Lista de Exercícios: Física Quântica - Degraus, Barreiras e Tunelamento

Física Quântica 20213 Quadrimestre Suplementar 4 Lista 7 Tema Degraus Barreiras e Tunelamento Questões a Discuta qualitativamente os fenômenos de reflexão e transmissão de ondas de matéria em uma barreira de potencial e em um poço de potencial quadrado finito b Explique o que é tunelamento como ocorre e quais as condições para que ocorra c Considere uma feixe de partículas de massa m0 e energia cinética média Ek que incidem em uma barreira quadrada de largura L e altura V0 onde Ek V0 Escreva a expressão que descreve a taxa de transmissão de tunelamento e discuta como o valor desta taxa muda quando variamos os parâmetros m0 Ek L e V0 Problemas 1 Considere o potencial degrau V x 0 se x 0 região I V0 se x 0 região II em que V0 é uma constante positiva i Sendo E V02 a energia de cada partícula num feixe incidindo inicialmente de x 0 e que se move em direção a x 0 calcule o coeficiente de reflexão R Nesse caso qual é o comportamento da função de onda de uma partícula na região onde x 0 É possível observar partículas nesta região em algum momento ii Para E 2V0 calcule o coeficiente de reflexão R e o coeficiente de transmissão T Mostre que R T 1 iii No caso do item ii e considerando que o feixe contém aproximadamente um mi lhão de partículas qual seria o número estimado de partículas refletidas 2 Em um dispositivo semicondutor uma camada de óxido forma uma barreira com 05 nm de largura e 10 V de altura entre os dois fios condutores Elétrons chegam a barreira depois de serem acelerados por uma tensão de 5 V partindo aproximadamente do repouso i Qual fração dos elétrons incidentes consegue atravessar a barreira por tunelamento ii Qual deve ser a tensão de aceleração para que a fração dos elétrons incidentes que consegue atravessar a barreira por tunelamento seja o dobro do valor encontrado no item i 3 Um elétron tem energia cinética de 12 0 eV O elétron incide sobre uma barreira retangular de altura 20 0 eV e largura de 1 00 nm Se o elétron absorveu toda a energia de um fóton de luz verde com comprimento de onda de 546 nm no instante em que alcançou a barreira por qual fator aumentaria a probabilidade de o elétron tunelar através da barreira Page 2 Física Quântica 20213 Quadrimestre Suplementar 4 Lista 7 Tema Degraus Barreiras e Tunelamento GABARITO Questões a Discuta qualitativamente os fenômenos de reflexão e transmissão de ondas de matéria em uma barreira de potencial e em um poço de potencial quadrado finito Resp No caso da barreira potencial três fenômenos podem ocorrer dependendo da energia total da partícula E do potencial da barreira V0 e da largura da barreira L Se E V0 A onda ou o pacote de ondas ao atingir a barreira devido a abrupta mudança de potencial em parte é refletido e em parte transmitido Esse fenômeno ocorre tanto no início quanto no fim da barreira ou seja sempre que há uma mudança repentina de potencial No caso de uma partícula clássica essa reflexão não seria esperada A porcentagem de partículas que são refletidas ou transmitidas dependendo dos valores de E e V0 Se E V0 e L é grande Todas as partículas são refletidas ao atingir a barreira Se E V0 e L é suficientemente pequeno Parte das partículas são refletidas e parte são transmitidas graças ao fenômeno de tunelamento tal fenômeno não possui aná logo clássico No caso do poço quadrado finito teremos também os fenômenos de reflexão e transmissão pra estados que nao sejam ligados Ou seja Se E V0 Ocorre o efeito de transmissão e reflexão de maneira semelhante ao caso descrito anteriormente Se E V0 Temos um estado ligado ou seja a partícula é confinada no potencial e pode possuir apenas valores específicos de energia E b Explique o que é tunelamento como ocorre e quais as condições para que ocorra Resp O fenômeno de tunelamento ocorre quando uma onda consegue penetrar e atraves sar uma barreira de potencial mesmo que classicamente ela não tivesse a energia suficiente para superar esta barreira Resolvendo a equação de Schrödinger vemos que a probabili dade deste efeito ocorrer diminui com a largura da barreira e com a altura do potencial pois nas regiões classicamente proibidas há uma supressão ou queda exponencial na fun ção de onda e consequentemente na probabilidade de se medir a partícula nessa região Se considerarmos um potencial degrau finito determinando as solugao da equagao de Schroé dinger e aplicando as condicdes de contorno chegamos que o coeficiente de transmissao associado a probabilidade particula atravessar a barreira para o caso de um potencial muito alto comparada a energia da particula é proporcional a 2mVoE Tae A L Podemos ver que depende da massa da particula da diferenca entre o potencial e a energia da particula Vo F e da largura da barreira L c Considere uma feixe de partfculas de massa mg e energia cinética média E que incidem em uma barreira quadrada de largura EL e altura Vo onde Ex Vo Escreva a expressao que descreve a taxa de transmissao de tunelamento e discuta como o valor desta taxa muda quando variamos os parémetros mo Ex L e Vo Resp A taxa de transmissdo de tunelamento é proporcional 4 expressao 2mo Vo Ep T x en 0 kT Assim analisando esta expressio matematica podemos ver que J diminui exponencial mente com mo Vo e L ou seja quanto maior um destes parametros menor sera a taxa de transmissao Ainda podemos notar que T é afetado de forma mais acentuada por L que por mp e Vo pois o efeito de L nao é atenuada pela raiz quadrada Em relacao a energia cinética Ex quanto maior a energia cinética da particula maior é a transmissao Nota 1 Um calculo exato da taxa de transmissao de tunelamento de particulas de massa mo e com energia cinética E por uma barreira quadrada de altura Vo e largura L é dada por 42 E senh mmole a L 1 T jl AER Exy Ack 1 i px V2 E Onde senhx 0 seno hiperbdlico senhx Porém para casos onde yemolVo 7 1 a expresséo pode assumir a forma aproximada mais simples utilizada na resposta das questoes b e c A deducao da expressao exata da taxa de tunelamento pode ser vista no livro Fisica Moderna Tipler Segao 66 Problemas 1 Considere o potencial degrau 0 se 0 regiao I Va 7 Vo se x 0 regiao I em que Vo é uma constante positiva i Sendo EF Vo2 a energia de cada particula num feixe incidindo inicialmente de x 0 e que se move em diregéo a x 0 calcule o coeficiente de reflexao R Nesse caso qual é comportamento da funcdo de onda de uma particula na regiéo onde z 0 E possivel observar particulas nesta regiao em algum momento Page 2 ii Para FE 2V calcule o coeficiente de reflexao R e o coeficiente de transmissao T Mostre que RT1 iii No caso do item ii e considerando que o feixe contém aproximadamente um milhao de particulas qual seria o nimero estimado de particulas refletidas VV 2mVoE Resp i Neste caso temos um comportamento de decaimento exponencial e i para a regiao x 0 e nao observaremos particulas nesta regiao assim temos T 0 e portanto R 1 iiNeste caso considerando as condigdes de contorno para o problema temos que R ki k2 4k ke os hth T Ue thoy Fisica ModernaTipler secao 66 e para EF 2Vo Lembrando 2nE 2mEV 2V2 2 que ky e ko yf me No Entao ky V2ko assim R aoa 003 e 8v2 T Givap 097 e portanto T R 1 como esperado iii O ntimero de particulas refletidas dado por n NrR como Nr 10 particulas entao n 30000 2 Em um dispositivo semicondutor uma camada de 6xido forma uma barreira com 05 nm de largura e 10 V de altura entre os dois fios condutores Elétrons chegam a barreira depois de serem acelerados por uma tensao de 5 V partindo aproximadamente do repouso i Qual fracao dos elétrons incidentes consegue atravessar a barreira por tunelamento ii Qual deve ser a tensdo de aceleragao para que a fracao dos elétrons incidentes que consegue atravessar a barreira por tunelamento seja o dobro do valor encontrado no item i Resp i Podemos usar uma expresséo aproximada para a taxa de tunelamento trans 7 42mVoE oe missao através da barreira T 162 be mE Fisica ModernaTipler secao 66 que para os valores dados resulta em T 427 x 107 ii Para esta questao vemos que a taxa de tunelamento é proporcional a tensao de acele racdo Assim mantendo todos os parametros na expresséo do item i e variando apenas o valor de E vemos que para EF 56eV nds obtemos um valor de T que é a dobro do valor obtido em i Nota O ideal para resolver este item seria a inverséo da equacgéo do item anterior po rém ficamos com uma equacao transcendente bastante complicada assim nés optamos pela solucao fazendo tentativa e erro de valores de E até obter um valor de T que fosse o dobro do obtido no item anteriorOutra forma de resolugéo valida é fazer o grafico de T 85810 ou seja a fungéo menos o valor que queremos achar e procurar sua raiz como mostrado na Figura 1 Page 3 10e04 Lo o ce 9 oO s B00 0400 Penner c ji gs Zo x a i 10e04 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 Energia da particula J1 o8 Figura 1 Grafico de T 85810 e valor de sua raiz 3 Um elétron tem energia cinética de 120 eV O elétron incide sobre uma barreira retangular de altura 200 eV e largura de 100 nm Se o elétron absorveu toda a energia de um féton de luz verde com comprimento de onda de 546 nm no instante em que alcangou a barreira por qual fator aumentaria a probabilidade de o elétron tunelar através da barreira 2mVoE Resp Para esta questao primeiramente usamos T 16 1 be nE para determinar a taxa de transmissao do elétron antes deste absorver o féton que resulta em Tantes 101 x 107 Entao apds a absorgao do foton o elétron passa a ter uma nova energia cinética de Egerois betes he 120eV 227eV 1427eV e portanto devemos recalcular a taxa de transmissao que nos dé Tyepois 740 x 101 Desse modo o fator de aumento da probabilidade de tunelamento é dado por AT qisneis 730 ou seja apds o elétron absorver o féton este elétron teria probabilidade 73 vezes maior de tunelar Page 4