Roteiro 4: Derivadas Parciais e Diferenciabilidade em Cálculo Diferencial e Integral III

UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA Profª Dra Selma Helena Marchiori Hashimoto Cálculo Diferencial e Integral III Roteiro 4 DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE continuação Derivadas parciais de primeira ordem de funções de três ou mais variáveis Uma função w f x y z definida em uma região D aberta do ℝ3 pode apresentar três derivadas parciais de primeira ordem definidas de modo análogo às derivadas parciais de funções de duas variáveis Nesse caso as derivadas parciais são representadas por xf x y z yf x y z e zf x y z A função yf por exemplo chamada de derivada parcial de f em relação a y é obtida considerandose x e z constantes através do limite 0 lim y y f x y y z f x y z f x y z y caso o limite exista De modo análogo obtémse xf x y z considerandose y e z constantes e zf x y z considerandose x e y constantes Exercício Apresente as definições formais para as derivadas parciais xf x y z e zf x y z de uma função w f x y z de três variáveis O conceito de derivadas parciais de primeira ordem estendese a funções de mais variáveis No caso geral para uma função 1 2 n Y F x x x podem ser definidas n derivadas parciais São elas 1 F X x 2 F X x n F X x onde 1 2 n X x x x É evidente que a existência das derivadas está condicionada à existência dos limites que as definem Na prática o cálculo de quaisquer derivadas parciais é feito usandose as regras usuais de derivação e considerandose como constantes todas as variáveis exceto aquela em relação à qual está sendo considerada a derivada Exemplo Calcule todas as derivadas parciais de primeira ordem das funções dadas usando as regras usuais de derivação a cos sen 2 3 x f x y z xyz e y z x y z b 2 2 2 1 2 1 2 n n F x x x x x x Exercícios 1 Determine todas as derivadas parciais de primeira ordem das funções seguintes a 4 3 2 5 ln320 f x y z w x y z w b 2 x y z x y z g x y z e e e e 2 Determine em que pontos as derivadas parciais de primeira ordem da função definida por 2 2 2 2 3 10 f x y x xy y y se anulam 3 Seja 𝑤 𝑥2 𝑦2 𝑧2 encontre suas derivadas parciais 4 Seja 𝑤 𝑥3𝑦𝑧2 2𝑦 4 encontre suas derivadas parciais Derivadas parciais de ordem superior Derivadas parciais de ordem superior surgem em muitos problemas físicos como por exemplo em condução do calor em vibrações de corpos em movimentos de fluidos entre outros Em geral esses problemas são modelados através de equações diferencias parciais que por sua vez são expressas em termos de derivadas parciais de ordem maior que um Por exemplo a equação 2 2 2 2 2 2 2 u u u u k t x y z conhecida como equação tridimensional do calor sob certas considerações governa a distribuição de temperatura u u x y z t ao longo do tempo t em um ponto x y z qualquer de um corpo sólido A seguir você verá como se definem derivadas parciais de ordem superior Como as derivadas parciais de primeira ordem de uma função z f x y são funções de duas variáveis estendendose as definições de derivadas parciais a xf e a yf é possível obterse novas funções de x e y chamadas de derivadas parciais de segunda ordem da função f Cada uma das derivadas parciais de primeira ordem pode definir duas derivadas de segunda ordem Para xf as suas derivadas parciais em um ponto x y são Derivada parcial de xf em relação a x definida por 0 lim x x x x x f x x y f x y f x y x Derivada parcial de xf em relação a y definida por 0 lim x x x y y f x y y f x y f x y y supondo é claro que os limites existam De modo análogo definemse fy x e fy y Eliminandose os parênteses da notação as derivadas parciais de segunda ordem são denotadas por fxx fxy fy x e fy y As derivadas fxy e fy x são chamadas de derivadas parciais mistas O motivo é óbvio Na prática em geral não se usa a definição e sim as regras usuais de derivadas A definição é usada quando se deseja saber o valor da derivada em um ponto em torno do qual a função muda de definição Para obter as derivadas parciais de ordem superior a dois aplicamse sucessivamente as definições de derivadas parciais às derivadas de ordem imediatamente inferior as de terceira ordem são obtidas derivandose as derivadas de segunda ordem as de quarta ordem são obtidas derivandose as derivadas de terceira ordem e assim sucessivamente Observase no diagrama a seguir como as derivadas parciais são formadas quando se usa a notação de índices Os índices são sempre acrescentados à direita dos anteriores devese ter cuidado com a notação f x y f x y f x xx x f f x xy y f f xx x f y yx x f f y yy y f f f xx y f xy x f xy y f yx x f yx y f yy x yy y f f xxy f xyx f xyy f yxx f yxy f yyx f yyy f xxx Exemplo Calcule as derivadas parciais até terceira ordem da função 2 3 2 2 f x y x y xy x y e compare os resultados obtidos Comparando os resultados verificamos a igualdade das seguintes derivadas mistas 𝑓𝑥𝑦𝑥 𝑦 𝑓𝑦𝑥𝑥 𝑦 6𝑥𝑦2 2 𝑓𝑥𝑥𝑦𝑥 𝑦 𝑓𝑥𝑦𝑥𝑥 𝑦 𝑓𝑦𝑥𝑥𝑥 𝑦 6𝑦2 𝑓𝑥𝑦𝑦𝑥 𝑦 𝑓𝑦𝑥𝑦𝑥 𝑦 𝑓𝑦𝑦𝑥𝑥 𝑦 12𝑥𝑦 Dessa forma temos 2 derivadas de primeira ordem 3 derivadas de segunda ordem e 4 derivadas de terceira ordem Outras notações para as derivadas parciais de ordem superior Veja agora como fica a representação das derivadas de segunda ordem com outra notação As novas derivações são sempre aplicadas à esquerda da derivada de ordem imediatamente inferior 2 11 2 x xx f f f f x y x y x y x y f x y x x x x 2 12 x xy f f f f x y x y x y x y f x y y y x y x 2 21 y yx f f f f x y x y x y x y f x y x x y x y 2 22 y yy f f f f x y x y x y x y f x y y y y y y Veja a notação de mais algumas derivadas de ordem superior 2 3 211 2 yx yxx f f f f x y x y x y x y f x y x x x y x y 2 3 121 xy xyx f f f f x y x y x y x y f x y x x y x x y x 3 4 2212 2 2 yyx yyxy f f f f x y x y x y x y f x y y y x y y x y As derivadas de ordem superior que resultam da derivação em relação a diferentes variáveis independentes são chamadas de derivadas mistas Para uma função z f x y Existem 4 derivadas de segunda ordem duas não mistas fxx e fy y duas derivadas mistas fx y e fyx iguais sob certas hipóteses de continuidade Existem 8 derivadas de terceira ordem duas não mistas xxx y y y f f três derivadas xx y x yx f f e fyxx envolvendo uma derivação em relação a y e duas em relação a x todas iguais sob certas hipóteses de continuidade três derivadas xy y yxy f f e fy yx envolvendo duas derivações em relação a y e uma em relação a x todas iguais sob certas hipóteses de continuidade Veja que sob hipóteses de continuidade a serem estabelecidas no próximo teorema existem apenas três tipos distintos de derivadas de segunda ordem e quatro tipos distintos de derivadas parciais de terceira ordem Teorema igualdade de derivadas parciais mistas Seja z f x y definida em uma região aberta D do plano Oxy Se f possui derivadas contínuas até segunda ordem então xy yx f x y f x y em D Se você tiver interesse na demonstração deste teorema ela pode ser encontrada em livros de Análise ou Cálculo Avançado Exemplo Mostre a igualdade das derivadas xx y x yx f f e fyxx supondo que f possui derivadas parciais contínuas até 3ª ordem Solução É só aplicar a igualdade das derivadas mistas na seguinte sequência de cálculos 3 x xx y f f f f y x x y x x y x 2 2 2 x x x yx f f f f y x x y x y x 3 2 2 3 yxx x yx f f f f f f x x y x x y x y x x y x Como xxy xyx f f e yxx xyx f f segue a igualdade xxy xyx yxx f f f Exercício Repita o 0anterior demonstrando a igualdade do outro grupo de derivadas parciais mistas de terceira ordem isto é mostre que x y y yx y f f e fy yx são iguais sob hipóteses adequadas Um exemplo clássico de função que apresenta derivadas mistas de segunda ordem diferentes é o da função 2 2 2 2 se 00 0 se 00 xy x y x y f x y x y x y Na verdade essa função possui derivadas de segunda ordem em todos os pontos do plano mas 00 00 xy yx f f As derivadas mistas são iguais se x y 00 Observação Os conceitos estudados aqui aplicamse para funções de três ou mais variáveis Exemplos Para as funções a seguir determine as derivadas parciais indicadas suponha que as funções f e g têm derivadas de todas as ordens a x h x y ye xf y g y todas as derivadas parciais até terceira ordem Vemos que as derivadas mistas de segunda ordem são iguais Pelo fato de x e f e suas derivadas serem contínuas as derivadas mistas serão iguais e só teremos de calcular quatro derivadas de terceira ordem b xy xy u x y e f x yg x e uxy y x y z Exercício Se xyz f x y z e determine fxzx x y z fxz y x y z e fxzz x y z