Exercicios Resolvidos de Subgrupos Conjugados Homomorfismos e Isomorfismos em Grupos

ii se H é um subgrupo de G e x G então xHx1 xhx1 h H é um subgrupo de G Este subgrupo é chamado subgrupo conjugado de H por x iii Determine ZD6 ZD8 e Z Q onde Q é o grupo dos quatérnios Homomorfismos 1 Considere os seguintes grupos Z R C R Z x Z e M2x2R Verifique em cada caso se f é um homomorfismo de grupos se é injetora e se é sobrejetora i f Z Z dada por fx mx para todo inteiro x sendo m um inteiro dado para sobrejetividade analise os casos m 0 m 1 e m 2 ii f R R dada por fx x para todo x R o grupo multiplicativo dos reais iii f C R definida por fz z onde a ib a2 b212 iv f Z C dada por fm im para todo inteiro m v f C C definida por fz z onde a ib a ib vi f R R dada por fx x2 vii f R R dada por fx 2x 5 viii f Z x Z Z tal que fab 2a 3b ix f Z Z x Z tal que fa a 0 x f Z Z x Z dada por fa a 2a xi f Z x Z Z x Z dada por fab b a xii f M2x2R M2x2R dada por f a b c d d 2b 2c a 2 Determine o núcleo de cada homomorfismo do exercício acima 3 Suponha que G seja um grupo multiplicativo abeliano Mostre que f G G dada por fx x1 é um homomorfismo de grupos 4 Sejam G e J Δ grupos e f G J um homomorfismo Mostre que i se x1 x2 xn G então fx1 x2 xn fx1 Δ fx2 Δ Δ fxn ii fxk fxk para todo x G e todo inteiro k iii se K é um subgrupo de J então f1K x G fx K é um subgrupo de G 5 Mostre que o grupo Z4 não é isomorfo ao produto direto Z2 x Z2 6 Mostre que os grupos H cos a sen a sen a cos a a R e J z C z1 são isomorfos 7 Seja f X Y uma função bijetora Mostre que a função ϕ SX SY definida por ϕg f g f1 é um isomorfismo de grupos 8 Um automorfismo de um grupo G é um isomorfismo de G em G Mostre que AutG f f é um automorfismo de G com a operação de composição de funções é um grupo Este grupo é chamado grupo de automorfismos de G