Roteiro 5 - Derivadas Parciais e Diferenciabilidade

hs UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS U ey y FACULDADE DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGIA Gr bal Prof Dra Selma Helena Marchiori Hashimoto Calculo Diferencial e Integral III Roteiro 5 DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE continuacao Plano tangente a uma superficie Definicao Sejam z fxy definida em uma regiao aberta A do R E4 PM 0 ponto da superficie descrita por f sendo z f O plano tangente a superficie em 7 definido como o plano que contém as retas tangentes em P a todas as curvas contidas na superficie e passando por P Se existir uma curva passando por P cuja tangente nesse ponto nao esteja contida no plano o plano em questao nao tangente a superficie em P Observacao Como fazer para exibir todas as curvas que passam pelo ponto e mostrar que suas tangentes estao contidas no plano Essa definigaéo mais adequada para mostrar que o plano nao é tangente do que para o contrario Ao encontrar uma curva cuja tangente nao esteja contida no plano com certeza este nao sera o plano tangente no ponto considerado Embora na definiao de plano tangente em um ponto tal plano contenha as tangentes a todas as curvas que passam pelo ponto na disciplina Geometria Analitica vimos que basta que se conhecam duas retas distintas contidas em um plano para que esse plano fique completamente definido Dessa forma se o plano existir basta que escolhamos as retas tangentes a duas curvas e essa escolha pode recair nas retas que definem as derivadas parciais de f em x O problema que a mera existéncia dessas derivadas parciais em x nado garante que o plano tangente exista Vocé pode até encontrar a equagao de um plano que contenha as retas que definem as derivadas parciais mas nada lhe garante que esse plano é tangente a superficie Para ficar clara a ideia considere a função 2 4 2 se 00 2 0 se 00 x y x y f x y x y x y que já foi mostrado que as derivadas parciais de f em 00 existem e são nulas isto é 00 0 xf e 00 0 yf Dessa forma podemos afirmar que i 00 0 xf é a inclinação da reta tangente à curva 0 f x em 00 e como a reta tem a direção do eixo x seu vetor diretor é i 100 ii 00 0 yf é a inclinação da reta tangente à curva f 0 y em 00 e como a reta tem a direção do eixo y seu vetor diretor é j 010 Como o suposto plano tangente passa pela origem e tem como vetores diretores os versores i e j então ele é o plano horizontal z 0 Portanto achamos a equação de um plano que passa por 000 e contém as retas cujas inclinações são as derivadas parciais Mas será que esse plano é tangente à superfície na origem Será que ele contém as tangentes a todas as curvas que passam pela origem A resposta é não Veja que na figura do gráfico de f são exibidas além das curvas 0 f x e f 0 y mais duas curvas pela origem cujas tangentes não estão contidas no plano z 0 Logo pela definição o plano z 0 não é um plano tangente Sendo assim só faz sentido achar uma equação para o plano tangente se ele existir Nesse caso considerase que o plano tangente no ponto 0 0 0 x y z fica perfeitamente determinado pelas retas tangentes às curvas 0 f x y e 0 f x y cujas inclinações são respectivamente 0 0 xf x y e 0 0 yf x y y x z Plano 0 z C urva 0 f y Curva 0 f x Curva f x x Curva f x x Curva f x x Exercício Considerando a função 2 4 2 se 00 2 0 se 00 x y x y f x y x y x y mostre que a curva definida por z x f x x passa pelo ponto 000 mas 0 0 z Qual o valor de 0 z Condição para existência do plano tangente e sua equação Podese mostrar que se uma função z f x y definida em uma região aberta do plano possui derivadas parciais xf e yf nessa região e se elas são contínuas em 0 0 x y então existe o plano tangente à superfície no ponto 0 0 0 x y z Além do mais a sua equação é dada por 0 0 0 0 0 0 0 x y z z f x y x x f x y y y A demonstração da existência do plano está relacionada com a definição de diferencial de uma função de duas variáveis e não pode ser demonstrada ainda nesse momento Mas admitindo a existência do plano é fácil demonstrar que a sua equação tem a forma dada supondo é claro que o plano é determinado pelas retas que definem as derivadas parciais Isso será feito no exemplo a seguir Nas figuras a e b é possível visualizar planos tangentes a duas superfícies Note que para a figura a o plano tangente atravessa a superfície Figura a Figura b x y z y x z Supondo que o plano tangente a uma superfície no ponto 0 0 0 0 P x y z com 0 0 0 z f x y existe e que ele fica perfeitamente caracterizado pelas retas tangentes às curvas 0 z f x y e 0 z f x y é possível determinar sua equação A reta tangente à curva 0 z f x y no ponto 0 0 x y é a reta com inclinação 0 0 xf x y e assim um vetor diretor dessa reta é 1 0 0 10 x v f x y também a reta tangente à curva 0 z f x y no ponto 0 0 x y é a reta com inclinação 0 0 yf x y e um vetor diretor dessa reta é 2 0 0 01 y v f x y Para obter um vetor n normal ao plano fazemos o produto vetorial dos vetores diretores pois o produto vetorial é ortogonal a ambos Logo 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 x x y y i j k n v v f x y f x y i f x y j k f x y Agora dado um ponto qualquer X x y z do plano e considerando o ponto 0 0 0 0 P x y z temos que 0 0 0 0 P X x x y y z z e o ponto X pertencerá ao plano se 0 P X n 0 Como 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 x y P X n x x y y z z f x y f x y temos que 0 0 0 0 0 0 0 0 x y x x f x y y y f x y z z Após rearranjar os termos na última equação obtemos a equação geral do plano tangente 0 0 0 0 0 0 0 x y z z x x f x y y y f x y Exemplo Dada a função 2 f x y x y determine a equação do plano tangente à superfície descrita por f no ponto 2 1 4 Solução As derivadas parciais de f são 2 xf x y xy e 2 yf x y x que são funções contínuas e assim o plano tangente existe Como 0 0 2 1 x y temos 0 2 1 4 z f 2 1 4 xf e 2 1 4 yf Logo a equação do plano pode ser escrita como 4 2 4 14 z x y ou ainda como 4 4 8 x y z Vetor gradiente O vetor gradiente de uma funcdo e sua interpretagdo geométrica ocupam um papel importante no estudo da variagao de fungdes de duas ou mais variaveis Ele também permite uma formulagaéo mais simplificada de alguns conceitos que serao estudados mais a frente embora seu estudo esteja relacionado com o conceito de fungdes diferenciaveis assunto a ser discutido posteriormente DefinicgAo Suponha que z fxy esteja definida em uma regio aberta A do R e que as suas derivadas parciais existam e sejam continuas em A O vetor gradiente de f no ponto yA denotado por grad fxy ou Vf definido como VF 20530 AO Mi FCO MII Com relacao a definiao note que e Anotagao Vf é lida como nabla f e Vf uma fungao vetorial definidaem A que pode ser representada por VfA C R R xy 7 Vf xy fla yit frooyy Nesse contexto os elementos de A sao identificados com pontos do plano enquanto as suas imagens sAo identificadas com vetores do plano e Vf recebe a denominagao de campo vetorial gradiente Para representalo geometricamente em cada ponto do dominio colase a origem do vetor imagem e A equacao do plano tangente apresentada na secao anterior pode ser escrita em termos de Vf e nesse caso a forma tradicional da equacao do plano Z2 fo XH FF 3 V H passa a ter a forma ZZ Vf x Yo XVMs e A definicado de vetor gradiente pode ser estendida a funées de trés ou mais variaveis Por exemplo para fungoes de trés variaveis a definiao tornase VF 5020 Se Q M020 f 2I 00 Exemplo Obtenha uma expressao geral para o gradiente de fxy2xy e em seguida interprete o resultado Generalize para a fungaéo gx yaxby em que a e b sao numeros e ab 0 Note que Domf R fxy2 e fxy 1 Assim Vf xy 27 j Logo Vf um campo vetorial constante Para gxyaxtby gx ya gxy b e Vexy ai b Logo Vg sera sempre um vetor constante por qué Exercicio Para a funcao fx y42 y determine a Seu dominio b O plano tangente nos pontos 002 e 11V2 c O vetor gradiente Vf x y d Vf00 Vfd VfdD Vfl e Vf11 Represente esses vetores geometricamente Veja o campo gradiente da fungao g do exemplo anterior na figura a e compareo com o campo gradiente nao constante da funcgao fdo exercicio mostrado na figura b oa ve Oy ys Yee is Toa Ta a ALIN Oe SENS a SPN fof fg oY p Afy ox A a HEE gig oa on ha ae T ts a 7 H oft J é aa a ATF A i hee yA x Ae isan ee KA co Ss Sa Sh bn Pato KA Figura a Figura b Funções diferenciáveis e diferencial de uma função de duas variáveis Para verificar se uma função y f x de uma variável é diferenciável em um ponto 0x basta verificar a existência de 0 f x e essa é uma visão puramente técnica do conceito Apesar da equivalência das definições diferenciávelderivável o conceito de função diferenciável transcende esse aspecto técnico A ideia básica de diferenciabilidade de funções de uma variável é linearizar a função na vizinhança do ponto considerado isto é aproximar a função na vizinhança do ponto considerado pela reta tangente naquele ponto Na verdade não é a função que é linearizada no sentido matemático de função linear e sim o incremento 0 0 0 y x f x x f x Quando a função é diferenciável em 0x y é aproximado por dy e é a diferencial 0 dy f x x quem traduz fielmente o conceito de função linear linear em x A ideia de diferenciabilidade que procuramos definir para funções de duas variáveis é similar à descrita acima O conceito deve sugerir uma aproximação linear do incremento f pela diferencial df da função o que resulta em aproximar a função localmente pelo plano tangente Veja a seguir a formalização dessa ideia Definição de função diferenciável Sejam z f x y definida em uma região aberta A 0 0 x y um ponto de A e z o incremento em 0z definido por 0 0 0 0 0 0 z f x y f x x y y f x y Dizse que f é diferenciável em 0 0 x y se existirem constantes a e b e duas funções 1p e 2 p contínuas em 00 com 100 0 p e 200 0 p tais que z pode ser escrito como 1 2 z a x b y x p x y y p x y 1 Além do mais satisfeitas as condições acima a diferencial de f em 0 0 x y denotada por 0 0 dz x y é definida por 0 0 dz x y a x b y Se f for diferenciável em todos os pontos de A dizse que f é diferenciável em A O exemplo a seguir mostra como se aplica a definição Exemplo Use a definição de função diferenciável para mostrar que a função definida por 2 z f x y x y é diferenciável no ponto 2 1 e exiba sua diferencial Solução Para aplicar a definição primeiro temos de calcular 0 0 z f x y para em seguida tentar colocar z na forma da expressão 1 e exibir a b 1p e 2p conforme exigido na definição Pelos dados do problema 0 x 2 e 0 1 y e dessa forma z é dado por 2 1 2 1 2 1 z f f x y f Temos ainda que 2 2 1 2 1 4 f e 2 2 2 1 2 1 4 4 1 f x y x y x x y 2 2 4 4 4 4 y x x y x x y Substituindo f 2 1 e 2 1 f x y em z obtemos 2 2 4 4 4 4 4 z y x x y x x y ou ainda 2 2 4 4 4 z y x x y x x y Escrevendo essa última expressão no formato da expressão 1 e a seguir comparando as duas temos 2 4 4 4 z x y x y x y x onde 4 a b 4 1 p x y y x e 2 2 p x y x Além do mais as funções 1p e 2p são contínuas e satisfazem a 1 2 00 00 0 p p Portanto a função é diferenciável no ponto 2 1 e a sua diferencial nesse ponto é 2 1 4 4 dz x y Importante A definição de diferencial assegura que quando x e y estão arbitrariamente próximos de zero então a soma 1 x p x y 2 x p x y que aparece na expressão 1 tende a zero mais rapidamente do que a soma a x b y e pode ser desprezada Nesse caso a equação 1 pode ser escrita como 𝑧 𝑎𝑥 𝑏𝑦 e o segundo membro dessa expressão denotado por dz recebe o nome de diferencial da função f no ponto Assim a ideia de diferencial é fazer a aproximação de z por dz uma função linear em x e y Se você observar atentamente os exemplos anteriores notará que 4 2 1 x a f e 4 2 1 y b f E isso não é coincidência O próximo teorema garante que as constantes a e b da definição de diferencial são respectivamente as derivadas parciais da função em relação a x e a y no ponto considerado Teorema Se z f x y é diferenciável em 0 0 x y e tem diferencial dz a x b y então 0 0 xf x y e 0 0 yf x y existem e 0 0 x a f x y e 0 0 y b f x y Demonstração Como a demonstração é bastante simples provaremos somente para a igualdade relacionada com yf Lembramos antes que 0 0 0 0 0 0 0 lim y y f x y y f x y f x y y e assim o numerador que aparece no segundo membro da igualdade é o valor de z quando 0 x Nessas condições 0 0 yf x y pode ser escrita como 0 0 0 lim y y z f x y y se 0 x Por outro lado substituindo 0 x na expressão 1 obtemos 2 0 z b y y p y Dividindo os dois membros da última equação por y se 0 y obtemos 20 z b p y y Calculando o limite dessa última equação com 0 y obtemos 2 0 0 lim lim 0 y y z b p y b y pois como f é diferenciável em 0 0 x y então 2 2 0 lim 0 00 0 y p y p Logo podemos escrever 0 0 0 0 0 0 0 0 lim lim y y y f x y y f x y z b f x y y y Mostrase de forma similar que 0 0 x a f x y Com base no teorema podemos finalmente expressar a diferencial de forma mais significativa Assim se z f x y é diferenciável em 0 0 x y então a sua diferencial em 0 0 x y é dada por 0 0 0 0 0 0 x y dz x y f x y x f x y y Ao considerarmos que uma função f é diferenciável a expressão 1 que é descrita como 1 2 z a x b y x p x y y p x y pode ser escrita como 0 0 0 0 f x x y y f x y 0 0 0 0 1 2 x y f x y x f x y y x p x y y p x y e ainda desprezandose as duas últimas parcelas obtemos 0 0 0 0 0 0 0 0 x y f x x y y f x y f x y x f x y y Fazendo 0 x x x e 0 y y y na última expressão obtemos 0 0 0 0 0 0 0 0 x y f x y f x y f x y x x f x y y y e o segundo membro dessa equação é o valor de z imagem de x y no plano tangente A última expressão confirma o que se esperava do plano tangente Se z f x y é diferenciável em 0 0 x y então para pequenos incrementos em x e y o valor de f x y é aproximado pelo correspondente valor de z no plano tangente Notações para a diferencial de uma função f A diferencial de uma função f em um ponto 0 0 x y pode também ser escrita usandose qualquer uma das notações apresentadas a seguir sendo indiferente o uso de dz ou df Assim 0 0 0 0 0 0 0 0 x y df x y f x y x x f x y y y ou ainda 0 0 0 0 0 0 x y df x y f x y dx f x y dy E desde que fique claro o ponto em que a função é diferenciável escrevese simplesmente x y df f x f y ou x y df f dx f dy ou f f df dx dy x x Alguns resultados envolvendo funções diferenciáveis O teorema a seguir repete um resultado bastante conhecido para funções de uma variável Teorema Se z f x y é diferenciável em 0 0 x y então f é contínua em 0 0 x y Demonstração A demonstração é bastante simples Como f é diferenciável em 0 0 x y então a expressão 1 pode ser escrita como 0 0 0 0 1 2 f x x y y f x y a x b y x p x y y p x y onde a e b são constantes e as funções 1p e 2p são contínuas em 00 com 100 0 p e 200 0 p Isolando 0 0 f x x y y na expressão acima podemos escrever 0 0 0 0 1 2 f x x y y f x y a x b y x p x y y p x y Calculando o limite dessa última expressão quando 0 x e 0 y escrevemos 0 0 0 0 lim x y f x x y y 0 0 1 2 0 0 lim x y f x y a x b y x p x y y p x y Aplicando as condições de diferenciabilidade de f obtemos 0 0 0 0 0 0 lim x y f x x y y f x y Logo f é contínua em 0 0 x y Em relação ao teorema anterior temos dois fatos importantes a destacar A recíproca é falsa Funções contínuas podem ou não ser diferenciáveis Isso ficará claro em alguns exemplos que serão dados posteriormente A forma contrapositiva do teorema fornece um critério de não diferenciabilidade isto é se f não é contínua em 0 0 x y então f não é diferenciável em 0 0 x y Exemplo Verifique se as funções definidas abaixo são diferenciáveis na origem i 2 4 2 se 00 2 0 se 00 x y x y f x y x y x y Solução Essa função não é contínua na origem porque não existe 00 lim x y f x y Como f não é contínua na origem pelo teorema forma contrapositiva também não é diferenciável na origem Note que 0 0 f x para x 0 0 0 f y para y 0 e 4 2 4 1 3 3 x f x x x para x 0 ii 2 2 se 00 0 se 00 xy x y f x y x y x y Solução Temos que 2 2 0 0 lim 0 x y xy x y Como 00 0 f segue que f é contínua em 00 Porém note que a 0 0 f x x e portanto 0 0 f x b 0 0 f y y e portanto 0 0 f y c 2 x f x x x e portanto 1 2 f x x e 1 2 f x x Pelos itens a b e c acima f não pode ser diferenciável na origem embora seja aí contínua Observe o gráfico de f na figura a seguir e tire suas próprias conclusões x y z Importante Olhando a expressao da diferencial de uma fungdo podese pensar que a simples existéncia das derivadas parciais garante que a funcao seja diferencidvel E tendo essas derivadas parciais podese até exibir uma expressdo matematica para a diferencial Mas isso nao garante que a fungao seja diferenciavel A definigaéo de funao diferencidvel exige muito mais que isso e por enquanto ela é 0 unico recurso de que dispomos para investigar se a funcao é diferenciavel em um ponto Certamente o uso da definigao causa desconforto 4 maioria dos estudantes o que é compreensivel O processo é delicado e trabalhoso na maioria dos casos O proximo teorema apresenta um critério mais simples embora as vezes bastante trabalhoso também além do que é apenas uma condicao suficiente para garantir a diferenciabilidade de uma fungao Teorema Sejam z fxy definida em uma regiao aberta A e x um ponto de A Se f f sao continuas em x entao f é diferenciavel em A demonstraao desse teorema é um pouco mais elaborada e por esse motivo o aceitaremos sem demonstrar Se vocé tiver interesse na demonstraao podera encontrala em livros de Analise ou Calculo Avangado Se as hipdteses do teorema forem validas para todos os pontos de um conjunto A dizse que é diferenciavel em A Na pratica usase 0 teorema acima para verificar se uma fungao é diferenciavel exceto em pontos particulares em torno dos quais a fungdo é definida de forma diferente Para esses pontos aplicase a definigéo O exemplo a seguir ilustra como se aplica o teorema Exemplo Mostre sem usar a definigaéo de diferenciabilidade que a funcgao definida por z fxy 2y édiferencidvel em R e apresente sua diferencial Solugao As derivadas parciais de f sao fxy2xy e fxy x ambas funcées polinomiais e portanto continuas em R Logo f diferencidvel em R Sua diferencial é dada por df xy fx ydx fx ydy e pode ser escrita como df x y 2xydxxdy Teorema Se zx y é diferencidvel em uma regido aberta A C R e se df 0 em A entao fxy k para todo xy em Asendo k uma constante O resultado acima uma extenséo de um teorema do calculo de uma variavel que estabelece que se uma funcaéo f tem derivada nula em todos os pontos de um intervalo aberto entao f é constante no intervalo Nesse teorema é essencial a hipdtese de a fungao ser diferenciavel em um conjunto conexo Diferencial de funcdes de mais de duas variaveis O conceito de diferencial apresentado acima se estende naturalmente para fungoes de trés ou mais variaveis Por exemplo se w fx yz uma fungao diferenciavel entaéo o incremento Aw no ponto x 2 dado por Aw Af 545 AX My AY Az fH aproximado por dw df x 2 para pequenos incrementos dx dy e dz sendo dw dado por dw df x2 f yzdxt fx yzdy xy zdz Os teoremas estabelecidos para fungdes de duas variaveis com as devidas adaptacoes permanecem validos Diferencial de funcdes de vetoriais Considere a fungao vetorial YFXfX fXfX em que X XXx Note que F também pode ser representada pelo esquema FA Cc R R X Hy X27 Xn OY fx X faX fin X Como cada uma das fundes componentes da imagem da funcao uma fungao real de n variaveis a existéncia da diferencial de uma fungao vetorial pode ser estabelecida em termos da existéncia da diferencial de cada uma das funcdes componentes fi ff isto é a funcdo F tem uma diferencial em X xxx se e somente se cada uma das fungées reais f 55fy5 tiver uma diferencial em X Entao nesse caso a diferencial dF é dada por dF J p aX ondeJé uma matriz denominada matriz jacobiana avaliada em X A matriz jacobiana que também of pode ser representada por a ou FX é definida como a seguir IX J mxn RG Ox OX Ox 0 0 0 g 2 0x OX Ox Ox Dot Gn Im Gn Ox OX Ox Note que o numero de linhas da matriz jacobiana é a dimensao do contradominio da funcgao e o numero de colunas a dimensao do espaco que contém o dominio Veja a seguir alguns casos particulares da matriz jacobiana supondo que as fungoes sao diferenciaveis a fA4cRR of z L 19 a ee J 4 X x12 oy fX Ox LO Or b of fAcRR a i12 ox Of xe y fi fh ae x c oh f4 Cc R R 4 Ox OX 2 Za 1jJ 41 122 hy fit X2 fo X2 Oj Ox OX Exemplo 31 Encontre a matriz jacobiana das seguintes func6es vetoriais a Ft 3costt2sen fr b Gx y e cos y esen y