Capítulo 5: Fundamentos de Propagação de Ondas Eletromagnéticas

Capítulo 5 Fundamentos de Propagação de Ondas Eletromagnéticas 51 Introdução Conforme previsto por James Clerk Maxwell as leis de Faraday e de Ampère ficam acopladas quando campos elétricos e magnéticos forem variantes no tempo A mútua relação existente entre campos elétricos e magnéticos possibilita como demonstrado por Heinrich Hertz trans porte de energia sem a necessidade de meio físico cabo ou fio condutor através de um efeito que se convenciona chamar de onda eletromagnética Neste capítulo os fenômenos relacionados à propagação de ondas eletromagnéticas em meios ilimitados são apresentados Para isto fazse necessário conhecer os campos eletromagnéticos que compõem a onda Dentre outras possíveis abordagens a seção seguinte apresenta a obten ção da equação de onda que quando resolvida permite obter as representações matemáticas para os campos Uma vez conhecidas estes expressões podem ser empregadas para determi nação de vários parâmetros da onda eletromagnética e do meio em que esta se propaga como impedância intrínseca constante de propagação comprimento de onda e velocidade de propa gação Finalmente o capítulo apresenta o conceito de polarização de ondas eletromagnéticas e sua relevância do ponto de vista de sistemas de comunicação sem fio 52 Equação de onda no sistema de coordenadas carte siano Todos os fenômenos eletromagnéticos conhecidos são modelados pelas equações de Maxwell Olhandose as Leis de Faraday e Ampère verificase que ambas são equações diferenciais de 1a ordem e acopladas entre si uma vez que ambas contêm os campos E e H Na maioria dos casos fica mais fácil resolver problemas complexos se a equação a ser resolvida tiver apenas uma variável No caso do Eletromagnetismo isso é obtido através da combinação das equações Prof Marcos V T Heckler de Faraday e de Ampère de forma a possibilitar a obtenção da equação de onda Esta equação pode ser escrita somente em termos de vecE e vecH com a desvantagem de se aumentar a ordem da equação resultante para 2 A obtenção da equação de onda é possível mediante uma série de manipulações matemáticas com as equações de Maxwell conforme será demonstrado nas próximas seções Inicialmente as equações de onda no domínio do tempo serão obtidas Em seguida considerarseá o caso de campos com variação temporal harmônica as equações de onda no domínio espacial serão derivadas 521 Equação de onda no domínio do tempo Conforme citado anteriormente as equações de Faraday e de Ampère são acopladas entre si uma vez que ambas apresentam os campos vecE e vecH O isolamento de um destes campos pode ser realizado tomandose o rotacional de ambas as equações Assim partindose de abla imes vecE mu fracpartial vecHpartial t vecMi 51 abla imes vecH vecJi sigma vecE fracpartial vecEpartial t 52 onde vecMi e vecJi representam densidades de corrente magnética e elétrica de fontes de potência magnética e elétrica respectivamente chegase a abla imes vecE mu abla imes vecH mu fracpartial vecEpartial t abla imes vecMi 53 abla imes vecH abla imes vecJi sigma abla imes vecE sigma abla imes fracpartial vecEpartial t 54 Utilizandose a identidade vetorial abla imes abla imes vecE abla abla cdot vecE abla2 vecE e considerandose que a variável tempo t não está contida no operador rotacional de forma que abla imes left fracpartial vecEpartial t right fracpartialpartial t left abla imes vecE right as equações 53 e 54 podem ser reescritas como abla left abla cdot vecE right abla2 vecE mu fracpartialpartial t left abla imes vecH right abla imes vecMi 57 52 Equação de onda no sistema de coordenadas cartesianas abla left abla cdot vecH right abla2 vecH abla imes vecJi sigma abla cdot vecE fracpartialpartial t left abla imes vecE right 58 O termo abla imes vecH está representado na equação 52 Lei de Ampère e pode ser substituído na equação 57 resultando em abla left abla cdot vecE right abla2 vecE mu fracpartialpartial t left vecJi vecMi right sigma fracpartialpartial t left abla imes vecH right abla imes vecMi 59 Expandindose a equação 59 e utilizandose a Lei de Gauss abla cdot vecE fracrhoenvepsilon resulta abla left fracrhoenvepsilon right abla2 vecE mu fracpartialpartial t vecJi mu fracpartial vecEpartial t mu epsilon fracpartial2 vecEpartial t2 abla imes vecMi 510 Reorganizando os termos resulta em abla2 vecE frac1epsilon abla rhoenv mu fracpartial vecJipartial t mu sigma vecE mu epsilon fracpartial2 vecEpartial t2 abla imes vecMi 511 que é conhecida como equação de onda vetorial para o campo elétrico no domínio do tempo De forma dual ao que foi descrito acima o termo abla imes vecE está representado na equação 51 Lei de Faraday e pode ser substituído na equação 58 resultando em abla left abla cdot vecH right abla2 vecH abla imes vecJi sigma abla imes vecMi j omega mu vecH omega2 epsilon vecH abla imes vecJi 512 Expandindose 512 e utilizandose a Lei de Gauss para o Magnetismo abla cdot vecH fracrhomvmu obtémse abla left fracrhomvmu right abla2 vecH sigma vecMi sigma fracpartialpartial t vecMi sigma mu fracpartial vecHpartial t omega2 epsilon vecH abla imes vecJi 513 Reagrupando os termos resulta abla2 vecH frac1mu abla rhomv sigma vecMi j omega vecH sigma mu fracpartial vecHpartial t omega2 epsilon vecH abla imes vecJi 514 que é conhecida como equação de onda vetorial para campo magnético no domínio do tempo Ambas as equações 511 e 514 estão isoladas entre si uma vez que apresentam somente os campos vecE ou vecH Entretanto este fato não deve ser interpretado como desacoplamento direto entre vecE ou vecH uma vez que o acoplamento entre as leis de Faraday e de Ampère continua válido A solução geral para qualquer problema pode ser encontrada resolvendose apenas uma das equações de onda acima podendose encontrar o outro campo pela utilização das equações de Maxwell Para fins de obtenção de uma solução geral será considerado inicialmente o caso de uma onda eletromagnética propagandose em um meio sem perdas σ 0 e sem fontes de potência Mi 0 Ji 0 ρev 0 e ρm 0 Nesta situação particular a equação 515 fica simplificada e equivale a ² E k² E onde k² ω²με é constante de propagação de um meio sem perdas A solução geral em coordenadas cartesianas pode ser escrita como E xyz xEx xyz yEy xyz zEz xyz Esta equação representa que o campo E bem como suas componentes Ex Ey e Ez podem ser dependentes das três coordenadas x y e z Introduzindo uma solução geral em 517 resulta ² xEx yEy zEz k²xEx yEy zEz No apêndice A demonstrase que ² xEx yEy zEz x²Ex y²Ey z²Ez Com isso a equação 519 pode ser reescrita na forma x²Ex y²Ey z²Ez k²xEx k²yEy k²zEz ou x ²Ex k²Ex y ²Ey k²Ey z ²Ez k²Ez 0 Como os vetores x y e z são linearmente independentes podemos dividir a equação 521 em três expressões independentes uma ao longo da direção x uma ao longo de y e outra ao longo de z Na direção x ²Ex xyz k²Ex xyz 0 Na direção y ²Ey xyz k²Ey xyz 0 Na direção z ²Ez xyz k²Ez xyz 0 As três equações acima apresentam a mesma forma e são escalares Sendo assim todas apresentam a mesma sequência de resolução e a mesma família de soluções As expressões finais para Ex Ey e Ez serão definidas a partir da posterior aplicação das condições de contorno Portanto será considerada a resolução da equação para Ex somente Expandindose o operador Laplaciano em 522 resulta ² Ex x² ² Ex y² ² Ex z² k²Ex 0 Para a resolução de uma equação diferencial parcial um método bastante empregado é o método da separação de variáveis que permite propor uma solução geral em termos de funções de onda ao longo de x y e z Esta técnica permite escrever Ex xyz fxgyhz Aplicandose a solução proposta em 526 e rearranjando os termos podese escrever que 1 fx ² x²fx 1 gy ² y²gy 1 hz ² z²hz k² Cada termo do lado esquerdo da equação acima referese a uma única coordenada Assim escrevendose k² k²x k²y k²z a equação 527 pode ser desmembrada em três equações independentes descritas por d² dx²fx k²xfx 528 d² dy²gy k²ygy 529 d² dz²hz k²zhz 530 As soluções particulares para as equações 528530 dependerão da natureza do problema e das condições de contorno Os casos mais clássicos estão colocados a seguir para a equação 528 As soluções para as equações 529 e 530 podem ser facilmente obtidas trocandose a coordenada x por y e z respectivamente Onda propagandose em meio sem perdas ao longo de x fx Ae ikxx Be ikxx Onda estacionária em meio sem perdas ao longo de x fx A sinkxx B coskxx Onda com comportamento evanescente ao longo de x fx Ae αx Be αx 52 Equação de onda no sistema de coordenadas cartesiano 111 x y z a b Figura 51 Guia de onda retangular Nas equações acima os termos A e B são constantes e representam amplitudes de campo Os valores dessas constantes são normalmente determinados pela imposição das condições de contorno do problema a ser resolvido Exemplo 51 Encontrar a solução geral para a componente Ey de campo elétrico de uma onda propagando se no interior de um guia de onda retangular representado na Figura 51 Considerar que o interior do guia seja preenchido por material sem perdas e que a onda apresente as seguintes características Comportamento estacionário ao longo de x Comportamento estacionário ao longo de y Propagação ao longo de z Considerar ainda que o interior do guia seja livre de fontes de potência Resolução Prof Marcos V T Heckler 112 Fundamentos de Propagação de Ondas Eletromagnéticas No interior do guia de onda a componente Ey do campo elétrico da onda deve satisfazer a equação de onda 523 Sua expandida equivale a 2 x2Ey 2 y2Ey 2 z2Ey k2Ey Utilizando as funções de onda definidas acima e considerando as características da onda que se propaga no interior do guia de onda retangular podemse escrever as funções de onda usando a notação Ey xyz fxgyhz como sendo Função de onda ao longo de x comportamento estacionário em meio sem perdas fx AsinkxxB coskxx Função de onda ao longo de y comportamento estacionário em meio sem perdas gy C sinkyyDcoskyy Função de onda ao longo de z propagação ao longo de z em meio sem perdas hz ejkzz Assim a solução geral pode ser descrita por Ey xyz AsinkxxB coskxxC sinkyyDcoskyyejkzz Meios com perdas Em casos práticos os meios materiais normalmente apresentam perdas ou seja os condutores não são perfeitos σ e os dielétricos apresentam alguma capacidade de condução de corrente elétrica σ 0 Nestas situações considerando que não haja fontes de potência na região de análise a equação 515 resulta em 2 E jωµσ E ω2µε E ou 2 E jωµσ jωε E 531 Definindose γ2 jωµσ jωε 532 Prof Marcos V T Heckler a equação 531 pode ser escrita na forma ² E γ² E O termo γ é uma grandeza complexa medida em m1 que é denominada constante de propagação em meios com perdas Este parâmetro será analisado em detalhe na seção 57 Seguindo os passos empregados para solução da equação de onda em meios sem perdas a equação 533 pode ser desmembrada nas três equações abaixo ²Ex xyz γ²Ex xyz 0 534 ²Ey xyz γ²Ey xyz 0 535 ²Ez xyz γ²Ez xyz 0 536 Aplicandose a solução proposta em 526 na equação 534 podese escrever que 1 fx ² x²fx 1 gy ² y²gy 1 hz ² z²hz γ² 0 Definindose γ² γ²x γ²y γ²z a equação 537 pode ser simplificada em três equações independentes descritas por d² dx²fx γ²fx 538 d² dy²gy γ²gy 539 d² dz²hz γ²hz 540 A solução mais geral para a equação 538 é descrita por fx Ae γxx Be γxx ou fx Ae αxe jβx Be αxe jβx Os termos α e β correspondem às constantes de atenuação e de fase respectivamente e serão abordados com mais detalhe na seção 57 As soluções para as equações 539 e 540 podem ser facilmente obtidas trocandose a coordenada x por y e z respectivamente 114 Fundamentos de Propagação de Ondas Eletromagnéticas 53 Propagação de ondas eletromagnéticas planas em meios homogêneos ilimitados e sem perdas A equação de onda nas suas diferentes representações é uma equação diferencial e como tal apresenta uma família de possíveis soluções A solução particular dependerá das condições de contorno do problema que devem ser impostas à família de soluções Cada solução particular é denominada modo e representa uma configuração diferente para os campos eletromagnéticos Em se tratando de fenômeno de propagação podemse classificar os modos em três categorias de acordo com a existência de componentes de campo ao longo de uma dada direção de referência que no presente texto corresponderá à direção de propagação Modo Transversal Eletromagnético TEMx neste modo somente há campo elétrico e magnético em direções transversais à direção com que se propaga a onda eletromagnética no presente caso à direção x Este modo é retratado na Fig 52 e será o alvo principal da análise que segue até o final do capítulo Modos Transversais Elétricos TEy nesta classe o campo elétrico apresenta somente componentes transversais à direção com que se propaga a onda eletromagnética no pre sente caso à direção y enquanto que o campo magnético apresenta componentes trans versais e longitudinal Modos Transversais Magnéticos TMz neste caso o campo magnético apresenta so mente componentes transversais à direção com que se propaga a onda eletromagnética no presente caso à direção z enquanto que o campo elétrico apresenta componentes transversais e longitudinal Modos TE e TM podem existir em guias de onda e como modos de ordem superior em linhas de transmissão No espaço livre temse normalmente ondas TEM na qual os planos que contêm os campos elétrico e magnético mostrados em cinza na Fig 52 são perpendiculares à direção de propagação em qualquer ponto Quando os planos formados pelo campo elétrico e pelo campo magnético de uma onda TEM em diferentes pontos forem paralelos esta onda é classificada como onda plana Este caso está ilustrado na Fig 53 Se além disso as amplitudes dos campos permanecerem invariantes ao longo da propagação então temse uma onda plana e uniforme Para o caso de um meio sem perdas a equação de onda a ser resolvida é a equação 517 Sem perda de generalidade e para facilitar a análise será considerado o caso de uma onda eletromagnética plana e uniforme em que o campo elétrico apresente somente componente ao longo de x Neste caso o campo elétrico é dado de maneira genérica por E xyz ˆxEx xyz 541 Substituindo 541 em 517 a equação de onda pode ser reescrita em formato escalar como 2Ex xyzk2Ex xyz 0 542 Prof Marcos V T Heckler 53 Propagação de ondas eletromagnéticas planas em meios homogêneos ilimitados e sem perdas 115 O campo magnético pode ser obtido aplicandose com a Lei de Faraday Considerando que o meio de propagação não possa sustentar corrente magnética M 0 e o campo magnético resulta ser 116 53 Propagação de ondas eletromagnéticas planas em meios homogêneos ilimitados e sem perdas 117 O dedo médio deve ser orientado no sentido de propagação da onda O indicador deve resultar no sentido de orientação do campo magnético O emprego desta técnica será exemplificado a seguir Exemplo 52 O campo elétrico de uma onda plana e uniforme que se propaga na direção de z é dado por E ˆyE0ejkz Determinar o campo magnético correspondente empregando a técnica da impedância de onda Resolução O campo elétrico da onda eletromagnética em questão pode ser escrito na forma E ˆyEy sendo Ey E0ejkz No presente caso Polegar E ao longo de ˆy Dedo médio propagação ao longo de ˆz Indicador H resulta ao longo de ˆx Portanto Ey ηHx ou Hx Ey η Substituindo Ey na equação acima resulta que Hx E0 η ejkz A expressão final para o campo magnético equivale a H ˆxHx Prof Marcos V T Heckler 118 Fundamentos de Propagação de Ondas Eletromagnéticas ou H ˆxE0 η ejkz Exemplo 53 O campo magnético de uma onda eletromagnética é descrito por H 3ˆx2ˆyejkz Calcular o campo elétrico correspondente considerando que o meio de propagação seja o vácuo Resolução 54 Campos eletromagnéticos no domínio do tempo Para obtenção dos campos no domínio do tempo devese aplicar a transformada inversa de Fourier E xyzt Re E xyzejωt 553 Aplicandose 546 em 553 chegase a E xyzt ˆxE0 cosωtkz 554 Utilizando a mesma ideia para o campo magnético obtémse H xyzt ˆyE0 η cosωtkz 555 O comportamento dos campos representados nas equações 554 e 555 é apresentado na Fig 54 na qual se pode verificar que o campo elétrico atinge intensidade máxima em espaços regulares ao longo da direção de propagação A distância entre dois pontos de máximo adjacentes é definida como comprimento de onda normalmente denotado pela letra grega λ e está relacionada com a velocidade de propagação c e a frequência de oscilação dos campos f de acordo com c λf 556 Prof Marcos V T Heckler 55 Vetor densidade de potência 119 z x y E H λ Figura 54 Variação do campo elétrico ao longo da propagação e definição de comprimento de onda λ A velocidade com que uma frente de fase se propaga em um determinado meio é denominada velocidade de fase Esta grandeza pode ser calculada considerandose uma fase constante o que equivale a igualar o argumento da função cosseno em 554 a uma constante Matematicamente ωtkz constante 557 Tomandose a derivada em relação ao tempo em ambos os lados de 557 resulta que ω kdz dt 0 558 O termo dzdt é medido em ms e equivale à velocidade vp com que uma frente de fase constante propagase no meio Reescrevendo a equação acima resulta que vp ω k 559 Sendo k ωµε a expressão para a velocidade de fase pode ser reescrita para vp 1 µε 560 de forma que para ondas TEM a velocidade de propagação da onda eletromagnética seja dependente apenas dos parâmetros constitutivos do meio 55 Vetor densidade de potência A densidade média de potência transportada pela onda eletromagnética corresponde a Sav 1 2 Re E H 561 Prof Marcos V T Heckler Para a onda eletromagnética considerada nas seções anteriores sabese que Ex nHy Substituindo esta relação na expressão acima resulta que 120 Exz E0² E0² 2E0 E0 cos 2kz 568 δz arctanE0 E0 sin kz E0 E0 cos kz arctanE0 E0 E0 E0 tan kz 569 Exzmax E0 E0 570 β ωμσ2 590 ηc ωμ2σ 1j 591 δ 2ωμσ 592 Exemplo 54 Determinar a profundidade pelicular de ondas eletromagnéticas no cobre para as seguintes frequências a f 10 MHz b f 10 GHz Resolução a A condutividade do cobre equivale a σ 5810⁷ Sm Assim em f 10 MHz a relação σωε² 5810⁷2π10⁶88510¹²² 10²² 1 Portanto o cobre é bom condutor em 10 MHz Empregando 592 resulta que δ 22π10⁶4π10⁷5810⁷ δ 20910⁵ m ou δ 209 μm Prof Marcos V T Heckler b Em f 10 GHz a relação σωε² 5810⁷2π10⁹88510¹²² 10¹⁶ 1 Portanto o cobre também é bom condutor em 10 GHz Empregando 592 resulta que δ 22π10⁹4π10⁷5810⁷ δ 6610⁷ m ou δ 066 μm Exemplo 55 Uma onda plana propagandose em um meio com parâmetros constitutivos εr 4 μr 1 e σ 10² Sm apresenta campo elétrico em y 0 dado por Ey0 z 30cos10⁹πtπ4 Vm Calcular a O campo elétrico em y 1 m e t 2 ms Prof Marcos V T Heckler b A distância percorrida pela onda para resultar em uma mudança de fase equivalente a 10 c A distância percorrida para que a amplitude da onda seja reduzida em 40 d O campo magnético em y 2 m e t 2 ms Resolução Primeiramente devese verificar se o material se trata de um bom dielétrico bom condutor ou se não se enquadra em nenhum destes casos Assim σωε² 10²10⁹π410⁹36π² 009² 1 Portanto o meio comportase como bom dielétrico As constantes de atenuação e de fase podem ser calculadas de maneira aproximada empregandose 584 e 585 respectivamente α σ2με 10²2 14π10⁷410⁹36π α 094 nepersm β ωμε 10⁹π14π10⁷410⁹36π β 2094 radm Prof Marcos V T Heckler 57 Propagação de ondas eletromagnéticas planas em meios homogêneos iluminados e com perdas 127 O termo que governa a atenuação do campo elétrico é dado por ealpha y 06 lnealpha y ln06 alpha y ln e ln06 y fracln06alpha y 5426 mm d A onda em questão é uma onda plana Assim empregandose o conceito de impedância de onda Polegar hatdelta ao longo de hatz Dedo médio hatk ao longo de haty Indicador hatj resulta ao longo de hatx Portanto hatHx fracEzetac Como o meio é bom dielétrico etac approx sqrtfracmuepsilon sqrtfrac14cdot epsilon0 frac12sqrtmu0 Assim etac approx fraceta02 frac120pi2 etac approx 60pi Omega A componente hatHx é dada por hatHx frac160pi30cos109pi t 2094y fracpi4e094y e hatHyt hatz frac12picos109pi t 2094y fracpi4e094y Am Prof Marcos V T Heckler 128 Fundamentos de Propagação de Ondas Eletromagnéticas Para y 2 m e t 2 ms hatH22 cdot 109 hatz frac12picos109picdot2 cdot 109 2094cdot2 fracpi4 e094 cdot 2 hatH22 cdot 109 hatx00231 Am ou hatH22 cdot 109 hatx231 mAm 58 Polarização de ondas eletromagnéticas De acordo com 6 a polarização de uma onda irradiada corresponde à forma orientação e sentido de giro da elipse descrita pela extremidade do vetor normalmente adotase o campo elétrico ao longo do tempo No caso particular de uma onda plana operando em uma dada frequência o campo elétrico terá mesma polarização em qualquer ponto do espaço Uma vez que a polarização deve ser determinada a partir da análise temporal da orientação do campo elétrico devese trabalhar no domínio do tempo Seguindo a definição do parágrafo anterior a elipse de polarização pode ser definida a partir de duas componentes ortogonais Desta forma para facilitar a análise considerando que a propagação ocorra ao longo de z podese escrever como uma solução a equação de onda que o campo elétrico seja dado por vecE hatxE cos omega t kz phix hatyE cos omega t kz phiy 593 onde phix e phiy são as fases das componentes x e y do campo elétrico respectivamente Sem perda de generalidade uma vez que uma onda plana apresenta a mesma polarização em qualquer ponto do espaço é conveniente determinarse a polarização em z 0 Assim a expressão anterior fica vecEz 0 hatxEx cos omega t phix hatyEy cos omega t phiy 594 Variandose o tempo em 594 verificase que o campo elétrico apresentará diferentes orientações e girará em um determinado sentido dependendo das amplitudes Ex e Ey e das fases phix e phiy Essa elipse denominada elipse de polarização é mostrada de maneira genérica na Fig 55 Esta elipse foi traçada posicionandose as componentes Ex e Ey de tal forma que o sentido de propagação da onda assumido no caso ao longo de z esteja entrando na página Nesta situação verificase que o eixo maior da elipse de polarização encontrase inclinado por um ângulo au em relação à orientação de hatxE Este ângulo é conhecido como ângulo de tilt Outro parâmetro importante da elipse de polarização consiste na relação entre as intensidades de campo elétrico ao longo dos eixos maior Emaior e menor Emenor Matematicamente a razão axial é dada por RA fracEmaiorEmenor 595 Prof Marcos V T Heckler 58 Polarização de ondas eletromagnéticas 129 Figura 55 Elipse de polarização da onda incidente do item a Exemplo 5 Este termo é importante na definição de polarização conforme será demonstrado mais abaixo É comum representar esta grandeza em decibéis Como se trata de relação entre campos temse que RA dB 20logleft fracEmaiorEmenor right 596 Quando o eixo menor da elipse de polarização tiver dimensão nula Emenor0 a figura representada pela variação do campo elétrico com o tempo corresponderá a uma linha Por esta razão neste caso particular dizse que a onda eletromagnética apresenta polarização linear Tal condição pode ser obtida quando observandose a equação 593 uma das três condições for satisfeita Quando a amplitude Ex for nula neste caso a elipse de polarização corresponderá a uma linha ao longo da componente Ey Quando a amplitude Ey for nula neste caso a elipse de polarização corresponderá a uma linha ao longo da componente Ex Quando as componentes Ex e Ey apresentarem mesma fase ou seja phix phiy neste caso a elipse de polarização apresentará um ângulo de inclinação que dependerá da relação entre Ex e Ey Prof Marcos V T Heckler 130 Fundamentos de Propagação de Ondas Eletromagnéticas Sendo o eixo menor da elipse de dimensão nula a razão axial da onda eletromagnética linear mente polarizada apresenta valor infinito RA Outro caso particular de interesse em sistemas de comunicação sem fio ocorre quando as seguintes condições forem simultaneamente satisfeitas Quando as amplitudes de ambas as componentes ortogonais forem iguais ou seja Ex Ey Quando as componentes Ex e Ey apresentarem defasagem relativa equivalente a 90 ou seja φx φy 90 Nesta situação os eixos da elipse de polarização apresentarão dimensões iguais e portanto a figura descrita pelo vetor campo elétrico ao longo do tempo será uma circunferência Por esta razão este caso é chamado de polarização circular Na Figura 55 além da forma da elipse de polarização devese identificar o sentido de giro do campo elétrico com o auxílio das mãos esquerda ou direita Para a determinação do sentido de giro colocase o polegar de uma das mãos ao longo do sentido de propagação no caso entrando na página e verificase se a direção para onde apontam os demais dedos corresponde ao sentido de giro do campo elétrico Se isto for satisfeito usandose a mão direita dizse que a onda é circularmente polarizada à direita do inglês righthanded circularly polarized RHCP Por outro lado se o sentido de giro correto for obtido fazendose o procedimento descrito acima com a mão esquerda temse o caso de uma onda circularmente polarizada à esquerda do inglês lefthanded circularly polarized LHCP Sendo ambos os eixos maior e menor da elipse de polarização de uma onda circularmente polarizada de mesma dimensão a razão axial equivalerá a 1 Empregando 596 temse que RA 0 dB A relevância do estudo da polarização de ondas eletromagnéticas fica evidente quando se analisa a questão sob o ponto de vista de um sistema de comunicação sem fio Considerandose que uma antena receptora seja empregada para receber sinais transmitidos por uma onda plana incidente definese como fator de casamento de polarização como sendo PLF ˆponda ˆpantena2 597 onde ˆponda e ˆpantena são versores que descrevem os estados de polarização da onda incidente e da antena receptora respectivamente O fator de casamento de polarização pode assumir valores na faixa de 0 a 1 e descreve a eficiência da transmissão sem fio do ponto de vista de polarização Assim para PLF 1 temse que 100 da potência disponível na abertura efetiva da antena receptora poderá ser recebida Entretanto se PLF 0 então mesmo que a onda eletromagnética incidente apresente vetor densidade de potência nãonulo a antena receptora não terá capacidade de captar energia Prof Marcos V T Heckler 58 Polarização de ondas eletromagnéticas 131 Exemplo 56 Dado o campo elétrico abaixo determinar a polarização da onda eletromagnética plana E E0 ˆxcosωtkz ˆycosωtkz π2 Resolução A partir da análise da expressão do campo elétrico verificase pelo termo kz no argumento das funções cosseno que a onda propagase ao longo de z Para facilitar a análise podese determinar a polarização em z 0 uma vez que a polarização de uma onda plana independe da localização Assim E z 0 E0 ˆxcosωt ˆycosωtπ2 Uma vez que a polarização corresponde à figura geométrica traçada pela variação do campo elétrico no tempo aplicamse diferentes valores para ωt na expressão acima e traçase o gráfico correspondente As componentes x e y do campo são dadas por Ex E0 cosωt Ey E0 cosωtπ2 Os valores obtidos para estas componentes com a variação de ωt estão listados na Tabela 51 Posicionandose o sentido de propagação z entrando na página a figura geométrica resul tante dos dados da tabela acima está traçada na Figura 56 e corresponde ao círculo vermelho O sentido de giro é determinado posicionandose o polegar de uma das mãos ao longo da di reção de propagação neste caso ao longo de z entrando na página O sentido de giro do campo elétrico mostrado em azul é reproduzido pelos demais dedos da mão direita neste caso Portanto esta onda apresenta polarização circular à direita RHCP Exemplo 57 Obter as expressões do campo elétrico no domínio espacial para os seguintes casos a Onda RHCP propagandose ao longo de z b Onda RHCP propagandose ao longo de z Prof Marcos V T Heckler 132 Fundamentos de Propagação de Ondas Eletromagnéticas ωt Ex Ey 0 E0 0 π4 0707E0 0707E0 π2 0 E0 3π4 0707E0 0707E0 π E0 0 5π4 0707E0 0707E0 3π2 0 E0 7π4 0707E0 0707E0 2π E0 0 Tabela 51 Valores de Ex e Ey para diferentes instantes de tempo para a onda plana em análise no Exemplo 56 Ey Ex ωt 0 ωt π4 ωt π2 ωt 3π4 ωt π ωt 5π4 ωt 3π2 ωt 7π4 ωt 2π Elipse de polarização circular z Sentido de rotação de E Figura 56 Elipse de polarização da onda plana em análise no Exemplo 566 Prof Marcos V T Heckler 58 Polarização de ondas eletromagnéticas 133 Resolução a Neste caso o campo elétrico da onda é aquele apontado no exercício anterior bastando apenas transformálo para o domínio espacial Aplicandose a transformada de Fourier em E E0 ˆxcosωtkz ˆycosωtkz π2 Vm resulta E E0 ˆx ˆyjejkz Vm b Neste caso para que o sentido de propagação esteja entrando na página o eixo z deve apontar para fora Assim sendo a polarização circular à direita e considerandose que φx 0 na expressão geral para o campo elétrico dada em 593 um esboço da elipse de polarização corresponderá ao gráfico mostrado na Figura 57 Além disso para ocorrência de polarização circular é necessário que Ex Ex E0 Com isso a equação 593 pode ser reescrita para o caso de propagação da onda ao londo de z como E ˆxE0 cosωtkz ˆyE0 cosωtkz φy Vm Para gerar a elipse de polarização desejada em z 0 é possível extrair da Figura 57 que as componentes Ex e Ey devem satisfazer os valores mostrados na Tabela 52 Uma análise desses dados permite verificar que Exz 0 E0 cosωt Eyz 0 E0 cosωtπ2 Assim concluise que φx 0 e φy π2 A expressão para o campo elétrico para uma onda circularmente polarizada à direita propagandose ao longo de z no domínio do tempo equivale a E E0 ˆxcosωtkz ˆycosωtkz π2 Vm Aplicandose a transformada de Fourier na expressão acima resulta que o campo elétrico no domínio espacial equivale a E E0 ˆx ˆyjejkz Vm Exemplo 58 Para o sistema de coordenadas cartesiano considerar que exista uma antena linearmente po Prof Marcos V T Heckler 134 Fundamentos de Propagação de Ondas Eletromagnéticas Ex Ey ωt 0 E0 ωt π2 E0 ωt π E0 ωt 3π2 E0 Elipse de polarização circular z Sentido de rotação de E Figura 57 Esboço da elipse de polarização da onda plana em análise no Exemplo 57 item b ωt Ex Ey 0 E0 0 π2 0 E0 π E0 0 3π2 0 E0 2π E0 0 Tabela 52 Valores de Ex e Ey para diferentes instantes de tempo para a onda plana em análise no Exemplo 57 Prof Marcos V T Heckler 58 Polarização de ondas eletromagnéticas 135 larizada ao longo de x Calcular o fator de perda de polarização para ondas electromagnéticas incidentes com campos elétricos dados conforme abaixo a Ei xE0cosωtkz Vm b Ei xyE0cosωtkz Vm c Ei yE0cosωtkz Vm d Ei E0 x jyejkz Vm e Ei E0 x jyejkz Vm Resolução Para uma antena linearmente polarizada ao longo de x o campo elétrico irradiado pode ser dado de maneira geral por Eantenna Erθφx O vetor de polarização da antena pode ser calculado por pantenna Eantenna Eantenna Assim para o presente caso pantenna x a Neste caso o vetor de polarização da onda incidente é calculado por ponda Ei Ei O módulo do vetor campo elétrico da onda incidente equivale a Ei E0cosωtβz² 0² Ei E0cosωtβz Vm Assim ponda xE0cosωtkz E0cosωtβz2 ponda x O fator de perda de polarização é dado por PLF pantenna ponda² PLF xx² PLF 1 Portanto sendo PLF 1 estando os vetores de polarização da antena e da onda incidente perfeitamente alinhados então 100 da potência incidente sobre a abertura efetiva da antena será recebida Prof Marcos V T Heckler 136 Fundamentos de Propagação de Ondas Eletromagnéticas O fator de perda de polarização é dado por PLF pantenna ponda² PLF xx² PLF 1 Portanto sendo PLF 1 estando os vetores de polarização da antena e da onda incidente perfeitamente alinhados então 100 da potência incidente sobre a abertura efetiva da antena será recebida b Neste caso o módulo do vetor campo elétrico da onda incidente equivale a Ei E0cosωtβz² E0cosωtβz² Ei E0cosωtβz2 Vm Assim ponda xyE0cosωtkz E0cosωtβz2 ponda 12 x y O fator de perda de polarização é dado por PLF pantenna ponda² PLF xxy 12 ² PLF 12 xx xy² PLF 12 Portanto sendo PLF 05 apenas 50 da potência incidente sobre a abertura efetiva da antena será efetivamente recebida c O módulo do vetor campo elétrico da onda incidente equivale a Ei E0²jE0² Ei E02 Vm Prof Marcos V T Heckler 137 Assim ponda yE0cosωtkz E0cosωtβz ponda y O fator de perda de polarização é dado por PLF pantenna ponda² PLF xy² PLF 0 Portanto sendo PLF 0 quando os vetores de polarização da antena e da onda incidente forem ortogonais então a antena não receberá energia mesmo que o vetor de Poynting da onda incidente não seja nulo d Neste caso o campo elétrico fornecido foi dado no domínio espacial O vetor de polarização da onda pode ser obtido mesmo assim através da normalização de Ei Ei Ex²Ey² Ei E0² jE0² Ei E02 Vm Por se tratar de uma onda plana a polarização será a mesma independentemente do ponto de observação Escolhendose calcular a polarização em z 0 resulta que ponda E0 x jy E02 ponda 12 x jy Comparandose o resultado acima com o item a do exemplo anterior verificase que se trata de uma onda circulamente polarizada à direita RHCP O fator de perda de polarização é dado por PLF pantenna ponda² PLF xx jy 12 ² PLF 12 Portanto a antena receberá apenas 50 da potência incidente sobre sua abertura efetiva Prof Marcos V T Heckler e O vetor de polarização da onda pode ser obtido por E Ex² Ey² E E₀2 Vm Escolhendose calcular a polarização em z 0 resulta que ponda E₀xjȷ E₀2 ponda 12 xjȷ Tratase de uma onda circularmente polarizada à esquerda LHCP O fator de perda de polarização é dado por PLF pantenaponda² PLF xxjȷ 12² PLF 12 xxjȷȷ² PLF 12 Portanto uma antena com polarização linear quando iluminada por uma onda incidente circularmente polarizada independentemente do sentido de giro do campo elétrico poderá receber apenas 50 da potência incidente sobre sua abertura efetiva Exemplo 59 Calcular o fator de perda de polarização para os seguintes casos a Antena com polarização RHCP e onda incidente com polarização elíptica à direita e razão axial de 3 dB sendo que o eixo maior da elipse de polarização se encontra ao longo do eixo y b Antena e onda incidente com polarização elíptica à direita e razão axial de 3 dB sendo que os eixos maiores das elipses de polarização encontramse ao longo do eixo y c Antena e onda incidente com polarização elíptica à direita e razão axial de 3 dB sendo que o eixo maior da elipse de polarização da antena encontrase ao longo de x e o eixo maior da elipse de polarização da onda incidente está ao longo de y Prof Marcos V T Heckler 58 Polarização de ondas eletromagnéticas Resolução Para o presente exercício considerarseá a situação mostrada na Figura 58 em que a onda eletromagnética plana incidente mostrada em azul propagase ao longo de z sentido em que aponta o vetor de Poynting Sav Desta forma o campo elétrico da onda incidente pode ser escrito de maneira genérica por Eonda Exi Eyȷ ejβz Vm Na direção de incidência da onda plana frontal à abertura e na direção z a polarização da antena corresponderá à polarização da onda irradiada quando a antena estiver operando como transmissora Nesta situação o campo elétrico da onda irradiada na direção de z e na situação de campo distante apresentará a forma Eantena Exi Eyȷ ejβz Vm a Do Exemplo 3 sabemos que uma onda eletromagnética circularmente polarizada à direita propagandose ao longo de z equivale a E E₀ xjȷ ejβz Assim o campo elétrico da onda irradiada pela antena na direção z terá a forma Eantena E₀ xjȷ ejβz Vm Prof Marcos V T Heckler Por apresentar polarização RHCP o campo elétrico irradiado apresentará duas componentes de mesma amplitude Conforme apresentado no Exemplo 4 é possível demonstrar que o versor de polarização da antena será dado por pantena 12 xjȷ Ainda do Exemplo 3 sabese que o campo elétrico de uma onda plana circularmente polarizada à direita propagandose ao longo de z apresenta a forma Eonda xEx jEyȷ ejβz sendo Exi Eyȷ A elipse de polarização de uma onda elipticamente polarizada com eixo maior orientado ao longo de x pode ser esboçada conforme mostrado na Figura 59 Da equação 595 a razão axial pode ser calculada pela relação entre os eixos maior e menor da elipse de polarização No presente caso temse que Emaior Exi Emenor Eyȷ Assim RA Exi Eyȷ Na expressão acima a razão axial deve ser expressa em valor absoluto Portanto devese converter o valor em dB utilizandose 596 ou de outra forma RA 10RAAB20 RA 10320 RA 2 Portanto Exi 2 Exi 2 Eyȷ Desta forma a equação para o campo elétrico da onda plana incidente elipticamente polarizada à direita com razão axial de 3 dB equivalente a Eonda E₀ 2x jȷ ejβz Vm Prof Marcos V T Heckler 58 Polarização de ondas eletromagnéticas 142 Fundamentos de Propagação de Ondas Eletromagnéticas 58 Polarização de ondas eletromagnéticas Fundamentos de Propagação de Ondas Eletromagnéticas 58 Polarização de ondas eletromagnéticas