Números Complexos na Engenharia - Introdução e Operações Básicas

Métodos Matemáticos para Engenharia UFGD Aula 1 Introdução aos números complexos Tópicos Números complexos 1 Introdução e Definição 2 Operações Básicas 3 Exemplos 4 Plano de ArgandGauss e Representação trigonométrica 5 Exemplos 1 Introdução e Definição Considere a seguinte equação quadrática x² 1 0 1 A solução da equação 1 pode ser obtida usando a fórmula de Bhaskara x b b² 4ac 2a 2 Considerando na equação 1 a 1 b 0 e c 1 substituindo estes valores na equação 2 obtémse x 0 0² 411 21 4 2 3 A solução da equação 3 não pode ser obtida no corpo dos números reais ℝ pois não existe raiz quadrada de um número negativo assim x ℝ leiase não existe x pertencente aos reais tal que x² 1 A solução da equação 1 é obtida utilizando o conjunto dos números complexos ℂ isto é x 4 2 41 2 41 2 21 2 1 4 O número não real 1 é denominado unidade imaginária e é denotado por i porém neste curso o símbolo usado será j pois nos cursos de engenharia i é comumente usado para denotar a corrente elétrica Assim a solução para a equação 1 x² 1 0 só é possível para um número x ℂ com x j ou x i j² 1 i² 1 Um numero complexo z ℂ é defenido por z a bj 5 2 com a b R sendo a a parte real de z a Rez e b a parte imaginaria de z b Imz A equacao 5 e chamada forma algebrica de um numero complexo Observacao A parte imaginaria nao inclui j Somente o numero real b A parte ima ginaria e o numero real que acompanha a unidade imaginaria j Com relacao a unidade imaginaria j 1 j2 jj 1 j3 j2j1 j j4 j2j2 1 j5 j4j1 j j6 j3j3 1 Considere z1 z2 e z3 trˆes numeros complexos Sao validas as seguintes propriedades i Comutatividade z1 z2 z2 z1 z1z2 z2z1 ii Associatividade z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1z2z3 z1z2z3 iii Distributividade z1z2 z3 z1z2 z1z3 iv Existˆencia do zero 0 C 0 0 0j de modo que 0 z1 z1 z1 C v Existˆencia da unidade 1 C 1 1 0j de modo que 1z1 z1 z1 C vi Existˆencia do inverso aditivo Dado z a bj C w a bj C de modo que z w 0 vii Existˆencia do inverso multiplicativo Dado z C w C de modo que zw 1 isto e w z1 1 z 3 Um conjunto numerico que satisfaz todas as propriedades listadas acima recebe o nome de corpo Assim o conjunto dos numeros complexos pode ser referido como corpo dos numeros complexos 2 Operacoes Basicas Considere os numeros z1 a bj e z2 c dj z1z2 C e a b c d R i Adicao z1 z2 a bj c dj a c b dj Observe que na soma de dois numeros complexos somase parte real com parte real e parte imaginaria com parte imaginaria ii Subtracao z1 z2 a bj c dj a c b dj Observe que na subtracao de dois numeros complexos subtraise parte real com parte real e parte imaginaria com parte imaginaria iii Multiplicacao z1z2 a bjc dj ac adj cbj bdj2 ac ad bcj bd ac bd ad bcj No produto de dois numeros complexos e utilizado a propriedade distributiva e a relacao j2 1 iv Divisao Antes de definir a divisao e necessario introduzir o conceito de conjugado de um numero complexo Seja z a bj o conjugado de z representado por z e definido por z a bj O sinal da parte imaginaria e invertido z1 z2 z1 z2 1 z1 z2 z2 z2 z1 z2 a bj c dj c dj c dj z1 z2 ac adj bcj bdj2 c2 cdj cdj dj2 z1 z2 ac bd bc adj c2 d2 z1 z2 ac bd c2 d2 bc adj c2 d2 Multiplicase o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador aplicase a propriedade distributiva e a relação j² 1 Mais adiante as operações de multiplicação e divisão de números complexos utilizando uma representação trigonométrica serão apresentadas assim como as operações de potenciação e radiciação 3 Exemplos 1 Dados z 1 2j e w 3 5j Calcule a z w z w 1 2j 3 5j 1 3 2 5j 4 7j b w z w z 3 5j 1 2j 3 1 5 2j 2 3j c zw zw 1 2j3 5j 3 5j 6j 10j² 3 11j 10 7 11j d 2z 3w 2z 3w 21 2j 33 5j 2 4j 9 15j 11 19j e wz wz 3 5j 1 2j 3 5j1 2j 1 2j1 2j 3 6j 5j 10j² 1 2j 2j 2j² 13 j 3 2 Calcule as raízes da seguintes equações quadráticas a z² 6z 10 0 z₁₂ 6 6² 4110 21 6 4 2 6 2j 2 3 j Assim as raízes da equação z² 6z 10 0 são z₁ 3 j e z₂ 3 j b w² w 25 0 w₁₂ 1 1² 4125 21 1 9 2 1 3j 2 12 3j2 Assim as raízes da equação w² w 25 0 são w₁ 12 3j2 e w₂ 12 3j2 Um exercício interessante é substituir os valores obtidos nas equações para conferir os resultados 4 Plano de ArgandGauss e Representação Trigonométrica O número complexo z a bj ab ℝ pode ser representado em um plano cartesiano em que o eixo das abscissas contenha a sua parte real Rez a e o eixo das ordenadas contenha sua parte imaginária Imz b Este plano é conhecido como plano complexo ou plano de ArgandGauss Figura 1 A distância do número z até a origem Figura 1 Plano de ArgandGauss do plano complexo 00 é denominada norma ou módulo de z denotado por z e é definido como z a 0² b 0² a² b² 0 6 Também z zž a bja bj a² b² 0 O número θ em radianos definido entre o eixo real e z Figura 2 é chamado de Figura 2 Angulo e argumento de z argumento de z podendo ser obtido por cosθ a z senθ b z 7 tgθ ba 8 Como a zcosθ e b zsenθ podemos reescrever a z a bj como z a bj zcosθ zsenθj z zcosθ jsenθ 9 A equação 9 é conhecida como representação polar ou trigonométrica de um número complexo 5 Exemplos Obtenha a representação trigonométrica dos seguintes números complexos i z 1 j Inicialmente calculase a norma de z z usando a equação 6 z 1² 1² 2 Utilizando a equação 8 obtémse o argumento de z cosθ 12 12 22 22 senθ 12 12 22 22 O número θ cujo seno e cosseno são iguais a 22 é θ π4 Assim o número z 1 j pode ser escrito na forma polar como z 22 cosπ4 j 22 senπ4 22 cosπ4 j senπ4 ii z 1 j A norma de z z é calculada como z 1² 1² 2 Para obter o angulo θ entre o eixo X e a norma de z utilizase a equação 8 cosθ 12 12 22 22 senθ 12 12 22 22 Assim o número θ cujo seno vale 22 e cujo cosseno vale 22 é θ 3π2 O número z 1 j se escreve na forma trigonométrica como z 22 cos3π2 j 22 sen3π2 22 cos3π2 j sen3π2 iii z 3 A norma de z 3 0j z é z 3² 0² 9 3 O angulo θ é obtido como cosθ 33 1 senθ 03 0 O angulo θ que satisfaz as condições de cosθ 1 e senθ 0 é θ 2π ou θ 0 Assim z se escreve como na forma trigonométrica como z 3cos2π j sen2π iv z 4 3j Fica como exercício z 5cos π5 jsen π5 Um exercício interessante é localizar os números complexos do exemplo anterior no plano de ArgandGauss