Lista de Exercícios sobre Interações Atômicas e Moleculares - Questões e Discussões

Interacoes Atˆomicas e Moleculares Lista 3 Espectros e modelos atˆomicos 1 Questoes a Discuta qualitativamente como e por que aparece a quantizacao de energia para o caso de um poco quadrado infinito unidimensional Resposta Ao calcular os estados possıveis do eletron no poco deve mos impor as condicoes de contorno Nesse caso a funcao de onda deve ser nula nas paredes do poco e em toda regiao fora do poco pois o eletron sempre esta confinado no poco Ao impor esta condicao de confinamento verificamos que as energias associadas para cada es tado sao dadas por En n2 h2π2 2mL2 onde m e a massa da partıcula e L e a largura do poco que sao valores discretos de energia Nota Ao resolver as equacoes chegamos em relacoes de senos e cos senos iguais a constantes Para tais relacoes serem verdadeira somente alguns ˆangulos e seus multiplos sao validos Como esses ˆangulos de pendem da energia chegamos a equacao anterior para energia b Ao analisarmos a solucao para o poco quadrado finito observamos que existe uma probabilidade nao nula de encontrarmos um eletron com energia menor do que Vo fora do poco Esse fato nao tem analogo classico pois implicaria dizermos que aparentemente o eletron tem energia cinetica negativa Como isso pode ser explicado no caso da Mecˆanica Quˆantica Resposta Devido ao princıpio da incerteza de Heisemberg para ter mos certeza de que a partıcula esta fora da caixa x deve ser sufici entemente pequeno Assim crescem os valores de p e consequen temente de Ecin de forma que nao temos certeza para afirmar que Ecin 0 2 Problemas a 1 10 08 06 04 02 02 04 06 08 10 Figura 1 Grafico da Px considerando L 1 para a regiao de x 0 até x 1 b Uma particula esta confinada numa regiao unidimensional por duas barreiras de potencial localizadas em x 0 e x L Em comparacao com a energia da particula as barreiras de potencial sAo tao grandes que podem ser tomadas como infinitas Considere também que a particula encontrase num estado cuja fungdo de onda normalizada é 2 Xx 3sen paraQxL ia Vv Be 8 0 parax OouL x i Escreva a fungao distribuicgao de probabilidade Px para a particula Resposta A funcdo de distribuigao de probabilidade é dada pelo modulo ao quadrado da funao de onda para cada regiao ou seja Px wx P Fsen 27 para0 x L Px wx 0 parax OouLx ii Esboce o grafico de Px e indique as posig6es ao redor das quais seria menos provavel encontrar a particula Resposta Observando o grafico acima vemos que o menor valor de proba bilidade no grafico ocorre quando Px 0 Assim os posigao nas quais terfamos a menor probabilidade de encontrar a particula seriam em torno dos pontos x 0x L2exL iii Qual é a probabilidade de se encontrar a particula no intervalo 0 x L2 Sua resposta pode ser justificada com base no grafico pedido no item anterior ou por meio de um calculo direto 2 Resposta Observando o grafico da funcgdo acima e a sua simetria em torno do ponto x L2 vemos imediatamente que P0L2 12 pois a area de 0 até x L2 vale 12 O mesmo resultado é obtido por meio de integragao direta L29 sen 27x dx Le 0 L L 2 c Considere um elétron aprisionado em um pogo de potencial unidimen sional infinito com largura de L 300 pm Qual é a probabilidade para que se possa detectar o elétron no primeiro estado excitado na regiao entre x 05Lex075L Resposta Para determinar a probabilidade devemos calcular 075L on P05L075L sen dx 0sL L L Usando 0 fato de que cos 5 COS 26 o resultado é imediato e a probabilidade vale i d Um féton com comprimento de onda A 880 um é absorvido por um elétron confinado em um poco infinito Como resultado o elétron passa do estado n 1 paran 4 i Encontre a largura do poco Resposta Sabemos que a energia para um estado ligado do poco infinito é dado por E ne Assim 15h he 1507A AvaFyE 7 OM L 20 IN 8mt2 8mhc mm ii Qual é 0 comprimento de onda do féton emitido na transiao da quele elétron do estado n 4 para n 2 Resposta Sabendo a largura do poco resultado do item i temos que EL 0941 meV e Aqo 12F 113 meV logo A x5 110mm e Um elétron esta confinado em um poco de potencial finito com largura de 10 x 10 me altura do potencial de 20 eV Existe um estado ligado correspondente a n 3 para este caso Justifique a sua res postaDica considere que a energia de um estado n para uma caixa infinita é sempre menor que a energia do estado de mesmo n para uma caixa finita de mesma largura 3 Resposta Podemos usar o fato de que as energias para os estados de um poco finito sao maiores do que para um poco finito de mesma largura Assim basta verificarmos se e verdadeira a condicao E3 32 h2π2 2mL2 20 eV Usando os valores dados no problema vemos que E3 339 eV e portanto nao existe um estado ligado correspondente a n 3 neste poco pois a energia associada a este estado e maior do que a energia de pontencial altura do poco 4