Solução de Equações Diferenciais via Transformada de Laplace - Métodos Matemáticos para Engenharia

Métodos Matemáticos para Engenharia UFGD Aula 8 Solução de Equações Diferenciais Tópicos Solução de Equações Diferenciais 1 Definição 2 Teoremas da diferenciação real 3 Exemplos 1 Definição Nesta aula a solução de equações diferenciais de segunda ordem é obtida através do uso das transformadas de Laplace Inicialmente dois teoremas serão apresentados para obter a transformada de Laplace das derivadas de uma função 2 Teoremas da diferenciação real Teorema 1 Seja ft uma função Se dftdt for a primeira derivada da função ft então a transformada de Laplace de dftdt é dada por L dftdt sFs f0 1 Para provar o teorema acima considere a definição da transformada de Laplace de ft Fs Lft ₀ ftestdt Integrando por partes ₀ ftestdt ftests ₀ ₀ dftdt ests dt Fs f0s 1s ₀ dftdt est dt como ₀ dftdt est dt L dftdt então Fs f0s 1s L dftdt Assim a transformada de Laplace da primeira derivada de ft é dada por L dftdt sFs f0 Teorema 2 Seja ft uma função Se d2ftdt2 for a segunda derivada da função ft então a transformada de Laplace de d2ftdt2 é dada por L d2ftdt2 s2 Fs sf0 f0 2 Para provar o teorema 2 considere a seguinte mudança de variável dftdt gt 3 então derivando gt d2ftdt2 dgtdt Aplicando a transformada de Laplace na equação acima L d2 ftdt2 L dgtdt Pelo teorema 1 L dgtdt sLgt g0 Substituindo a equação 3 Lgt g0 L dftdt f0 L d2 ftdt2 sL dftdt f0 ssFs f0 f0 Assim a transformada de Laplace da segunda derivada de ft é dada por L d2 ftdt2 s2 Fs sf0 f0 Para a nésima derivada da função ft a transformada de Laplace é dada por L dn ftdtn sn Fs sn1 f0 sn2 f0 sfn1 0 fn1 0 3 Exemplos Obtenha a solução das seguintes equações diferenciais com as condições de contorno dada 1 y 3y 2y 0 y0 2 y0 1 Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial acima Ly 3y 2y 0 Ly 3Ly 2Ly L0 Utilizando os teoremas 1 e 2 Ly sYs y0 Ly s2 Ys sy0 y0 Substituindo na equação diferencial s2 Ys sy0 y0 3sYs y0 2Ys 0 Substituindo as condições iniciais s2 Ys 2s 1 3sYs 2 2Ys 0 s2 Ys 2s 1 3sYs 6 2Ys 0 s2 Ys 3sYs 2Ys 2s 7 Colocando em evidência a função Ys no lado direito da equação s2 3s 2 Ys 2s 7 Ys 2s 7 s2 3s 2 O denominador de Ys tem como raízes p₁ 1 e p₂ 2 Assim reescrevese o denominador como Ys 2s 7 s 1s 2 Aplicando a técnica de frações parciais Ys 2s 7 s 1s 2 a₁ s 1 a₂ s 2 Os valores das contantes são a₁ 5 e a₂ 3 Assim Ys 2s 7 s 1s 2 5 s 1 3 s 2 Aplicando a transformada inversa de Laplace a função yt solução da equação diferencial é encontrada com a ajuda das tabelas dos pares de transformadas yt L¹Ys 5L¹ 1 s 1 3L¹ 1 s 2 yt 5et 3e2t t 0 2 y 9y 0 y0 0 y0 3 Aplicando a transformada de Laplace Ly 9y 0 Ly 9Ly L0 Utilizando o teorema 2 s2Ys sy0 y0 9Ys 0 Aplicando as condições de contorno s2Ys s0 3 9Ys 0 s2 9Ys 3 Ys 3s2 9 3s2 32 Com o uso das tabelas de transformadas número 10 a solução da equação diferencial é yt L1Ys L1 3s2 32 yt sen3t t 0 3 y 2y 5y 0 y0 1 y0 1 Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial acima Ly 2y 5y 0 Ly 2Ly 5Ly L0 Utilizando os teoremas 1 e 2 s2Ys sy0 y0 2sYs y0 5Ys 0 Aplicando as condições iniciais s2Ys s1 1 2sYs 1 5Ys 0 s2Ys 2sYs 5Ys s 3 s2 2s 5Ys s 3 Ys s 3s2 2s 5 O polinômio Ys é manipulado para satisfazer os pares de transformadaa números 20 e 21 ou seja Ys s 1 2s2 2s 1 4 Ys s 1 2s 12 22 Separando em duas frações Ys s 1s 12 22 2s 12 22 Aplicando a transformada inversa em cada uma das parcelas a solução da equação diferencial é obtida yt L1Ys L1 s 1s 12 22 L1 2s 12 22 yt et cos2t et sen2t t 0 Nas tabelas abaixo é apresentada as transformadas de Laplace para diversas funções importantes 6 Figura 1 Principais funcoes e suas transformadas de Laplace 7 Figura 2 Principais funcoes e suas transformadas de Laplace