Algebra Linear Notas de Aula UFABC - Espaços Vetoriais Produtos Escalares e Transformações Lineares

Álgebra Linear Notas de aula Versão de 5 de Junho de 2022 Pedro Lauridsen Ribeiro1 Centro de Matemática Computação e Cognição CMCC Universidade Federal do ABC UFABC 1Email pedroribeiroufabcedubr Conteúdo Notação Convenções e Roteiro iv I Espaços vetoriais 1 1 Motivação 1 2 Defnição e exemplos 7 21 Axiomas de um espaço vetorial 8 22 Exemplos 11 23 Subespaços vetoriais 14 3 Independência linear 18 31 Prelúdio somatória num espaço vetorial 18 32 Combinações lineares e independência linear 19 33 Bases e dimensão 21 II Produtos escalares 29 1 Defnição e exemplos 29 11 O produto escalar canônico de ℝn 29 12 Axiomas do produto escalar 29 2 Ortogonalidade e ortonormalidade 30 3 Geometria do produto escalar 31 31 Normas e ângulos 31 32 Projeções ortogonais 34 33 Ortonormalização de GramSchmidt 36 III Transformações lineares 39 1 Defnição e exemplos 39 2 Espaços vetoriais e produto de transformações lineares 41 3 A matriz de uma transformação linear 43 31 Valores de uma transformação linear numa base 43 32 Multiplicação de matrizes 44 33 Mudança de base 48 4 O Teorema do Núcleo e da Imagem 49 5 Pseudoinversas 53 IV Sistemas lineares 55 V Determinantes autovalores e autovetores 57 1 Determinantes 57 2 Autovalores e autovetores 57 i 3 Decomposição em valores singulares 57 Bibliografa 59 ii Prefácio Estas são notas de aula para a disciplina MCTB001 Álgebra Linear ministrada no segundo quadrimestre letivo de 2022 Comentários correções sugestões e críticas dos estudantes eou leitores são bemvindas e até encorajadas Quaisquer destas podem ser enviadas com prazer ao autor pelo email pedroribeiroufabcedubr As presentes Notas serão mantidas em estado de movimento atualizações serão feitas com frequência e a última versão poderá ser encontrada na minha página Web httpspedroribeiroprofufabcedubr São Bernardo do Campo 5 de Junho de 2022 Pedro Lauridsen Ribeiro iii NOTAÇÃO CONVENÇÕES E ROTEIRO ESPAÇOS VETORIAIS 1 MOTIVAÇÃO O conceito de vetor originase em Geometria e em Física a saber quantidades como deslocamento velocidade aceleração força etc são descritas pelo ente geométrico que conhecemos como vetor Dessas quantidades talvez a noção de deslocamento seja a que expressa de maneira mais elementar o conceito de vetor portanto usarlaemos como motivação para tal conceito Veremos ao elaborar a noção de deslocamento que vetores são melhor caracterizados não tanto pela sua interpretação geométrica mas pelas operações que podemos aplicar a tais objetos Consideremos dois conjuntos nãovazios E V que serão nossa arena para uma forma rudimentar de geometria que iremos refinar de maneira gradual E espaço de pontos A B C V espaço de vetores de deslocamento x y z A noção de deslocamento de um ponto A E a outro ponto B E é fornecida abstratamente por uma função d E E A B d A B AB a chamada função deslocamento ou função translação de E que assumimos satisfazer as seguintes propriedades i unicidade do deslocamento a partir de um ponto inicial dado Dados A E x V existe um único ponto B E tal que AB x Ou seja para cada A E a função d A E B d A B AB é bijetora Denotamos esse ponto B por B A x translação ou deslocamento de A por x de modo que B A AB para A B E quaisquer Nesse caso dizemos também que A é o ponto inicial do deslocamento e B o ponto final do deslocamento Em particular se AB AC então B C ii Lei do Paralelogramo Dados A B C D A quaisquer temos que AB CD se e somente se AC BD 1 I Podemos entender tal noção de deslocamento como sendo em linha reta a discussão a seguir dará mais substância a essa interpretação Notar que a operação de translação de um ponto por um vetor só é bem definida graças a i A propriedade i nos permite identificar os conjuntos E e V mediante a escolha de um ponto arbitrário OE denominado origem através da correspondência biunívoca E A overrightarrowOA V V vecx Ovecx E De fato como vimos acima A O overrightarrowOA quad vecx overrightarrowOOvecx A propriedade ii por sua vez pode ser entendida como uma noção de paralelismo deslocamentos a partir de dois pontos iniciais dados são iguais se e somente se o deslocamento entre esses dois pontos iniciais for igual ao deslocamento entre os dois pontos finais tal como lados opostos de um mesmo paralelogramo daí o nome A noção de deslocamento nos permite definir uma operação binária em V V imes V vecxvecy vecxvecy V denominada soma vetorial A saber dados vecxvecy V e A E definimos A vecx vecy A vecx vecy Equivalentemente se BAvecx e C B vecy de modo que vecx overrightarrowAB e vecy overrightarrowBC temos que vecx vecy overrightarrowAB overrightarrowBC overrightarrowAC Ou seja a soma vetorial é o vetor de deslocamento obtido após dois deslocamentos sucessivos A pergunta que precisamos responder agora é se a definição da soma vetorial dada acima depende da escolha do ponto inicial A Denotemos por ora a operação que acabamos de definir por A mostraremos agora que A A para AA E quaisquer de modo que podemos eliminar da notação de soma vetorial a referência ao ponto inicial De fato escrevendo B A vecx e C B vecy temos que vecx overrightarrowAB overrightarrowAB quad vecy overrightarrowBC overrightarrowBC de modo que ii implica overrightarrowAAoverrightarrowBBoverrightarrowCC e portanto overrightarrowAC vecx A vecy overrightarrowAC vecx A vecy como desejado A operação de soma vetorial em V satisfaz as seguintes propriedades a comutatividade Dados vecxvecy V quaisquer temos que vecx vecy vecy vecx b associatividade Dados vecxvecyvecz V quaisquer temos que vecxvecyvecz vecxvecyvecz c existência de elemento neutro Existe um vetor vec0 V tal que vecx vec0 vecx para todo vecx V Notar que se vec0 vec0 V são tais que vecx vec0 vecx vec0 vecx para todo vecx V tomando vecx vec0 resulta em vec0 overseta vec0 vec0 vec0 Logo um vetor vec0 V que satisfaça c é único denominamos esse vetor o vetor nulo ou vetor zero de V d existência de oposto Dado vecx V existe um vetor vecx V tal que vecx vecx vec0 Notar que se existem vecy vecy V tais que vecx vecy vecx vecy vec0 podemos escrever vecyvecxvecy vecyvec0 oversetc vecy oversetc vecyvecxvecy oversetb vecyvecxvecy overseta vecx vecy vecy vec0 vecy overseta vecy Logo para cada vecx V um vetor vecx satisfazendo d é único denominamos esse vetor o oposto de vecx ou simplesmente menos vecx A propriedade d nos permite definir a subtração vecx vecy vecx vecy para vecx vecy V quaisquer Vejamos como iii implicam ad a Dados A E vecx vecy V definimos B A vecx C B vecy A vecx vecy e B A vecy C B vecx A vecy vecx de modo que vecx overrightarrowAB overrightarrowBC quad vecy overrightarrowBC overrightarrowAB e portanto devido a ii overrightarrowAB overrightarrowBC overrightarrowBC A propriedade i por sua vez implica daí que C C e portanto overrightarrowAC vecx vecy vecy vecx overrightarrowAC como desejado b Dados A E vecx vecy vecz V temos pela definição de soma vetorial que A vecx vecy vecz A vecx vecy vecz A vecx vecy vecz e A vecx vecy vecz A vecx vecy vecz A vecx vecy vecz de modo que de fato vecx vecy vecz vecx vecy vecz c O zero consiste num deslocamento trivial ou seja não saímos do ponto inicial dado Mais precisamente dado A E definimos vec0 overrightarrowAA de modo que ii implica trivialmente que vec0 VecAA overrightarrowAA para AA E quaisquer Veremos agora que tal vec0 satisfaz c de fato dado vecx V escrevendo BAvecx temos que vecx vec0 overrightarrowAB overrightarrowBB overrightarrowAB vecx como desejado d Dados vecx V A E o oposto de vecx corresponde ao deslocamento no sentido oposto Mais precisamente escrevendo B A vecx definimos vecx overrightarrowBA Tal definição é imediatamente sugerida pela prova de c apresentada acima e prontamente implica d vecx vecx overrightarrowAB overrightarrowBA overrightarrowAA vec0 I1 Observação Conversamente a fórmula overrightarrowAC overrightarrowAB overrightarrowBC e a comutatividade a da soma vetorial juntamente com a propriedade i implicam a Lei do Paralelogramo ii De fato sejam ABCD E tais que overrightarrowAB overrightarrowCD vecx Definindo vecy overrightarrowAC seja por i o ponto D B vecy de modo que overrightarrowAC overrightarrowBD vecy Temos então que comutatividade a e as fórmulas overrightarrowAD overrightarrowAB overrightarrowBD quad overrightarrowAD overrightarrowAC overrightarrowCD implicam vecx vecy overrightarrowAB overrightarrowBD overrightarrowAD overseta vecy vecx overrightarrowAC overrightarrowCD overrightarrowAD de modo que devido a i temos D D e portanto overrightarrowAC overrightarrowBD Trocando os papeis de B e C obtemos por um argumento análogo que overrightarrowAC overrightarrowBD implica por i e a que overrightarrowAB overrightarrowCD Notar contudo que a validade da fórmula overrightarrowAC overrightarrowAB overrightarrowBC é ligada ao fato de que a operação de soma vetorial não depende do ponto inicial A algo que provamos acima usando i e ii Isso mostra que a Lei do Paralelogramo é intimamente atrelada à comutatividade da soma vetorial em V tal como a definimos Notamos nesse contexto que é comum na literatura denominar a propriedade de comutatividade a da soma vetorial também por lei do paralelogramo I2 Observação Em vista da identificação de E com V obtida mediante uma escolha de origem O E e da propriedade c vemos que tal ponto é identificado justamente com vec0 overrightarrowOO nesse caso Isso nos mostra que a única diferença entre E e V é que V possui uma escolha canônica de origem determinada pela propriedade c As propriedades ad implicam que a soma vetorial tem exatamente o mesmo comportamento que a soma de números reais e portanto lidaremos com a primeira da mesma maneira que fazemos com a segunda somas de mais de dois vetores podem ser escritas em qualquer ordem e com qualquer inserção de parênteses sem que o resultado mude Em particular notar que para cada n mathbbN vecx V existe um vetor nvecx V definido aplicandose o deslocamento por vecx n vezes sucessivas Mais precisamente nvecx é definido recursivamente pela fórmula 1vecx vecx n1vecx nvecx vecx Em particular obtemos daí que nvec0 vec0 para n mathbbN qualquer de fato 1vec0 vec0 Supondo que a hipótese de indução em n HI nvec0 vec0 é válida provemos a sua validade com n substituído por n1 n1vec0 nvec0 vec0 nvec0 vec0 Comutatividade a e associatividade b mostram que os n deslocamentos por x podem ser somados em qualquer ordem sem que o resultado mude de modo que obtemos as seguintes propriedades dados x y V n m ℕ quaisquer temos que e mxnx mnx de fato temos por definição que m1x mxx mx1x Supondo que a hipótese de indução em n HI mx nx m nx é válida provemos a sua validade com n substituído por n 1 mx n 1x mx nx x b mx nx x HI m nx x m n 1x f nx ny nx y de fato temos por definição que x y 1x 1y 1x y Supondo que a hipótese de indução em n HI nx ny nx y é válida provemos a sua validade com n substituído por n 1 n 1x n 1y nxxnyy b nxxnyy b nxxnyy a nxnyxy b nxnyxy b nxny x y HI nx y x y n 1x y g mnx mnx de fato temos por definição que nx 1nx 1nx Supondo que a hipótese de indução em m HI mnx mnx é válida provemos a sua validade com m substituído por m 1 m 1nx mnx nx HI mnx nx e mn nx m 1nx h 1x x parte da definição mas isolamos essa identidade para conveniência futura Dado que a multiplicação de números naturais é definida essencialmente da mesma maneira podemos entender o vetor nx como a multiplicação de x pelo fator de escala ou mais concisamente escalar n ℕ ou seja podemos chamar nx de um múltiplo escalar de x Em suma definimos uma nova operação em V que chamamos de multiplicação escalar Notar que as propriedades eh correspondem às seguintes propriedades da multiplicação de números naturais ef distributividade ie possibilidade de colocar fatores comuns em evidência g associatividade ie multiplicação de mais de dois fatores pode ser feita com qualquer inserção de parênteses sem que o resultado mude h existência de unidade ie 1 é o elemento neutro para a multiplicação Por outro lado notar que no caso da multiplicação escalar o primeiro fator é um número e o segundo fator é um vetor ou seja os dois fatores em princípio vivem em conjuntos diferentes de modo que não faz sentido falar em comutatividade para essa operação Portanto nesse caso devemos definir distributividade em cada fator separadamente tal como feito em e e f I Espaços vetoriais É possível estender a multiplicação escalar em V para escalares inteiros ie possivelmente negativos ou zero da seguinte maneira dados x V n ℕ quaisquer definimos nx nx 0x 0 de modo que nx nx pois nx nx nx nx f nx x d n0 c 0 As propriedades eg se estendem então prontamente para escalares inteiros dados x y V p q ℤ quaisquer e px qx p qx de fato seja x V qualquer Se p 0 ou q 0 o resultado segue imediatamente de c Notar ainda que se q n ℕ o resultado pode ser provado por indução em n para p ℤ qualquer usando o mesmo argumento do caso de escalares naturais Finalmente se q n com n ℕ notar que o caso que acabamos de provar implica p nx nx p n nx px e portanto p nx px nx px nx para p ℤ qualquer f pxpy px y se p 0 o resultado segue imediatamente de c Se p n com n ℕ observar que nx ny nx ny g pqx pqx o caso p 0 é trivial e o caso q 0 segue do fato que p0 0 Notar ainda que se p m ℕ o resultado pode ser provado por indução em m para q ℤ qualquer usando o mesmo argumento do caso de escalares naturais Finalmente se p m com m ℕ notar que mqx mqx mqx mqx mqx Tal z é denominado um elemento de torção de V Obviamente devemos ter n 1 para que tal z exista O caminho traçado acima sugere a possibilidade de definirmos a multiplicação de vetores pos escalares mais gerais que inteiros Contudo isso não pode ser feito sem hipóteses adicionais sobre V e a operação de soma vetorial Por exemplo dados x V diferente de 0 e n ℕ não temos como garantir somente com as hipóteses i e ii que exista y V tal que ny x tampouco que tal y seja único por exemplo se existirem n ℕ e z 0 tais que nz 0 então ny z f ny nz c ny x Conversamente se existirem y y V tais que y y e ny ny x então ny y f ny ny 0 Se contudo tal y existir e for único podemos definir 1n x y de modo que nesse caso devemos ter y 0 Ou seja nesse caso podemos dividir o deslocamento por x em n deslocamentos iguais e sucessivos Se a soma vetorial de V satisfizer a propriedade iii Para todo x V n ℕ existe um único y V tal que ny x então podemos escrever y 1n x para qualquer x V n ℕ e portanto definir mn x m 1n x 1n mx x V m ℤ n ℕ 2 Definição e exemplos a segunda identidade vem da observação que a propriedade de associatividade g para a multiplicação por escalares inteiros implica nmn x nm1n x mx 11 Exercício Assumindo as propriedades iiii mostre que a multiplicação de vetores em V por escalares racionais tal como definida acima satisfaz as propriedades e f e g 12 Exercício Mostre que se as propriedades iiii são válidas então px 0 com x V p ℚ implica p 0 ou x 0 Dica notar que iii implicam que m0 0 para todo m ℤ Todavia resultados da geometria euclidiana eg o teorema de Pitágoras apontam que mesmo escalares racionais não são suficientes é necessário admitir escalares irracionais também Ao chegarmos nesse ponto vemos que passa a ser mais produtivo simplesmente assumir que V é munido de uma operação de multiplicação por escalares reais satisfazendo as propriedades eh portanto absternosemos de explorar as consequências dessas propriedades aqui dado que isso será feito de maneira sistemática na próxima Seção Esperamos neste ponto ter motivado as propriedades algébricas das operações de soma vetorial e multiplicação escalar o suficiente para deixar claro a a importância de seu estudo Tal ponto de vista nos permite irmos além da geometria veremos que espaços de funções podem frequentemente ser imbuídos de operações gozando das mesma propriedades e portanto podem também ser tratados como espaços de vetores Isso abre inúmeras possibilidades de aplicações processamento de sinais aprendizado de máquina etc Finalmente cabe apontar que também é possível definir a multiplicação de vetores por escalares complexos Essa possibilidade é importante por exemplo em aplicações ao processamento de sinais e à Mecânica Quântica Contudo restringirnosemos a escalares reais nestas Notas 2 Definição e exemplos Como visto na Seção 1 o aspecto essencial comum aos diferentes exemplos de vetores não é a sua interpretação concreta como entes geométricos funções etc mas as operações algébricas que realizamos com tais objetos Mais precisamente essas operações satisfazem certas propriedades comuns chamadas axiomas de modo que em qualquer conjunto munido de operações satisfazendo os axiomas poderemos aplicar qualquer resultado que seja consequência apenas destes O estudo dos conceitos e resultados decorrentes de tais axiomas é o que chamamos de Álgebra Linear 21 Axiomas de um espaço vetorial Podemos abstrair os axiomas ah para qualquer conjunto nãovazio munido de operações similares o que nos leva ao conceito central da Álgebra Linear I3 Definição Um espaço vetorial real ou sobre o corpo de escalares reais ℝ é um conjunto V munido de duas operações A soma vetorial x y xy V A multiplicação escalar αx α ℝ x V satisfazendo as propriedades ah listadas a seguir denominadas axiomas de espaço vetorial a x y y x para x y V quaisquer comutatividade da soma vetorial b x y z x y z para xyz V quaisquer associatividade da soma vetorial c Existe um elemento 0 V chamado de vetor zero ou vetor nulo tal que x0x para todo x V existência de elemento neutro da soma vetorial d Dado x V existe x V chamado de oposto de x ou simplesmente menos x tal que xx0 existência de oposto da soma vetorial e α βx αx βx distributividade da multiplicação escalar com respeito à soma escalar primeiro fator Ou seja fatores vetoriais comuns podem ser colocados em evidência f αxy αx αy distributividade da multiplicação escalar com respeito à soma vetorial segundo fator Ou seja fatores escalares comuns podem ser colocados em evidência g α βx αβx associatividade da multiplicação escalar h 1x x existência de elemento neutro para a multiplicação escalar Neste caso os elementos de V são chamados de vetores em V números reais são chamados de escalares em V e as duas operações acima são chamadas de operações vetoriais em V Os axiomas ah são análogos às propriedades da soma e produto de números reais Uma propriedade dos últimos que não vale para operações vetoriais é a comutatividade da multiplicação escalar pois cada um dos fatores vive num conjunto diferente e portanto não faz sentido mudar a ordem dos fatores na multiplicação escalar Por 2 Definição e exemplos isso as propriedades e f de distributividade são apresentadas separadamente para cada fator Retornaremos a esse ponto em breve Antes de prosseguirmos cabe um esclarecimento sobre o axioma d O último tal como está escrito não deixa claro a qual zero de V estamos nos referindo tampouco se cada vetor em V tem um único oposto Felizmente tais ambiguidades são resolvidas pelas duas consequências de ac abaixo Só existe um elemento neutro portanto justificadamente denotado por 0 para a soma vetorial de V de fato dados vetores 0₁ 0₂ V tais que x 0₁ x 0₂ x para todo vetor x V tomando x 0₁ obtemos 0₁ 0₂ 0₁ e tomando x 0₂ obtemos 0₂ 0₁ 0₂ Concluímos daí e do axioma a que 0₁ 0₂ Dado x V só existe um oposto de x portanto justificadamente denotado por x Em particular x x de fato dado x V sejam vetores y z V tais que x y x z 0 Somandose z à primeira e última fórmulas segue que z x y z 0 c z e z x y b z x y a x z y 0 y c y de onde concluímos que y z A última identidade segue disso e de a uma prova alternativa desse fato será dada mais adiante Como dito no início desta Seção propriedades das operações vetoriais que dependam apenas dos axiomas de espaço vetorial valem para todos os espaços vetoriais Por exemplo seguem abaixo outras consequências simples dos axiomas ah 1 0 x 0 de fato 0 x 0 x g 0 0x 0 x Somando 0 x à primeira e última fórmulas concluímos que 0 x 0 x 0 x b 0 x 0 x 0 x d 0 x 0 c 0 x e 0 x 0 x d 0 logo 0 x 0 I Espaços vetoriais 2 α0 0 de fato α0 α0 f α0 0 c α0 De maneira análoga à prova da propriedade anterior somandose α0 à primeira e última fórmulas concluímos que α0 α0 α0 b α0 α0 α0 d α0 0 c α0 e α0 α0 d 0 logo α0 0 3 αx αx αx Em particular 1x h x e portanto x x de fato αx αx e α αx 0 x 0 e αx αx f αx x α0 0 O resultado desejado segue da unicidade do oposto da soma vetorial de V provada acima A última fórmula acima já provada na nossa discussão sobre a unicidade do oposto segue então de h 4 Se αx 0 então α 0 ou x 0 Em particular se V 0 1 é o único escalar que satisfaz o axioma h de fato vimos acima que 0 x 0 Se por outro lado α 0 temos que 1α αx e ααx 1x h x 1α 0 0 logo x 0 Para a última afirmação notar que se αx x para todo x V então αx x αx 1x e α 1x x x d 0 Tomando x 0 qualquer resulta em α 1 5 Se αx βx e x 0 então α β de fato se αx βx então αx βx e α βx βx βx e β βx 0 1 0 Segue de 4 que α β 6 Se αx αy e α 0 então x y de fato se αx αy então αx αy f αx y αy αy f αy y α0 2 0 Segue de 4 que x y 0 e portanto x y pela unicidade do oposto da soma vetorial 7 x y x y de fato temos que x y x y a x y y x b x y y x b x y y x d x 0 x ac x x d 0 logo a afirmação segue da unicidade do oposto da soma vetorial 8 x x 2x Mais em geral n 1x nx x para todo n ℕ de fato 2x 1 1x 1x 1x h x x e n 1x e nx 1x h nx x As consequências acima implicam juntamente com os axiomas ah que podemos manipular expressões envolvendo operações vetoriais da mesma maneira que expressões análogas envolvendo respectivamente somas e produtos de números reais com as seguintes ressalvas Como dito acima não faz sentido em geral falar de comutatividade para a multiplicação escalar pois cada fator vive num conjunto diferente se V ℝ Por consequência os axiomas de distributividade e e f são distintos e independentes ao contrário do que ocorre com o axioma de distributividade no singular para o produto de números reais Da mesma forma não faz sentido falar de divisão por vetores se V ℝ apenas por escalares diferentes de zero Não obstante é possível sim cancelar fatores vetoriais comuns diferentes de zero nos dois lados de uma igualdade por meio da consequência 5 acima Em particular podemos inserir ou retirar parênteses mudar a ordem de parcelas numa soma vetorial de dois ou mais vetores manipular sinais colocar fatores comuns em evidência etc Faremos isso de maneira tácita de agora em diante I4 OBSERVAÇÃO Se E é um conjunto nãovazio V é um espaço vetorial real e d V V E é uma função satisfazendo as propriedades iii da Seção 1 acima ie d é uma função deslocamento em E tal que a soma vetorial derivada a partir de d coincide com a soma vetorial de V dizemos que E é um espaço afim modelado em V 22 Exemplos de espaços vetoriais Dentre os exemplos de espaços vetoriais podemos citar i V ℝn conjunto das listas ordenadas de n números reais x1xn x x1xn xj jésima componente canônica de x j 1n Por ordenadas entendese que trocando duas componentes de x de lugar mudamos a lista a menos que tais componentes sejam iguais Os elementos de ℝn são denominados por vezes vetores ndimensionais As operações vetoriais de ℝn são definidas componente a componente A soma vetorial de x x1xny y1yn V é dada por x y x1 y1xn yn xj yj jésima componente de x y j 1n A multiplicação pelo escalar α ℝ do vetor x x1xn V é dada por αx αx1αxn αxj jésima componente de αx j 1n Provaremos a validade dos axiomas ah no exemplo seguinte Em particular tomando n 1 temos que ℝ é também um espaço vetorial real com soma vetorial e multiplicação escalar respectivamente dadas pela soma e pelo produto de números reais ii Dado A seja V o espaço das funções de A em ℝ V FAℝ ℝA f A ℝ Definimos em tal V as operações vetoriais pontuais a seguir f g A ℝ p A α ℝ são quaisquer Soma vetorial f gp fp gp Multiplicação escalar αfp αfp A validade dos axiomas ah para tais operações segue imediatamente da validade dos axiomas correspondentes no contradomínio ie ℝ De fato se f g h V p A e α β ℝ são quaisquer então a f gp fp gp gp fp g fp b f g hp fp g hp fp gp hp fp gp hp f gp hp f g hp c 0p 0 ie 0p 0 para todo p A satisfaz f 0p fp 0 fp para todo p A d Dado f V fp fp p A satisfaz f fp fp fp 0 0p para todo p A e α βfp α βfp αfp βfp αfp βfp αf βfp f αf gp αf gp αfp gp αfp αgp αfp αgp g αβfp αβfp αβfp αβfp αβfp h 1fp 1fp fp Em particular se A 1n n ℕ então V ℝn e as operações vetoriais pontuais de ℝn coincidem com as operações vetoriais de ℝn indicadas no exemplo i acima logo as últimas satisfazem os axiomas ah iii Mais em geral se A e W é um espaço vetorial real seja V o espaço das funções em A a valores em W V FA W WA f A W Definimos em tal V as operações vetoriais pontuais a seguir f g A ℝ p A α ℝ são quaisquer Soma vetorial f gp f p gp Multiplicação escalar αfp αfp Tal como no exemplo ii acima a validade dos axiomas ah para tais operações segue imediatamente da validade dos axiomas correspondentes no contradomínio W Os cálculos são exatamente os mesmos iv Este exemplo pode ser visto como uma variante de i Seja V 𝓜mnℝ o espaço das matrizes reais com m linhas e n colunas A Aij A11 A12 A1n A21 A22 A2n Am1 Am2 Amn I ESPAÇOS VETORIAIS Dizemos que Aij Aij é a entrada de A na iésima linha e jésima coluna Notemos que V nada mais é do que Rmn com seus elementos representados graficamente numa tabela retangular ao invés de uma lista ordenada linear Com efeito podemos identificar A Aij V com x x1 xmn Rmn através da fórmula Aij xni1j i 1 m n 1 n de modo que visualmente x x1 A11 xn A1n xn1 A21 x2n A2n xnm11 Am1 xnm Amn Assim sendo as operações vetoriais de V são as mesmas de Rmn mediante tal identificação se A B V e α R então A Bij Aij Bij αAij αAij Em suma as operações vetoriais de V são definidas entrada a entrada Segue imediatamente dos exemplos anteriores que elas satisfazem os axiomas ah 23 Subespaços vetoriais Mais exemplos podem ser obtidos a partir dos dados na Subseção 22 a partir da seguinte I5 DEFINIÇÃO Seja V um espaço vetorial e W V nãovazio Dizemos que W é subespaço vetorial de V se dados x y W e α R quaisquer então i x y W ii αx W Se W V dizemos que W é subespaço vetorial próprio de V Mostraremos que todo subespaço vetorial W V é um espaço vetorial se munido das operações vetoriais herdadas de V o que sempre assumiremos ser o caso De fato os axiomas a b e eh são claramente satisfeitos em W O que nos resta fazer para obter a validade dos axiomas c e d em W é provar respectivamente que 0 W se x W segue de ii que 0x 0 W Se x W então x W se x W segue de ii que x 1x W 14 2 Definição e exemplos Em particular não há perda de generalidade de assumir que 0 W ao invés de somente W na definição de subespaço vetorial portanto faremos isso tacitamente de agora em diante Uma vantagem de lidar com subespaços vetoriais é que verificar se W V é subespaço vetorial de V é bem mais simples do que verificar os axiomas ah em W Sejam agora V um espaço vetorial real e W1 W2 V subespaços vetoriais de V Claramente W1 W2 é também nesse caso subespaço vetorial de V de fato se x y W1 W2 e α R então x y W1 e x y W2 logo x y αx W1 e x y αx W2 provando a asserção acima Mais em geral se Wj j J é uma família arbitrária de subespaços vetoriais de V temos que a intersecção de todos os membros dessa família W jJ Wj x V x Wj para todo j J também é subespaço vetorial de V exercício verifique usando o mesmo argumento do caso J 1 2 acima Além disso definindo a soma W1 W2 de W1 e W2 como W1 W2 x V x y z y W1 z W2 segue que W1 W2 também é subespaço vetorial de V de fato se x x W1 W2 e α R então x y z e x y z para alguma escolha de y y W1 e z z W2 Desta forma temos que xx yzyz yyzz W1W2 αx αyz αyαz W1W2 logo a afirmação segue W1W2 também pode ser entendido como o menor subespaço vetorial de V que contém W1 e W2 pois qualquer subespaço vetorial W W1 W2 de V contém W1 W2 devido a i alternativamente poderíamos definir W1 W2 como a intersecção de todos os subespaços vetoriais de V que contém W1 W2 Notar contudo que a união W1 W2 não é necessariamente um subespaço vetorial de V pois pode ser estritamente menor que W1 W2 e portanto W1 W2 pode não ser fechado por somas vetoriais ie a propriedade i pode falhar por exemplo se V R2 considere os subespaços vetoriais de V dados por W1 x 0 x R W2 0 y y R exercício prove que W1 e W2 são de fato subespaços vetoriais de V Temos nesse caso que W1 W2 V mas 1 1 1 0 0 1 W1 W2 logo W1 W2 W1 W2 e portanto W1 W2 não é subespaço vetorial de V Assim como no caso de intersecções de subespaços vetoriais é possível definir a soma de uma família arbitrária Wj j J de subespaços vetoriais Wj de V jJ Wj x V x x1 xk xi Wji j1 jk J k N 15 Notar que y z na definição de W1 W2 não são únicos Notar que y y 0 z 0z W1 W2 para y W1 z W2 quaisquer I ESPAÇOS VETORIAIS exercício verifique usando o mesmo argumento do caso J 1 2 acima que jJ Wj é subespaço vetorial de V No caso em que J j1 jm é finito temos que jJ Wj Wj1 Wjm onde Wj1 Wjm Wj1 m 1 Wj1 Wjm1Wjm m 1 notar que se x x1 xm onde xi Wji i 1 m podemos ter xi 0 Tal como no caso particular J 1 2 acima temos que jJ Wj é o menor subespaço vetorial de V que contém jJWj ou equivalentemente a interseção de todos os subespaços vetoriais de V que contém jJWj que por sua vez pode não coincidir com jJ Wj e portanto pode não ser subespaço vetorial de V Mais contraexemplos de subespaços vetoriais 1 V qualquer W 0 claramente 0 0 0 e vimos que α0 0 para todo α R logo W é subespaço vetorial de V o chamado subespaço vetorial trivial de V que denotamos simplesmente por 0 2 V R3 W x y z V z 0 claramente 0 0 0 0 W Além disso temos que se x y 0 x y 0 W e α R então x y 0 x y 0 x x y y 0 W e αx y 0 αx αy 0 W 3 V R2 W x y V y x2 neste caso 0 0 0 W e 1 1 W mas 2 2 21 1 W ou seja W não é fechado por multiplicação escalar e portanto não é subespaço vetorial de V 4 Se V Rn e W x x1 xn V α1x1 αnxn 0 então W é subespaço vetorial de V Isso será provado no exemplo seguinte 5 generaliza 4 Se V Rn e W x x1 xn V x é solução de I1 onde I1 é o sistema linear homogêneo I1 A11x1 A1nxn 0 Am1x1 Amnxn 0 16 Claramente vec0 0 ldots 0 in W Além disso se vecx x1 ldots xn vecy y1 ldots yn pertencem a W e alpha in mathbbR então begincases A11x1 y1 cdots A1nxn yn 0 vdotsquad vdotsquad vdotsquad vdots Am1x1 y1 cdots Amnxn yn 0 endcases e begincases A11alpha x1 cdots A1nalpha xn 0 vdotsquad vdots quad vdots quad vdots Am1alpha x1 cdots Amnalpha xn 0 endcases logo vecx vecy e alpha vecx também pertencem a W Como 4 é um caso particular de 5 mais precisamente quando m1 segue daí que o exemplo 4 é de fato um subespaço vetorial Outra maneira de ver que W é subespaço vetorial de V é notar que W bigcapi1m Wi onde Wi é o conjunto dos vetores vecx x1 ldots xn em V que satisfazem a iésima equação Ai1x1 cdots Ainxn 0 do sistema linear homogêneo acima e portanto uma instância do exemplo 4 Como vimos que a interseção de uma família arbitrária de subespaços vetoriais de V é também subespaço vetorial de V segue que W é subespaço vetorial de V Veremos mais adiante que este é um exemplo genérico todo subespaço vetorial de mathbbRn é o espaço de soluções de algum sistema linear homogêneo Por outro lado se o lado direito de alguma das equações de I1 não fosse zero ie o sistema passasse a ser nãohomogêneo então vec0 não pertenceria a W pois nesse caso vec0 não pode ser solução dessa equação Logo nesse caso W não pode ser subespaço vetorial de V e alpha ft alpha a0 a1 t cdots ak tk alpha a0 alpha a1 t cdots alpha ak tk portanto f g alpha f in W se f g in W alpha in mathbbR quaisquer Concluímos destarte que W é subespaço vetorial de V Obviamente W mathbbR se k 0 Por outro lado notar que o conjunto mathcalPkmathbbR f in V mid ft a0 a1 t cdots ak tk a0 a1 ldots ak t in mathbbR ak eq 0 dos polinômios de ordem k in mathbbN não é subespaço vetorial de V pois vec0 otin mathcalPkmathbbR ii sumii0k alpha vecyi alpha sumii0k vecyi Dica use o axioma f ao provar o passo de indução em k v Se S é ld e S S V então S é ld Em particular qualquer S 0 eg subespaços vetoriais de V é ld vi Se S é finito ie S x1 xn então S é ld resp li se e somente se x1 xn são ld resp li obviamente S li x1 xn li e x1 xn ld S ld Conversamente se x1 xn são li sejam y1 yk S e β1 βk R tais que j1k βj yj 0 Defina αi βj xi yj para algum j 1 k 0 de outra forma i 1 n Então j1k βj yj i1n αi xi 0 logo β1 βk 0 e portanto y1 yk são li Finalmente se S é ld sejam y1 yk S e β1 βk R não todos zero tais que j1k βj yj 0 Definindo αi como acima i 1 n concluímos que α1 αn não são todos zero mas i1n αi xi j1k βj yj 0 logo x1 xn são ld Como exemplo de conjunto li sejam A V FA R e S fp p A onde fpq 0 q p 1 q p q A Sejam então p1 pk A α1 αk R tais que k i1 α ifpi 0 ie k i1 α ifpiq k i1 α ifpiq 0 para todo q A Tomando em particular q pj j 1 k temos que k i1 α ifpipj αj 0 j 1 k logo S é li Em particular se A 1 n então V Rn e S é a chamada base canônica de Rn S e1 en ej 0 0 1 0 0 j 1 n jésima componente Segue do argumento geral apresentado acima que a base canônica de Rn é li 33 Subespaços vetoriais gerados por um subconjunto bases de um espaço vetorial dimensão I9 DEFINIÇÃO Seja V espaço vetorial real S V O subespaço vetorial gerado por S também conhecido como varredura linear de S é dado por LS 0 S x k i1 αi xi α1 αk R x1 xk V S Usase também a notação alternativa LS spanS onde span varredura em inglês Mostraremos que LS é subespaço vetorial de V Obviamente isso é verdade se S então podemos assumir que S Se x S então claramente 0x 0 LS Resta então apenas mostrar que se x y LS e α R então x y αx LS De fato nesse caso podemos escrever x l i1 αi yi y m i1 αi zi com y1 yl z1 zm S α1 αl α1 αm R Podemos contudo escrever x y como cls da mesma lista de vetores de S similarmente à prova da Observação I8 vi acima A saber defina S y1 yl z1 zm x1 xk αi αi xi yi para algum i 1 l 0 de outra forma i 1 k βi αi xi zi para algum i 1 m 0 de outra forma i 1 k de modo que x k i1 αi xi y k i1 βi xi Uma vez feito isso segue que I2 x y k i1 αi xi k i1 βi xi k i1 αi βi xi LS αx α k i1 αi xi k i1 α αi xi LS logo LS é subespaço vetorial de V Na verdade outra maneira de definir LS é como o menor subespaço vetorial de V contendo S De fato se W é um subespaço vetorial de V contendo S então claramente W LS Alternativamente graças a isso podemos também definir LS como a interseção de todos os subespaços vetoriais de V contendo S I2 mostra que em termos dos coeficientes das cls de vetores em S as operações vetoriais em LS são exatamente as operações vetoriais pontuais de FS R Além disso se S é li então a representação dos vetores em LS em termos de cls de vetores em S é única de fato se x k j1 αi xi k i1 βi xi são duas cls diferentes para o mesmo x LS lembrando que sempre podemos escrever as duas cls em termos da mesma lista de vetores como fizemos acima então x x 0 k i1 βi xi k i1 αi xi k i1 βi αi xi logo βi αi para todo i 1 k Ou seja se S é li então S fornece um sistema de coordenadas lineares para LS no sentido de que não há duas escolhas diferentes de coeficientes para o mesmo vetor em LS e as operações lineares de V agem coeficiente a coeficiente tal como em Rn Isso motiva a seguinte I10 DEFINIÇÃO Seja V espaço vetorial real S V Se S é li e LS V dizemos que S é base de V Obviamente todo S V li é base de LS Mais em geral como LS V para todo S V para verificar se um subconjunto li S V é base de V basta checar se todo x V é cl de vetores em S Dentre contraexemplos de bases podemos citar V Rn S e1 en base canônica de Rn Já mostramos acima que tal S é li logo resta apenas mostrar que todo x x1 xn V é cl dos vetores em S De fato vecx x1 ldots xn x1 0 ldots 0 cdots 0 ldots 0 xn x11 0 ldots 0 cdots xn0 ldots 0 1 sumi1n xi vecei in LS Dado A eq O sejam V FA mathbbR S fp p in A onde fpq begincases 0q eq p 1 q p endcases q in A Vimos acima que tal S é li Contudo LS F0A mathbbR f A o mathbbR existe J subset A finito tal que fp 0 se p otin J Primeiramente é fácil notar que F0A mathbbR é subespaço vetorial de FA mathbbR Além disso obviamente S subset F0A mathbbR pois fpq 0 se q eq p para todo p in A logo LS subset F0A mathbbR Conversamente se f in F0A mathbbR seja J p1 ldots pk subset A tal que fq 0 se q otin J de modo que sumi1k fpi fpiq begincases 0 q otin J fpi q pi extrm para algum i 1 ldots k endcases logo f sumi1k fpi fpi in LS como desejado Contudo temos F0A mathbbR FA mathbbR se e somente se A for finito Neste caso sempre podemos tomar J A na definição de F0A mathbbR Por outro lado se A é infinito então claramente a função fp equiv 1 ie fp 1 para todo p in A não pertence a F0A mathbbR Portanto neste último caso S não é base de V O último exemplo acima mostra que se S é base de um espaço vetorial V então V expresso pelos coeficientes das cls de elementos de S pode ser identificado como espaço vetorial com F0S mathbbR Nesse caso se vecx sumi1k alphai vecxi in V alpha1 ldots alphak in mathbbR vecx1 ldots vecxk in S dizemos que alphai é a componente de vecx em S ao longo de vecxi Checar se um conjunto li S subset V é base de V é uma tarefa grandemente facilitada se S é finito graças ao seguinte resultado crucial I11 TEOREMA Seja V um espaço vetorial real e S subset V li Se S vecx1 ldots vecxn então quaisquer n1 vetores vecy1 ldots vecyn1 in LS são ld Demonstração O resultado será provado por indução em n No caso n 1 ie S vecx1 em particular vecx1 eq vec0 e LS alpha1 vecx1 alpha1 in mathbbR Sejam então vecy1 alpha1 vecx1 vecy2 beta1 vecx1 in LS se alpha1 0 ou beta1 0 então vecy1 vecy2 são obviamente ld se por outro lado alpha1 beta1 eq 0 podemos escrever vecy2 fracbeta1alpha1 vecy1 Rightarrow vecy2 fracbeta1alpha1 vecy1 vec0 logo vecy1 vecy2 também são ld nesse caso Assumamos agora que o Teorema vale no caso n k 1 provaremos que o mesmo vale no caso n k Escrevamos vecyj sumi1k Aij vecxi j1 ldots k1 Há duas possibilidades a considerar i A1j 0 para todo j 1 ldots k1 neste caso temos que vecyj sumi2n Aij vecxi j1 ldots k1 e portanto vecy1 ldots vecyk1 são cls dos k 1 vetores li vecx2 ldots vecxk Pela hipótese de indução vecy1 ldots vecyk1 são ld ii A11 eq 0 isso sempre pode ser obtido reordenandose os vecyjs defina cj fracA1jA11 j2 ldots k1 de modo que cj vecy1 sumi1k cj Ai1 vecxi A1j vecx1 sumi2k cj Ai1 vecxi e portanto cj vecy1 vecyj sumi2k cj Ai1 Aij vecxi j2 ldots k1 Logo os k vetores cj vecy1 vecyj j2 ldots k1 são cls dos k 1 vetores li vecx2 ldots vecxk Pela hipótese de indução existem alpha2 ldots alphak1 in mathbbR não todos zero tais que sumj2k1 alphaj cj vecy1 vecyj leftsumj2k1 alphaj cjright vecy1 sumj2k1 alphaj vecyj vec0 A segunda expressão claramente é uma cl nãotrivial de vecy1 ldots vecyk1 logo esses vetores são ld I12 LEMA Seja S subset V li e vecy otin LS Então S cup vecy também é li Demonstração Sejam vecx1 ldots vecxk in S e alpha1 ldots alphak1 in mathbbR tais que sumi1k alphai vecxi alphak1 vecy vec0 Há duas possibilidades i alphak1 0 então sumi1k alphai vecxi vec0 e portanto alpha1 cdots alphak 0 logo vecx1 ldots vecxk vecy são li ii alphak1 eq 0 podemos escrever vecy frac1alphak1 sumi1k alphai vecxi sumi1k left fracalphaialphak1right vecxi in LS absurdo I13 COROLÁRIO Seja V um espaço vetorial real e S subset V li Se S vecx1 ldots vecxn então ildeS subset LS li é base de LS ie L ildeS LS se e somente se ildeS tiver o mesmo número de vetores que S Demonstração Considere ildeS subset LS li tal que L ildeS LS Pelo Teorema I11 ildeS não pode ter mais vetores do que S pois do contrário teríamos n1 vetores de ildeS em LS que portanto são ld o que é absurdo pois ildeS é li Logo podemos escrever ildeS ildey1 ldots ildeyk 1 leq k leq n Pelo mesmo motivo S não pode ter mais vetores do que ildeS pois do contrário teríamos k1 vetores de S em L ildeS que portanto são ld o que é absurdo pois S é li Conversamente seja ildeS subset LS li tal que ildeS vecy1 ldots vecyn e suponha que existe vecyn1 in LS backslash L ildeS Pelo Lema I12 vecy1 ldots vecyn1 são li o que é absurdo pelo Teorema I11 I Espaços vetoriais O Corolário I13 nos diz que o número de vetores de uma base finita de V não depende de S apenas de V Em suma o número de coordenadas lineares de V é o mesmo para todas as bases de V se uma delas logo todas forem finitas Isso motiva a seguinte I14 Definição Seja V espaço vetorial real Se V possui uma base finita S dizemos que V tem dimensão finita notação dimV Caso contrário dizemos que V tem dimensão infinita notação dimV A dimensão de V é o número dimV ℕ dado por dimV 0 V 0 n S S x1xn base de V dimV Exemplos dimℝⁿ n Dado A então dimF₀A ℝ A A finito A infinito De fato a base S fₚ p A de F₀A ℝ tem claramente o mesmo número de elementos que A Notar que se W é subespaço vetorial de V e dimV então a dimensão de W não pode ser maior que a de V pois uma base de W não pode ter mais vetores do que uma base de V Isso é evidente em vista do Lema I12 e do Corolário I13 Esses resultados por sua vez fornecem um método para a obtenção de uma base de W O método funciona por indução no número de vetores Se W 0 não há nada a fazer uma base de W é necessariamente vazia Se por outro lado existe 0 x1 W defina S₁ x1 Esse conjunto é li Se LS₁ α₁x1 α₁ ℝ W podemos parar e tomar S₁ como base de W Do contrário existe x2 W LS₁ Pelo Lema I12 S₂ S₁ x2 x1 x2 W é li O passo de indução é o seguinte seja Sₖ x1xₖ W li Se LSₖ W podemos parar e tomar Sₖ como base de W Do contrário existe xₖ₁ W LSₖ Pelo Lema I12 Sₖ₁ Sₖ xₖ₁ W é li 26 3 Independência linear Pelo Corolário I13 e pela observação acima podemos repetir o passo de indução no máximo n dimV vezes então uma base de W é de fato encontrada após um número fnito de passos No próximo Capítulo usaremos informação geométrica adicional para aprimorar nossa escolha de bases 27 II Produtos escalares 1 Definição e exemplos 11 O produto escalar canônico de ℝⁿ Dados vetores x x₁xₙ y y₁yₙ ℝⁿ o produto escalar ou produto interno canônico de x e y é dado por xy xy ⁿᵢ₁ xᵢyᵢ O produto escalar satisfaz as seguintes propriedades denominadas axiomas do produto escalar real se xyz z₁zₙ ℝⁿ α ℝ são quaisquer então a xy ⁿᵢ₁ xᵢyᵢ ⁿᵢ₁ yᵢxᵢ yx simetria b xx ⁿᵢ₁ xᵢ² 0 se x 0 positividade definida c₂ xy z ⁿᵢ₁ xᵢyᵢ zᵢ ⁿᵢ₁ xᵢyᵢ ⁿᵢ₁ xᵢzᵢ xy xz x αy ⁿᵢ₁ xᵢαyᵢ α ⁿᵢ₁ xᵢyᵢ αxy linearidade na segunda variável Os axiomas a e c₂ juntos implicam c₁ x yz a zz y c₂ zxzy a xzyz αxy a y αx c₂ αyx αxy linearidade na primeira variável As propriedades c₁ e c₂ juntas são chamadas de bilinearidade 12 Axiomas do produto escalar Mais em geral se V é um espaço vetorial real e ω V V ℝ é uma função de duas variáveis em V a valores em ℝ satisfazendo os axiomas a ωxy ωyx simetria b ωxx 0 se x 0 positividade definida c₂ ωxy z ωxy ωxz ωx αy αωxy linearidade na segunda variável c₂ c₁ ωx yz ωxz ωyz ωαxy αωxy linearidade na primeira variável dizemos que ω é um produto escalar ou produto interno real em V Se ω satisfaz apenas c₁ e c₂ dizemos que ω é uma forma bilinear em V 29 II PRODUTOS ESCALARES Não é difícil produzir exemplos de produtos escalares em V se V tem dimensão finita Se S 𝑒₁ 𝑒ₙ é base de V dados 𝑥 ⁿ𝑖₁ 𝑥ᵢ𝑒ᵢ 𝑦 ⁿ𝑖₁ 𝑦ᵢ𝑒ᵢ V podemos escrever 𝑥 𝑦ₛ ⁿ𝑖₁ 𝑥ᵢ𝑦ᵢ Pelos mesmo cálculos empregados acima para o produto escalar canônico em ℝⁿ verificamos que 𝑥 𝑦ₛ é um produto escalar em V denominado produto escalar associado a S Se V ℝⁿ e S é a base canônica de ℝⁿ então claramente o produto escalar canônico é o produto escalar associado à base canônica de ℝⁿ 2 ORTOGONALIDADE E ORTONORMALIDADE A noção de produto escalar associado a uma base de um espaço vetorial pode ser vista de outra maneira ao indagarmonos se um produto escalar dado é associado a alguma base II1 DEFINIÇÃO Seja V um espaço vetorial real S V e ω um produto escalar em V Dizemos que S é Ortogonal com respeito a ω se ω𝑥 𝑦 0 para todo 𝑥 𝑦 S 𝑥 𝑦 Ortonormal on com respeito a ω se além disso ω𝑥 𝑥 1 para todo 𝑥 S Dois vetores 𝑥 𝑦 V são ditos ortogonais ou perpendiculares com respeito a ω se ω𝑥 𝑦 0 também dizse nesse caso que 𝑥 resp 𝑦 é ortogonal ou perpendicular a 𝑦 resp 𝑥 com repseito a ω Um vetor 𝑥 V é dito ortogonal ou perpendicular a S V com respeito a ω se 𝑥 é ortogonal a todo 𝑦 S com respeito a ω Podese facilmente mostrar que um conjunto ortogonal S V que não contém 𝟎 é li De fato notando que ω𝑥 𝟎 ω𝑥 𝟎 c₂ 0ω𝑥 𝟎 0 para todo 𝑥 V se 𝑥₁ 𝑥ₖ S α₁ αₖ ℝ são tais que ᵏᵢ₀ αᵢ𝑥ᵢ 𝟎 então ω𝑥ⱼ 𝟎 0 ⁿ𝑖₁ αᵢω𝑥ⱼ 𝑥ᵢ αⱼω𝑥ⱼ 𝑥ⱼ Como 𝑥ⱼ 𝟎 concluímos que αⱼ 0 para cada 𝑗 1 𝑘 30 3 Geometria do produto escalar Notar agora que dada uma base finita S 𝑒₁ 𝑒ₙ de V temos que ₛ é o único produto escalar em V com respeito ao qual S é on De fato é fácil ver que 𝑒ᵢ 𝑒ⱼₛ 0 𝑖 𝑗 1 𝑖 𝑗 Conversamente se ω é um produto escalar em V tal que ω𝑒ᵢ 𝑒ⱼ 0 𝑖 𝑗 1 𝑖 𝑗 𝑥 ⁿ𝑖₁ 𝑥ᵢ𝑒ᵢ 𝑦 ⁿⱼ₁ 𝑦ⱼ𝑒ⱼ V quaisquer concluímos que ω𝑥 𝑦 ωⁿ𝑖₁ 𝑥ᵢ𝑒ᵢ ⁿⱼ₁ 𝑦ⱼ𝑒ⱼ c₁ ⁿ𝑖₁ 𝑥ᵢω𝑒ᵢ ⁿⱼ₁ 𝑦ⱼ𝑒ⱼ c₂ ⁿ𝑖₁ ⁿⱼ₁ 𝑥ᵢ𝑦ⱼω𝑒ᵢ 𝑒ⱼ ⁿᵢ₁ 𝑥ᵢ𝑦ᵢ 𝑥 𝑦ₛ Isso implica que dado um produto escalar ω em V e uma base on finita S V com respeito a ω temos que ω𝑥 𝑦 𝑥 𝑦ₛ para todo 𝑥 𝑦 V 3 GEOMETRIA DO PRODUTO ESCALAR Como mencionado no início deste Capítulo o produto escalar pode ser entendido como uma régua e transferidor num espaço vetorial mais precisamente ele nos permite medir comprimentos e ângulos De agora em diante passaremos a denotar um produto escalar arbitrário mas fixo num espaço vetorial V pela mesma notação 𝑥 𝑦 usada para o produto escalar canônico de ℝⁿ e neste último caso tal produto escalar será sempre entendido como o canônico para evitar confusão se for necessário usar outro produto escalar em ℝⁿ usaremos uma notação diferente para este 31 Norma euclidiana de um vetor e ângulo entre dois vetores A desigualdade de CauchySchwarz O comprimento de um vetor 𝑥 é dado pela sua norma euclidiana 𝑥 𝑥 𝑥 Em particular se 𝑉 ℝⁿ 𝑥 ⁿ𝑖₁ 𝑥ᵢ² Levando em consideração a ortogonalidade da base canônica podemos pensar nessa fórmula como uma extensão 𝑛dimensional do teorema de Pitágoras 31 II PRODUTOS ESCALARES O ângulo 𝜃 entre dois vetores 𝑥 𝑦 𝟎 em V pode ser obtido pela lei dos cossenos 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 cos𝜃 O que garante que a norma euclidiana satisfaz as propriedades básicas de uma noção de distância e que a lei dos cossenos sempre faz sentido é a seguinte desigualdade fundamental conhecida como desigualdade de CauchySchwarz dados 𝑥 𝑦 V quaisquer temos que II1 𝑥 𝑦² 𝑥 𝑥𝑦 𝑦 com igualdade se e somente se 𝑥 𝑦 são ld ou seja 𝑥 é múltiplo escalar de 𝑦 ou viceversa Prova de II1 A prova usa apenas os axiomas de produto escalar a b e c₂ logo c₁ Para quaisquer 𝑥 𝑦 V 𝑡 ℝ temos 𝑃𝑡 𝑥 𝑡𝑦 𝑥 𝑡𝑦 c₁ 𝑥 𝑥 𝑡𝑦 𝑡𝑦 𝑥 𝑡𝑦 c₂ 𝑥 𝑥 𝑡𝑥 𝑦 𝑡𝑦 𝑥 𝑡²𝑦 𝑦 a 𝑥 𝑥 2𝑡𝑥 𝑦 𝑡²𝑦 𝑦 b 0 Se 𝑦 𝟎 II1 é trivialmente satisfeita pois nesse caso ambos os lados de II1 são zero Se 𝑦 𝟎 equivalentemente por b 𝑦 𝑦 0 então 𝑃𝑡 é um polinômio de segundo grau em 𝑡 que satisfaz 𝑃𝑡 0 para todo 𝑡 ℝ Isso significa que 𝑃𝑡 tem no máximo uma raiz real Em termos do discriminante Δ de 𝑃𝑡 𝑃𝑡 𝑎𝑡² 𝑏𝑡 𝑐 Δ 𝑏² 4𝑎𝑐 4𝑥 𝑦² 4𝑦 𝑦𝑥 𝑥 isso é o mesmo que Δ 0 e nesse caso 𝑥 𝑦² 𝑥 𝑥𝑦 𝑦 0 como desejado Finalmente o caso de igualdade de II1 é precisamente a situação na qual 𝑦 𝟎 ou 𝑃𝑡 tem exatamente uma raiz real 𝑡₀ nesse último caso 𝑃𝑡₀ 0 𝑥 𝑡₀𝑦 𝑥 𝑡₀𝑦 b 𝑥 𝑡₀𝑦 𝟎 Em ambos os casos concluímos que 𝑥 𝑦 são ld Exploremos agora algumas das consequências da desigualdade de CauchySchwarz II1 Tirando a raiz quadrada de II1 dos dois lados concluímos que 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 32 3 Geometria do produto escalar Essa forma de II1 garante a validade da desigualdade triangular para a norma euclidiana dados vec x vec y in V quaisquer vec x vec y2 langle vec x vec y vec x vec y rangle oversetc1 langle vec x vec x vec y rangle langle vec y vec x vec y rangle oversetc2 langle vec x vec x rangle langle vec x vec y rangle langle vec y vec x rangle langle vec y vec y rangle overseta langle vec x vec x rangle 2 langle vec x vec y rangle langle vec y vec y rangle oversetII1leq vec x2 2 vec x cdot vec y vec y2 vec x vec y2 II2 Rightarrow vec x vec y leq vec x vec y Essa desigualdade juntamente com as propriedades de homogeneidade II3 alpha vec x sqrtlangle alpha vec x alpha vec x ranglec1c2 sqrtalpha2 langle vec x vec x rangle alpha cdot vec x e nãodegenerescência II4 vec x 0 oversetbRightarrow vec x vec 0 válidas para vec x in V alpha in mathbbR quaisquer são análogas às propriedades do valor absoluto módulo de números reais e garantem que a norma euclidiana satisfaz as condições mínimas que se espera de uma noção de comprimento Assim podemos definir a distância euclidiana entre dois vetores vec x vec y in V como o comprimento vec x vec y da diferença entre vec x e vec y 31 EXERCÍCIO Use as propriedades II2II4 da norma euclidiana para provar a chamada desigualdade triangular reversa dados vec x vec y in V quaisquer II5 vec x vec y leq vec x vec y Dica o argumento é o mesmo usado para provar que x y leq x y usando as propriedades correspondentes do módulo A desigualdade de CauchySchwarz II1 também implica que se vec x vec y eq vec 0 então 1 leq fraclangle vec x vec y ranglevec x cdot vec y leq 1 Em outras palavras se vec x vec y eq vec 0 podemos definir o ângulo heta entre vec x e vec y como heta arccos left fraclangle vec x vec y ranglevec x cdot vec y right pois a desigualdade de CauchySchwarz nesse caso implica que o argumento de arccos na expressão acima sempre assume valores no domínio dessa função A escolha dessa função trigonométrica inversa é consistente com as propriedades geométricas do produto escalar 33 Lembrar que heta arccost cos 0pi1t t in 1 1 imagem de cos heta e portanto heta in 0 pi II PRODUTOS ESCALARES O caso heta pi2 ocorre precisamente quando vec x e vec y são ortogonais Os casos heta 0 pi ocorrem precisamente no caso de igualdade de II1 ou seja quando vec x vec y são ld Nessa situação concluímos que heta 0 resp heta pi quando vec y lambda vec x com lambda 0 resp lambda 0 32 Projeções ortogonais A definição do ângulo entre dois vetores vec 0 eq vec x vec y in V é consistente com a interpretação geométrica do produto escalar se S vec e1 ldots vec en é uma base on de V então vec x sumi1n xi vec ei Rightarrow langle vec ej vec x rangle sumi1n xi langle vec ej vec ei rangle xj para todo j 1 ldots n de modo que vec x sumi1n langle vec ei vec x rangle vec ei Ou seja langle vec ei vec x rangle é a componente de vec x ao longo de vec ei em S tal como esperado da interpretação geométrica do cosseno Além disso há uma conexão íntima entre as componentes de um vetor numa base on e a noção de distância euclidiana dados vec x vec y in V com vec x 1 temos que langle vec x vec y rangle vec x é o múltiplo escalar de vec x mais próximo de vec y Para ver isso escrevamos vec y underbracevec y langle vec x vec yrangle vec xvec y1perp underbracelangle vec x vec y rangle vec xvec y1 Notar agora que langle vec x vec yperp1 rangle langle vec x vec y langle vec x vec y rangle vec x rangle langle vec x vec y rangle langle vec x vec y rangle langle vec x vec x rangle 0 Dado vec z alpha vec x temos que vec y vec z2 langle vec y vec z vec y vec z rangle langle vec y1perp vec y1 alpha vec x vec y1perp vec y1 alpha vec x rangle langle vec y1perp vec y1perp rangle langle vec x vec y rangle alpha langle vec y1perp vec x rangle langle vec x vec y rangle alpha langle vec x vec y1perp rangle langle vec x vec y rangle alpha2 langle vec x vec x rangle vec y1perp2 langle vec x vec y rangle alpha2 Segue da identidade acima que é nada mais nada menos do que o teorema de Pitágoras que o menor valor possível para vec y vec z é atingido precisamente quando alpha langle vec x vec y rangle e é precisamente nesse caso que vec y vec z é ortogonal a vec x Podemos generalizar 34 3 Geometria do produto escalar esse raciocínio para mais de um vetor dado um conjunto on S vec e1 ldots vec ek subset V definamos PS vec x sumi1k langle vec ei vec x rangle vec ei A aplicação PS V o V possui as seguintes propriedades PS é linear dados vec x vec y in V alpha in mathbbR quaisquer temos que PS vec x vec y sumi1k langle vec ei vec x vec y rangle vec ei PS vec x PS vec y e PS alpha vec x sumi1k langle vec ei alpha vec x rangle vec ei alpha PS vec x vec x in LS se e somente se PS vec x vec x se vec x sumi1k xi vec ei já vimos acima que necessariamente xi langle vec ei vec x rangle para todo i 1 ldots k Conversamente obviamente sumi1k langle vec ei vec x rangle vec ei in LS logo vec x PS vec x implica vec x in LS Em particular PS P ilde S se S ilde S são conjuntos on tais que LS L ilde S ou seja PS depende apenas do subespaço vetorial LS e do produto escalar langle vec x PS vec x PS vec y rangle 0 para todo vec x vec y in V de fato langle vec x PS vec x PS vec y rangle leftlangle vec x sumi1k langle vec ei vec x rangle vec ei sumj1k langle vec ej vec y rangle vec ej rightrangle sumj1k langle vec ej vec y rangle langle vec x sumi1k langle vec ei vec x rangle vec ei vec ej rangle sumj1k langle vec ej vec y rangle langle vec x vec ej rangle langle vec x sumi1k langle vec ei vec x rangle vec ei rangle 0 Em particular obtemos daí mais uma versão do teorema de Pitágoras vec x2 langle vec x PS vec x PS vec x vec x PS vec x PS vec x rangle langle vec x PW vec x vec x PS vec x rangle langle vec x PS vec x PS vec x rangle langle PS vec x vec x PS vec x rangle langle PS vec x PS vec x rangle vec x PS vec x2 PS vec x2 Em vista das propriedades acima chamamos PS PW de projeção ortogonal ao longo do subespaço vetorial W LS Podemos também caracterizar PW em termos da distância euclidiana dado um vetor vec x in V qualquer PW vec x é o vetor em W mais 35 II PRODUTOS ESCALARES próximo de x De fato se y PWy W então por um cálculo similar ao feito acima x y² x PWy² x PWy x PWy x PWx PWx y x PWx PWx y x PWx x PWx x PWx PWx y PWx y x PWx PWx y PWx y x PWx² PWx y² Portanto o menor valor possível para x y se y W é atingido precisamente quando PWx y 0 e portanto PWx PWy y 33 Ortonormalização de bases e construção de bases ortonormais O método de GramSchmidt Projeções ortogonais fornecem um método para transformar um conjunto li S x1 xk V num conjunto on S e1 ek tal que se Sl x1 xl Sl e1 el l 1 k então LSl LSl para todo l 1 k Isso garante que as cls dos vetores em S que expressam os vetores em S são as mais simples possíveis computacionalmente e podem ser escritas de maneira recursiva ie por indução no número de vetores k em S Tal procedimento é chamado de ortonormalização de GramSchmidt A construção de S procede da seguinte maneira Defina e1 1x1x1 normalização de x1 e S1 e1 Notar que e1 x1x1 1 logo S1 é on e portanto li e α1x1 α1x1e1 logo LS1 LS1 Se k 1 não há mais nada a fazer Se k 1 façamos a seguinte hipótese de indução suponhamos que existe um conjunto on Sl ve1 el 1 l k tal que LSl LSl Defina yl1 xl1 PSlxl1 xl1 ki1 ei xl1 ei el1 1yl1 yl1 Segue que el1 1 e ej el1 ej yl1 0 para todo j 1 l portanto Sl1 Sl el1 e1 el1 é on logo li Obviamente el1 LSl1 logo Sl1 LSl1 Como Sl1 é li e tem o mesmo número de vetores que a base Sl1 de LSl1 concluímos que LSl1 LSl1 como desejado Se l 1 k acabamos do contrário repetir o procedimento acima com l 1 no lugar de l 36 3 Geometria do produto escalar Em síntese a ortonormalização de GramSchmidt consiste no seguinte algoritmo i Seja S x1 xk um subconjunto li de V ii Defina recursivamente ie por indução em l 1 k e1 1x1 x1 el1 1yl1 yl1 yl1 xl1 li1 ei xl1 el xl1 PSlxl1 onde Sl e1 el Sl x1 xl l 1 k iii O resultado como mostramos acima é um conjunto on S Sk e1 ek tal que LSl LSl para todo l 1 k Podemos inclusive integrar a ortonormalização de GramSchmidt à própria construção de um conjunto li S tal como feito no final da Seção 3 dado que ali obtemos Sl1 recursivamente a partir de Sl Tudo que precisamos fazer é substituir xl1 por el1 no passo de indução pois el1 depende apenas de Sl e xl1 Isso permite uma construção direta de um conjunto on e em particular de bases ons de subespaços vetoriais de dimensão finita de V se este é munido de um produto escalar Em vista de sua importância de agora em diante sempre assumiremos que nossos espaços vetoriais V são munidos de um produto escalar fixo denotado por x y x y V e no caso V Rn tal produto escalar será sempre o canônico Se for necessário mudar o produto escalar ou se tal notação causar confusão passaremos a usar uma notação diferente de maneira explícita 37 TRANSFORMAÇÕES LINEARES 1 DEFINIÇÃO E EXEMPLOS Sejam V W espaços vetoriais reais Uma aplicação T V W é dita uma aplicação linear ou uma transformação linear tl de V em W se dados x x V α ℝ quaisquer temos a Tx x Tx Tx b Tαx αTx Ou seja podemos por para fora de T as operações vetoriais de V notando que no lado direito de a b passamos a empregar as operações vetoriais de W Isso implica que podemos fazer o mesmo para qualquer cl de vetores em V por indução no número k de vetores na cl temos que para x1 xk V α1 αk ℝ quaisquer Se o contradomínio W de T coincide com o seu domínio V dizemos apenas que T é uma tl em V Se W ℝ dizemos que T é um funcional linear ou uma 1forma em V De agora em diante se T é uma tl empregaremos a notação simplificada Tx Tx ie sem os parênteses ao redor do argumento x de T sempre que esta não causar confusão Como exemplos de tls podemos citar i Tx 0 De fato Tx x 0 0 0 Tx Tx e Tαx 0 αTx para x x V α ℝ quaisquer Essa tl é conhecida como a aplicação zero de V em W denotada simplesmente por 0 Se W ℝ escrevemos T 0 ii W V Tx x De fato Tx x x vx Tx Tx e Tαx αx αTx para x x V α ℝ quaisquer Essa tl é conhecida como a aplicação identidade T ν de V III TRANSFORMAÇÕES LINEARES iii W ℝ Dado e V seja Devido à linearidade do produto escalar de V na segunda variável claramente iv Mais em geral se f1 fm W g1 gm V defina Por um cálculo análogo ao empregado no exemplo iii é fácil concluir que T é uma tl de V em W dados x x V α ℝ quaisquer temos que Um exemplo desse tipo no caso W V é a projeção ortogonal T PX sobre um subespaço vetorial X V nesse caso Ṡ fi gi i 1 m dimX é uma base on de X Na verdade assim como no exemplo iii veremos adiante que tal situação é genérica se T é uma tl de V em W e Ṡ f1 fm é uma base de W então existe uma única escolha de vetores g1 gm V tal que T tem a forma acima v W ℝⁿ n dimV Dada uma base S e1 en de V para cada x ⁿⱼ₁ xⱼ eⱼ definimos 2 Espaços vetoriais e produto de transformações lineares onde Ṡ f1 fn é a base canônica de ℝⁿ Segue de I2 ou alternativamente notando que T é da forma descrita no exemplo iv acima se escolhermos o produto escalar associado a S em V ou seja se S for on que T é uma tl de V em ℝⁿ Esse exemplo mostra que o sistema de coordenadas para V obtido por uma escolha de base S é linear justamente no sentido de ser uma tl de V em ℝⁿ 2 ESPAÇOS VETORIAIS E PRODUTO DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES Denotamos respectivamente por o espaço das tls de V em W o espaço das tls em V e o espaço das 1formas em V V é também conhecido como o espaço dual de V Notar agora que LV W é subespaço vetorial de F V W f V W com respeito às operações vetoriais pontuais 41 III TRANSFORMAÇÕES LINEARES Obviamente o zero de LV W é a aplicação zero de V em W apresentada no exemplo i acima A composta de duas tls é também uma tl Mais precisamente sejam V W X espaços vetoriais reais e T₁ V W T₂ W X tls Escrevendo T₂T₁ T₂ º T₁ V X ie T₂T₁𝑥 T₂T₁𝑥 𝑥 V temos que T₂T₁𝑥 𝑥 T₂T₁𝑥 𝑥 a T₂T₁𝑥 T₁𝑥 a T₂T₁𝑥 T₂T₁𝑥 T₂T₁𝑥 T₂T₁𝑥 e T₂T₁α𝑥 T₂T₁α𝑥 a T₂αT₁𝑥 a αT₂T₁𝑥 αT₂T₁𝑥 para 𝑥 𝑥 V α R quaisquer Como a composição de aplicações é associativa e temos que T₂ T₂T₁𝑥 T₂ T₂T₁𝑥 T₂T₁𝑥 T₂T₁𝑥 e T₂T₁ T₁𝑥 T₂T₁ T₁𝑥 T₂T₁𝑥 T₁𝑥 a T₂T₁𝑥 T₂T₁𝑥 para T₁ T₁ LV W T₂ T₂ LW X 𝑥 V quaisquer vemos que podemos considerar T₂T₁ como um produto associativo e distributivo e portanto passaremos a denominálo como tal Tal produto contudo não é comutativo se o domínio de T₁ não contiver a imagem de T₂ sequer faz sentido falar de T₁T₂ Mais ainda mesmo se V W X não é necessariamente verdade que T₁T₂ T₂T₁ Seja T V W bijetora de modo que existe uma única aplicação inversa T¹ W V satisfazendo T¹ º T IV e T º T¹ IW Se V é um espaço vetorial real então V é claramente uma tl em V Além disso se T é uma tl então T¹ também é dados 𝑥 𝑥 V α R quaisquer temos que T¹𝑥 𝑥 T¹TT¹𝑥 TT¹𝑥 a T¹TT¹𝑥 T¹𝑥 T¹𝑥 T¹𝑥 e T¹α𝑥 T¹αTT¹𝑥 b T¹TαT¹𝑥 αT¹𝑥 Notar que a distributividade com respeito ao segundo fator depende crucialmente do fato que T₂ é uma tl e não vale para a composição de aplicações mais gerais ao contrário da distributividade com respeito ao primeiro fator que depende apenas da definição de soma pontual de aplicações 42 3 A MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 31 Determinação de uma transformação linear por seus valores numa base Mostraremos agora que uma tl T V W é unicamente determinada pelos seus valores numa base de V Seja S ē1 ēn uma base de V dado 𝑥 j1n xj ēj V temos que III1 T𝑥 T j1n xj ēj j1n xjTēj Assim para definir uma tl T V W é suficiente fornecer uma lista de n vetores Tē1 Tēn que serão as respectivos valores de T em ē1 ēn Seja agora S f₁ fₘ uma base de W de modo que III2 Tēj i1m Aij fi j 1 Em outras palavras Aij R é a componente de Tēj ao longo de fi em S Segue daí que III3 T𝑥 j1n xj i1m Aij fi j1n i1m Aij xj fi i1m j1n Aij xj fi Suponhamos que S é on definindo III4 gi j1n Aij ēj i 1 m temos que III5 T𝑥 i1m gi 𝑥 fi e portanto mostramos que toda tl T V W é da forma descrita no exemplo iv acima Em particular se W R e portanto m 1 temos que Tēj A1j R j 1 n e portanto ēT g1 j1n Tēj ēj 43 III TRANSFORMAÇÕES LINEARES é o único vetor em V tal que T𝑥 ēT 𝑥 para todo 𝑥 V tal como afirmado no exemplo iii acima A unicidade segue do seguinte argumento se ē V satisfaz T𝑥 ē 𝑥 para todo 𝑥 V então ē ēT 𝑥 ē 𝑥 ēT 𝑥 T𝑥 T𝑥 0 para todo 𝑥 V Em particular tomando 𝑥 ē ēT concluímos que ē ēT ² 0 ou seja ē ēT Esse resultado é conhecido como Lema de Riesz Obviamente T𝑥 0 se e somente se 𝑥 for ortogonal a ēT 32 Vetoreslinha vetorescoluna e multiplicação de matrizes Retornando ao caso geral notemos agora que III3 fornece ainda uma expressão das componentes de T𝑥 em S em termos das componentes de 𝑥 em S como uma multiplicação de matrizes revisaremos esse conceito em breve dado 𝑥 j1n xj ēj V definamos 𝑥S x₁ xₙT Ie uma matriz com uma única coluna O vetorcoluna de 𝑥 em S A última identidade em III3 nos diz que T𝑥S A𝑥S cujo lado direito denota a multiplicação matricial de 𝑥S pela matriz A Aij denominada a matriz de T nas bases S S Em particular se V Rⁿ W Rᵐ e S S são as respectivas bases canônicas então 𝑥S é simplesmente a matriz de uma coluna cuja entrada na iésima linha é a iésima componente de 𝑥 e a ação de qualquer tl T de Rⁿ em Rᵐ assume a forma 𝑥 j1n xj ēj x₁ xₙ 𝑥S₁₁ 𝑥Sₙ₁ T𝑥 i1m j1n Aij xj fi T𝑥S₁₁ T𝑥Sₘ₁ A𝑥S₁₁ A𝑥Sₘ₁ Se W V e S S dizemos apenas que A é a matriz de T em S Se W R e S 1 é a base canônica de R então A Tē₁ Tēₙ 44 3 A matriz de uma transformação linear é denominada nesse caso de vetorlinha de T em S cujas entradas são as componentes do vetor êT dado pelo Lema de Riesz se S for on Lembremos que o conjunto Mmnℝ das matrizes reais com m linhas e n colunas é um espaço vetorial ver o exemplo iv da Subseção 22 Além disso podemos definir a transposta de A Mmnℝ como a matriz AT com linhas e colunas de A trocadas ie com entradas ATij Aji i 1 m j 1 n e o produto de B Mpmℝ por A Mmnℝ como a matriz BA Mpnℝ com entradas BAkj i1m BkiAij i 1 m j 1 n Notar que BA só faz sentido se o número de linhas de A for igual ao número de colunas de B e que tal produto não é comutativo 31 EXERCÍCIO a Mostre que o produto de matrizes é associativo e distributivo no mesmo sentido que o produto de tls Dica mostre isso para cada entrada b Seja a matriz identidade ₙ Mₙₙℝ dada por ij 0 i j 1 i j Mostre que A A B B para A Mₙpℝ B Mpnℝ quaisquer Dica mostre isso para cada entrada c Sejam as matrizes 2 2 A 0 11 0 e B 1 00 1 Mostre que BA AB Observamos que cada uma das operações algébricas de matrizes descritas acima expressa uma operação correspondente de tls Mais precisamente Se S é on temos que Aij fi T ej para todo i 1 m j 1 n Nesse caso se a tl T W V é dada por Tfi gi i 1 m onde g1 gm são os vetores de V aparecendo na representação III5 de T acima temos que III6 y i1m yi fi W Ty i1m yi gi i1n fi y gi note o paralelo com a fórmula III5 e portanto III7 Ty x i1m yi gi x i1m yigi x y Tx 45 III TRANSFORMAÇÕES LINEARES para todo x V y W Notar que a primeira e última expressões em III7 não dependem de S S Em particular se Ṫ W V satisfaz Ṫ y x y Tx para todo x V y W então Ṫ y Ty x Ṫ y x Ty x y Tx y Tx 0 para todo x V y W Em particular tomando x Ṫ y Ty concluímos que Ṫ y Ty² 0 e portanto Ṫ y Ty para todo y W A tl T de W em V é denominada a adjunta de T e a matriz B de T em S S é igual à transposta AT da matriz A de T em S S Bji ATji Aij i 1 m j 1 n Em particular vemos que a identidade ATT ATT A expressa o fato que T T T que por sua vez segue da unicidade da adjunta que obtivemos a partir de III7 acima no caso em que substituímos T por T Sejam T₁ T₂ V W tls de V em W β ℝ quaisquer S e₁ en base de V e S f1 fm base de W Se A Aⁱj é a matriz de T₁ em S S e B Bⁱj é a matriz de T₂ em S S então A B Aij Bij e βA βAij são respectivamente as matrizes de T₁ T₂ e βT₁ em S S De fato como Aⁱj é a componente de T₁ ej ao longo de fi em S e Bⁱj é a componente de T₂ ej ao longo de fi em S claramente Aⁱj Bⁱj é a componente de T₁ ej T₂ ej T₁ T₂ ej ao longo de fi em S e βAⁱj é a componente de βT₁ ej βT₁ ej ao longo de fi em S para cada i 1 m j 1 n Sejam V W X espaços vetoriais reais T₁ V W T₂ W X tls e S e₁ en S f1 fm S h1 hp respectivamente bases de V W e X Se A Aij Mmnℝ é a matriz de T₁ em S S e B Bki Mpm é a matriz de T₂ em S S então C Ckj BA produto de B por A é a matriz de T₂ T₁ em S S De fato como Aij é a componente de T₁ ej ao longo de fi em S Bki é a componente de T₂ fi ao 46 longo de hk em S e Ckj é a componente de T₂ T₁ ej ao longo de hk para cada i 1 m j 1 n k 1 p temos que T₂ T₁ ej k1p Ckj hk T₂ i1m Aij fi i1m Aij T₂ fi i1m Aij k1p Bki hk i1m k1p Aij Bki hk k1p i1m Bki Aij hk j 1 n logo obtemos a fórmula desejada No caso em que V ℝⁿ W ℝᵐ e X ℝᵖ a vemos que a multiplicação de matrizes é precisamente a composição de tls A matriz da identidade V de V em S é precisamente a matriz identidade ₙ n dimV já que ej ej para todo j 1 n Notar que essa matriz é a mesma para todas as bases de V por isso usamos a mesma notação para a identidade e sua matriz posto que isso não causará confusão Se uma tl T U V é invertível vimos acima que sua inversa T¹ W V é também uma tl Além disso se S e₁ en é base de V e S f1 fm é base de W A é a matriz de T em S S e B é a matriz de T¹ em S S então T¹ T ej ej i1m Aij T¹ fi i1m Aij l1n Bli el l1n i1m Bli Aij el BA e TT¹ fi fi j1n Bji T ej j1n Bji k1m Akj fk k1m j1n Akj Bji fk AB ou seja B é a matriz inversa A¹ de A Notar que AB e BA só podem ser definidas simultaneamente se n m 47 III TRANSFORMAÇÕES LINEARES 33 O efeito de uma mudança de base sobre a matriz de uma transformação linear Veremos agora como muda a matriz de uma tl T V W se mudarmos as bases de V e de W Para tal sejam S₁ e₁ eₙ S₂ e₁ eₙ bases de V e S₁ f₁ fₘ S₂ f₁ fₘ bases de W Defina as transformações lineares U V V Ũ W W como Ueⱼ eⱼ Ũfᵢ fᵢ i 1 m j 1 n Segue que U e Ũ são invertíveis e suas respectivas inversas U1 Ũ1 são obviamente dadas por U1eⱼ eⱼ Ũ1fᵢ fᵢ i 1 m j 1 n Escrevemos eₗ Ueₗ j1n Cⱼₗeⱼ l 1 n fₖ Ũfₖ i1m Dᵢₖfᵢ k 1 m de modo que C Cⱼₗ é a matriz de U em S₁ e D Dᵢₖ é a matriz de Ũ em S₁ denominadas respectivamente matrizes de mudança de base de S₁ para S₂ e de S₁ para S₂ Devido à forma particular de U e Ũ temos que Ueₗ j1n Cⱼₗ Ueⱼ j1n Cⱼₗ eⱼ l 1 n Ũfₖ i1m Dᵢₖ Ũfᵢ i1m Dᵢₖ fᵢ k 1 m ou seja C é também a matriz de U em S₂ e D é também a matriz de Ũ em S₂ Obviamente U e Ũ e portanto C e D são invertíveis e U1 resp Ũ1 transforma a base S₂ resp S₂ de volta na base S₁ resp S₁ de modo que C1 resp D1 é a matriz de mudança da base S₂ resp S₂ para a base S₁ resp S₁ Logo pelo argumento acima C1 é a matriz de U1 em S₁ e S₂ e D1 é a matriz de Ũ1 em S₁ e S₂ Segue então que x j1n xⱼeⱼ l1n xₗeₗ l1n xₗ j1n Cⱼₗeⱼ j1n l1n Cⱼₗ xₗeⱼ xS₂ C1 xS₁ 4 O Teorema do Núcleo e da Imagem para todo x V e por um cálculo análogo yS₂ D1 yS₁ para todo y W Seja agora T V W uma tl cuja matriz em S₁ S₁ é dada por A e cuja matriz em S₂ S₂ é dada por B Teⱼ i1m Aᵢⱼfᵢ Teₗ k1m Bₖₗfₖ Segue que Teₗ T j1n Cⱼₗeⱼ j1n Cⱼₗ Teⱼ j1n Cⱼₗ i1m Aᵢⱼfᵢ k1m Bₖₗfₖ k1m Bₖₗ i1m Dᵢₖfᵢ i1m k1m Dᵢₖ Bₖₗ fᵢ i1m j1n Aᵢⱼ Cⱼₗ fᵢ e portanto DB AC logo B D1 AC Essa fórmula é particularmente conveniente no caso em que S₁ e S₂ são on pois nesse caso Dᵢₖ fᵢ Ũfₖ fᵢ fₖ fₖ Ũ1fᵢ D1kᵢ para todo ik 1 m e portanto D1 DT de modo que B DT AC Da mesma forma se S₁ e S₂ são on concluímos analogamente que C1 CT 4 O TEOREMA DO NÚCLEO E DA IMAGEM Seja T V W é uma tl Sendo T uma aplicação de V em W então podemos falar de imagens e imagens inversas de subconjuntos por T Mais precisamente dados S V e S W denotamos a imagem de S por T por TS y Tx W x S e a imagem inversa de S por T por T1S x V Tx S Se S y é unitário dizemos simplesmente que T1y T1y é a imagem inversa de y por T Cabe aqui uma observação sobre a notação empregada para imagens inversas Note que T não precisa ser invertível T1y denota um subconjunto de V que é III TRANSFORMAÇÕES LINEARES vazio se y TV ou tem mais de um elemento se T não for injetora e pode ser identificado com um vetor em V somente no caso em que T1y é unitário Segue dessas definições que TLS y T j1k αⱼxⱼ α₁ αₖ ℝ x₁ xⱼ S y j1k αⱼ Txⱼ α₁ αₖ ℝ x₁ xⱼ S LTS em particular a imagem ImT TV de T é subespaço vetorial de W e que o núcleo kernel em inglês kerT T10 de T é subespaço vetorial de V se x x kerT e α ℝ quaisquer então Tx x Tx Tx 0 0 0 e Tαx αTx α0 0 portanto x x αx kerT Por definição T é sobrejetora se e somente se ImT W Além disso T é injetora se e somente se kerT 0 De fato se kerT 0 e x x V satisfazem Tx Tx temos que Tx Tx Tx x 0 e portanto x x 0 Conversamente temos que se Tx 0 então Tx x Tx Tx Tx para todo x V Logo se T é injetora nesse caso x 0 A sobrejetividade e a injetividade de uma tl T V W podem ser expressas em termos de sua ação sobre certos subconjuntos li S V T é sobrejetora se e somente se dada uma base S qualquer de V temos que LTS ImT W a primeira identidade segue do cálculo acima e a segunda identidade é a definição da sobrejetividade de T 50 4 O Teorema do Núcleo e da Imagem T é injetora se e somente se dado um subconjunto li S V qualquer temos que TS também é li suponha que TS é li para todo S V li então T𝑥 0 se 𝑥 0 e portanto T é injetora Conversamente se T é injetora e 𝑥1 𝑥k são li sejam α1 αk ℝ tais que j1k αj T𝑥k 0 T j1k αj 𝑥j Então j1k αj 𝑥j 0 e portanto α1 αk 0 logo T𝑥1 T𝑥k são li Em particular T é bijetora se e somente se TS é base de W para toda base S de V Em outras palavras o exemplo típico de tls bijetoras ocorre ao efetuarmos uma mudança de base Se V tem dimensão finita ambos os fatos acima são casos particulares de um resultado geral conhecido como Teorema do Núcleo e da Imagem Dados espaços vetoriais reais V W e T LV W o posto rank em inglês de T é dado por RT dim ImT e a nulidade de T por NT dim kerT Obviamente RT NT dim V pois LTS Im T se S é base de V e kerT é subespaço vetorial de V III1 TEOREMA do Núcleo e da Imagem Sejam V W espaços vetoriais reais n dimV e T LV W Então NT RT dimV n Demonstração Definamos k NT l RT Sejam S0 𝑒1 𝑒k uma base de kerT e S1 𝑓1 𝑓l uma base de Im T de modo que 𝑓i T 𝑒ki para algum 𝑒ki V i 1 l Obviamente 𝑒ki kerT para todo i 1 l mostraremos agora que definindo S1 𝑒k1 𝑒kl temos que S S0 S1 𝑒1 𝑒kl é base de V Primeiramente notar que S é li dados α1 αkl ℝ tais que j1kl αj 𝑒j 0 temos que T j1kl αj 𝑒j 0 j1kl αj T 𝑒j i1l αki 𝑓i e portanto αk1 αkl 0 pois S1 é li Logo j1k αj 𝑒j 0 e portanto α1 αk 0 pois S0 é li Falta apenas concluir que LS V para tal notar que dado 𝑥 V podemos escrever T 𝑥 i1l xki 𝑓i i1l xki T 𝑒ki T i1l xki 𝑒ki 51 III TRANSFORMAÇÕES LINEARES para uma única escolha de xk1 xkl ℝ Defina 𝑥1 i1l xki 𝑒ki 𝑥0 𝑥 𝑥1 Segue que T𝑥1 T 𝑥 e portanto 𝑥0 kerT pois T 𝑥1 i1l xki 𝑓i T 𝑥 T 𝑥0 T 𝑥 𝑥1 T 𝑥 T 𝑥 0 logo podemos escrever 𝑥0 j1k xj 𝑒j para uma única escolha de x1 xk ℝ e portanto 𝑥 j1kl xj 𝑒j como desejado O Teorema do Núcleo e da Imagem possui várias consequências No que se segue V W são espaços vetoriais reais com dim V i T LV W é sobrejetora se e somente se NT dim V dim W Em particular se dim W dim V então T não pode ser sobrejetora ii T LV W é injetora se e somente se RT dim V iii T LV W é bijetora se e somente se RT dim V dim W iv Se T V então NT dimV 1 ou dimV e o último caso ocorre se e somente se T 0 O fato iv acima fornece uma maneira alternativa de obter o Lema de Riesz III2 LEMA de Riesz Seja V um espaço vetorial real dim V Dado T V existe um único vetor 𝑥T V tal que T 𝑥 𝑥T 𝑥 para todo 𝑥 V a saber 𝑥T 0 T0 T 𝑧T 𝑧T2 𝑧T T 0 Notar que pelo Teorema do Núcleo e da Imagem 𝑧T é único a menos de um múltiplo escalar onde 0 𝑧T é um vetor ortogonal a ker T Demonstração Comecemos com a questão da unicidade Se 𝑧 𝑧 V são tais que 𝑧 𝑥 𝑧 𝑥 T 𝑥 para todo 𝑥 V então 𝑧 𝑧 𝑥 𝑧 𝑥 𝑧 𝑥 T 𝑥 T 𝑥 0 para todo 𝑥 V Em particular tomando 𝑥 𝑧 𝑧 obtemos 𝑧 𝑧2 0 e portanto 𝑧 𝑧 Passando agora à questão da existência se T 0 obviamente não há outra escolha para 𝑥T a não ser 𝑥T 0 Se T 0 seja 𝑧 T tal que T 𝑧 0 Podemos então construir uma base on S0 𝑒1 𝑒n1 de kerT e portanto a projeção 52 5 Pseudoinversas ortogonal PkerT sobre kerT De maneira similar à adotada na ortonormalização de GramSchmidt defina 𝑧T 𝑧 PkerT 𝑧 𝑒n 1 𝑧T 𝑧T de modo que S 𝑒1 𝑒n é base on de V Mostraremos agora que se 𝑥T tem as propriedades listadas no enunciado do Lema de Riesz então 𝑥T T 𝑒n 𝑒n T 𝑧T 𝑧T2 𝑧T De fato dado 𝑥 V qualquer podemos escrever 𝑥 PkerT 𝑥 𝑥 PkerT 𝑥 𝑥 PkerT 𝑥 𝑒n 𝑥 𝑒n e portanto T 𝑥 T PkerT 𝑥 𝑒n 𝑥 T 𝑒n T 𝑒n 𝑒n 𝑥 como desejado Notar que 𝑥T1T2 𝑥T1 𝑥T2 e 𝑥α T1 α 𝑥T1 para T1 T2 V α ℝ quaisquer Vamos agora estabelecer a relação da fórmula obtida no Lema III2 com a fórmula que já tínhamos obtido anteriormente se T V e S 𝑒1 𝑒n é uma base on de V então V 𝑥 j1n xj 𝑒j T 𝑥 j1n xj T 𝑒j 𝑥T 𝑥 𝑥T j1n T 𝑒j 𝑒j Em particular 𝑥T é ortogonal a kerT e T 𝑥T j1n T 𝑒j2 𝑥T2 logo T 𝑥T 0 se e somente se T 0 Aproveitamos o momento para introduzir uma notação alternativa para 𝑥T que será a notação padrão daqui em diante Dados 𝑥 V T V definimos 𝑥 V T V como 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 V T 𝑥T Fica claro que 𝑥 𝑥 e T T para 𝑥 V T V quaisquer Além disso as aplicações V 𝑥 𝑥 V V T T V são tls exercício verifique portanto denotarlasemos por isomorfismos musicais 5 PSEUDOINVERSAS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES REGRESSÃO LINEAR 53 IV SISTEMAS LINEARES 55 No text extracted No text extracted V Determinantes autovalores e autovetores 1 Determinantes 2 Autovalores e autovetores de uma transformação linear 3 Decomposição em valores singulares Análise de componentes principais 57 Controls Opens Devices manager Displays information about the computers hardware devices and drivers Allows you to change device settings add or remove device drivers and troubleshoot device problems Windows 10 In Cortana search box type device manager and select Device Manager from the search results Windows 11 Select Search on the taskbar enter device manager and select Device Manager from the search results View enable disable update roll back or uninstall device drivers Troubleshoot hardware devices View devices connected to the computer If no devices are shown select Scan for hardware changes Windows Update Updates Windows operating system device drivers security software and apps automatically Provides control over updating Access Windows Update settings from Start Settings Update security Windows Update If you experience issues with updates troubleshooting and update history can help identify and resolve problems Security Updates Manages Windows security backup and update settings Accessible via Start menu Settings Update Security System Displays detailed information about your computer and Windows version Accessed by rightclicking This PC Properties Performance and Resource Monitor Provides tools to monitor system performance and resource usage such as CPU disk memory and network Access via Task Manager Performance tab or Resource Monitor Task Manager Monitors running processes and system performance Allows ending unresponsive tasks and viewing startup programs Open with CtrlShiftEsc or rightclick taskbar and select Task Manager Event Viewer Views detailed logs of system security and application events Open via Start Search event viewer or Run dialog type eventvwrmsc Disk Management Manages disk partitions formats drives and assigns drive letters Open via Start Search disk management or Run dialog type diskmgmtmsc Network and Sharing Center Manages network connections and settings Access via Control Panel Network and Internet Network and Sharing Center Firewall Network Protection Controls Windows Firewall settings and network security Access via Windows Security app or Start Settings Update Security Windows Security Firewall network protection Power Options Configures power plans and battery settings Access via Control Panel Hardware and Sound Power Options Backup and Restore Tools for creating backups and restoring files Access via Control Panel System and Security Backup and Restore Windows 7 or File History System Configuration Troubleshoots startup issues and manages startup programs Open via Run dialog type msconfig Command Prompt and Windows PowerShell Commandline interfaces for advanced system management Access via Start Search cmd or PowerShell Registry Editor Advanced editing of Windows Registry settings Use with caution Open via Run dialog type regedit System Restore 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