Roteiro 6: Derivadas Parciais e Diferenciabilidade - Regras da Cadeia

UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA Profª Dra Selma Helena Marchiori Hashimoto Cálculo Diferencial e Integral III Roteiro 6 DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE continuação Regras da cadeia Regras da cadeia constituem a designação genérica para as regras de derivação de funções compostas No cálculo de uma variável só existia um tipo possível de função composta e portanto uma única regra da cadeia que podia ser estendida da composição de 2 funções para a composição de n funções No caso desta disciplina existem muitas possibilidades de composição de funções Ilustraremos dois casos particulares e depois com o auxílio de matrizes tentaremos esboçar um caso geral Para fixarmos a ideia vejam como serão desdobrados os casos de composição que serão apresentados Nos esquemas que iremos apresentar por simplicidade admitiremos que os domínios e as imagens das funções envolvidas sejam os espaços inteiros ℝ ℝ2 ℝ𝑛 pois nossa preocupação em um primeiro momento é com a compatibilidade das dimensões dos domínios e imagens e não com os domínios e imagens propriamente ditos É claro que ao formar alguma composta você deve observar cuidadosamente os domínios e imagens das componentes Preocupemse também em distinguir as letras maiúsculas das minúsculas Não se preocupem com a ordem das regras elas estão ordenadas aqui apenas para organização do conteúdo Primeira regra da cadeia Consideremos inicialmente o caso de duas funções f e g 𝑓 𝐴 ℝ𝑛 ℝ e 𝑔 𝐴 ℝ ℝ𝑛 tais que a composta G f g esteja definida conforme esquema a seguir Caso geral Caso particular n2 n f g t 1 2 n x x x z G f g G f g 2 f g t x y z ℝ𝑛 ℝ ℝ ℝ2 ℝ ℝ Para o caso n 2 temos g t x t y t e z f x y A composta G f g é uma função 𝐺 ℝ ℝ definida por z G t f g t f x t y t Como a composta G é função de apenas uma variável teremos apenas uma derivada ordinária dz G t dt Assim G será derivável em 0t se g for derivável em 0t e f for diferenciável em 0 0 x t y t Nesse caso dz z dx z dy dt x dt y dt E avaliando a derivada em 0t a regra da cadeia toma a forma 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x t t t t t t y y y y dy dz z dx z G t dt x dt y dt Observe que na regra de derivada acima ora fazse uso da notação de derivada parcial ora de derivada ordinária O uso da notação de derivada parcial ocorre quando a função que está sendo derivada depende de mais de uma variável como é o caso de f ou de z f x y Por outro lado usase a notação de derivada ordinária d quando a função a ser derivada depende de apenas uma variável como é o caso de g ou de z G t Para o caso 3 n ficaríamos com o esquema seguinte em que g t x t y t z t e w f x y z A composta G continua sendo uma função 𝐺 ℝ ℝ definida por w G t f g t f x t y t z t G f g 3 f g t x y z w ℝ3 ℝ ℝ Como a composta G é função de apenas uma variável teremos apenas uma derivada ordinária dz G t dt Note que para qualquer valor de n isso sempre acontecerá Assim G será derivável em 0t se g for derivável em 0t e se f for diferenciável em 0 0 0 x t y t z t Nesse caso dw w dx w dy w dt dt x dt y dt z dt E avaliando a derivada em 0t a regra da cadeia toma a forma 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x t t y y t t y y t t y y t t z z z z z z dy dw w dx w w dz G t dt x dt y dt z dt Sobre os resultados estabelecidos observe mais ainda os seguintes fatos No caso n 2 a regra da cadeia dada por dz z dx z dy dt x dt y dt pode ser escrita como dz z z dx dy dx dy i j i j f i j dt x y dt dt dt dt ou na forma matricial como dx dz z z dt dy dt x y dt Observe que a primeira matriz do membro direito apresenta as derivadas parciais de f ou z em relação a x e a y enquanto a segunda matriz apresenta as derivadas das componentes da imagem de g em relação a t Essas matrizes são as matrizes jacobianas das funções que constituem a composta e observamos que a derivada da composta é igual ao produto dessas matrizes Exercício Escreva a regra da cadeia para o caso n 4 e expressea utilizando o vetor gradiente e também como um produto de matrizes jacobianas Exemplo Se z h x y xy 2 15 5 2 t x t e y t t determine dz dt para 1 t sem expressar z como uma função de t Solução A composição acontece da seguinte forma Primeiro t é transformado em x t y t através de uma função que podemos chamar de g e a seguir a função h transforma x y em z A composta h g transforma diretamente t em z Veja o esquema g h t x y z Então 5 1 dz z dx z dy y t x dt x dt y dt Quando 1 t obtemos 15 51 1 5 2 x e 1 1 y Assim 1 1 5 1 51 0 t dz dt Ainda com relação à primeira regra da cadeia é possível definir a composta H g f e neste caso veja como ficaria o esquema de composição para o caso n 2 A composta H agora é uma função vetorial de duas variáveis reais caso de composição que será tratado posteriormente H g f 2 f g t x y u v 2 ℝ ℝ2 2 ℝ2 Segunda regra da cadeia Consideremos agora o caso de duas funções f e g 𝑓 𝐴 ℝ𝑝 ℝ e 𝑔 𝐵 ℝ𝑛 ℝ𝑝 tais que a composta G f g esteja definida conforme esquema a seguir Caso geral Caso particular 2 n p Neste caso podemos combinar muitos valores de p e n embora a composta seja sempre uma função real de n variáveis No esquema do caso geral 1 2 n X x x x e 1 2 p U U X u X u X u X no esquema do caso particular u u x y e v v x y Para o caso 2 p n temos g x y u x y v x y e z f u v A composta G f g é uma função 𝐺 ℝ2 ℝ definida por z G x y f g x y f u x y v x y Como a composta G é função de duas variáveis teremos duas derivadas parciais de G e são elas x z G x e y z G y Assim G será derivável em 0 0 x y se g for derivável em 0 0 x y e f for diferenciável em 0 0 u v sendo 0 0 0 u u x y e 0 0 0 v v x y Nesse caso z z u z v x u x v x e z z u z v y u y v y E avaliando as derivadas em 0 0 x y a regra da cadeia toma a forma 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x u u x x u u x x y y v v y y v v y y z z u z v G x y x u x v x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y u u u u x x x x x x v v v v y y y y y y z z u z v G x y y u y v y G f g n p f g U X z G f g 2 2 f g u v x y z ℝ𝑝 ℝ𝑛 ℝ ℝ2 ℝ2 ℝ Usando notação matricial para expressar o penúltimo conjunto de equações temos u u x y z z z z v v x y u v x y Nessa última formulação o membro esquerdo representa a matriz jacobiana da composta enquanto que o membro direito representa o produto das matrizes jacobianas das suas componentes Importante Na disciplina de cálculo I funções de uma variável dada uma função composta digamos h x g f x a regra da cadeia estabelecia sob hipóteses adequadas que a derivada da composta era o produto das derivadas das componentes isto é h x g f x f x Os resultados aqui apresentados parecem bastante diferentes daqueles estabelecidos naquela disciplina exceto quando as regras da cadeia são escritas na forma matricial pois nesse caso aparece um produto de duas matrizes e se você observar bem as matrizes notará que cada uma delas envolve derivadas das componentes da composta Na verdade quando se usa a notação matricial as atuais regras da cadeia são generalizações da regra da cadeia da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I e podem ser enunciadas dizendose essencialmente que a derivada da composta é o produto das derivadas das componentes Essas ideias serão formalizadas no caso geral a seguir Regra da cadeia para funções vetoriais Seja 𝐹 𝐴 ℝ𝑛 ℝ𝑚 dada pela composta F f g onde f e g são funções tais que 𝑔 𝐴 ℝ𝑛 𝐵 ℝ𝑝 𝑓 𝐵 ℝ𝑝 ℝ𝑚 onde 𝐴 ℝ𝑛 e 𝐵 ℝ𝑝 são regiões abertas Sejam ainda U g X e Y f U Se g é diferenciável em 0 X com 0 0 g dg X J X dX e se f é diferenciável em 0 0 U g X com 0 0 f df U J U dU então F é diferenciável em 0 X e sua diferencial nesse ponto é dada por 0 0 0 f g dF X J U J X dX Além do mais a matriz jacobiana F J da composta F em 0 X é dada pelo produto F f g J J J das matrizes jacobianas das componentes isto é 0 0 0 F f g J X J U J X Desde que fique claro o ponto em que está sendo avaliada a derivada da função composta escrevese simplesmente f g dF J J dX onde F f g J J J Exemplo Descreva uma função F como a composta das funções z h x y xy onde 2 15 5 2 t x t e y t t Obtenha a derivada da composta em termos das matrizes jacobianas das suas componentes Em seguida determine o seu valor em 1 t Solução Definindo a função g como g t x t y t sendo 2 15 5 2 t x t e y t t podemos definir a composta F como F t h g t Para 1 t temos x 5 e 1 y Portanto 1 5 1 1 F f g J J J Mas F dF J dt h h h J y x x y e 5 1 g dx t dt J dy dt Assim F dx dF h h dt J dy dt x y dt e 5 1 F t dF J y x dt Logo 1 5 1 5 0 1 JF t e 0 0 dF dt