Sistemas Lineares: Fluxo de Tráfego em Arcata - Aulas 1, 2 e 3

Álgebra Linear SISTEMAS LINEARES Aulas 1 2 e 3 Exemplo 5 Fluxo de Tráfego Arcata na costa mais ao norte da Califórnia nos Estados Unidos é uma pequena cidade universitária com uma praça central Figura 1 A Figura 2 mostra ruas em torno e adjacentes a essa praça central Como indicado pelas setas todas as ruas na vizinhança da praça são de mão única O tráfico flui para o norte e para o sul ao longo das ruas G e H respectivamente e flui para o leste e para o oeste ao longo das ruas 8 e 9 respectivamente O número de carros entrando e saindo da praça durante um período típico de 15 minutos em uma manhã de sábado também está mostrado Nosso objetivo é encontrar x1 x2 x3 e x4 o fluxo de tráfego ao longo de cada lado da praça As quatro interseções estão marcadas com as letras A B C e D Em cada interseção o número de carros entrando na interseção tem que ser igual ao número de carros saindo O número de carros entrando em A é 100 x1 e o número de carros saindo é 20 x2 Como esses números têm que ser iguais chegamos à equação A 100 x1 20 x2 Aplicando o mesmo raciocínio para as interseções B C e D chegamos a outras três equações B x4 30 x1 100 C x2 25 x3 95 D x3 75 x4 15 Reescrevendo as equações na forma usual obtemos o sistema x1 x2 80 x1 x4 70 x2 x3 70 x3 x4 60 Sistemas lineares genéricos Caracterização Sistemas lineares genéricos Solução Sistemas lineares genéricos representação matricial m Sistemas lineares genéricos matriz ampliada Exemplos Exemplo ou A solução pode ser escrita como 𝑥 44 𝑦 17 e 𝑧 9 ou 𝑋 44 17 9 Exercícios propostos 1 Verifique se é solução do sistema de equações lineares 2 Indique as equações de um sistema linear nãohomogêneo onde é a matriz dos coeficientes e é uma solução do sistema Interpretação geométrica dos sistemas lineares Interpretação geométrica dos sistemas lineares Interpretação geométrica dos sistemas lineares Interpretação geométrica dos sistemas lineares Resolvendo um sistema de equações lineares Qual sistema é mais fácil de resolver algebricamente ou O sistema da direita é claramente mais fácil de resolver Esse sistema está na forma escalonada por linhas o que significa que ele está em um padrão degraus de escada com coeficientes principais iguais a 1 Note que ambos os sistemas admitem a mesma solução e Tais sistemas são chamados de sistemas equivalentes pois admitem a mesma solução Para resolver um sistema que não esteja na forma escalonada por linhas primeiro o reescreva como um sistema equivalente que esteja na forma escalonada por linhas usando as operações elementares com as linhas de uma matriz Matriz escalonada por linhas Matriz escalonada por linhas Uma matriz na forma escalonada por linhas tem as propriedades abaixo a Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas b O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1 Chamamos este número de pivô c Para duas linhas sucessivas diferentes de zero o 1 pivô na linha mais acima está mais à esquerda do que o 1 pivô na linha inferior Uma matriz na forma escalonada por linhas está na forma escalonada reduzida forma escada quando cada coluna que contêm um 1 pivô tem zeros em todas as posições acima e abaixo de seu 1 pivô Ex Determine se cada matriz está na forma escalonada por linhas Se for o caso determine também se a matriz está na forma escada a 𝐴 1 2 1 4 0 1 0 3 0 0 1 2 d 𝐷 1 2 1 2 0 0 0 0 0 1 2 4 b 𝐵 1 5 2 1 3 0 0 1 3 2 0 0 0 1 4 0 0 0 0 1 e 𝐸 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3 0 0 0 0 c 𝐶 1 2 1 2 0 2 1 1 0 0 2 4 f 𝐹 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Exemplo forma escalonada por linhas Método da Eliminação de Gauss O Método para reescrever um sistema de equações na forma escalonada por linhas utilizando as operações elementares é chamada do método da eliminação de Gauss em homenagem ao matemático alemão CarlFriedrich Gauss 17771855 Popularmente este método também é chamado de método do escalonamento Resumo do método Escreva a matriz ampliada do sistema Utilize as operações elementares com as linhas da matriz ampliada até chegar na matriz escalonada por linhas Escreva o sistema correspondente e utilize a substituição regressiva para encontrar a solução Observação para esse algoritmo a ordem no qual executa as operações é importante Opere da esquerda para à direita por colunas usando as operações elementares para obter zero em todos os elementos abaixo dos pivôs Exemplos 1 Utilize o método da eliminação de Gauss para encontrar a solução dos sistemas abaixo se possível Posto e nulidade de uma matriz Definição 1 Dada uma matriz de ordem o posto da matriz é definido pelo número de linhas não nulas da matriz reduzida de A à forma escalonada por linhas Definição 2 Dada uma matriz de ordem a nulidade da matriz é dada pela diferença entre o número de colunas e o seu posto Caracterização das soluções de um sistema linear do tipo AXB Seja o sistema linear de equações e incógnitas O sistema pode ser a Possível se possui solução Neste caso Determinado quando a solução é única Neste caso Indeterminado quando há infinitas soluções Neste caso b Impossível se não possui solução Neste caso Definição 3 Considere o sistema linear indeterminado com de ordem O grau de liberdade do sistema é definido por que é o número de variáveis livres Exemplos 2 Determine todos os valores de se existe de forma que o sistema i admita apenas uma solução Exiba a solução ii admita infinitas soluções Exiba duas soluções iii não admita solução 3 Considere as matrizes e onde Determine se possível os valores de para os quais o sistema se torna i impossível ii possível e indeterminado iii possível e determinado