Álgebra Abstrata - Grupos e Homomorfismos - Exercícios Resolvidos

Boa Noite Álgebra Abstrata EAD 20221 UFT Página 138 Grupos G Dentro do grupo há uma maneira de operar seus elementos G x G G xy xy xy G a b c a c b Associatividade e G Elemento Neutro tal que e x x e x existência do elemento inverso x G y G tal que x y e G é chamado de grupo Exemplos 1 Z grupo aditivo dos inteiros Z 2 1 0 1 2 Z x Z Z mn m n ok a b c a b c a b c a b c ok e m m e 0 OK m Z n Z tal que m n e 0 n m Z OK Z é um grupo 2 Z é um grupo multiplicação 5 Z Qual o elemento n em Z tal que 5x1 não existe não é grupo 2 G M2x2 M2x2 M2x2 x M2x2 M2x2 AB A B A B C A B C ok e X X e 0 0 0 0 0 2x2 OK A B e 0 2x2 B A M2x2 OK G é um grupo 3 G IR 0 0 G é um grupo G x G G xy xy ok a b c a b c OK e x x e 1 OK x R 0 y R 0 tal que x y e 1 y 1x 0 G é um grupo Exercício 1 mostre que G R 0 com a operação não é grupo 2 Mostre que G R com a operação x y x y 3 é um grupo a Qual é o elemento neutro b Associatividade c Elemen inverso Homo morfismos Página 161 Sejam G1 1 e G2 2 grupos Chamamos f G1 G2 de homomorfismo se x y G1 f x 1 y f x 2 f y Exemplos prove que é um grupo 1 G1 Q 0 G2 R 0 f G1 G2 é um x x homomorfismo f x 1 y f x y x y x y f x f y f é um homom Exercício 1 Mostre que a função f G1 G2 x log x é um homomorfismo onde G2 R números reais positivos e G2 R 2 G1 1 1 são grupos G2 R 0 f G1 G2 é um homomorfismo x x² pois fx y f x y x y² x² y² fx fy f é um homomor 3 G1 G2 R 0 f G1 G2 x sen x não é um homomorfismo Por quê Exercício a 756 b 35 a 756 b 35 a 1520 b 43 a 1520 b 43 756 2135 21 q r 756 2135 21 ok 35 14 0 22 35 14 0 ok 1520 3543 15 1 q r 0 1520 3543 15 3643 28 q r 0 a 137 b 438 q r a dividido pOr b