Sistemas Lineares e suas Aplicações: Métodos de Resolução

Álgebra Linear ALI0001 CCI19202U Aplicações de Sistemas Lineares Método da Inversa para resolução de sistemas lineares Professor Marnei Luis Mandler Aula de ALI do dia 15 de março de 2023 Exemplo 1 Suponhamos que queremos preparar um café da manhã com manteiga presunto e pão de maneira a consumir exatamente 540 calorias 116 gramas de proteínas e 33 gramas de gorduras A tabela mostra o número de calorias proteínas em gramas e de gorduras em gramas encontradas respectivamente em uma grama de manteiga de presunto e de pão Se indicamos por e respectivamente o total de gramas de manteiga de presunto e de pão que iremos consumir a resposta para a questão consiste na solução do sistema de equações lineares Se resolvermos o sistema vamos encontrar as quantidades de manteiga de presunto e de pão de forma que sejam consumidos exatamente a quantidade desejada de calorias proteína e gorduras Aplicação de Sistemas Problema da dieta Manteiga Presunto Pão calorias 7 35 26 proteínas 006 015 008 gorduras 08 03 002 Exemplo Para resolver o sistema escalonamos a matriz ampliada fazendo 𝐿2100 𝐿2 𝐿3100 𝐿3 𝐿1 𝐿1 𝐿2 𝐿2 𝐿2 6 𝐿1 𝐿3 𝐿3 80 𝐿1 𝐿2 1 84 𝐿2 𝐿3 𝐿3 950 𝐿2 𝐿3 21 481 𝐿3 𝑥1620115𝑥254 𝑥3 𝑥2 1220 21 101 210 𝑥 3 𝑥3100 𝑥135 𝑥210 𝑥3100 Aplicação de Sistemas redes de tráfego Exemplo 2 Podemos usar sistemas de equações lineares para modelar matematicamente situações que envolvem redes de tráfego Por exemplo vamos obter o modelo matemático que analisa uma rede de tráfego com quatro cruzamentos e que está representado na figura abaixo A unidade de medida é veículos por minuto O tráfego flui ao longo das vias no sentido assinalado e é válida a lei que o número de veículos que entra em um cruzamento é igual ao número de veículos que sai desse cruzamento A partir dessas informações aplicando a lei em cada cruzamento obtemos que 𝑥 𝑡 45 𝑥 𝑦25 𝑦 𝑡20 𝑧 𝑡 40 com a restrição que o número de veículos que entra em um cruzamento é igual ao número de veículos que sai desse cruzamento Aplicação de Sistemas redes de tráfego O sistema o número de veículos que entra em um cruzamento é igual ao número de veículos que sai desse cruzamento tem como solução Interpretando a solução obtida podemos determinar o número mínimo de veículos que deve a sair do cruzamento e seguir na direção superior b entrar no cruzamento vindo da direita c entrar no cruzamento vindo de baixo 𝐵 𝑥 𝑡 45 𝑥 𝑦25 𝑦 𝑡20 𝑧 𝑡 40 𝑥𝑡 45 00 𝑦 𝑡 20 𝑧𝑡 40 𝑧𝑡40 40 e e 𝑦𝑡 20452025 𝑡 45 Revisão Inversa de uma matriz Uma matriz quadrada de ordem é invertível ou nãosingular quando existe uma matriz de ordem denotada por tal que onde é a matriz identidade de ordem Para obter a inversa da matriz supomos que seja tal que isto é Da igualdade matricial obtemos os sistemas e Resolvendo os sistemas obtemos e com isso encontramos Agora vamos obter uma outra forma de obter a inversa quando existir de uma matriz Para isso observe que a forma matricial dos sistemas e é e Note que os dois sistemas possuem a mesma matriz dos coeficientes e por isso suas matrizes ampliadas diferem apenas devido à matriz coluna dos termos independentes e Por isso em vez de resolver dois sistemas separadamente podemos resolvêlos em um único processo de escalonamento desde que usemos na matriz ampliada duas colunas lado a lado para os termos independentes Ou seja vamos escalonar a matriz Método para obter a inversa por escalonamento Veja que ao final do escalonamento de encontramos ou seja a inversa surgiu à direita da matriz escalonada 𝐿1 1 2 𝐿1 𝐿2𝐿25𝐿1 𝐿22 𝐿2 𝐿1 𝐿1 1 2 𝐿2 Método para obter a inversa por escalonamento Portanto para obter a inversa se existir de uma matriz quadrada basta tomar a matriz identidade de mesma ordem que ao seu lado direito e escalonar a matriz até obter se possível a matriz Caso não seja possível obter ao final do escalonamento a matriz identidade no lado esquerdo da matriz escalonada isso significa que não existe ou seja não é invertível Exemplo 3 Encontre se existir a inversa da matriz Solução Vamos escalonar a matriz com a identidade de ordem ao seu lado direito 𝐿2 𝐿2𝐿1 𝐿3 𝐿36 𝐿1 1 1 0 0 1 1 0 4 3 1 0 0 1 1 0 6 0 1 𝐿1 𝐿1𝐿2 𝐿3 𝐿34 𝐿2 Método para obter a inversa por escalonamento Como conseguimos obter a Identidade de ordem do lado esquerdo a matriz situada no lado direito é a inversa desejada Portanto Verifique como exercício que essa matriz satisfaz a definição de matriz inversa Note que é preciso escalonar por completo a matriz ou seja é necessário anular também os elementos situados acima dos pivôs 𝐿3𝐿3 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 2 4 1 𝐿1 𝐿1𝐿3 𝐿2 𝐿2 𝐿3 𝐼𝐴 1 Sejam e matrizes quadradas de ordem São válidas as seguintes propriedades i Se é invertível sua inversa também é invertível e a inversa de é ou seja ii Se a matriz A é invertível sua transposta também é invertível e sua inversa é iii Se e são matrizes invertíveis de mesma ordem então o produto é uma matriz invertível e a inversa de é o produto ou seja iv Se é invertível e com então também é invertível e sua inversa é v é invertível se e somente se Além disso Relembrando Propriedades da Inversa Método da inversa para resolver sistemas lineares Teorema Se é invertível então o sistema de equações e variáveis é sempre possível e determinado SPD e sua única solução é dada por Justificativa Se é invertível então existe tal que e com isso a matriz é tal que ou seja é solução do sistema linear Portanto o sistema é possível Além disso se for qualquer outra solução desse sistema temos que Como obtemos que Portanto existe uma única solução para o sistema e ele é possível e determinado SPD Observação O método da inversa é útil para resolver vários sistemas cuja matriz dos coeficientes é sempre a mesma e em que apenas a matriz é diferente em cada caso Exemplo 4 Resolva os sistemas abaixo pelo método da inversa a c 𝐴 𝐴 1𝐵 𝐴 𝐴 1 𝐵𝐼 𝐵𝐵 𝐴1 𝐴𝑌 𝐴1 𝐴𝑋 𝐼𝑌 𝐼𝑋 𝑌 𝑋 Método da inversa para resolver sistemas lineares Solução Veja que os três sistemas dados possuem os mesmos coeficientes com variações apenas nos seus termos independentes Com isso vamos aplicar o método da inversa para Para obter escalonamos a matriz ao lado da matriz identidade 𝐿2 𝐿2𝐿1 2 3 1 1 0 0 2 4 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 𝐿1 𝐿2 𝐿3 𝐿3 2 𝐿1 𝐿2 𝐿2𝐿3 1 0 0 0 1 0 0 4 1 1 1 0 1 0 1 2 2 1 𝐿2𝐿2 𝐿3 𝐿34 𝐿2 𝐼𝐴 1 Método da inversa para resolver sistemas lineares Portanto obtemos que e com isso todos os sistemas são SPD Agora vamos obter as soluções dos sistemas a No primeiro sistema temos que a matriz dos termos independentes é e pelo método da inversa a sua solução é b No segundo sistema temos que a matriz dos termos independentes é e pelo método da inversa a sua solução é 1 11102 1 10112 6 1 21 3 2 2 1 2 141805 140815 6428 35 c O terceiro sistema é homogêneo pois Com isso sua solução é a trivial pois Exemplo 5 Determine a inversa da matriz supondo que e Solução Escalonando a matriz obtemos que Propriedades da Inversa Portanto 𝐿1 1 𝑎 𝐿1 1 𝑏 𝑎 𝑐 𝑑 1 𝑎 0 0 1 𝐿2 𝐿2𝑐 𝐿1 𝐿2 𝑎 𝑎𝑑𝑏𝑐 𝐿2 𝐿1 𝐿1 𝑏 𝑎 𝐿2 1 𝑏 𝑎 0 1 1 𝑎 0 𝑐 𝑎𝑑𝑏𝑐 𝑎 𝑎𝑑𝑏𝑐 𝐼𝐴 1 Exercícios Propostos Exercício 1 Determine por escalonamento a inversa se existir das matrizes a b Exercício 2 Resolva os sistemas lineares onde é a matriz do exercício anterior e é dada por a Da lista Já podem ser resolvidos todos os exercícios da Lista 1