Roteiro 2: Limites de Funções de Várias Variáveis Reais

us UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS aa FACULDADE DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGIA ob he Prof Dra Selma Helena Marchiori Hashimoto Calculo Diferencial e Integral III Roteiro 2 LIMITES DE FUNCOES DE VARIAS VARIAVEIS REAIS 1 Nocdes Topologicas Distancia entre dois pontos Dados dois pontos x e y pertences a R tais que x X1X2Xne VY 1V2n Chamase distancia de x a y Ax y V 1 V1 2 2 Kn Yn Bola Aberta BPo1 Dados Py Xo Yo R e um numero positivo r a bola aberta BPp1r de centro em Pp e raio r é definida como o conjunto de todos os pontos P xy R cuja distancia até Py é menor que isto é pelos pontos P x y que satisfazem P Po 1 ou seja BPo7 By Xo Yo xy R Xo VY Yo 7 Geometricamente BPp7r é 0 conjunto de todos os pontos internos a circunferéncia de centro em Pp raio r y é P y beste 0 v Aes a sg 4 Xo x Em R3 a bola aberta de centro em Py Xo Vo Zo R raio r é dada por BPo1 Br Xo Yo Z0 492 RV x Xo y Yo 2 20 T E geometricamente representa 0 conjunto dos pontos internos a esfera de centro em Pp e raio r z 2b P K Me is a f x Ponto Interior Seja 4 um conjunto de pontos do R ou R Dizemos que um ponto P A é um ponto interior de A se existir uma bola aberta centrada em P contida em A Se todos os pontos P A sao pontos interiores de A dizemos que A é aberto y z ua ea feet Cs ee ee ge Re al ft ene ge ae 1 a be S a oe ee Pe pacts Gtr dane en se Pose sence a ae eee eo Va ee oe need Pug ane pei Rey Coe seers ee P er Se a Ue ee ore meu bee eo ae Seek or ae SE 6 me PNM ho ticd yee 3 oate ee a es 2 eae aie Co ey x Sco Um conjunto aberto no plano ou no espaco sera denominado dominio Exemplos e Em R 0 conjunto dos pontos interiores a uma curva fechada simples é um conjunto aberto e Oconjunto dos pontos interiores de um paralelepipedo de uma esfera ou de um elipsdide sao conjuntos abertos em R3 e IR e R sao conjuntos abertos Pontos de Fronteira Seja A C R um ponto P R é dito um ponto de fronteira de A se toda bola aberta centrada em P contiver pontos de A e pontos que nao estéo em A O conjunto de todos os pontos de fronteira do conjunto A é chamado fronteira de A Se todos os pontos da fronteira de A pertencem a A dizemos que A é fechado Um conjunto A se diz aberto se nao contém qualquer ponto de sua fronteira e fechado se contém toda a fronteira Exemplo Seja Pp 00 er 1 Obtenha BPp1r e a represente geometricamente de modo que a BPo1r seja fechado b BPo7 seja aberto c BPo1r represente somente os pontos da fronteira Uma regiao é limitada se estiver dentro de uma bola aberta BPpr de raio r fixo caso contrario é nao limitada Dessa forma temos e Uma regiao no plano é limitada se estiver dentro de uma circunferéncia de raio r fixo e Uma regiao no espago é limitada se estiver dentro de uma esfera de raio r fixo Exemplos 1 de conjuntos limitados no plano segmentos de reta triangulos retangulos circunferéncias 2 de conjuntos nao limitados no plano retas graficos de fungdes definidas em intervalos infinitos semiplanos o proprio plano 2 Limite e Continuidade Um ponto variavel x no eixo coordenado pode se aproximar de um ponto fixo X9 de dois modos a esquerda de xg ou a direita de x Um ponto variavel x y no plano coordenado pode se aproximar de um ponto fixo 9 Yo por um numero infinito de caminhos Y y Y Y ee a e Yo ahig Yo or sd 9 1 ba ed i x 1 x x x Ko Xo Xo Xo Diremos que P xy se aproxima de Poo Yo se a distancia entre eles tende a zero independentemente do percurso feito por x y onde a distancia entre xy e g Yo dada por aP Po II Xo Voll V X0 YVo Recordemos que para fungdes fde uma variavel real podemos falar do limite de fx quando x tende a x9 mesmo quando f nao esta definida em x9 E necessario apenas que f esteja definida em intervalos abertos da forma Xp TXX ou Xp XX7r Analogamente para definir 0 limite de uma funcdo fxy de duas variaveis reais quando xy tende a um ponto fixo 9 Yo nao é necessario que fxy esteja definida em Xp Vo Exigimos apenas que Xg Yo seja um ponto de acumulacao do dominio de f isto que cada bola aberta de centro em Xo Yo e raio r 0 denotada por BPp7 contenha pelo menos um ponto de D distinto de Pp Xo o em que BPo7 By Xo Yo xy R Xo VY Yo 7 Agora podemos enunciar a definicao de limites para fungées reais de duas variaveis Definicdo Sejam z fxy uma funcdo real de duas varidveis definida em D C R e Xo Yo um ponto de acumulacéo de D Dizemos que o limite de fxy quando xy tende a 9 Yo 0 numero L e escrevemos lim xYL Coy HB yoy 6 y z tte L me me Hoy fede LEO ah fe e BP a ee sal oad Skt or get i i Y v Tae Wea KS 5 SS SK SS 4 F s Yo Isto significa que para cada 0 existe um 6 0 tal que para todo xy Dr que esta em BPp1r temse f x y L e lim xyL 0 iy y1016 Intuitivamente dizemos que uma funcao fx y se aproxima de LZ quando x y se aproxima de X9o Ou seja se é possivel tornar fx y arbitrariamente proximo de L desde que tomemos xy Dr suficientemente proximo de Xo Yo com xy Xo Yo A definicgao anterior pode ser estendida as fungées de trés variaveis Para isso BPo 1 ByXo Yo Z0 Z Ry x Xo Y Yo Z 20 7 E lim fyz L x9ZX0VoZ0 Significa que lim xyz L 0 Ioy2 zoyoo y 2 Podese mostrar através de argumentos semelhantes que todas as propriedades de limites de fundes de uma variavel se estendem as funcgées de varias variaveis Por exemplo o limite da soma diferenca produto ou quociente a soma diferenca produto ou quociente dos limites respectivamente contanto que esses limites existam e os denominadores nao se anulem Exemplos 1 Calcule 3 2 lim 22 yr y12 xty x22 2 Seja fa funcao definida por fxy ay a Calcule o limite de fx y quando x y tende a 00 ao longo de cada um dos seguintes caminhos i eixo dos x 11 eixo dos y iii da reta y x b Existe lim4 00 f y Em caso afirmativo qual o seu valor 2 3 Seja fa fungao definida por fxy ai a Calcule o limite de fx y quando x y tende a 00 ao longo da reta y mx b Calcule o limite de fx y quando x y tende a 00 ao longo da parabola y x c Existe limcy 00 f xy axty 4 Seja fxy 3x243y2 a Calcule o limite de fxy quando x y tende a 00 ao longo i de cada reta que passa pela origem e ii da parabola y x b Existe limgy500 f y Em caso afirmativo qual 0 seu valor Observacao Quando o limite é o mesmo ao longo dos caminhos testados nasce a suspeita de que o limite existe Para se confirmar devese usar a definicao lm fxy L se Ve0 350 fQyLlesq Vx x0 V yo 6 4y0o Definicaéo Sejam fuma funao real de duas variaveis e Xp Yo um ponto do dominio de f Dizemos que fé continua em Xo Yo se lim fy fo Yo x X0Yo Se fé uma fungao de trés variaveis fé continua em Xo Yo Zo Se lim fx y Z f Xo Yo Zo 920Vo2Z0 Dizemos que fé continua em D se fé continua em todos os pontos de D Exemplo Seja fa funcao definida por fay pore se xy1 xy y 0 se xy1 Mostre que a fécontinua nos pontos Xo Vo IR tais que x6 yé 1 b fé descontinua nos pontos Xo Yo R tais que x6 yé 1 z C if9 SSB waagaggy OAH AK CW KS Qe KK KW CG GGG MGA A A W 2 x Exercicios 1 Mostre pela definicao que lim 3x2y7 y 12 y Desigualdade triangular x y x x p x y x 4 2xp ySx74 2xy y Demonstragao Sx2aylyl lel 131 Ix y SxyI 2 Mostre pela definicao que 2xy lim 0 y00 x2y Proposiao Se lime ysyf 9 gXoo uma fungao limitada numa bola aberta de centro em Xo Yq entao lim fygy 0 y0o Exemplo Calcular 0 exercicio anterior usando a proposicao Principal referéncia Diomara Pinto M C Ferreira Morgado Calculo Diferencial e Integral de Fungdes de Varias Varidveis Editora UFRJ