Exercícios Resolvidos Estatística e Probabilidade - Distribuição Normal e Aplicações

9 Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos D1 e D2 tenham distribuições N42 36 e N45 9 respectivamente Se o aparelho é para ser usado por período de 45 horas qual aparelho deve ser escolhido E se for por um período de 49 horas qual o aparelho devo escolher 10 A variável aleatória contínua Xs que mede a glicemia basal em indivíduos com boa saúde tem distribuição normal Xs Nµ 80 σ2 100 Já a variável aleatória Xd que mede a glicemia dos diabéticos segue o modelo Xd Nµ 160 σ2 985 96 que também é normal Em um indivíduo ao acaso qual a probabilidade da glicemia basal ser maior que 90 e a diabete ser menor que 140 13 Uma enchedora automática de garrafas de refrigerante está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa de refrigerante seja de 1000 cm3 e o desvio padrão de 10 cm3 Podese admitir que a distribuição da variável seja normal a Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm3 b Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido está situado entre 2 desvios padrões 14 Uma empresa produz automóveis e garante a restituição da quantia paga se qualquer automóvel apresentar algum defeito grave no prazo de seis meses A empresa produz automóveis do tipo A linha de entrada e do tipo B top de linha com lucro de R 100000 e R 200000 respectivamente caso não haja restituição e com um prejuízo de R 300000 e R 800000 respectivamente se houver restituição Suponha que o tempo para a ocorrência de algum defeito grave seja em ambos os casos uma variável aleatória com distribuição normal respectivamente com médias 9 meses e 12 meses e variâncias 4 meses e 9 meses Se tivesse que planejar uma estratégia de marketing para a empresa você incentivaria as vendas dos automóveis do tipo A ou do tipo B Justifique 15 O peso bruto de latas de conserva é uma variável aleatória normal com média 1000g e desvio padrão 20g As latas tem peso médio de 100g e desvio padrão de 10g também com distribuição normal de peso a Qual a probabilidade de uma lata conter menos de 850g de peso líquido b Qual a probabilidade de uma lata conter mais de 920g de peso líquido 13 O número de petroleiros que chegam em uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma distribuição de Poisson com λ 2 As atuais instalações podem atender no máximo a 3 petroleiros por dia Se mais de 3 aportarem num dia o excesso é enviado a outro porto a Em um dia qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto b De quanto deverão ser aumentadas às instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95 dos dias c Qual o número médio de petroleiros que chegaram por dia 15 Pequenos motores elétricos são expedidos em lotes de 50 unidades Antes que uma remessa seja aprovada um inspetor escolhe 5 desses motores e os inspeciona Se nenhum dos motores inspecionados for defeituoso o lote é aprovado Se um ou mais forem verificados defeituosos todos os motores da remessa são inspecionados Suponha que existam de fato três motores defeituosos no lote Qual é a probabilidade de que a inspeção 100 seja necessária 17 Suponha que 10 dos clientes que compram a crédito em uma loja deixam de pagar regularmente suas contas prestações Se num particular dia a loja vende a crédito para 10 pessoas qual é a probabilidade de que mais de 20 delas deixem de pagar regularmente as contas Suponha que as 10 pessoas que fizeram crediário nesse dia correspondam a uma amostra aleatória de clientes potenciais desta loja 19 Suponha que o número de falhas em certo tipo de placa plástica tenha distribuição de Poisson com taxa média de 005 defeito por m2 Na construção de um barco é necessário cobrir uma superfície de 3m x 2m com essa placa a Qual é a probabilidade de que não haja falhas nessa superfície b Qual é a probabilidade de que haja mais que uma falha nessa superfície c Na construção de 5 barcos qual é a probabilidade de que pelo menos 4 não apresentem defeito na superfície plástica 20 Na produção de rolhas de cortiça não é possível garantir qualidade homogênea devido às variações internas das placas de cortiça Em função disso um equipamento separa as rolhas que saem da linha de produção em duas categorias A e B Os dados históricos mostram que 40 são classificadas como A e 60 como B O fabricante vende por R 10000 o milhar de rolhas da categoria A e por R 6000 o milhar da categoria B Um comprador propõe comprar a produção diária da fábrica Ele fará um plano de amostragem extraindo 8 rolhas aleatoriamente Se encontrar mais que 5 rolhas da categoria A ele paga R 20000 caso contrário ele paga R 5000 Pedese a Qual é a probabilidade do comprador encontrar mais de 5 rolhas da classe A b Qual é o lucro esperado do fabricante por milhar de rolhas vendidas se ele aceitar a proposta do comprador Em termos de lucro esperado a proposta do comprador é mais vantajosa do que a venda separada por categoria c Qual é a variância do lucro do fabricante por milhar de rolhas vendidas se ele aceitar a proposta do comprador Primeira parte 13 𝜆 2 a Petroleiros serão enviados para outro porto se chegarem mais de 3 no dia 𝑃𝑋 3 1 𝑃𝑋 3 1 𝑃𝑋 0 𝑃𝑋 1 𝑃𝑋 2 𝑃𝑋 3 1 𝑒2 20 0 𝑒2 21 1 𝑒2 22 2 𝑒2 23 3 1 01353 02707 02707 01804 1 08571 01429 b Temos que encontrar n tal que 𝑃𝑋 𝑛 095 𝑃𝑋 4 𝑃𝑋 3 𝑃𝑋 4 08571 𝑒2 24 4 09473 𝑃𝑋 5 09473 𝑒2 25 5 09473 00361 09834 Portanto para que a exigência seja cumprida as instalações devem ser ampliadas para poder receber 5 petroleiros c 𝜇 𝐸𝑋 𝜇 𝜆 𝜇 2 petroleirosdia 15 O número de motores inspecionados defeituosos segue distribuição hipergeométrica com parâmetros 𝑁 50 𝑛 5 𝐾 3 A inspeção 100 será necessária se k0 𝑃𝑋 0 1 𝑃𝑋 0 1 5 0 50 3 5 0 50 5 1 5 0 5 47 5 42 50 5 45 1 4745 4250 1 45 44 43 50 49 48 1 07240 02760 17 O número de pessoas que deixam de pagar as prestações dentro da amostra segue distribuição binomial com parâmetros 𝑝 01 𝑛 10 20 𝑑𝑒 10 2 𝑃𝑋 2 1 𝑃𝑋 0 𝑃𝑋 1 𝑃𝑋 2 1 10 0 10 010 0910 10 1 9 011 099 10 2 8 012 098 1 03487 03874 01937 1 09298 00702 19 𝜆 005𝑚2 3𝑚𝑥2𝑚 6𝑚2 𝜆 005 6 03 a 𝑃𝑋 0 𝑒03 030 0 07408 b 𝑃𝑋 1 1 𝑃𝑋 0 𝑃𝑋 1 1 07408 𝑒03 031 1 1 07408 02222 1 09630 00370 c O número de barcos dentre os cinco que não apresentam problemas segue distribuição binomial 𝑝 07408 𝑛 5 𝑃𝑋 4 𝑃𝑋 4 𝑃𝑋 5 5 4 1 074084 025921 5 50 074085 025920 03905 02231 06136 20 𝑃𝐴 04 𝑃𝐵 06 a O número de rolhas da qualidade A na amostra segue distribuição binomial 𝑝 04 𝑛 8 𝑃𝑋 5 𝑃𝑋 6 𝑃𝑋 7 𝑃𝑋 8 8 6 2 046 062 8 7 1 047 061 8 8 0 048 060 00414 00079 00007 00499 b Seja Y o lucro do vendedor caso ele aceite a proposta 𝐸𝑌 𝑃𝑋 5 200 𝑃𝑋 5 50 𝐸𝑌 00499 200 09501 50 𝐸𝑌 998 4751 𝐸𝑌 5749 A proposta do comprador não é vantajosa para o vendedor visto que o valor esperado média do lucro que ele terá é menor até do que o preço que ele vende as rolhas da categoria B c 𝑉𝑎𝑟𝑌 00499 200 57492 09501 50 57492 𝑉𝑎𝑟𝑌 101342 533 𝑉𝑎𝑟𝑌 106672 Segunda parte 9 Como ele vai ser usado por 45 e 49 horas precisamos saber a probabilidade de ele durar pelo menos esse tempo para o aparelho D1 𝜇 42 𝜎 6 𝑃𝑋 45 𝑃 𝑍 45 42 6 𝑃𝑍 05 05 𝑃0 𝑍 05 05 01915 03085 𝑃𝑋 49 𝑃 𝑍 49 42 6 𝑃𝑍 117 05 𝑃0 𝑍 117 05 03790 01210 Para o aparelho D2 𝜇 45 𝜎 3 𝑃𝑋 45 𝑃 𝑍 45 45 6 𝑃𝑍 0 05 𝑃𝑋 49 𝑃 𝑍 49 45 3 𝑃𝑍 133 05 𝑃0 𝑍 133 05 04082 00918 Assim para o uso de 45 horas é recomendado usar o aparelho D2 e para o uso de 49 horas o aparelho D2 já que nestes casos é mais provável que o mesmo continue funcionando por pelo menos estes períodos de tempo 10 X 𝜇 80 𝜎 10 𝑋𝑑 𝜇 160 𝜎 314 Essa questão ficou muuuito mal formulada mas acredito que ela peça a probabilidade de cada uma separada pois é impossível a glicemia do sujeito seguir os dois modelos depende se ele é saudável ou diabético e ele não da a chance da pessoa ser diabética então é impossível ele pedir a chance dos dois ao mesmo tempo 𝑃𝑋 90 𝑃 𝑍 90 80 10 𝑃𝑍 1 05 𝑃0 𝑍 1 05 03413 01587 𝑃𝑋𝑑 140 𝑃 𝑍 140 160 314 𝑃𝑍 064 05 𝑃0 𝑍 064 05 02389 02611 13 𝜇 1000 𝜎 10 a 𝑃𝑋 990 𝑃 𝑍 990 1000 10 𝑃𝑍 1 05 𝑃0 𝑍 1 05 03413 01587 1587 b 𝑃1000 2𝜎 𝑋 1000 2𝜎 𝑃2 𝑍 2 2𝑃0 𝑍 2 2 04772 09544 9544 14 Automóveis de entrada 𝜇 9 𝜎 2 Lucro 1000 Prejuízo em caso de restituição 3000 𝑃𝑋 6 𝑃 𝑍 6 9 2 𝑃𝑍 15 05 𝑃0 𝑍 15 05 04332 09332 Seja Y a distribuição do lucro obtido pela empresa 𝐸𝑌 09332 1000 1 09332 3000 𝐸𝑌 9332 2004 𝐸𝑌 73280 Automóveis top de linha 𝜇 12 𝜎 3 Lucro 2000 Prejuízo em caso de restituição 8000 𝑃𝑋 6 𝑃 𝑍 6 12 3 𝑃𝑍 2 05 𝑃0 𝑍 2 05 04772 09772 Seja Y a distribuição do lucro obtido pela empresa 𝐸𝑌 09772 2000 1 09772 8000 𝐸𝑌 19544 1824 𝐸𝑌 1772 Incentivaria a venda dos automóveis do tipo B pois o lucro esperado incluindo as prováveis despesas com as restituições é maior do que o esperado do automóvel do tipo A 15 Seja X o peso bruto das latas de conserva 𝐸𝑋 1000 𝑉𝑎𝑟𝑋 202 400 Y o peso das latas 𝐸𝑌 100 𝑉𝑎𝑟𝑌 102 100 Assim tomamos LXY o peso líquido da lata de conservas assim temos 𝐸𝐿 𝐸𝑋 𝑌 𝐸𝑋 𝐸𝑌 1000 100 900 𝑉𝑎𝑟𝐿 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝑌 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝑉𝑎𝑟𝑌 400 100 500 Assumindo a independência das variáveis X e Y a 𝑃𝐿 850 𝑃 𝑍 850 900 500 𝑃𝑍 224 05 𝑃0 𝑍 224 05 04875 00125 b 𝑃𝐿 920 𝑃 𝑍 920 900 500 𝑃𝑍 089 05 𝑃0 𝑍 089 05 03133 01867