Roteiro 1: Funções de Várias Variáveis Reais - Cálculo Diferencial e Integral III

UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA Profª Dra Selma Helena Marchiori Hashimoto Cálculo Diferencial e Integral III Roteiro 1 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS 1 Introdução Principal diferença entre as disciplinas de Cálculo Diferencial e integral I e II e a disciplina de Cálculo Diferencial III Cálculo Diferencial e integral I e II Estudamse funções de uma única variável ou seja 𝑓 ℝ ℝ 𝑥 𝑦 𝑓𝑥 Cálculo Diferencial III Estudamse funções de várias variáveis e campos vetoriais isto é 𝑓 ℝ𝑛 ℝ𝑚 Exemplos a Função de 𝑛 variáveis reais com valor real função escalar 𝑓 ℝ𝑛 ℝ 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑤 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 A cada ponto do domínio da função corresponde um único número real o valor da função no ponto Aplicações 𝑇𝑥 𝑦 Temperatura em um disco em função da posição Altitude em função da posição no plano Mapa topográfico Brasil altitude relevo topographicmapcom b Função vetorial de 1 variável 𝑓 ℝ ℝ𝑛 Como exemplo temos as curvas parametrizadas 𝛼 𝐼 ℝ2 𝑡 𝑥𝑡 𝑦𝑡 Em que 𝐼 ℝ e 𝑥𝑡 e 𝑦𝑡 são funções contínuas definidas em I c Função vetorial de 2 variáveis 𝑓 ℝ2 ℝ𝑛 Exemplo superfícies parametrizadas d Função vetorial de várias variáveis 𝑓 ℝ𝑚 ℝ𝑛 Exemplos campo de forças gravitacional elétrico gradiente de uma função transformações de coordenadas 2 Funções de duas variáveis Definição Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais 𝑥 𝑦 de um domínio 𝐷 um único valor real denotado por 𝑓𝑥 𝑦 O conjunto 𝐷 é chamado domínio de 𝑓 e sua imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de 𝑓 ou seja 𝑓𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝐷 Notação Se escrevermos 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 tornamos explícitos os valores tomados por 𝑓 em 𝑥 𝑦 Assim 𝑥 e 𝑦 representam as variáveis independentes e 𝑧 é a variável dependente Observação Se uma função é dada por uma fórmula e seu domínio não é especificado fica subentendido que o domínio de 𝑓 é o conjunto de todos os pares 𝑥 𝑦 para os quais a expressão dada está bem definida Não exixte divisão por zero Argumento da raiz quadrada tem de ser não negativo Argumento do logaritmo tem de ser positivo etc Exemplos 1 Qual o domínio e a imagem de 𝑓𝑥 𝑦 𝑦 1 𝑥2 2 O Volume 𝑉 de um cilindro circular é uma função do seu raio r e sua altura h 𝑉𝑟 ℎ 𝜋𝑟2ℎ Qual o domínio e a imagem de V 3 Qual o domínio e a imagem de 𝑓𝑥 𝑦 9 𝑥2 𝑦2 4 Qual o domínio e a imagem de 𝑔𝑥 𝑦 𝑥 ln𝑦2 𝑥 3 Gráficos e Curvas de Nível O gráfico e as curvas de nível são duas formas de visualizar o comportamento de uma função Definição Se f é uma função de várias variáveis com domínio 𝐷 ℝ𝑛 então o gráfico de f é o subconjunto de ℝ𝑛1 formado pelos pontos 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑥𝑛1 tal que 𝑥𝑛1 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 com 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝐷 Observações Para funções de 3 ou mais variáveis não há visualização do gráfico seria uma hipersuperfície em 4 ou mais dimensões Se f é uma função de duas variáveis com domínio D então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos 𝑥 𝑦 𝑧 em ℝ3 tais que 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 com 𝑥 𝑦 𝐷 A projeção do gráfico de uma função de duas variáveis no plano xy é o domínio da função Exemplos 1 𝑓𝑥 𝑦 𝑦 1 𝑥2 Parabolóide com eixo em Oy e vértice em 0 1 0 2 A temperatura em um ponto 𝑥 𝑦 de uma placa de metal plana é 𝑇𝑥 𝑦 9𝑥2 4𝑦2 graus a Encontre a temperatura no ponto 12 b Encontre a equação da curva ao longo da qual a temperatura tem um valor constante e igual a 36 graus c Esboce a curva do item b Uma curva ao longo da qual a função 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 tem valor constante tal como a curva ao longo da qual a temperatura do exemplo anterior se manteve com valor constante de 36 graus é denominada curva de nível ou curva e contorno da função f A equação da curva de nível ao longo da qual a função 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 assume o valor constante k é 𝑓𝑥 𝑦 𝑘 Ao considerarmos diferentes valores para a constante k obtemos um conjunto de curvas de nível Este conjunto de curvas é chamado de mapa de contorno da superfície S Aplicações Função Temperatura 𝑇𝑥 𝑦 as curvas de nível são ditas isotermas Função Potencial 𝑉𝑥 𝑦 as curvas de nível são ditas equipotenciais Observações As curvas de nível são curvas no domínio da função k deve pertencer a imagem da função caso contrário a imagem será o conjunto vazio 4 Funções de três variáveis e superfícies de nível Uma função com 3 variáveis associa a cada tripla ordenada 𝑥 𝑦 𝑧 𝐷 ℝ3 um único número real denotado por 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 Não é possível visualizar o grafico de uma função de f de três variáveis Em geral usase o conceito de superfície de nível que generaliza a noção de curva de nível Observação As curvas e as superfícies de nível são formas de se visualizar funções de várias variáveis usando representações em dimensões inferiores Exercícios 1 Descreva o domínio das seguintes funções a 𝑧 𝑥 𝑦 4 b 𝑧 5 ln𝑥𝑦 4𝑥2𝑦2 c 𝑧 2𝑦 𝑥2 𝑦2 2 Seja S a superfície definida por 𝑧 2 𝑥2 𝑦2 a Identifique a interseção de S com o plano 𝑧 𝑘 quando 𝑘 2 𝑘 2 e 𝑘 2 b Identifique as interseções de S com os planos 𝑥𝑧 e 𝑦𝑧 c Faça um esboço de S Principal referência Diomara Pinto M C Ferreira Morgado Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis Editora UFRJ Lista de Exercícios a Represente o domínio de f no plano xy e determine a imagem de f Nas figuras 37 i e ii estão representadas respectivamente curvas de nível e superfícies de nível das funções fx y e gx y z Escreva expressões adequadas para f e g Esboce o mapa de contorno e o gráfico das seguintes funções 12 a Domínio ℝ³ 000 As superfícies de nível têm equação x² y² z² 1k e portanto são esferas quando k 0 b Domínio ℝ³ xyz ℝ³ x² y² z² 1 As superfícies de nível são esferas de equação x² y² z² 1 ek k ℝ c Domínio ℝ³ As superfícies de nível têm equação x² y² z 1² k e portanto quando k 0 são hiperbóloides de uma folha quando k 0 é um cone circular de vértice em 001 e quando k 0 são hiperbóloides de duas folhas d Domínio ℝ³ As superfícies de nível têm equação x² z² e²y k e portanto são superfícies de revolução em torno do eixo y e das curvas de equação z ey quando k 0 e z k e²y quando k 0