo o sistema temos x ey 3 logo w pertence a imagem de T pois T33 w Exemplo 134 Determine a imagem da transformagéo linear T R R T2y2 2a y2z4y24y2 Solugdo Se w ImT entao w Tz y z ou seja w Qayz2zy2z4y2z a211 y1 11 21 1 1 Logo todo vetor que pertence a imagem de T gerado pelos vetores w 211we 111 e w3 111 Podemos entao escrever que ImT 211 111 111 Como o conjunto 6 211111 1 11 é LI verifique isto temos que é uma base para a Im7 mas 8 é base para R logo concluimos que ImT R Definigao 135 Seja T V W uma transformagao linear O conjunto de todos os vetores v V tais que Tv 0 chamado niicleo de T sendo denotado por KerT Isto é KerT ov EV Tv 0 Observagao 136 Observe que KerT C V é um subconjunto de V e ainda mais um subespaco vetorial de V Alguns autores denotam o nticleo de T por NT 79 Exemplo 137 SejaT V W dada por Tv 0 Neste caso todo vetor de V é levado no vetor nulo pela transformagdo T assim temos que KerT V Exemplo 138 Seja T R R a projecéo ortogonal sobre o plano xy Neste caso temos Txyz y0 Se Txyz 000 a yz 000 0 ey 0 Como nada é dito sobre a varidvel z temos que z é qualquer logo KerT 00 z eR ze R ou seja o nticleo de T sao todos os vetores que estao sobre o eixo z a aa x Tv Exemplo 139 Encontre o nicleo da transformagao linear T RR Tay2t tty2t2a2t2yt Solucgdo Devemos encontrar os vetores v 2 y zt R tais que Tv Tz y zt 000 Neste caso temos que resolver o sistema homogéneo cttyzt0 2x2t0 2yt0 A matriz ampliada do sistema é 1111 0 1 1 1 1 0 2011 00 2 1 1 0 020 1 0 0 0 1 0 0 Pa Po 30 p3 n 4 logo o sistema é compativel e indeterminado com grau de liberdade 1 Logo 80 rty2z2t0 2yzt0 z0 o que nos fornece c y z 0 t 2y Portanto KerT yy02y R y R 1 10 2 Exemplo 140 Seja T R R a transformagéo linear que é a projegéo ortogonal sobre a reta cujas equagdes paramétricas sao x 2t y 2t zt Encontre o Nticleo de T Solucao Projetar um vetor sobre uma reta 6 0 mesmo que encontrar a projecao ortogonal sobre o vetor diretor dessa mesma reta No nosso caso o vetor diretor é u 2 21 logo Tv projyv u UU x Y z2 2 1 T 221 292 s 9121 72 2x 2 Tene 4 2 r 4x A4y2z 4a4y2z 22 2y4z z Ss TCO xz Y 9 9 9 Para encontrar o nticleo devemos ter 4a 4y2z 4x4y2z 202 T xyz ao Ay ee Tae yt fy ee or ey Fz 00 0 9 9 9 4dr Ay2z 0 4r4y2z 0 2e2yz O 81 4 4 2 4 4 2 4 4 2 fazendoo escalonamento temos 0 O 0 assim 2 2 1 0 0 O 4x A4y2z 0 0 0 0 0 2z 4a4y Zz 2x2y Portanto KerT xy 2x 2y R R 10 2 0 1 2 Definigao 141 Dada uma aplicagao T V W diremos que T é injetora se dados uv V com Tu Tv tivermos u v Ou equivalentemente T é injetora se dados uv V comuv entéo Tu 4 Tv Definigao 142 Uma aplicagao T V W seré sobrejetora se a imagem de T coincidir com W ou seja TV W Observagao 143 Da definigdo acima vemos que uma fungao serdé sobrejetora se dado w W existirv V tal que Tv w Teorema 144 SejaT V W uma aplicagdo linear entao kerT 0 se e somente se T é injetora Proof a Vamos mostrar que se T é injetora entaéo kerT 0 Seja v KerT Tv 0 Por outro lado como T é linear temse que T0 0Logo Tv T0 Como por hipdtese T é injetora entao v 0 Portanto o vetor nulo é 0 tinico elemento do niicleo isto é kerT 0 b Vamos mostrar que se kerT 0 entéo T é injetora Sejam v102 V tais que Tv1 Tv2 Entéo Tv1 Tv2 0 ou Tv v2 0 e portanto vy v2 kerT Mas por hipdtese o tinico elemento do nticleo é o vetor nulo logo v vo 0 e portanto v1 ve Como Tv T v2 v1 vo T é injetora Teorema 145 SejaTV W uma aplicagao linear Entao dim KerT dimImT dim V Coroldrio 146 Se dimV dimW entéo a transformagao linear T V W é injetora se e somente se T é sobrejetora Proof Exercicio Coroldrio 147 Seja T V W uma aplicagao linear injetora Se dimV dim W entao T leva base em base Proof Exercitcio 82 Exemplo 148 Seja T P Pri dada por Tpx xpx Verifique se T é byetora Solugao Devemos verificar se T é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo Usando o teorema 144 devemos apenas calcular o nticleo de T Tpx px Tag9 tau 42 aagaia 42 Tag tayaan2 age ayr an2 Se Tpa 0 apt tayu tane 0040r74 007 4 027 logo dg a 0 px 0 px 0 polindmio nulo KerT 0 observe que neste caso o vetor nulo de P é 0 polindmio nulo de grau n Portanto T é injetora Como dim P n 1 dim P41 n2 e dim KerT 0 temos que dim KerTdimImT n1 0dimImT n1 dimImT n1 Note que dim ImT n14n2 dim Pr4i ImT 4 Pr1 Portanto T nao é sobrejetora e assim T nao é bijetora 32 Transformacgoes Lineares e Matrizes 321 Transformacao linear associada a uma matriz Seja A uma matriz m x n Associada a matriz A definimos a transformacéo linear La RR va Av onde v é tomado como vetor coluna Ly v En 83 Lav Av Qt Gin Ty Law J obo aml ue amn In Ly Q111 AinLn Lal In Am1t1 Amnn Das propriedades de operagoes de matrizes Lautv AutvAutAvLau Lav Laku Aku kAwukLau e portanto Ly é uma transformagao linear Exemplo 149 Seja 1 11 1 A2 01 1l 0 2 0 1 Observe que a matriz A tem ordem 3 x 4 e portanto ela induziré uma transfor macao linear de R para R definida por La RR 1111 La i 201 1 t 0 2 0 1 rtytzt 2ezt 2yt Note que a transformagao acima esta escrita em forma matricial mas podemos escrevela também na forma vetorial que estamos acostumados La2y 2 t cytz2t2a2t2y t Surpresa Esta é a mesma transformagao do exemplo 139 Exemplo 150 Dada a transformagao linear T RR Txyz 10x 20y 30z a 2y 32 84 Encontre a matriz da transformacao T Isto é encontre a matriz A cuja trans formagao associada a ela é exatamente a transformagao T Solugao Passando da forma vetorial para a forma matricial temos r j to oe by x 2y 3z 10 20 30 42 3 y Zz Portanto a matriz de T que denotaremos por T é 10 20 30 7 12 3 Observagao 151 Ao obtermos a transformagéo associada a uma matriz A ou caso contrério a matriz de uma transformagao T nado mencionamos as bases dos espacgos envolvidos De fato ao obtermos a matriz de uma transformacdao estamos levando em conta as bases associadas aos espacos R e R mas neste caso em particular estamos considerando as bases canénicas Isto ficaré claro NA eXPOSiGGaO a seguir De um modo geral fixadas as bases 8 v1V2 Une 8 wi we Wm aA matriz G11 Gin Amnxn oa aml ue amn podemos associar Ta R R v Tav da seguinte maneira Seja Ty In G11 Gln T1 Y1 AX PG D f Am1 a Amn Xn Ym entao Tav yrwi YmWm 85 onde y AX e A é a iésima linha de A Em geral dada uma matriz Ay7 ela 6 encarada como uma aplicacéo linear T R R em relagcao as bases canénica de R e R 322 Matriz de uma transformagao linear Agora iremos encontrar a matriz associada a uma transformagaéo linear Seja TV W linear 3 v Un base de V e 8 wy Wm base de W Entao Tv1 vn sao vetores de W e portanto T v1 a4 Wy ste Am1Wm T Un QinWi AmnWm A transposta da matriz dos coeficientes deste sistema denotada por T5 é chamada matriz de T em relacdo as bases 6 e 3 G11 Gln Ty am1 te amn Gi1 Gin Observagaéo 152 Note que se A T a transfor aml ue amn macao linear T passa a ser a transformagdao linear associada matriz A e bases 6 e f iste é TT4 Exemplo 153 SejaT R R tal que T2 y z Qa y 2 3x 2y44z Sejam 6 111 110 100 e 6 13 14 Procuremos 715 Txy 2 Qa y 23 2y 4z T111 25 a13 614 T110 31 c13 d14 T100 23 e13 f1 4 Portanto temos os sistemas ab2 cttd3 ef2 3a4b5 3c4d1 8e4f 3 Resolvendo os sistemas temos fa3 b1 cll d8 e5 f3 86 eg 3 1 5 Tle ee 8 3 Teorema 154 SejamV eW espacos vetoriais a base de V B base de W e TVW uma aplicacao linear Entado para todo v V vale To 213 bela Definigao 155 Dada uma base 8 e tranformagao linear T V V denotare mos a matriz T apenas por T e ela seré chamada de matriz de T em relagao a base Definigao 156 Seja T R R uma transformagao linear e a a base candnica de R entaéo a matriz de T em relacao a base canénica a T sera denotada simplesmente por T Exemplo 157 Seja T Py Pp definido por Tpx p3a 5 Determine a matriz de T em relagao a base B 1 227 Devemos calcular T T Tp p3x5 Tap aya agz7 ag tai3e 5 a23a 5 Tap a ag ag 3ax 5a a29x 30x 25 Ta9 a a2 a9 5a 25a2 3a 30a2a Yaga T1 T10xe4 027 1102 02 Tx TO1e0a7 54 3a 5 32 02 Ta T00a 4 1x 25 30x 9x 1 5 25 Tz 9 3 80 0 0 9 Exemplo 158 Seja T R R dada por Tx y z 2x 3y 222 y z 2ayz e sejam a 1 0 0 1 1 0 1 1 1 B 1 1 0 1 0 1 0 1 1 bases do R3 87 a Determine Tj 7 1 b Se uv 1 determine Tv 1 c Calcule a multiplicacgao das matrizes T5 T Que conclusao vocé pode tirar em relacao as duas matrizes ou que relacao ha entre as duas matrizes Solugao a Calculo de T T xyz 2x 38y 224 y22uyz T100 2 1 2 a1 10 110 1 1 0 1 1 T110 l 0 1 ag1 10 b21 0 1 c20 1 1 T111 3 l 2 a31 10 6310 1 30 1 1 Devemos resolver os tres sistemas resultantes Denotando por A a matriz dos coeficientes do sistematemos 1 1 0 i 1 1 2 2 2 Al 0 lsAt3 3 01 1 3 4 Vamos resolver os sistemas por matriz inversa ay 2 i 1 i 2 1 41 2 P A 3 by A 1 5 OS 2 1 2 C1 2 73 73 2 3 ay 1 ee 1 bo AT O p 2 z Ol 0 o ft f ij a Sfa 2 afl Sy bp At15 3 21 0 C3 2 73 2 2 Logo 1 41 3 Ti35 0 0 4 l1 2 2 Agora voce j esta em condigées de calcular TI Faca esse cdélculo como exercicio b Vamos usar a relagao Tv T3 vl Tw Tl3lele 3 1 8 1 3 l 2 1 Z 3 Tw 3 2 88 c Faga vocé este item e tire suas conclusdes Mais adiante voce podera verificar se suas conclusoes estavam corretas Teorema 159 SejaT V W uma transformagao linear e a e 8 bases de V e W respectivamente Entao dimImT posto de T3 dim KerT nulidade de T3 mimero de colunas de T3 posto T3 Exemplo 160 Seja T Py M22 definida por Tpx ey Pp r ffl 1 jo 1 Jo OF 1 O onde p a derivada de p Sejam a A A i A fi 0 if uma base para M22 e B 1 227 base para Pp a Determine T8 b Determine uma base para NT c Determine uma base para ImT d T é injetora E sobrejetora Justifique SOLUCAO a Note que Tabacx b 2a 2b 2c 0 2c Determinando T2 0 2 1 1 0 1 0 0 1 0 ry Th lelo ala feel af efa a 1 2 1 1 0 1 0 0 1 0 re p olelo of fo of tel a e fo a O 2 1 1 J0 1 0 0 1 0 Te f alo of TF 0 of fa af tIo 1 0 1 2 21 4 Bo Logo Te 0 0 0 0 0 2 b 0 0 Seja px NT TP2 9 b 2a2b2c 0 O po i i i eabe0 Logo px 00x20x NT NT 0 89 b 2a2b2c 0 2 1 2 c Sia A Imr 4 De J 5 4 ol 0 2 lo 2 Portanto O 2 1 2 jo 2 twr 0 afo offal Como os geradores da ImT formam um conjunto LI Verifique temse que O 2 1 2 JO 2 lo 4 0 A i é uma base para ImT d T é injetora pois NT 0 mas nao é sobrejetora pois dimImT 3 4 dim M2 2 33 Composigao de transformacoes lineares Definigao 161 Se 7 V W e Tz W U séo duas transformagées lineares a composta das duas transformagées lineares é definida do mesmo modo que a composigao de funcées lembrese que um transformagao linear é uma fungdo com a propriedade adicional de ser linear da seguinte forma T T VoU Z20Tiv TTiv Exemplo 162 Se T R R3 Ti xy yy2y2 eT RR R Toay 2 2yZ2z entéo T20TR Re 720Tiay T2Tilzy Ttyy2y 2 yy2y2 xyyteyte 3x3y Teorema 163 SejamTV W e T2W U transformacgées lineares e a B y bases de VWU respectivamente Entao a composta de Tz com TT0T V U é linear e To Ti Po9 TG 90 Proof Vv Ty W Ty U Base o Base B Base v a Proposigéo 164 Seja T V W uma transformacao linear Sejam a e a bases de V e B e 8 bases de W Entdo vale a relagéo T Uw oT olyj Uw T3 Wve onde Iw e Iy sao as aplicagoes identidades de W e V respectivamente 34 A Inversa de uma transformagao linear Definigao 165 Dédse o nome de tsomorfismo a uma transformagéo linear TV W que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo Quando hé um isomorfismo entre dois espacos vetoriais dizemos que estes sao Isomorfos Definigao 166 Seja T V W uma transformagao linear Se existe uma transformacao linear S W V tal que ToS Iw onde lw W W é a identidade em W dizemos que S é a inversa a direita de T Se existe uma transformacao RW V tal que RoT Iv onde Iv V V é a identidade em V dizemos que R é a inversa a esquerda de T Definigao 167 Seja T V W uma transformagao linear Se existe wma aplicacgéo T W V tal que ToT Iw eToT Iy entdao dizemos que T é inverstvel e que T é a inversa de T Proposigao 168 Seja T V W uma transformagao linear Se existe a inversa de TT entéo T é uma transformacéo linear Proposigao 169 SeTV W um isomomorfismo entao T é inversivel e além disso T também é um isomorfismo Proposigaéo 170 Se TV W uma transformagao linear invertivel T é um isomorfismo e a e B sao bases de V e W entéo 91 748 iris a B Observagao Quando estamos trabalhando com o espacgo R e a base canénica de R por simplicidade omitimos as bases e a matriz de T R Rem relacao a base candnica é denotada simplesmente por T Neste caso a proposigéo acima é escrita na forma mais conveniente Se T R R é inversivel entao 71 T Proposigao 171 Seja T V W uma transformagao linear com dimV dimW ea e bases de V e W respectivamente Entao T é inverstvel se e somente se det T3 4 0 Observagao 172 Se na proposigao acima tivermos V W R podemos escrever Seja T R R uma transformagao linear entao T é invertivel se det T 4 0 Exemplo 173 Seja T R R dada por Txyz w 2y2z0y 322 2y z determine a transformacdéo inversa T Solugao Facilmente podemos ver que 1 2 2 5 2 4 TJ1 1 3 Ss rcjy 2 1 1 1 2 1 1 0 l logo T1xy z 5a 2y 4z 2 y 2 z Como exercfcio verifique que vale To T xyz 2 y 2 Podemos também neste caso calcular a inversa usando diretamente a difinigao de transformacao inversa da seguinte forma Sabemos que T R R é uma transformacao linear tal que TtoT I ou To Tt J Suponhamos que T1zyz mn s devemos encontrar mn es tais que ToT J devemos usar esta igualdade pois com a outra nao funciona tente e veja o que acontece Portanto ToT ay2 Iay2 y2 TTy2 ay2 Tmns 2y2 m 2n42smn3sm2ns ay2 m2n2s mn3s y m2ns z 92 122 24 escalonando 1 2 2 x 11 3 y ones Jo a eny 121 2 0 0 1 az 2z nm ytuZz2uyz m w22ey2z2az 5a4 2y4z Logo T y z ba 2y 42 2a y 22 2 Exemplo 174 Considere a transformacdo linear T R Mop Mor 0 es paco das matrizes triangulares superiores definida por T110 i 011 1 1 0 1 0 2 e T111 0 4 Encontre a inversa da transformagao T Solucao Sabemos que 4fiij afl ljig 4f0 l T F 9 G40T 5 5 GLDe Tt GLD e seja ey fi 11 0 1 F Y aa 6 0 0 27o 1 obtemos o sistema ab2 11 0 atbcy 1 1 1 y 2bcz 02 1 z realizando o escalonamento da matriz encontramos 100 0 10 aetyte 001 ay Agora procedendo as substituigdes obtemos 1 y 3x yz 1 1 1 xytz 1 1 1 0 1 me ey rls oft S PT o 2 t9F o 4 87 y mY SE ano A ot 4 aan 5a 3y 3a 3y T Sa ea que é a transformacdo procurada 0 z 2 2 93 Matricialmente temos 5 3 1 4 2 2 2 T E 1 0O 3 3 1 2 2 2 94 35 Quarta lista de exercicios 1 Verifique se as fungoes dadas abaixo sao transformagoes lineares Em cada caso justifique sua afirmacao a T R KR dada por Tx y zt y0 2 t b L R R dada por Lx y ry c S M22 9 k 1 a 50 d G M55 M55 GA ABHIs onde B diagdy do ds da ds é uma matriz diagonal e J é a matriz identidade de ordem 5 ce F Po Pp tal que Fp pqpeERedqtU1tEeRr f S R R dada por Szy a yx y a b a b g T M22 R dada por od det cd h TRR Ta e i T M2 P rt 1 adt j S R R tal que Szyz 32a5z onde a R é uma constante k T P Py tal que Tpx p x 2p a 2 Seja T P P2 um operador linear tal que Tpot 1t Tpit t4t Tp2t 1t2 onde pt t i012 a Encontre Tp b T é injetora Justifique sua resposta c T é sobrejetora Justifique sua resposta d T é bijetora Justifique sua resposta 3 a Encontre a transformacao T R M22 tal que 1 1 1 1 T10 E 1 T 0 1 1 b Usando a transformacao T encontrada no item a calcule T1000 999 c A transformagao é bijetora Justifique sua resposta 4 Seja T KR RK uma transformacao linear definida por T100 110 T010 112 e T00 1 00 2 Determinar uma base de cada um dos seguintes subespacos 95 a NT b NTNImT c NT ImT 5 Sejam a 11 02 e 8 10 1 01 2 1 20 bases de R e respectivamente e 1 0 rijg1 1 0 1 a Encontre a transformacao linear T b Enconte uma base para KerT e uma base para ImT 1 0 c Encontre uma base y de tal que T 0 0 0 1 6 Encontre a transformacao linear T R KR que é a projecao sobre a reta dada por 2t P yt Determine dimImt e dim KerT T é inversivel Se for determine TO 7 Considere 0 operador linear em tal que T100 1 11 T00 1 101 70 12 00 4 T é isomorfismo Em caso afirmativo determine o isomorfismo inverso 8 Considere a transformagao linear T Py R tal que T1 10 1 Tx 27 122 e T1 x 011 Encontre T 9 Seja T Po P3 a transformacgéo definida por Tpx xpa 3 Encontre T em relagao as bases 6 122723 ey 12 2x7 10 Encontre a transformacao linear T R R cujo miicleo é gerado por 1 10 e 001 e a imagem gerada pelo vetor 1 1 1 11 Encontre a transformacdo linear T R R cujo micleo é gerado por 1 100 e 00 10 12 Mostre que se a matriz transformacao T é inversfvel entéo NT 0 13 Se T V W 6 uma transformagao linear tal que Tw Tu Tv entaowutu 14 Determine explicitamente a expressao de uma transformacao linear T P Mz satisfazendo simultaneamente as seguintes condigoes 96 i o elemento px 1 2 pertence ao NT ii 0 elemento qx 1 4 2 nao pertence ao NT iii o elemento A 2 4 pertence a ImT 15 Seja T V W uma transformagao linear a Mostre que o nticleo de T é um subespaco de V b Mostre que a imagem de T é um subespaco de W 16 Seja T P P a transformagao linear definida por Tpx xp x a Quais dos seguintes polindmios pertencem ao NT 1 2 ii x il 1 b Quais dos polindmios do item a pertencem a ImT c Descreva NT e ImT 17 Quando possivel dé exemplos de transformagoes lineares satisfazendo a T R R tal que dim NT 1 b T R R tal que NT 000 c T R R3 tal que ImT 000 d TR R tal que NT 2 y z RF z x ce T R R tal que ImT 2yz ER y2a2z 18 Seja T P3 Py definida por Tp p Determine a matriz T em relagdo as bases a 1ttt e 6 11t1 isto Tg 19 Mostre que se uma transfomagao linear é injetora entéo NT 0 20 Seja G a base canénica de Mg Se T Mz Ps é dada por T abcxcdx dx a Encontre T2 onde a 22222722 6 base de P3 b Faca o escalonamento da matriz T c Detemine dim KerT d Determine dim ImT 21 Se A R 6 inversfvel entao 97 a dimNA b dimImT 22 Determine dim NT sabendo que a T R R com dimImT 3 b TV W com T sobrejetiva dimV 5 dimW 3 c TV W com T injetiva d T R R sabendo que existe a inversa de T 23 Explique em cada caso abaixo porque nao existe uma transformacao lin ear a TR R cujo nicleo seja a origem b T R R que seja sobrejetiva c T R3 R que seja injetiva d TR R tal que dim NT dimImT c T R4 BY com NT 1000 0 100 efmT 1 12 224 24 Responda as seguintes questoes a Se T R R 6 uma transformacao linear podemos ter dim ImT 6 Justifique sua resposta b Existe alguma transformagao linear T R R tal que T11 22 e T22 31 Justifique sua resposta c A transformacéo T P Pp definida por Tpt tptp0p1 é linear d Se T R R3 é um operador linear e se a imagem de T é um plano que passa pela origem que tipo de objeto geométrico é o nticleo de T 25 Seja T R R tal que T Encontre os vetores ue v tais que a Tu 2u b Tv v 26 Sejam FG R R transformacées lineares dadas por F xyz x yzy2 e G2y 2 a 2yy 2 22 a Determine FoG b Determine uma base para NFo G c Determine uma base para ImFo G 98 d FoG éisomorfismo Justifique sua resposta 27 Seja T R RK o operador linear definido por Txyz 322 y 2x y z Mostre que T Io T 9 0 28 Sejam RST tres transformacoes lineares de R em R Se 1 0 1 2 1 1 IRi2 1 1lfe sy 3 1 2 0 1 1 1 2 0O encontre T tal que R SoT 29 Sejam as transformacoes lineares S Pj Pye T Py P definidas por Satbr at aba 2bx Tatbrcx b2cx a Determine S 0 T3 2 x b E possivel calcular To a br Em caso afirmativo calcule To S7 72 30 Considere 0 operador T P P 2 definida por Tpx pa px e a transformacao linear S P R definida por Sa ba cx a bca Db a Verifique se S é isomorfismo Se for determine S b Determine uma base para NS oT e uma base para ImSo T c Seja 8 1a ra 1 uma base de P2 e a 100 0 1 1 00 1 base do R Determine So T 31 Considere a transformacao linear T R Mp definida por Ta b cd a atb 7 a bl e d ea transformacao linear S Mz Mp definida por S 1 b c nk A Verifique se So T é um isomorfismo Em caso afirmativo determine o isomorfismo inverso So T 99 2 Capitulo 4 Definigao 175 Uma transformagao linear T V V é chamada de operador linear Observagao 176 Todas as propriedades jé vistas para transformacoes lineares em geral vale para um operador linear 41 Transformacoes especiais no plano e no es paco Os operadores lineares que veremos a seguir sao chamados de transformagoes especiais do plano e do espacgo por serem bastantes usados em aplicacgoes praticas e também em aplicacoes numéricas Transformagoes no Plano a Dilatagao ou contragao T RF Txy azy Se a 1 T contrai o vetor Se a 1 T dilata o vetor Se a1 T éa identidade Se a 0 T inverte o sentido do vetor Se a 0 JT mantém o mesmo sentido do vetor Matricialmente x a 0 x y O aly 100 Geometricamente para a 0 temos Tw v Tt o Jo b Cisalhamento na diregao do eixo dos x T RR Tty ayy Matricialmente a loa x y 0 1 y Geometricamente TOv xtoay c Cisalhamento na diregao do eixo dos y 101 T RR Tty xaxy Matricialmente yb tt y a 1 y Geometricamente ety Tv d Reflexao na origem T RR Tty 2y Matricialmente cr 1 0 x y 0 l y Geometricamente 102 y Cy x x TEx Observagao 177 Observe que este é um caso particular da contragao quando al e Projecéo sobre uma reta no plano Definicgao 178 Definimos como sendo Projecao sobre uma reta r que passa pela origem no plano o operador linear T R R definido por Tv projyv onde u o vetor diretor da reta r v Tw u Definigao 179 Exemplo 180 Determinar o operdor linear que a projegao so bre a reta y 6x 103 A reta y 6x pode ser parametrizada por c t y 6t logo um vetor diretor da reta é u 1 6 Tv projyv Tv u UeU 1 6 xy T 16 ny ae 46 x6y 6x 36y T oo xy 37 37 f Reflexao através de uma reta no plano Definigao 181 Definimos como sendo Reflexdo através da reta r que passa pela origem a transformagao linear T R R tal que Tv v e PrOjuv projuTv onde u é o vetor diretor da reta r al Tov x 104 Para obter a expressao pata a traformacao T considere a figura abaixo que representa a reflexao em torno de uma reta no plano onde estao mostrados o vetor diretor diretor u da reta o vetor p a projecao de v na direcao do vetor ue o vetor Tv Vv ep Ay Tov A Da definigao de reflexao podemos observar que Tvu 2p Tv 2pv Tv 2projvv Portanto a reflexao em torno de uma reta no plano é dada por Tv 2projv v onde projv a projecao do vetor v na diregao do vetor u Casos Particulares f1 Reflexaéo em torno do eixo dos x T RR Tty y Matricialmente a 1 0 x y 0 l y Geometricamente 105 ay x x f2 Reflexéo em torno do eixo dos y T RR Ta y 2 y Matricialmente a 1 0 x y 0 1 y Geometricamente 106 oe y by x x f3 Reflexéo em torno da reta y T RR Tzy y2 Matricialmente a 0 1 x y 1 0 y Geometricamente 107 yx Ty xv v f4 Reflexéo em torno da reta y x T RR Tzy y2 Matricialmente a QO l x y l 0 y Geometricamente 108 x yd x yaex g Rotacao de um Angulo 6 Definimos Rotacao no plano de um Angulo a transformacao T R R tal que Tv v e o Angulo entre os vetores Tv e v é 0 Geometricamente 109 y APM F Vamos agora determinar a matriz da transformagao linear rotagao de um Angulo e a expressao de Ry em fungao de z e y Seja Ro RoR Roxy ay Quando rotacionamos um vetor pela propria definigao de rotacgao 0 com primento médulo do vetor nao se altera Seja r v onde v a y Da figura acima e usando relagoes trigonométricas temos x rcosa 0 rcosacosé rsinasind Mas rcosa rsna y entao x xcos ysind Analogamente y rsina0rsinacosércosasind y ycos0asind xsin ycosé Assim 110 Roxy acosd ysin 6 x sind ycos 6 Matricialmente x cos siné x re ne y sin cos y Podemos ver neste caso que matriz de uma rotacao é cos sind Ro sin cos Transformagoes no Espaco a Reflexdo através de uma reta no espaco Definigao 182 Definimos como sendo Reflexdo através da reta r que passa pela origem no espaco a transformagao linear T R R tal que Tv v projyU projul v onde u é o vetor diretor da reta r Geometricamente z Thr y SS x Para obter a expressao pata a traformacao T considere a figura abaixo que representa a reflexao em torno de uma reta no plano onde estao mostrados o vetor diretor diretor u da reta o vetor p a projecao de v na direcao do vetor ue o vetor Tv 111 a r Vv 2p BP u Tov x Da definigao de reflexao podemos observar que Tvu 2p Tv 2pv Tv 2projyvv Portanto a reflexao em torno de uma reta no espaco é dada por Tv 2pv ond p projv é a projecao do vetor v na direcao do vetor u Casos Particulares Reflexao em relacao aos eixos coordenados a1 Reflexao através do eixo x T Rak T xy 2 x y 2 Matricialmente x 1 O 0O x y 0 1 O y z 0 0 l Zz 112 a2 Reflexao através do eixo y T RoR T xy 2 2y 2 Matricialmente x 1 0 O x y 0 1 0 i z 0 O 1 Zz a3 Reflexao através do eixo z T RoR T xy 2 2 Y 2 Matricialmente x l1 0 O x y 0 1 0 i Zz 0 0 1 Zz b Reflexao através de um plano Definigao 183 Definimos Reflexdo através de um plano que passa pela origem no espago ao operador linear T R R tal que Tv v e projnv projnTv onde n o vetor normal do plano a v Q Thr x 113 Para obter a expressao para a transformagao T considere a figura abaixo que representa a reflexao em torno de um plano no espaco onde estao mostrados o vetor normal do plano vetor n o vetor projecao de v na diregao do vetor n vetor p o vetor projecdo sobre o plano vetor m e o vetor Tv z i v P z Da definigao de Reflexao através de uma plano podemos deduzir que ptmuv mpTv Portanto Tv v 2p onde p projnvu é a projecao de v na diregao do vetor normal n do plano Casos particulares Reflexao através dos planos coordenados b1 Reflexao através do plano xy T RoR Tx y 2 xy 2 114 Matricialmente x 1 0 O x yo0 1 O y Zz 0 0 1 Zz Geometricamente z Vv z Te b2 Reflexdo através do plano xz T RR Tx y Z x y 2 x 1 0 O x Matricialmente y 0 1 O Yy z 0 oO 1 z b3 Reflexao através do plano yz T RR Tx y Z 2 y 2 Matricialmente x 1 0 0 x y 0 1 0 Yy z 0 oO 1 z c Reflexao no origem T RR Tx y Z 2 y a 115 Matricialmente x 1 0 0O x y 0 1 0 y z 0 O l z Geometricamente a v Tow x d Rotacao no Espago Definigao 184 Definimos Rotagao de um dngulo 8 em torno de um eixo coor denado c ao operador linear Ty R R tal que Tov v e o adngulo entre a projegao de v no plano ortogonal ac e a projecao de Tgv no plano ortogonal ac é 0 éngulo 8 medido no sentido antihordrio a partir da projegao de v no plano ortogonal a c 116 d1 Rotação em torno do eixo z Para obter a expressão da transformação que é uma rotação em torno do eixo z vamos considerar p projeção de v no plano xy q projeção de Tv no plano xy 117 Z z f Tav Y A y ee a q xz p To x Y z a y z Observe que 2 z Como Tv v entao p g Além disso o vetor gq é obtido pela rotagdo do vetor p no plano xy por um Angulo ou seja g Rep Como ja visto em rotagao no plano item g de Transformacgoes no plano temos que x xcosdysind y xsindycosd Portanto T R SR Toxyz xcosd ysinxsin ycos8 z 118 Matricialmente x cos sind 0 x y sin coséd O y Zz 0 0 1 z cos sin 0 To7 sin cos 0 0 0 1 d2 Rotago em torno do eixo y Z z p v y t 4 ee T 4 a yy a x eo xX Toxy 2 2y 2 Como a rotacao é em torno do eixo y temos y y No plano xz vemos que o vetor g é obtido a partir do vetor p pela rotacao do Angulo 6 no SENTIDO HORARIO 119 z B obee a x x x Portanto podemos considerar o vetor p obtido a partir do vetor q por uma rotacdo no sentido antihordrio ou seja Rep g Logo x cos siné x z sin cosé z 1 xz cos sind x z sind cosé z x cos sind x z sin cosé z x xcos0zsind z zcosxsind Toxy Z ay 2 Tozyz xcosé4 zsin8 y x sin zcos 6 Matricialmente cos 0 sind Toy 0 1 O sin 0 cosé d3 Rotago em torno do eixo x 120 A matriz da Rotacgaéo em torno do eixo x é dada por 1 0 0 Toly 0 cosO sin O sin cosé Exemplo 185 Determinar o angulo formado entre v e Tv quando o vetor v 4 v2 v2 gira em torno do eixo z de um dngulo rad Solucao 7 om v3 7 cos sind O 22 Tv snZ cos 0 v2 0 0 1 V2 2 00 10 007 Tv 10 00 00 v2 00 00 10 V2 2 v2 7 vB Tv 22 v2 2 Como desejamos o Angulo entre v e Tvvamos usar a formula do cosseno do Angulo entre dois vetores vTv 1 cos lo Zv 2 Portanto o angulo entre v e Tv a arccos 5 42 Propriedades dos operadores inversiveis Definigao 186 Seja T V V um operador linear Se existir um operador TV4V tal queToTT loT I neste caso l V V a identidade em V entaéo dizemos que o operador T é inverstvel e T é 0 operador inverso de T Observagao 187 Um operador é inversivel se e somente se ele um isomor fismo Seja JT V V um operador linear I Se T é inversfvel e T sua inversa entao ToTToTI II O operador T é inversfvel se e somente se KerT 0 121 III O operador T é inversfvel se e somente se det T 4 0 IV Se T é inversivel T transforma base em base isto é se a v1 Un é base de V entaéo 3 Tv1T un base de V Se T é inversivel e 8 uma base de V entaéo T V V 6 linear 75 1 713 Quando é a base canénica temos a forma mais simples T T e portanto T1 T Tl oT I Com isso vemos que T 6 inversivel se e somente se det T 4 0 Exemplo 188 Considere 0 operador Rg R R dado por Roxy acosd ysin 6 x sin ycos 6 verifique se T é inversivel e em caso afirmativo encontre T Solucgao Como det Ro cos 6 sin 1 4 0 temos que Ro é inverstvel Como Re Rp basta calcular a inversa da matriz deRp cos sind Ro sind cos cos 6 sin 41 cos 0sin 6 cos 0sin 6 Re sin 6 cos 6 cos 9sin2 0 cos 9sin2 0 1 cos sind Ro sin cosé Note que Rg Re ou seja Rp é uma matriz ortogonal logo R R R x cos sind x xcos ysin y sin cosé y ycos xsiné R2y xcos6 ysin 6 y cos 0 x sin 6 Exemplo 189 Seja T 0 operador T R R que é a projegaéo ortogonal do vetor v xyz na diregao da reta dada pela intersegao dos planos y x e zyVerifique se T é inverstvel e em caso afirmativo determine T Solugao Para determinar a projecao na direcao da reta basta determi nar a projegao ortogonal sobre o vetor diretor da reta Devemos inicialmente determinar o vetor diretor da reta yr zZyYy 122 Para obter a equagoes paramétricas fazemos x t logo cat yt zt portando o vetor diretor da reta é u 111 Tv projyv u wu x Y z 1 1 1 T 1 11 nya Fee ann Mewe H any Ty2 Eyts LCyte CyY2 Y 3 9 3 d 3 i i i 3 3 3 m3 3 4 i i i 3 3 3 det T 0 Como det T 0 temos que T nao é inversivel Exemplo 190 Seja T R R a transformagéo que é uma rotacéo de qrad eS R R a transformacéo que é uma reflexéo em torno da reta y 2z2 Determine a transformagédo R SoT Solucao R Sof Rk ST iT ee 7 7 ne sin 4 cos 4 m Me By yV2 3v2 Sv 22yv xy 1 2 S 2 12 ce 2 Ce 2 oa 3a4y 4a 3y S rr ea 7 123 3 4 isi1 FF 5 OB R ST 8 4 71yQ 1y9 i i iS 5 3lsv2 5v2 7 ti ih YE 30 10 10 Rx 72 V2 V2 1 72 2 OY 10 10 10 10 43 Operadores autoadjuntos e ortogonais Definicgao 191 Seja V R Uma base B v1v2 Un de V é orto normal se para todos os vetores de 3 temse J leg noo 0045 Definigao 192 Seja V R um espago vetorial com produto escalar definido a uma base ortonormal para R e T R R um operador linear Entao a T é chamado um operador autoadjunto se T é uma matriz simétrica b T é chamado um operador ortogonal se T é uma matriz ortogonal Portanto podemos dizer que um operador T R R é um operador autoadjunto se T a matriz de T em relacao a base can6nica é uma matriz simétrica T R R um operador ortogonal se T a matriz de T em relagao a base canénica é uma matriz ortogonal Exemplo 193 Consideremos a transformacéo R R a rotacéo de um dngulo em torno do eixo z T2y 2 xcosé ysin xsin ycos 8 z A matriz da transformacaéo T é cos siné 0 T sin cosO 0 0 0 1 Como esta é uma matriz ortogonal T é um operador ortogonal 124 Exemplo 194 SejaT R R onde Tz y 2x 2y 245y A matriz de T é 2 2 ri Como a matriz de T é simétrica entao T é um operador autoadjunto Teorema 195 Seja T R R linear Se T é um operador autoadjunto entao TvwvTw Vuw R Teorema 196 Seja T R R linear Entao sao equivalentes as seguintes afirmacées a T é ortogonal b T preserva o produto escalar isto é TvTw vw VoweER c T preserva o médulo isto é Tv v d TY transforma bases ortonornais em bases ortonormais Isto é se U1V2Un uma base ortonornal entao Tv1Tv2Tun uma base ortonornal 125 44 Quinta lista de exercicios 1 Encontre a transformacao linear T R R tal que os vetores u 120 e v 011 pertengam ao ntcleo de T e que T100 111 2 Seja T Mz Mb definida por TA AB BA onde Boyz uma matriz fixa a Mostre que T é um operador linear 1 1 b Sabendo que B 0 encontre uma base para NT e uma base para ImT 3 Seja JT a reflexao no origem dada por T RR T xy 2 2 y 2 Determine a inversa T da transformacao T 4 Defina operador simétrico e operador ortogonal Dé um exemplo para cada um dos casos justificando sua escolha 5 Seja A R R dada por A Go L onde G a rotagao de do em torno do eixo y e L é a rotagao de 4 em torno do eixo z Determine a matriz de A em relacao a base candnica isto é determine A O operador A é ortogonal E autoadjunto 6 Determine a transformacao linear de R em R que representa uma re flexao da reta y 2xseguida de uma dilatacao de fator 2 na direcao ox e um cisalhamento de fator 3 na diregao vertical 7 Usando inversao matricial mostre 0 seguinte a A transformacao inversa de uma reflexaéo em torno da reta y 4 éa reflexao em torno da reta y b A transformagao inversa de uma reflexéo em torno de um eixo coor denado é a reflexao em torno daquele eixo 8 a Encontre a transformacgaéo T do plano no plano que é uma reflexao em torno da reta y 6a b Escrevaa em forma matricial 126 9 No plano uma rotacdo antihordria de 45 é seguida por uma dilatacao de 3 Ache a aplicacéo A que representa esta transformacao do plano 10 Analise se a seguinte afirmacdo é verdadeira ou falsa Se T R R é uma rotacao de um Angulo em sentido antihordrio em torno da origem seguida de uma dilatacao de fator 3 entao T é uma contracao de fator 3 seguida de uma rotagao de um Angulo 0 em torno da origem 11 Encontre a transformacao linear T R R definida pela rotacado de g sentido antihordério seguida de uma reflexao através da reta y 22 A seguir faga um esbocgo da ImT se a transformagao T for aplicada ao retangulo de vértices 00 10 12 e 02 12 Seja T R R éa projecao de vetor v no plano xyz 0 Encontre Tx y 2 13 Seja L R R onde L é a reflexao através do plano xy z 0 Encontre Lx y z 14 Seja 4 R R onde L é a rotacao de 5 em torno do eixo z seguida de uma rotagao de 3 do em torno do eixo y Encontre Az y z 15 Seja A é uma matriz de ordem n fixada Seja T M M definida por TN AN NA Mostre que T nao é inversivel 16 Encontre a transformacéo linear T R R tal que KerT xyz R3y 2a z 17 Determine se a transformacao Txy Bar by 4a v3 y é uma transformacao autoadjunta ou ortogonal Justifique sua resposta 18 O operador linear Tx yz V2a 422 y V 2a V2z éa rotacao de um Angulo 6 em torno do eixo y Determine o valor do angulo 6 19 Considere o triangulo de vértices 11 3 3 e 21 Determine a imagem de T aplicada sobre este triangulo segundo uma rotagao anti horaria de 60 Faga um desenho da Imagem 20 Seja o operador T P3 P3 definido por Tp xp4 a Mostre T é inversfvel b Calcule a inversa T do operador T 21 Seja T M22 M22 um operador linear tal que TA A A Verifique se o operador T é inversivel 127 2 Capitulo 5 Dado um operador linear T V V estamos interessados em saber quais vetores sao levados em um multiplo de si mesmo isto é procuramos um vetor v V eum escalar R tais que Tv Av Neste caso Tv serd um vetor de mesma diregao que v Por vetor de mesma direcao estaremos entendendo vetores sobre a mesma reta suporte Como v 0 satisfaz a equacao para todo A estaremos interessados em determinar vetores v 0 satisfazendo a condigao acima Definigao 197 Seja T V V um operador linear Se existirem v V v0eXER tats que Tv Av A um autovalor de T ev é um autovetor de T associado a x Observe que A pode ser o nimero 0 embora v nao possa ser o vetor nulo Exemplo 198 TV V dado por Tv kv onde k é uma constante Neste caso todo vetor de V é um autovetor associado ao autovalor A k Exemplo 199 T RR Reflezao no eizo x T xy y Neste caso observamos que os vetores que serao levados em muiltiplos dele mesmo serao os vetores que estado no eizo x pois v x0 Tv Ta0 z0 v Os vetores que estado no eixo y também sao levados em miiltiplos de si mesmo pois estes vetores tem a forma w 0y Tw T0y 0y 10 y Podemos concluir entao que os vetores do tipo v 0 sao autovetores associados ao autovalor 4 1 os vetores da forma w 0 y sao autovetores associados a Ag 1 da tranformacao linear reflerao no eixo x 128 Exemplo 200 Rz RR Rotagao de um aéngulo Rzxy y 2 Observe que na rotagao de 5 nenhum vetor é levado em um miltiplo de si mesmo a direcdo de todos vetores de R sao alterados pela rotacdio Portanto a rotagao de um angulo 5 nao possui autovetores e autovalores Teorema 201 Dada uma transformagéao linear TV V e um autovetor v associado a um autovalor A qualquer vetor w av a 0 também um autovetor de T associado a x Observagao 202 Note que se um vetor v é autovetor de uma transformacgao T associado ao autovalor X entéo todos os miltiplos de v também serao autovetores associados a A O Conjunto formado por todos os autovetores associados a um mesmo autovalor é um conjunto infinito Teorema 203 Seja T R R um operador autoadjunto e A A2q autoval ores distintos deT e v1 V2 os autovetores associados a A A2 respectivamente Entéo v perpendicular a v2 Definicao 204 O subespago Vy v VTv Av chamado o subespacgo associado ao autovalor X Como vimos na nota acima o conjunto V contém todos os autovetores de T associados ao autovalor A contém também o vetor nulo 0 de V jé que o vetor 0 satifaz a relagao T 0 A0O conjunto V pode ser escrito como Vy Todos os autovetores de T associados a A U 0 51 Autovalores e autovetores de uma matriz Agora vamos obter uma forma de calcular os autovalores e autovetores de uma transformacao usando sua matriz em relacado as bases canénicas Inicialmente definiremos autovalores e autovetores de uma matriz A Dada uma matriz quadrada A de ordem n estaremos entendendo por auto valor e autovetor de A o autovalor e autovetor da transformacéo T4 R R associada a matriz A em relacao a base candénica de R isto T4v Av na forma coluna Assim um autovalor R de A e um autovetor v R sao solugdes da equagéo Av Av v 0 511 Polinémio Caracteristico Seja a matriz 129 Qa11 a42 senaseee Qin vy agi a22 se eceeee O2n v2 A e v Am1 AmQ eerveeee Amn X3 Para encontrar os autovalores e autovetores de A devemos resolver a equagao Av Xv Av XIv AvAlv 0 AAIv 0 Escrevendo esta equacgao explicitamentetemos a11 xX a12 seeeeeee Qin X1 0 a21 a22 X seenesee a2n X2 0 Ami Am2 seceeee Amn A 3 0 Fazendo a41 r a12 se eeeees Qin a21 a2 A seeeeeee a2n B Ami Am2 seceeee Amn A temos o sistema Bv0 A Este sistema é um sistema homogéneo e possui ao menos a solugao v 0 Mas como estamos procurando autovetores queremos encontrar vetores v 0 que satisfagam a equacao Bv 0 Sendo assim queremos que o sistema Bv 0 seja compatfvel e indeterminado tenha além da solugao trivial outras solugdes nao triviais Pela regra de Cramer se det B 0 entao o sistema homogéneo tera infinitas solucgdes Assim a nica maneira de encontrarmos autovetores uv 2 solugdes nao nulas da equagao Bv 0 é termos det B 0 ou seja detA AT 0 Impondo esta condigao determinamos primeiramente os autovalores que satisfazem a equacao e depois os autovetores a eles associados Observamos que a1 X ai2 seeeeeee Ain a21 a22 A seeeeeee a2n pd detA AL Ami Am2 secs Amn A é um polindmio em de grau n 130 Definicgao 205 O polindmio pX detA AI é chamado polinémio carac teristico da matriz A Observe que as raizes do polindmio caracteristico sao os autovalores da matriz A Note também que o autovalor pode ser o ntimero zero quando o polinémio caracterfstico tem rafzes zero embora o autovetor v associado a X nao possa ser o vetor nulo Exemplo 206 Vamos agora calcular os autovetores e autovalores da matriz 3 4 a3 2 Solucao 3 4 pA detA AI det 1 9 2A3 A 4 NW 2 pA 0 7 A205S A 1e 2 2 Necessitamos calcular os autovetores de A e para isso basta resolvermos o sistema Av dv onde v j e A é cada um dos autovalores ja encontrados Para A 1 temos 3 4 x 12 1 2 y 7 y 31 4 x 0 1 21 y 0 4 4 x 0 1 1 y 0 Temos um sistema homogéneo cuja matriz ampliada é 4 4 0 escalonando 4 4 0 1 1 0 0 0 0 4244y0y2 Portando os autovalores associados ao autovalor 4 1 sao da forma v x xz 11 e assim podemos concluir que 0 subespago associado ao autovalor A 1éV11 Para A 2 temos falls 2b 1 2 Yy Yy 3 2 4 x 0 1 2 2 y 0 1 4 x 0 1 4 y 0 131 Temos um sistema homogéneo cuja matriz ampliada é 1 4 0 escalonando 1 4 O 1 4 0 0 0 0 x 24y05y 1 Portando os autovalores associados ao autovalor A 2 sao da forma v x 7 1 e assim podemos concluir que o subespaco associado ao auto valor Az 2 V2 1 9 Exemplo 207 Encontre os autovalores e autovetores da transformacdo linear que a cada vetor v R associa a sua projecao ortogonal no plano xyz 0 Solucéo Devemos encontrar a transformacao linear T R R tal que Tv projecao de v no plano xy z0 Zz F 7 a ge x Da figura acima vemos que para obtermos a projecao sobre o plano devemos inicialmente fazer a projecgao do vetor v na direcao do vetor normal n para obter o vetor p projvCom isso temos Tivp v Tv vp Tv vprojnv 132 Um vetor normal do plano yz 0 én 11 1 logo como v a y z temos Dp Pprojnv ven n E4 men 111 Dp xy 2 9 9 11 1 1 1 1 1 1 1 4 111 3 Tyrz Ttyz Ltyz po 3 3 3 Tv vp EUy2 Lyz Lyz T 2te2 4 eee oe ee nyh2 eye SPE EPs tye r 2eaytez 2y2 cy42z x z ee iY 3 3 3 Para calcular os autovalores de T devemos encontrar a matriz de T Neste caso 2 xl i 3 3 3 ms 3 3 i i 2 3 3 3 pA detT AI 0 2 1 1 3A 3 3 1 2 1 1 2 3 3 3A pdA A 27 rA0 As raizes de pX sao Ay Ap Oe A3 1 Para A 0 vamos calcular os autovalores associados resolvendo o sistema 2 1 1 x 0 i oF af 2 yo 3 3 3 z 0 133 cuja matriz ampliada é 2 1 1 9 or 3 3 3 escalonando 3 43 4 0 0 5s 5 0 38 aan 3 3 3 O 0 0 0 0 3 39 32 0 sy z 0 2a yz0 yz0 e entao y 2 c 2 Portanto os autovalores associados ao autovalor A 0 sao da forma v z z 2 Observagao 208 Note que acima damos a forma geral dos autovetores no caso acima temos v x111 assim um autovetor é v 111 como todo autovetor é um miltiplo de v 111 temos que Vo 11 DJ isto é o subespago associado ao autovalor 4 0 é gerado pelo vetor v 1 11 Note que geometricamente o subespago Vo 1 11 é formado pelos vetores que sao miltiplos do vetor normal ao plano ou seja por todos os vetores ortogonais ao plano Para Ag A3 1 vamos calular os autovalores associados resolvendo o sistema 2 1 1 1 2 4 i 0 Pp 34 2 y 3 3 371 z 0 1 1 1 5 s x 0 i i Pop aff ey fe 3 3 73 z 0 i 1l i ft i i PoP A 3B 3 i 1 i i 1 1 1 1 i eseatonande 0 0 i 1 1 303 73 0 0 0 134 a 3 3 37 TYyYtsZ Portanto os autovalores associados ao autovalor Ag A3 1 sao da forma v y 2Y2 y1 10 210 1 Logo V2 1 1 0 e V3 10 1 Exemplo 209 Encontre todos os autovalores e autovetores do operador linear T Py Pp definido por Ta bx cx 2c a 2bcx at 3cx Solugéo A matriz que representa o operador T é dada por 0 0 2 T1 2 1 1 0 8 Para encontrar os autovetores resolver T AJv 0 isto 6 OA 0 2 a 0 1 2 1 b 0 1 0 3A e 0 Para obtermos uma solucao nao nula para este sistema devemos impor detT AI A2 A3 A 22 A 0 Obtemos entao os autovalores Ay 1 e Ag A3 2 Vamos agora encontrar os autovetores associados aos autovalores 4 1 e d2 A3 2 Para A 1 t 0 2 Ja 0 Escalonando 1 02 Ja 0 1 1 14 Jo Io 0 1 1 b 0 Ss p 2cc 1 0 2 c 0 0 0 O c 0 Portanto p 2c cx cx autovetor associado a A 1 Para Ay 1 2 0 2 Ja 0 Escalonando 2 0 2 Ja 0 1 O 14 Jb jo 5 0 0 O b 0 p cbc 1 0 1 c 0 0 0 O c 0 Portanto p cba cx é autovetor associado a 2 135 512 Matrizes Semelhantes Seja T V V um operador linear Sejam a e bases de V e T ae matrizes de T em relacaéo as bases a e respectivamente entao Tis WN Ie We 1 Lembrando que I 7 15 temos que B a a a t rij 3 712 1213 Chamando I A T3 ATg A De fato Pelo conceito de matriz de uma transformacao linear podemos escrever Toa Talla I e Tvs TIjlvls 11 Sendo 3 a matriz mudanga de base de a para 3 temse ela Ells TeJa LalLes Substituindo va e Tva em J resulta Wows Tee lels ou 1 a Twls 2 TSE lls Comparando essa igualdade com IJ temse 1 a T3 We se ou como I3 I 8 podemos escvrever B a a a t ris 3 712 1213 As matrizes T e ae sao chamadas semelhantes Definigao 210 Dadas as matrizes A e B se existe uma matriz P inverstvel tal que APBP entao dizemos que as matrizes A e B sdo semelhantes Observagao 211 Se A e B sao semelhantes entéo detA detB mas nao vale a rectproca 136 52 Diagonalizagao de Operadores Nosso objetivo aqui seraé encontrar uma base do espaco vetorial V na qual a matriz de um determinado operador linear T V V seja a mais simples possivel Veremos que a melhor situacao possivel é aquela em que conseguimos uma matriz diagonal associada a um operador Dado um operador linear T V V nosso objetivo é conseguir uma base para V na qual a matriz do operador nesta base 713 seja uma matriz diagonal Esta é a forma mais simples de se representar um operador e a base B nesse caso é uma base cujos vetores sao autovetores de T Observemos inicialmente o exemplo que segue Exemplo 212 Seja T R R o operador linear definido por Txy 4 3 4 3a 4y x2y cuja matriz em relagao 4 base canénica é T H Seus autovalores sao A 1 e Ag 2 com autovetores associados v1 1 1 e vg 41 respectivamente Notemos que os autovetores formam uma base de R Seja entao 6 1141 a base de R formada pelos autovetores de T e encontremos T5 Para tal aplicamos T em cada vetor da base 6 e escrevemos a imagem obtida como combinagao linear dos vetores da base T11 11 a1 1 41 11 1 04 1 ot gl O Assim 7 a Notemos que 1 é uma matriz diagonal e representa o operador TJ na base 6B de autovetores Na verdade quando a base de autovetores existe a matriz que representa um operador linear nesta base seré sempre uma matriz diagonal que como ja citado 6 a forma mais simples de se representar o operador O problema entao é saber em que condicoes a base de autovetores existe pois veremos adiante que em muitos casos tal base nao existe Consideremos para elucidar o problema citado as propriedades que seguem Propriedades Propriedade 1 Autovetores associados a autovalores distintos séo linearmente independentes Proof Exercicio m Propriedade 2 Se T V V um operador linear tal que dimV n e T possui n autovalores distintos entéo o conjunto B v1v2Un formado pelos correspondentes autovetores é uma base de V Em outras palavras se conseguirmos encontrar tantos autovalores distintos quanto for a dimensao do espago podemos garantir a existéncia de uma base de autovetores 137 Definigao 213 SejaT V V um operador linear Dizemos que T é um oper ador diagonalizdével se existe uma base B de V cujos elementos sdo autovetores de T Neste caso a matriz que representa T na base 6 é uma matriz diagonal cujos elementos sao autovalores de T ou seja A O 0 0 A O TI3 Thr pe 0 O An Aqui supomos que dim V n Exemplo 214 Observemos os autovalores e respectivos autovetores associados 1 1 4 a um operador linear T representados pela matriz A 3 2 1 2 1 Os Autovalores e autovetores de A sao Ay 15 v1 2 422 2141 A2 2 v2 yyy y1 11 A3 3 v3 222 x121 Logo o conjunto 8 14 1 1 11 12 1 é uma base do R pela propriedade 2 e portanto o operador T representado pela matriz A é diago nalizdvel Entaéo como a base é formada pelos autovetores de A ou de T o operador T é representado por uma matriz diagonal D que é a matriz Tj A construgao da matriz D pode ser acompanhada conforme segue Tv1 Avy 14 1 T v2 Avo 2 2 2 Tv3 Avs 3 6 3 Entao 14 1 a1 41 61 11 1 21 2 22 d14 1 e111 f1 21 Dessa forma temos 1 0 0 D0 2 0 7 0 0 38 138 Exemplo 215 Considere agora o operador T R R representado pela 4 2 0 matriz A 1 1 O 0 1 2 Autovalores e autovetores de A Ay AQ 25 4 0 0 z 200 1 A3 3 v3 211 Observe que A nao pode ser diagonalizada pois nao é possivel encontrar uma base de autovetores para o R s6 é possivel obter dois autovetores LI 521 Matriz Diagonalizadora Seja T V V um operador linear Sejam A a matriz candnica do operador T isto é T Ae D a matriz de T na base 8 de autovetores As matrizes A e D sao semelhantes pois representam o mesmo operador T em bases diferentes Logo a relagao de matrizes semelhantes 210 permite escrever DPAP onde P é a matriz mudanga da base para a base can6nica a isto é P ne Note que pela definigao da matriz P podemos concluir que ela 6 uma matriz cujas colunas sao os autovetores do operador T Observamos que a matriz D é obtida pela atuacéoda matriz P quando ela existe sobre a matriz A Dizemos entéo que a matriz P diagonaliza A ou que P é a matriz diagonalizadora 1 3 3 Exemplo 216 Sendo posstvel encontre a matriz que diagonaliza A 3 5 3 3 3 1 Solucao Temos que determinar uma matriz inversivel P e uma matriz diagonal D tal que D PAP Vamos seguir os seguintes passos Passol Determinar aos autovalores de A 12X 3 3 detAAI 0det 3 52A 3 340 3 3 12X Os autovalores sao Ay Ag 2e A3 1 Passo 2 Determinar os autovetores Serao necessdrios 3 autovetores porque a matriz é 3 x 3 caso contrario a matriz nao podera ser diagonalizada Calculando os autovetores por meio do sistema homogéneo 139 12 3 3 x 0 3 5A 83 y 0 3 3 1A lz 0 obteremos Para 2 uma base para o subespaco associado é v1 110 e v2 1 0 1 Para 1 uma base para o subespaco associado é v3 1 1 1 Note que v1 V2 v3 é linearmente independente Verifique Passo 3 Monte P a partir dos vetores do passo 2 1 1 1 Pv v2 wl 1 0 1 0 1 1 Passo 4 Monte D a partir dos autovalores associados E essencial que a ordem dos autovalores seja igual 4 ordem escolhida para as colunas de P 2 0 0O D0 2 0 0 oO 1 Passo 5 Verifique que D PAP ou que AP PD 1 3 3 1 1 1 2 2 1 AP3 5 3 1 0 1l2 0 1l 383 1 0 1 1 0 2 1 1 1 1 2 0 0O 2 2 1 PDj1 O 1 0 2 OJ 2 0 1 0 1 1 0 O 1 0 2 1 Teorema 217 Se A é uma matriz n x n com n autovalores distintos entre si entao A é diagonalizdvel Proof Exercicio 2 3 7 Exemplo 218 A matriz A 0 5 1 tem autovalores 1 2A2 5 e 0 0 1 A3 1 Como esses sao trés autovalores distintos de uma matriz 3 x 3 A é diagonalizével Definicgao 219 i Se é autovalor de uma matriz A de tamanho nxn entdo a dimensdo do subespago associado a A é chamada multiplicidade geométrica de X ii O ntimero de vezes que A aparece como autovalor de A é chamado de multiplicidade algébrica de xX 140 Teorema 220 Se A é uma matriz quadrada entao i Para cada autovalor de A a multiplicidade geométrica é menor do que ou igual multiplicidade algébrica ii A é diagonalizdvel se e somente se para cada autovalor a multiplicidade geométrica é igual a multiplicidade algébrica Exemplo 221 Diagonalize a seguinte matriz se posstvel 5 0 O 0 0 5 O 0 A 1 4 3 O 1 2 0 8 Solucao Vamos calcular detA AJ 0 para encontrar os autovalores de A 5A 0 0 0 0 5A 0 0 My AQ 5 det yg 30 aos SoBe 1 2 0 3A A 5e X 3 ambos tem multiplicidade 2 Calculando os autovetores por meio do sistema homogéneo 5A 0 0 0 x 0 0 5A 0 0 y 0 1 4 3AX 0 z 0 1 2 0 3A t 0 obtemos Para A 5 uma base para o subespaco associado é v 8410 e v2 1640 1 Para A 3 uma base para o subespaco associado é v3 0010 e v4 0000 1 Note que para ambos os autovalores a multiplicidade algébrica é igual a multiplicidade geométrica logo pelo teorema anterior conclufmos que A é di agonalizavel 8 16 0 0 4 4 4 0 0 Entao existe P tal que A PDP onde P 1 0 10 D 0 1 Ol 5 0 0 O 05 0 O 00 3 Of 00 0 8 53 Calculando poténcias de uma matriz Nesta segao veremos como a diagonalizagao de matrizes pode ajudar no calculo de poténcias de matrizes 141 Teorema 222 Seja A uma matriz quadradan x n ek um niimero inteiro Se v autovetor de A associado ao autovalor X entéo v também é autovetor de A associado ao autovalor Proof Por definigao se v é autovetor de A associado ao autovalor entao Av v Multiplicando por A ambos os lados da igualdade temse Av Adv NAv 270 Novamente multiplicando por A ambos os lados Aév Adu Av Av Generalizando esta idéia para k vezes obtemos AAAA Av AAA4u Av Mo k1 vezes k1 vezes concluindo assim nossa demonstracao a Assim todo autovetor de A é também autovetor de A e portanto se a matriz A é diagonalizdvel A e A possuem a mesma matriz diagonalizadora P O proximo teorema nos diz como obter a matriz A para todo k inteiro Teorema 223 Se A é uma matriz quadrada nxn diagonalizdvel entdo existe uma matriz invertivel P e uma matriz diagonal D tais que A PD P para todo k intetro Proof Se A é diagonalizdvel entéo existe uma matriz invertivel P e uma matriz diagonal D tais que A PDP7 Assim AE AAAA PDP PDPPDPPDP PDPPDPPDP7P DP PDP 2 Isso sugere que para calcularmos A podemos diagonalizar A obtendo P e D depois calcular D e 0 resultado sera igual a PD P Como D é diagonal e sua diagonal é formada pelos autovalores de A pelo teorema anterior temse MO 60 k pD 0 5 eee 0 0 0 A 142 1 2 8 Exemplo 224 Calcule A onde A 0 2 0 0 0 2 Solucao Os autovalores dessa matriz sao Ay 1 e Ag A3 2 Para A 1 encontramos o autovetor v1 100 e para A2 Az 2 encon tramos os autovetores v2 310 e v3 01 Segue que a matriz A é diagonalizdvel As matrizes P e D sao 12 8 1 0 0 P0 1 o Do 2 0 0 0 1 0 O 2 Entao 2 8 20 2 8 20 20 p1 133 0 0 1 73 3 Ao pppto 1 o1 0 2 0 Jo 1 0 00 1 0 0 2 0 O 1 1 699050 2796 200 0 1048576 0 0 0 1048 576 143 54 Sexta lista de exercicios 1 Encontre os autovalores e autovetores das transformagoes lineares dadas a T R R tal que Ta y 2y x b T R R tal que T2 y xy 2 4 y c T R R3 tal que Tz yz wy2 y t 2224 y z d T Po Py tal que Tax br c ax cx b ec T M22 M22 tal que A A 2 Encontre os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes 1 2 3 1 0 2 a A 0 1 2 bA 1 0 1 e A 0 0 1 1 1 2 2 0 3 0 0 1 0 0 3 Uma transformacao linear T R R faz uma reflexao em relacéo ao eixo horizontal conforme mostrado na figura a seguir 2 2 a Tq Essa transformagao T a é dada por Tz y a y b tem autovetor 01 com autovetor associado igual a 2 c tem autovetor 20 com autovetor associado igual a 1 d tem autovetor de multiplicidade 2 e nao é inversfvel 4 Construa uma matriz 2x2 nao diagonal com autovalores 1 e 1 5 Encontre a transformacao linear T R R tal que T tenha autovalores 2e3 associados aos autovetores 3yy e 2yy respectivamente 144 6 Que vetores nao nulos do plano quando cisalhados por C2y y 3xy e em seguida girados de 45 no sentido antihorario ficam ampli ados reduzidos na mesma diregaéo Em quantas vezes 7 Determine os autovalores e autovetores se existirem do operador linear T R R obtido quando se faz uma rotacao de 7 rad em torno do eixo ax seguida de uma contragao de 8 Seja T R R um operador linear que dobra o comprimento do vetor 1 3 e triplica e muda o sentido do vetor 3 1 a Determine Tz y b Calcule T0 2 c Qual a matriz do operador T na base 2 1 12 1 0 0 1 9 Seja T M22 M22 com autovetores v1 0 ol Il0 ol 1 v3 a U4 i Hl associados aos autovalores 4 1 Ag 1 A3 24 0 respectivamente Determine T 1 10 Dada a transformacéo linear T R R que é a projecdo sobre a reta y 5 Encontre os autovalores e autovetores da transformagao T 11 Considere P conjunto dos polindmios de grau 1 Seja o operador linear D P P dado por Dp xp p Determine os autovalores e autovetores de D 12 Seja A uma matriz quadrada e A sua transposta As matrizes Ae A possuem os mesmos autovalores e autovetores Justifique sua resposta 13 Encontre os autovalores e autovetores da transformacao linear que a cada vetor v R associa a sua projecao ortogonal no plano y 0 14 SejaTV V linear a Se 0 é autovalor de T mostre que T nao é injetora b A recfproca é verdadeira Ou seja se T nao é injetora 0 é autovalor de T c Quais séo os autovalores e autovetores do operador derivagao D Py Po Dp p 15 Sejam AB Mnn matrizes triangulares com a mesma diagonal prin cipal Existe alguma relacao entre seus autovalores Qual 16 Mostre que o conjunto de todos os autovetores de um operador linear TV V associados a um autovalor é um subespagco vetorial de V 145 17 Discuta a veracidade da afirmagao Se A nao é um autovalor de A entao o sistema linear A AJv 0 86 tem a solugao trivial 12 4 0 18 A matriz A 3 91 semelhante 4 matriz B 0 11 Deter mine uma matriz P que realiza esta semelhanga 19 Verifique se as matrizes dadas sao semelhantes 1 1 2 1 LA deft a 3 1 1 2 Ls 4e fo 20 Sejam A e B matrizes n x n Mostre que se B é semelhante a A entao as duas matrizes tem o mesmo polinémio caracteristico e portanto os mesmos autovalores 21 Se B R7ARe VW é um autovetor de B associado a um autovalor entao RW autovetor de A associado a X 22 Sejam Ae B matrizes semelhantes Prove que a AIe BT sao semelhantes b A e B sao semelhantes para cada inteiro positivo k c Se Ae B sao inversiveis entaéo A e B sao semelhantes 23 Seja T o operador linear em R definido por Tx y z 2yzx4y 32 e considere a base usual a do R e a base 6 1 11 1 10 10 0 a Mostre que as matrizes I e Ig so semelhantes b T é inversfvel Se for determine a lei que define T 24 Sejam T V V éum operador linear e a e 3 bases distintas de V Mostre que se T e 71 sdo matrizes semelhantes entao det T det T 25 Seja T R R o operador linear definido por Tz y 77 4y 4a y a Determinar uma base do R em relacgdo a qual a matriz do operador T é diagonal b Dar a matriz de T nessa base 26 Considere uma transformagao linear T V V abaixo Se possivel encontre uma base 7 para V tal que a matriz 71 de T em relagao a base 6 seja diagonal 146 a T Py P definida por Ta ba 4a 2b a 30 b T Pp Py definida por Tpx p 1 27 Verificar se a matriz A é diagonalizdvel Caso seja determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular PAP 5 1 a I 1 2 1 b A 1 3 1 0 2 2 2 1 0 1 0 2 1 1 49 9 3 2 0 0 0 3 2 k O 28 Determine o valor de para que a matriz A 0 2 1 seja diagona 0 0 3 lizavel 29 Determine a de modo que a matriz A seja diagonalizdvel Para o valor de a encontrado determine uma matriz inversivel P e uma matriz diagonal D tais que PAP D 32 4 1 0 1 a 0 A 0 0 3 4 0 0 0 2 30 Encontre os autovalores de A se 1 3 7 Il 0 4 3 8 A 00 0 4 00 0 2 31 Calcule A para A 9 4 32 Seja J um operador linear que preserva o comprimento do vetor vy 100 duplica o comprimento do vetor v2 020 e inverte o sentido do vetor v3 02 1 Determine o operador linear T 33 Seja T V V o operador linear que tem autovalores A 1A2 2 An 7 associados aos autovetores v1 V2 Un respectivamente 147 1 2 Sabendo que 8 v1 v2 Uneque vl determinar Tv nm 34 Seja A uma matriz inversivel Prove que se A é diagonalizdvel A7 também é 35 Seja A uma matriz 4 x 4 e seja A um autovalor de multiplicidade 3 Se A XI tem posto 1 A é diagonalizdvel Explique 36 Classifique cada afirmacaéo como verdadeira ou falsa Justifique cada re sposta a Se A é diagonalizdvel entao A tem n autovalores distintos b Se A é inversfvel entaéo A é diagonalizavel c Uma matriz quadrada com vetorescoluna linearmente independentes é diagonalizavel d Se A é diagonalizdvel entaéo cada um de seus autovalores tem multi plicidade 1 e Se nenhum dos autovalores de A é nulo entao det A 4 0 f Se ue v séo autovetores de A associados respectivamente aos auto valoes distintos A e 2 entéo uv é um autovetor de A associado ao autovalor A Apo g Se v é autovetor dos operadores T V VeSV V entao v é autovetor do operador T S 12 Para calcular os autovalores de A basta determinar as raizes do polindmio pA detA AJPara calcular os autovalores de A basta determinar as raizes do polindmio pA detA AI Portanto basta verificar que detA I detA AI 148 Capítulo 6 PRODUTO INTERNO Estamos interessados neste capítulo em formalizar os conceitos de comprimento de um vetor e de ângulo entre dois vetores Esses conceitos permitirão uma melhor compreensão do que seja uma base ortogonal e uma base ortonormal em um espaço vetorial e principalmente nos darão a noção de medidaque nos leva a precisar conceitos como o de área volume distância etc Consideremos inicialmente o plano R2 munido de um referencial cartesiano ortogonal eixos perpendiculares e um ponto Px y Vamos calcular a distân cia do ponto P à origem O0 0 d Observando a gura e utilizando o teorema de pitágoras temos que d p x2 y2 Podemos também interpretar este resultado dizendo que o comprimentoque passaremos a chamar de norma do vetor x y é kx yk p x2 y2 Por outro lado se tivermos dois vetores u x1 y1 e v x2 y2 podemos denir um produtode u por v assim hu vi x1x2 y1y2 produto este chamado de produto escalar ou produto interno usual e que tem uma relação importante com a norma de um vetor v x y kvk p x2 y2 pxx yy p hv vi Se ao invés de trabalharmos no R2 estivéssemos trabalhando no R3 mu nidos de um referencial cartesiano ortogonal teríamos encontrado uma ex pressão similar para o produto escalar 149 2191 21 2 Yo 22 ViL2 yiye 2129 e a mesma relacéo com a norma de um vetor v 2 y 2 ul Va 9 2 Vv 0 Voltando ao caso do plano se tivéssemos trabalhando com um referencial nao ortogonal eixos nao perpendiculares e quiséssemos calcular a distancia da origem até um ponto P cujas coordenadas em relagao ao referencial fossem xy terfamos usando o teorema de Pitdgoras d xy ycosa ysina Vx 2cosaxzy y fovea P d m senge a x x Observe que se usdssemos o produto escalar 21 y1 2 y2 12y1Y2 neste caso nao haveria a relagao v vvmas ela passaria a valer se usdssemos a seguinte regra para o produto v1 41 2 Y2 12 cosaxiy2 cosaxoy1 yiy2 pois vv xy ay 2 cosaay cosayx y ol Portanto novamente a nocao de distancia poderia ser dada a partir de um produto interno de vetores Concluimos destes exemplos que o processo usado para se determinar me didasnum espaco pode variar e em cada caso precisamos ser bem claros sobre qual produto interno estamos trabalhando Definigao 225 Seja V um espaco vetorial real Um produto interno sobre V é uma fungao fV x V R que a cada par de vetores u v associa um ntimero real denotado por uv e que satisfaz as seguintes propriedades a vv 0e Wvv O Sv0 b uv v u c u0w usw vw 150 d kuv k uv VkER Exemplo 226 V R fx1y1 v2 y2 2212 5y1y2 um produto interno sobre o R Para mostrar a veracidade da afirmacao devemos provar as propriedades da definigéo de produto Interno Sejam entaéo wu 2141 v x2 y2 w r3y3 ek ER a uu 21y1 2 y2 2x Sy Oe uu 0 2x Byf 0S x 0ouy 0Su 00 b uv 1 41 2 ya 20122 5yry2 2xgx1 5yoyi Vv u c Uw 1 2241 Y2 3 Ys 21 F2x3 5y1 y2 ys 22123 5y1ys3 22923 5y2ys uw v w d ku v ka1 kyr x2 y2 2kx1x2 dky1y2 k 20122 5y1ye2 k u v Exemplo 227 Verifique que uv 31y1 1y2 ay Layo onde u 2122 v y1 y2 um produto interno em R Para mostrar a veracidade da afirmacao devemos provar as propriedades da definigéo de produto Interno Sejam entaéo wu 2122 v yi y2 w2122ekeER a uu 1 02 a1 2 8af2ayxQ423 Qat e 2xx2 23 2x7 a1 a2 0 Entao uu 0 se e somente se x1 0 72 0 isto é u 00 b uv 12 yi y2 81y1 1y2 Fay1 Loy2 38y1a1 yox1 Yit2 Y22 Vv U c utvw 1 Y12 Yo 21 22 81 yi 21 1 y1 22 2 Y2z1 2 y2 2 34121 1122 2 222 By121 yi 22 yo2z1 Y222 uw vw d kuv ka1 kx2 yi yo 3kaiyy katy kxay kxoyr k8aryy1 1y2 2y1 Toyz k uv Exercicio 228 Verifique que uv 712 yy onde u x1y1 ev x2 Y2 nao define um produto interno no R 151 Observe que a terceira propriedade da definigao de Produto Interno falha vejamos Sejam entao U v1 41 v x2 yo ew x3 y3 uvw a1 2a3 yr y2y3 eras yty3 wears y3y3 2yiyoy3 uw uv w 2yryoys Portanto uvw A uw vw Exemplo 229 Em R o produto interno usual ou escalar é definido por 19 vy Ens yi Y2 15 Yn 2141 Z2Y2 TnYn Nota Quando nao ha referéncia sobre o produto interno definido num es paco vetorial V entendemos que sobre ele fica definido o produto interno usual Exemplo 230 Seja V Po paptaxaox eq bo b124 box vetores quaisquer de P2 A formula pq ab a1b1 agby define um produto interno em P Note que pq a1b1 agby nao define sobre V um produto interno pois falha a propriedade a da definigao de produto intermo Veja que existem polinédmios p V tais que pp 0 sem que p 0 Por exemplo p 2 Ox 02 Exemplo 231 Seja V o espago da fungdes continuas no intervalo ab Se f e g pertencem a V entao b ta flegaae a define sobre V um produto interno Como exercicio mostre que as quatro propriedades do produto interno sao vdlidas para este caso Exemplo 232 Se A e B séo duas matrizes quaisquer de V Mp entdo defi nimos A B tr ATB 61 onde tr é o traco de uma matriz quadrada definido por n trA Soais il 1 2 1 0 Exemplo 233 Considere as matrizes A 3 4 B 3 9 Entao 1 2 1 0 8 6 Tp A B tr ATB 5 Hl x LS 31 r ih 51 16 152 61 Normas Distancias e Angulos em Espacos com Produto Interno Definicao 234 Se V é um espaco com produto interno entao a norma ou comprimento de um vetor v V é dada por lull Vv A distancia entre dois pontos vetores u ev é dada por duv lu o Definigao 235 Se v 1 isto é vv 1 dizemos que o vetor v esta normalizado o que significa que seu comprimento é igual a 1 unidade Definigao 236 Todo vetor naonulo v V pode ser normalizado fazendo v u Ilo Exemplo 237 Considerando v 123 e nado havendo referéncia a algum produto interno em R temos Ilv 1 2 3 v 1 23 1 23 vV 1449 V 14 ou seja 0 comprimento de v em relacao ao produto interno usual é V14 unidades Exemplo 238 A norma do vetor v 31 em relagéo ao produto interno definido no exemplo 226 é 3 VBD B V2334F5DKD V3 e em relacéo ao produto interno usual é I3 1 V3 1 v10 Para normalizar o vetor 31 em relagéo ao primeiro produto exemplo 226 fazemos ua 2 BHD 33 B Jol Ns Verifique que o comprimento de u é 1 Observacéo 239 a Se v R entéo o conjunto dos pontos que satisfazem u 1 pertencem a um cérculo de raio 1 centrado na origem b Sev R entao o conjunto dos pontos que satisfazem v 1 pertencem a uma esfera de raio 1 centrada na origem Teorema 240 Desigualdade de CauchySchwarz Se u ev sdo vetores de um espago com produto interno real entéo u v lull lle 153 Angulo entre dois vetores Da desigualdade de CauchySchwarz temse u v lull lol Elevando ao quadrado ambos os lados 2 24 2 uv Hull loll Agora dividindo ambos os lados por v obtémse 2 te Ile Io ou equivalentemente 1 uv 1 Ile Ile Como 0 6 7 entao 1 cos 1 daf U U cosp 2 oy a Ile Io 62 Ortogonalidade Definigao 241 Seja V um espacgo com produto interno Os vetores u v V dizemse mutuamente ortogonais e u é ortogonal a v se uv 0 Note que u e v sao ortogonais se e somente se cos 0 onde 0 é 0 angulo entre u e v e isto é verdade se e somente se u e v sao perpendiculares isto é 90 Observagao 242 A ortogonalidade depende do produto interno isto é dois vetores podem ser ortogonais em relagao a um produto interno mas nao em relagao a outro 0 1 30 2 Exemplo 243 As matrizes A 1 ie B 0 84 ortogonais pois AB trATB er 3 0 0 0 Exemplo 244 Seja pq fi paaa da um produto interno em Py Sep x eq 2x entéo x 73 fi ede 0 Portanto os vetores p x q 2 sao ortogonais em Po 154 621 Conjunto Ortogonal de Vetores Seja V um espaco vetorial com produto interno definido Dizse que um conjunto de vetores v1v2Un C V é ortogonal se dois vetores quaisquer distintos séo ortogonais isto é vjuv 0 para i F 7 Teorema 245 Se A v1v2Un um conjunto ortogonal de vetores nao nulos de um espago com produto interno entao A é linearmente independente Proof Temos que mostrar que a equacao a1V1 agvg AnUn 0 tem apenas a solucao nula Para isso fagamos o produto interno de ambos os membros da igualdade por Uz av gg GnUn vi 005 a1 U1 Vi Gg V2 Ui n Un vi 0 Como A ortogonal vv 0 para i j e vv 0 pois v 0 Dat resulta a equacao a vU 0 a 0 parat 12n Logo A v1v2UnLI 622 Base ortogonal Dizse que uma base v1v2Un de V é ortogonal se os seus vetores sao dois a dois ortogonais Observagao 246 Se dimV n qualquer conjunto de n vetores naonulos e dois a dois ortogonais constitui uma base ortogonal para V Exercicio 247 Mostre que o conjunto 213 30 2 2133 é uma base ortogonal para o R 623 Base ortonormal Uma base 8 v1v2Un de um espago vetorial V é ortonormal se B é ortogonal e todos os seus vetores tem norma 1 isto é 0 14g v V5 1 ij Exercicio 248 A partir do conjunto 123 301 15 3 obtenha uma base ortonormal para o R 155 624 Coordenadas em relagao a Bases Ortonormais Teorema 249 Se 8 v1v2Un uma base ortonormal de um espacgo com produto interno V ev V entdo v vU1 Ur u v2 Vo VU Un Un Proof Como 6 v1v2Un é uma base entao V v V podemos escrever V QV A2V2 AnUn Temos que mostrar que v vj a parai 12n Na equacao acima aplicando o produto interno em ambos os lados com 1 v Vi 1 U1 Vi A2 V2 Ui An Un Vi Como v1V2Un base ortonormal vv 0 parai 4 j e vj uj 1 v va v Logo v ui a e portanto vg é o vetor de coordenadas de v em Un v relacgao a base 2 m Exemplo 250 Encontre as coordenadas do vetor v 111 em relagdo base B 0 10 20 3 20 4 Note que 6 é uma base ortonormal mostre portanto podemos usar o teorema 249 para encontrar v 4 3 4 3 111 1 11 0 1 0 0 10 1 11 0 z0 5 75 5 5 34 34 111 0 0 9 9 G Sy G 5 1 4 3 73 4 111 010 0 0 aia 0102202 2 202 1 1 vlg le P 5 625 Coordenadas em relagao a Bases Ortogonais Se 6 v1v2Un base ortogonal de um espago com produto interno Ventao a normalizagao de cada um desses vetores produz a base ortonormal gi 2 v2 nk Nerd eal Wendl 156 Assim se v V segue do teorema 249 que v v7 a n i bet yt eal lleal Ilvall Iv2II llenll 7 len ou UU vv vv U Pa yg MM gg Me Ond Ilv Ive Ilo Exercicio 251 Expresse o vetor 13 44 3 como combinagao linear dos ve tores Vv 1 23 4 ve 21 4 3 v3 3 41 2 e v4 43 21 63 Complementos Ortogonais Seja W um subespaco de um espaco vetorial V com produto interno Se um vetor v V é ortogonal a todos os vetores de W entao dizemos que v é ortogonal a W O conjunto de todos os vetores de V que sao ortogonais a W é chamado de complemento ortogonal de W Notacao O complemento ortogonal de W é denotado por W Exemplo 252 SejaV R eW um subespaco do R Seja 8 1101 0 111 uma base para W Encontre uma base para W Seja v 2 y zt W entao a Y z t 1 1 0 1 0 z Y 4 t 0 1 1 1 0 Dat rtyz2t0 x z2t yzt0 y2ztt Logo v z 2tz t zt z1110 t210 1 Como v W segue que W 11 10 2 10 1 e como este con junto é LI pois os vetores nao sao mtiltiplos temse que 6 11 10 2101 é uma base para Wt Propriedades Se W é um subespaco de um espaco com produto interno V entao a W é um subespaco de V b wow0 c Wt W Exercicio 253 Faca como exerctcio a demonstracao das trés propriedades do complemento ortogonal 157 64 Projecoes Ortogonais Vamos agora desenvolver alguns resultados que serao titeis para construir bases ortogonais e ortonormais de espagos com produto interno E geometricamente evidente em R e R que se W é uma reta ou um plano pela origem entao cada vetor u do espacgo pode ser escrito como uma soma UwWwWe2 onde wy esté em W e we é perpendicular a W y ae WwW O O Ww Teorema 254 Teorema da Decomposigao Ortogonal Se W é um subespaco de um espago com produto interno V entao todo u V pode ser expresso por UWW2 tal quew W ewe Wt O vetor w do teorema precedente é chamado projegao ortogonal de u em W e é denotado por projy O vetor w2 é chamado componente de u ortogonal a W e é denotada por projy Dai podemos escrever U projy projyy Teorema 255 Seja V um espago vetorial com produto interno definido e seja W um subespaco de V a Se 3 v1v2Un uma base ortonormal de W eu V entao projyy u V1 V1 u v2 v2 U Un Un b Se 6B v1v2Un uma base ortogonal de W ev V entao uU uv uv projy ue usa tn 5 Ilex Iv2 Ilo l Exemplo 256 Seja V R e W 0 10 20 3 um subespacgo de V Obtenha projy e projy para u 111 158 Note que 8 0 10 4 0 3 é base ortonormal para WEntao projw u v1 vi u v2 v2 1 4 3 10100 9 d 5 5 9 4 at 1 3 25 25 O componente de u que é ortogonal a W é 4 3 21 28 i uprojt 11112 0 PTOJWwo U PTOJWw 949 F 65 Encontrando Bases Ortogonais e Ortonor mais Processo de Ortogonalizagao de Gram Schmidt Seja V um espaco vetorial com produto interno definido e 8 uu2 Un uma base de V Através do processo que descreveremos abaixo obteremos uma base ortogonal 3 v1vV2Un para V Passo 1 Fixe v uj Passo 2 Obter v2 de forma que v2 seja ortogonal a v tomando a componente de ug que é ortogonal a W v1 v9 Ug projy uU2 tt V1 My Iv 1 proj w Passo 3 Obter v3 de forma que seja ortogonal a ambos v1 e v2 tomando a componente de u3 que é ortogonal a W2 v1 v2 3 U3 U3 projyy Us us u3 02 U2 Ilva Iv2 159 Z LV Us projy 8 x Procedendo desta forma iremos obter depois de n passos a base ortogonal B v1v2Un Feito isso para obter uma base ortonormal de vetores para V a q1 42Qn basta normalizar os vetores v1 V2Un Exemplo 257 Aplique o processo de GramSchmidt para transformar os ve tores de base uy 1010 wa 01 10 e uz 0021 em uma base ortonormal para um subespaco W do R Note que ur uz 1 u1u3 2 u2u3 2 Logo os vetores acima nao formam uma base ortogonal portanto temos que usar o processo de GramSchmidt para transformar em uma base ortogonal e em seguida normalizar estes vetores obtendo assim a base ortonormal procurada Passo 1 Fixe vy uz 10 10 Passo 2 v2 u2 projyy ug an 0110 3 10 10 U1 1 1 10 9 9 Passo 3 v3 ug projy U3 us M1 tis 02 Ilys Ive 1 1 222 00 21 10 10 3 z150 Zaal 3 2 2 33 1 1 22 2 Logo 6 1010 5139 G 3 1 é base ortogonal para R Normalizemos estes vetores para obter a base ortonormal a q1 42493 160 at mee K 0 1 0 Tal v2 v2 2 vw v2 1 15 V6 V6 v6 9 2 Tal V3 2 9 6 3 6 B Set F 2 2 8 Jos 22 37373 V22 22 22 22 66 Fatoragao QR Se A é uma matriz m x n m n com colunas linearmente independentes aplicar o Processo de GramSchmidt a essas colunas implica uma fatoracao muito titil da matriz A em um produto de uma matriz Qm x n m n com vetorescoluna ortonormais por uma matriz triangular superior R Essa é a fatoragao QR Nos tltimos anos a fatoracao QR tem assumido importancia crescente como fundamento matemadtico de uma grande variedade de algoritmos numéricos praticos incluindo algoritmos largamente usados para computar autovalores de matrizes grandes Para ver como surge a fatoracao QR considere uj U2 Un Como os vetores coluna de A e qi q2Gm Como os vetores ortonormais obtidos pela aplicacgao do Processo de GramSchmidt 4 matriz A com normalizacgGes assim A us u2 Un e Q qi g dn Os vetores U1 U2Un podem ser escitos em termos dos vetores qi g2n como Ur u191 G1 U1 G2 G2 U1 On An uz u2qi G1 U2 92 G2 U2 dn dn Un Un 1 di Un G2 G2 Uns In In Na forma matricial temse ui ua 91 tee Uns M1 u1q2 U2g2 Un G2 wi u2 Un ar gel dn U1 dn U2 dn tee Uns In ou mais concisamente por AQR No entanto 6 uma propriedade de processo de GramSchmidt que para j 2 o vetor q ortogonal a uy u2Uj1 assim todas as entradas abaixo da diagonal principal de R sao nulas 161 wiqi U2qi Uns 0 u2 G2 tee Un 42 R 0 0 we Uns Qn Resumindo temos o seguinte teorema Teorema 258 Se A é uma matrizm x n m n com colunas linearmente independentes entao A pode ser fatorada como AQR onde é uma matrizm x n com colunas ortonormais e R é uma matrizn x n triangular superior inverttvel 1 2 2 1 1 2 Exemplo 259 Encontre a decomposigcao QR de A 10 141 1 1 2 1 2 2 l 1 2 Os vetores coluna de A sao u 1l9 14 1 1 2 O processo de GramSchmidt com normalizacao subsequente aplicado a estes 3v5 4 T0 1 3Vv5 vetorescoluna produz os vetores ortonormais q 1 ws 3 5 v5 i v5 10 v6 6 0 V6 6 v6 3 1 3V5 v6 12a 2 ee 1 3 1 1 2 0 2 10 3v5 de modo que 10417 1 v5 MG 0 V5 3 1 12 ve ve ll9 9 A 2 10 3 R Q 661 Aplicagao da fatoragao QR Se A é uma matriz m x n de posto n entao a solugado para o sistema linear AX B é obtida da seguinte forma 162 A equacao AX B pode ser escrita na forma QRXB Multiplicando ambos os lados A esquerda da equacao por Q obtemos QTQRX QB Como Q é ortogonal Q7Q I entao RX QB Como R é inversivel temse XRQB 1 2 2 x 1 1 1 2 fy 4 Exemplo 260 Resolva o sistema 104 lell4 1 1 2 t 2 Como a matriz dos coeficientes 6 a mesma do exemplo anterior diretamente temos que 1 1 1 21 1i 17 l sorpe 2 De YE las ak dl X RNQB 10 5Vv5 5v6 es 1 6 6 6 0 0 avo 0 PP fe 23 ge 3 67 Sétima lista de exercicios 1 Sejam W 2122 e VU y1 y2 Mostre que temos um produto interno em R nos seguintes casos a W 0 3a1y1 r2y2 b W 0 4aiyr vey e1y2 4r2yo c 0 ay 2xoy 2x 1y2 5royp 2 Sejam W 1 4121 e UV a2 Y2 22 Identifique os casos em que temos um produto interno no R Nos casos que falham identifique as propriedades que nao verificam a W 0 a8 21 b w v 1122 Yr1y2 2122 c WW ayo t yivez 163 3 Sejam W 2122 e U y1y2 A expressdo w 0 e1y t1y2 Loy 2xoy2 define um produto interno em R 4 No espaco de todos os polinémios de grau menor ou igual a 2 determine se p9 p1a1 é um produto interno e em caso negativo indique quais dos axiomas da definigao de produto interno sao violados 5 Utilize os produtos internos do exercicio 1 para calcular a lw com u 13 b duv com v 35 6 Em P considere o produto interno f g fy fxgadx e os polindmios fx 27 gx 3x Mostre que f e g sdo ortogonais e a seguir deter mine g um multiplo de g tal que g 1 7 Considere V M22 com o produto interno usual Determine a pro 1 0 1 1 jecao ortogonal de 0 0 sobre 1 ou 8 Considere V P32 com o produto interno usual Qual é o menor Angulo entre pt 1t V2t e qt 14 V2t 9 Seja V um espaco vetorial com produto interno definido e sejam uv vetores ortogonais de V tais que u 1 e v 2 Mostre que du v V5 Interprete este resultado geometricamente quando uv R 10 Seja V o espaco das funcg6es contfnuas no intervalo 01 Defina em V o seguinte produto interno 1 ta f tagoae 0 a Calcule fa quando fx 23 a1 b Calcule a dfg se fz 1e ga 2 11 Seja V R Seja W o subespaco do R dado pela equacao x2y3z 0 Determine W e a distancia entre v 10 1 aos subespacgos W e W 12 Considere 0 espaco vetorial V R munido do seguinte produto internow 0 212 Y1L2 21 y24y1y2 em que V 1 y1 e W x2 y2 sdo vetores do R Considere T V V o operador linear dado por Tx y 2y Com relacgao ao produto interno dado e ao operador T assinale a opgao correta 164 a Os vetores e 10 e eg 01 sdo ortogonais em relagao ao pro duto interno dado b O operador T preserva o produto interno isto é TwTv wv c Tx y Tyxpara todo xy R d O vetor v 20 pertence ao NT e Existe um vetor v xy R tal que 7 y 1evv 0 1 2 1 2 13 Seja T R R tal que T 3 5 O 4 1 1 2 O a Determine uma base para o complemento ortogonal do NT b Determine uma base para o complemento ortogonal da ImT 3 4 3 14 Seja V R e W 010 5 F Exprima w 123 na forma w w we em quew CeWeweW 15 Seja V Rte W 10 12 0 10 1 Expresse w 1260 na forma w w w2em quew CeWeweW 16 Seja V M2 2 determine uma base para o complemento ortogonal do a subespacgo das matrizes diagonais b subespacgo das matrizes simétricas 17 A transformacao T R R definida por Tv 7 v é linear Se for determine seu nticleo e sua imagem 18 Considere a base ortonormal 0 72 2 0 010 Consider se ortonormal a 0 0 01 V5 V5 V5 V5 para R3 Encontre vg para 2 31Nao resolva nenhum sis tema linear 19 Suponha que S consiste dos seguintes vetores em R Uy 1 1 0 1 U2 1 2 1 3 U3 1 1 9 2 e U4 16 13 13 a Mostre que S é ortogonal e é uma base de R b Ache as coordenadas do vetor v 1023 em relagéo a base SNao resolva nenhum sistema linear 20 Qual é a base ortonormal do R obtida pelo processo de GramSchmidt a partir da base 2 63 5 6 24 9 14 165 21 Use o processo de GramSchmidt para construir uma base ortonormal para um subespaco W de um espaco vetorial V para cada um dos seguintes casos a V R tal que W 1 0 0 2 i 0 1 3 3 0 2 1 2 0 3 b V R tal que W z2yy2y R c V M31 tal que W é 0 conjunto solugao do sistema homogéneo xryz0 2y43z0 x2y6z0 22 Seja W um subespaco do R dado pelas equacées paramétricas 2t y 5t z 4t t R Determine W Qual a distancia do vetor vv 10 1 aos subespacos W e W respectivamente 23 Seja V o espaco das fungdes continuas no intervalo 01 Defina em V o seguinte produto interno 1 ta f Feogttyat 0 a Aplique o algoritmo de GramSchmidt ao conjunto 1 t para obter um conjunto ortonormal fo fi fa b Achar o complemento ortogonal do subespaco W 514 24 Seja V P3 p ag box cpt dow eg a bye C2 dy x e pq aoay b9b1 coci dod um produto interno em P3 Ache uma base ortonormal para o subespaco W de P3 gerado pelos vetores Vi ltaa23 Vo 1lax422 427 Us 1422 42 323 25 Seja uv 27141 2xey2323y3 um produto interno em R Encontre as coordenadas do vetor v 3 1 3 em relacao 4 base ortonormal obtida a partir da base 6 1 11 110 100 26 Seja U sae RI um subespaco vetorial de M22 Deter mine uma base ortonormal de U usando o produto interno A B trATB 27 Seja V P2 com produto interno usual a Determine uma base ortonormal para o subespago W de P 2 gerado por 4t 32 e por 12 7t b Determine a projecao ortogonal de pt t sobre W 28 Encontre a projecao ortogonal de v 123 sobre o subespaco W gera dos pelos vetores wu 2 21 e ug 1 14 166 29 Encontre a decomposigéo ortogonal de v 4 23 em relagéo a W 1 2 1 1 i 1 30 Ache uma matriz ortogonal P cuja primeira linha é uw 4 3 Obs a matriz P nao é tinica 1 2 1 0 1 1 31 Encontre a fatoragaéo QR da matriz A 0 411 1 oO 1 2 1 32 Utilize a fatoracéo QR para resolver o sistema AX Bonde A 1 1 2 1 12 eB6 18 33 Classifique cada afirmacaéo como verdadeira ou falsa a Todo conjunto linearmente independente em R é um conjunto or togonal b Se A é uma matriz quadrada cujas colunas sao ortonormais entao A é inversfvel e At A c Se W é um subespacgo de um espacgo com produto interno V entao o vetor nulo pertence a W d Qualque matriz com determinante nao nulo tem uma decomposicgéo QR ce Se 6 ortogonal a ambos w e WV entao x é ortogonal a w WV f Todo conjunto ortogonal é ortonormal g Todo vetor pode ser normalizado 34 No assunto Diagonalizagao de Operadores vimos que Se A é a matriz canodnica de um operador linear T e D a matriz de T na base de autovetores temos DPAP onde P é a matriz cujas colunas sao os autovetores de JT Dizemos que a matriz P diagonaliza A ou que P é a matriz diagonalizadora No caso de A ser uma matriz simétrica e portanto sempre diagonalizavel podemos obter uma base ortogonal de autovetores que apdés a normal izacaéo seré uma base ortonormal A matriz acima citada por ter suas colunas formadas por vetores ortonormais uma matriz ortogonal ou seja 6 tal que P PT A matriz D nesse caso é obtida pela relacao DP AP 167 e dizemos que P diagonaliza A ortogonalmente Seja T R3 R a transformacéo linear definida por Tz y z 2x y 2 2y 22 y 2zEncontre uma matriz P que diagonalize ortogonalmente a matriz can6dnica de T 168