Exercícios de Geometria Analítica: Posição Relativa, Distâncias e Ângulos

Lista 8 Geometria Analitica Posicao Relativa Distancia e Angulos e paralelo a reta x 4 3 1 Estude a posicao relativa das retas r e s Se as retas forem concorrentes encontre 0 ponto 5 Encontre o ponto de interseccéo da reta de interseccao delas dada com o plano dado a ri 144 123tes 251 a Sbabtaz 2x3yz10 24 6t b x43 ue x2yz150 b 1X 301 t011 8 452 y Z c rE aS 2 gg ey yl 6 Escreva as equacdes do plano que passa 3 3 5 y q 4 por 123 e paralelo as retas d rx1 y351sty1 z x1l y z7 x5 y2 z3 2 3 3 3 2 e rX 302 t112 Xxyz5 Ss 7 Prove que as retas x3yz1 x1 y2 z5 5 6 66 2 Dadas as retas r X 010 A100 xyz 3t72t 22t 1 esX 127 A213 obtenha uma sao coplanares e determine a equacado desse equacao vetorial da reta t concorrente com r e plano s e paralela a u 151 8 Mostre que a reta 3 Mostre que a reta 2xyz0 x3t2 dy 5y 8 y4t1 od esta contida no plano 2x 3y 4z 8 z4t5 é lel lano 4x 3y 6z5 0 Pam BO PIANO IOS NE 9 Ache o angulo agudo entre as retas 3x 4y20e2x3y7 4 Determine a equacao do plano contendo areta 10 Qual o Angulo entre 0 eixo x e 5x 12 2x3yz5 3 2x 5y2z6 11 Determine as equac oes parametricas da reta que passa pelo ponto 1 2 1 e e ortogonal as retas r 1 3 0 1 2 1t e s 2 1 0 1 1 1t 12 Determine as equac oes parametricas da reta perpendicular as retas r x 3t 4 y 2t 2 z 3t 5 e s x t y 2t 2 z t 3 13 Ache os ˆangulos entre os planos a 3x y z 2 e x y 6 b x 2y 3z 8 e 2x 4y 6z 31 0 c x 0 e y 0 d x 1 e x y 1 14 Ache as distˆancias entre os pontos e as retas dadas a 3 4 a 5x 2y 3 b 2 5 a 7x 3 0 c Origem a 3x 2y 6 0 15 Determine a distˆancia δ entre o ponto A 3 1 e a reta r x 2y 3 pelo seguinte metodo a Encontre a equacao da reta s perpendi cular a reta r e contendo o ponto A b Ache o ponto B dado pela interseccao de r e s c Calcule a distˆancia entre A e B 16 Ache a distˆancia entre as duas retas pa ralelas 3x 2y 6 e 6x 4y 9 Porque essas retas sao paralelas 17 Determine a distˆancia entre os planos da dos e a origem a x 5 b x y 1 c 2x y z 0 d 2x y z 2 18 Determinar a distˆancia d do plano π 3x 12y 4z 3 0 ao ponto A 3 1 2 pelo seguinte processo a Encontrar a equacao da reta r perpendi cular ao plano π contendo A b Encontrar o ponto B pe da perpendicu lar por A no plano c Determinar d como o comprimento do segmento AB 19 Ache a distˆancia entre os planos parale los a 4x 8y z 9 e 4x 8y z 18 0 b 3x2y6z8 0 e 6x4y12z12 0 20 a Prove que a distˆancia entre duas retas paralelas cujas equac oes sao Ax By C 0 e Ax By C 0 e C C A2 B2 2 b Prove que a distˆancia entre dois planos paralelos cujas equac oes sao Ax By Cz D 0 e Ax By Cz D 0 e D D A2 B2 C2 21 Determinar a distˆancia do ponto a reta a ponto 2 2 2 a reta r x 2t 1 y 3t 2 z 5t 1 b ponto 1 2 3 a reta x7 6 y3 2 z 3 c ponto 7 7 4 a reta 6x 2y z 4 0 e 6x y 2z 10 0 22 Ache os pontos sobre o eixo y que dis tam 4 do plano x 2y 2z 0 23 Determine a distˆancia entre as retas r que tem equacao parametricas r x 2t 1 y 3t 2 z 5t 1 e a reta s que tem equacao parametrica s x 4s 1 y 2s 2 z 1s 5 24 Ache a equacao da reta que passa pelo ponto 2 1 5 e que intercepta a reta x 1 3 y 2 4 z 3 2 perpendicularmente 25 Ache as equac oes dos planos paralelos ao plano 3x 2y 6z 8 0 e que distam 2 desse plano Exercıcios Complementares 26 Determine o ponto de interseccao entre a reta que passa pelos pontos 3 0 1 e 1 2 1 e a reta que passa pelos pontos 4 1 1 e 1 1 2 27 A altura e a mediana relativas ao vertice B do triˆangulo ABC estao contidas respectiva mente em r X 6 0 3 λ3 2 0 e s X 0 0 3 µ3 2 0 Sendo C 4 1 3 deter mine A e B 28 Sejam r a reta representada parametrica mente por x at c e y bt d e s a reta cuja equacao e αx βy γ a Quando r intersepta s b Se r interceptar s determine o ponto P de interseccao entre as duas retas 29 Mostre que a reta x 10 3 6 y z 1 intersecciona os planos π1 6x 4y 5z 4 e π2 x 5y 2z 12 no mesmo ponto Conclua que essa reta e coplanar com a reta determinada pela interseccao desses planos 30 Mostre que a equacao do plano que passa pelo ponto x0 y0 z0 e e paralelo as re tas x a1 l1 y b1 l2 z c1 l3 3 X72 YT b2 2702 35 Mostre que o segmento retilineo que une m2 m3 os pontos médios de dois lados opostos de qual pode ser escrita como quer quadrilatero e o segmento retilineo que XX9 YYo zZo une os pontos médios das diagonais do qua drilatero cortam se mutualmente ao meio y ly 13 0 Mm m2 m3 36 Ache a equagao do plano perpendicular ao plano Oxz que contém o ponto 123 e que 31 Determine os valores de a e b de modo faz um Angulo de com 3x 2yz1 que os planos x 2y z be 3x5y3z1 e 2x 7y az 8 se interceptem 37 Ache o comprimento das alturas de um a um ponto tridngulo com vértices a0b00c b uma reta c trés retas distintas e paralelas 38 Ache os pontos da reta y 2x 1 que estado situados a distancia 2 da origem 32 Ache duas retas passando por 11 que faz um Angulo de 45 com 3x 4y 7 39 Se a distancia da origem a um plano é d e esse plano intercepta os eixos em a00 33 Ache os trés angulos de um triangulo cu 0 b 0 e 00c prove que jos vértices sao 211232 Veja se 1 1 1 1 eles somam 180 2 a2tipta 34 Escreva a equacao da reta que passa pela origem e faz um angulo de 45 com a reta 4o0 Determine as equacéo da reta que passa a v3 pelo ponto 31 e tal que a distancia desta reta ao ponto 11 é igual a 22 Duas solucées 4 1 aParalelas 17 d Ze bConcorrentes P 3 12 12 cReversas 21 b7 dConcorrentes P 205 eCoincidentes 22 060 4 138x 23y 368 23 Dica Calcule a distancia de A 121 ao 7 yz7 plano contendo s paralelo a r 8 Dica Mostre que o sistema 26 P 211 2xyz0 28 at Waco Pe 4y Sy 8 2x 3y 4z 8 31 aa 2 Regra de Cramer ba 2b95 admite infinitas soluc6es ca 2b495 9 arccos 5 5V13 34 x V3 2y 0 4 13 aarccos As 36 14 a4 V29 3421 5V21 a ee 16 3 6 2 2V13 5