Lista de Exercícios Probabilidade Estatística - Problemas Resolvidos e Tabela

EXERCÍCIOS PARA ENTREGAR NO DIA 0305 EXEMPLOS 1 Um clube de idosos possui 300 membros Entre eles 140 são homens 210 tomam pelo menos um medicamento de uso permanente e 95 são homens e tomam pelo menos um medicamento de uso permanente Descreva a união dos eventos masculinos e tomam pelo menos um medicamento de uso permanente fazer tabela 2 O reitor de uma universidade propôs que todos os alunos façam um curso de ética como requisito para a graduação Trezentos professores e alunos dessa universidade foram entrevistados acerca da opinião de cada um sobre essa questão A tabela 1 traz a classificação cruzada das respostas desses professores e alunos da universidade Tabela 1 Classificação Cruzada de Respostas A Favor Contra Neutro Total Professor 45 15 10 70 Aluno 90 110 30 230 Total 135 125 40 300 Encontre a probabilidade de que uma pessoa selecionada ao acaso entre essas 300 pessoas seja professor da faculdade ou seja a favor dessa proposta EXERCÍCIOS 1 Cinco pacientes 3 mulheres e 2 homens estão numa sala para fazer um exame médico Se escolhermos ao acaso um paciente de cada vez qual a probabilidade de considerarmos alternadamente um de cada sexo 2 Temos duas estantes iguais uma com 5 livros sendo 2 de Matemática e 3 de Português a outra estante com 6 livros sendo 1 de matemática e 3 de português Seleciona se uma estante ao acaso e retirase um livro Qual a probabilidade de que ele seja de Matemática 3 Num ginásio de esportes 26 dos freqüentadores jogam vôlei 36 jogam basquete e 12 praticam os dois esportes Um dos freqüentadores é sorteado para ganhar uma medalha Sabendose que ele joga basquete qual a probabilidade de que também jogue vôlei 4 Num certo colégio 4 dos homens e 1 das mulheres têm mais de 175m de altura 60 dos estudantes são mulheres Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 175m Qual a probabilidade de que seja homem 5 Dois dados são lançados conjuntamente Determine a probabilidade de a soma ser 10 ou maior que 10 6 Um lote é formado por 10 peças boas 4 com defeitos e 2 com defeitos graves Uma peça é escolhida ao acaso Calcule a probabilidade de que a ela não tenha defeitos graves b ela não tenha defeitos c ela seja boa ou tenha defeitos graves EXERCÍCIOS PARA ENTREGAR NO DIA 0305 EXEMPLOS 1 Um clube de idosos possui 300 membros Entre eles 140 são homens 210 tomam pelo menos um medicamento de uso permanente e 95 são homens e tomam pelo menos um medicamento de uso permanente Descreva a união dos eventos masculinos e tomam pelo menos um medicamento de uso permanente fazer tabela Resolução Para descrever a união dos eventos masculinos e tomam pelo menos um medicamento de uso permanente podemos construir uma tabela de contingência Sexo Tomam medicamento Não tomam medicamento Total Homens 95 45 140 Mulheres 115 145 260 Total 210 190 400 A partir dessa tabela podemos ver que há 95 homens que tomam pelo menos um medicamento de uso permanente Além disso há outros homens que não tomam medicamentos bem como mulheres que tomam medicamentos Portanto a união dos eventos masculinos e tomam pelo menos um medicamento de uso permanente é o conjunto de todos os indivíduos que aparecem na coluna dos homens 140 e na linha dos que tomam medicamentos 210 que é igual a 95 Podemos escrever isso de várias maneiras mas uma possível descrição é A união dos eventos masculinos e tomam pelo menos um medicamento de uso permanente consiste em todos os homens que pertencem ao clube de idosos e tomam pelo menos um medicamento de uso permanente que tem cardinalidade 95 2 O reitor de uma universidade propôs que todos os alunos façam um curso de ética como requisito para a graduação Trezentos professores e alunos dessa universidade foram entrevistados acerca da opinião de cada um sobre essa questão A tabela 1 traz a classificação cruzada das respostas desses professores e alunos da universidade Tabela 1 Classificação Cruzada de Respostas A Favor Contra Neutro Total Professor 45 15 10 70 Aluno 90 110 30 230 Total 135 125 40 300 Encontre a probabilidade de que uma pessoa selecionada ao acaso entre essas 300 pessoas seja professor da faculdade ou seja a favor dessa proposta Resolução Podemos calcular a probabilidade de que uma pessoa selecionada ao acaso entre essas 300 pessoas seja professor da faculdade e a favor da proposta usando a seguinte fórmula PProfessor e A Favor Número de professores a favor Total de pessoas Substituindo pelos valores da tabela temos PProfessor e A Favor 45 300 PProfessor e A Favor 015 Portanto a probabilidade de que uma pessoa selecionada ao acaso entre essas 300 pessoas seja professor da faculdade e a favor da proposta é de 015 ou 15 EXERCÍCIOS 1 Cinco pacientes 3 mulheres e 2 homens estão numa sala para fazer um exame médico Se escolhermos ao acaso um paciente de cada vez qual a probabilidade de considerarmos alternadamente um de cada sexo Resolução Calculando a probabilidade na sequência dada 1ª mulher 35 3 mulheres de 5 pacientes 1º homem 24 12 2 homens de 4 pacientes restantes 2ª mulher 23 Duas mulheres restantes de 3 pacientes restantes 2º homem 12 Último homem de dois pacientes 3ª mulher 11 1 Última mulher e paciente A probabilidade total de escolhermos alternadamente um de cada sexo é dada por 35 24 23 12 11 12120 01 Assim a probabilidade de escolhermos alternadamente um de cada sexo é de 01 ou 10 2 Temos duas estantes iguais uma com 5 livros sendo 2 de Matemática e 3 de Português a outra estante com 6 livros sendo 1 de matemática e 3 de português Seleciona se uma estante ao acaso e retirase um livro Qual a probabilidade de que ele seja de Matemática Resolução A probabilidade de selecionar um livro da primeira estante é de 12 já que há duas estantes iguais e a seleção é feita ao acaso Se selecionarmos um livro da primeira estante há duas opções para que o livro seja de Matemática Portanto a probabilidade de selecionar um livro de Matemática na primeira estante é de 25 Se selecionarmos um livro da segunda estante há apenas uma opção para que o livro seja de Matemática Portanto a probabilidade de selecionar um livro de Matemática na segunda estante é de 16 A probabilidade total de selecionar um livro de Matemática é a soma das probabilidades de selecionar um livro de Matemática em cada uma das estantes ponderadas pelas probabilidades de seleção de cada estante ou seja PMatemática PE1 PMatemáticaE1 PE2 PMatemáticaE2 PMatemática 12 25 12 16 PMatemática 730 ou aproximadamente 02333 Portanto a probabilidade de selecionar um livro de Matemática é de aproximadamente 02333 ou 2333 3 Num ginásio de esportes 26 dos frequentadores jogam vôlei 36 jogam basquete e 12 praticam os dois esportes Um dos frequentadores é sorteado para ganhar uma medalha Sabendose que ele joga basquete qual a probabilidade de que também jogue vôlei Podemos resolver este problema usando a fórmula de probabilidade condicional que é dada por PAB PA B PB Onde PAB é a probabilidade de A ocorrer dado que B ocorreu PA B é a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente PB é a probabilidade de B ocorrer Neste caso queremos encontrar a probabilidade de um frequentador jogar vôlei dado que ele joga basquete Podemos denotar este evento como A frequentador joga vôlei e B frequentador joga basquete Temos as seguintes informações PA 26 026 probabilidade de um frequentador jogar vôlei PB 36 036 probabilidade de um frequentador jogar basquete PA B 12 012 probabilidade de um frequentador jogar ambos os esportes Queremos encontrar PAB ou seja a probabilidade de um frequentador jogar vôlei dado que ele joga basquete Podemos usar a fórmula de probabilidade condicional para encontrar este valor PAB PA B PB PAB 012 036 PAB 033 Portanto a probabilidade de um frequentador jogar vôlei dado que ele joga basquete é de 33 4 Num certo colégio 4 dos homens e 1 das mulheres têm mais de 175m de altura 60 dos estudantes são mulheres Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 175m Qual a probabilidade de que seja homem Seja H a probabilidade de que o estudante selecionado seja homem e A a probabilidade de que ele tenha mais de 175m de altura Queremos calcular a probabilidade condicional PHA ou seja a probabilidade de que o estudante selecionado seja homem dado que ele tem mais de 175m de altura Podemos calcular PA utilizando a regra da probabilidade total PA PAH PH PAM PM Onde PAH é a probabilidade de um homem ter mais de 175m PH é a proporção de homens na população e PAM é a probabilidade de uma mulher ter mais de 175m e PM é a proporção de mulheres na população Substituindo os valores dados no enunciado PA 004 04 001 06 00196 Agora podemos calcular PHA utilizando o Teorema de Bayes PHA PAH PH PA Substituindo os valores PHA 004 04 00196 0816 Portanto a probabilidade de que o estudante selecionado seja homem dado que ele tem mais de 175m de altura é de aproximadamente 0816 ou seja cerca de 816 5 Dois dados são lançados conjuntamente Determine a probabilidade de a soma ser 10 ou maior que 10 Para encontrar a probabilidade de a soma ser 10 ou maior que 10 podemos listar todas as combinações possíveis de resultados que satisfazem a condição Soma 10 46 55 64 Soma 11 56 65 Soma 12 66 Há um total de 6 resultados que satisfazem a condição Portanto a probabilidade de a soma ser 10 ou maior que 10 é Psoma 10 636 16 0167 Note que a probabilidade pode ser obtida diretamente usando a fórmula Psoma 10 1 Psoma 10 Para calcular a probabilidade de a soma ser menor do que 10 podemos listar todas as combinações possíveis de resultados que satisfazem a condição Soma 2 11 Soma 3 12 21 Soma 4 13 22 31 Soma 5 14 23 32 41 Soma 6 15 24 33 42 51 Soma 7 16 25 34 43 52 61 Soma 8 26 35 44 53 62 Soma 9 36 45 54 63 Há um total de 28 resultados que satisfazem a condição Portanto a probabilidade de a soma ser menor do que 10 é Psoma 10 2836 79 0778 Substituindo na fórmula acima obtemos Psoma 10 1 Psoma 10 1 79 29 0222 Portanto a probabilidade de a soma ser 10 ou maior do que 10 é de 16 e a probabilidade de a soma ser maior do que 10 é de 29 6 Um lote é formado por 10 peças boas 4 com defeitos e 2 com defeitos graves Uma peça é escolhida ao acaso Calcule a probabilidade de que a ela não tenha defeitos graves Existem 10 4 2 16 peças no lote Se queremos escolher uma peça que não tenha defeitos graves devemos escolher entre as 10 peças boas e as 4 peças com defeitos simples Portanto a probabilidade de escolher uma peça sem defeitos graves é Pnão há defeitos graves número de peças sem defeitos graves número total de peças Pnão há defeitos graves 10 14 Pnão há defeitos graves 57 Portanto a probabilidade de escolher uma peça que não tenha defeitos graves é de 57 ou cerca de 0714 b ela não tenha defeitos Pnão há defeitos número de peças sem defeitos número total de peças Pnão há defeitos 10 16 Pnão há defeitos 58 Portanto a probabilidade de escolher uma peça que não tenha defeitos é de 58 ou cerca de 0625 c ela seja boa ou tenha defeitos graves Se quisermos escolher uma peça que seja boa ou tenha defeitos graves podemos escolher entre as 10 peças boas e as 2 peças com defeitos graves já que essas peças não têm defeitos simples Portanto a probabilidade de escolher uma peça que seja boa ou tenha defeitos graves é Pboa ou defeitos graves número de peças boas ou com defeitos graves número total de peças Pboa ou defeitos graves 10 2 16 Pboa ou defeitos graves 1216 Pboa ou defeitos graves 34 Portanto a probabilidade de escolher uma peça que seja boa ou tenha defeitos graves é de 34 ou cerca de 075