Teoria dos Numeros-Conjuntos, Inteiros, Inducao, Divisibilidade

Elementos da Teoria dos Numeros Mauri Cunha do Nascimento Hercules de Araujo Feitosa 2013 Sumario Introducao 11 1 Conjuntos relacoes e funcoes 15 11 A nocao de conjunto 15 111 Relacao de pertinˆencia e a determinacao de um conjunto 16 112 Tipos de conjuntos 17 113 Inclusao e igualdade de conjuntos 18 114 Conjunto das partes de um conjunto 19 115 Operacoes com conjuntos e a algebra dos conjuntos 19 12 Relacoes 22 121 Relacoes de equivalˆencia 24 122 Relacoes de ordem 26 13 Funcoes 28 2 Propriedades dos inteiros 33 21 Operacoes elementares com inteiros 33 3 Inducao matematica 37 31 A boa ordem e os princıpios de inducao 37 32 Aplicacoes dos princıpios de inducao na Matematica 40 33 Fatorial numeros binomiais e triˆangulo de Pascal 48 34 A inducao matematica e a inducao de Hume 51 4 Divisibilidade e algoritmo da divisao 53 41 Divisibilidade 53 42 O Algoritmo da divisao de Euclides 55 8 SUM ARIO 5 Bases de numeracao e representacao 61 51 Introducao 61 52 Representacao de inteiros em uma base 62 53 Contagem e operacoes aritmeticas 65 54 Breves comentarios 67 6 Criterios de divisibilidade 71 61 Alguns criterios 71 7 MDC e MMC 75 71 Maximo divisor comum MDC 75 72 Mınimo multiplo comum MMC 83 8 Numeros primos 87 81 Sobre os numeros primos 87 82 O Teorema Fundamental da Aritmetica 89 821 Numero de divisores de um inteiro 92 822 O calculo do MDC e MMC a partir de fatoracao 93 83 O crivo de Eratostenes 95 84 A Conjectura de Goldbach 98 9 Congruˆencias 99 91 A congruˆencia e o resto da divisao 99 92 O Pequeno Teorema de Fermat 103 93 O Teorema de Euler 106 94 A aritmetica modulo n 108 941 Adicao e multiplicacao em Zn 109 942 Propriedades das operacoes em Zn e o Teorema de Wilson 110 95 A Prova dos Noves Fora 113 SUM ARIO 9 10 Equacoes diofantinas lineares 117 101 Solucoes de equacoes diofantinas lineares 117 11 O Ultimo Teorema de Fermat 123 111 Ternas pitagoricas 123 112 Sobre o Ultimo Teorema de Fermat 127 12 Numeros triangulares e quadrados perfeitos 131 121 Quadrados 131 122 Numeros triangulares 131 13 Numeros especiais e curiosidades 135 131 Numeros especiais 135 132 Curiosidades 137 Bibliografia 141 Indice remissivo 141 Sobre os autores 141 Complimentary percussive treatment with a Solid body and DLevitation TECH NIQUE Locator Introducao O interesse pelos numeros e suas propriedades acompa nham o desenvolvimento das mais diversas civilizacoes de que temos informacoes desde os momentos iniciais de seus desen volvimentos Na obra Os Elementos de Euclides 360 aC 295 aC ja aparecem os conceitos de numeros pares ımpares primos e compostos Como a Matematica grega era essencial mente geometrica os numeros eram representados por segmen tos de retas O Livro VII de Os Elementos inicia com a regra para a determinacao do maximo divisor comum de dois numeros Varios outros resultados aparecem nestes livros inclusive a de monstracao da existˆencia de uma quantidade infinita de numeros primos Talvez o mais ilustre matematico amador tenha sido Pierre de Fermat 16011665 que e considerado o fundador da moderna teoria dos numeros Fermat estudou direito em Toulouse onde trabalhou como advogado e conselheiro do par lamento local Seu mais famoso enunciado conhecido como o Ultimo Teorema de Fermat so foi demonstrado recente mente em 1995 por Andrew Wiles O enunciado desse teorema afirma que nao existem numeros inteiros nao nulos a b c tais que an bn cn para n 2 Fermat escreveu na margem de um livro que tinha uma demonstracao simples para esta afirmacao mas que o espaco da margem era insuficiente para escrevˆela Provavelmente a prova que Fermat dispunha nao estaria cor reta dado que este problema ficou longo perıodo sem resposta Entretanto gracas as tentativas de resolvˆelo muitos elementos teoricos da Matematica foram desenvolvidos Numeros da forma 22n 1 ficaram conhecidos como numeros de Fermat pois Fermat conjecturou que tais numeros 12 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS seriam sempre primos depois de ter verificado que o resultado era valido para n 0 1 2 3 4 Um seculo depois Leonhard Euler 17071783 mostrou que para n 5 a conjectura nao va lia pois 225 1 4294967297 641 6700417 Nao sabemos ate o momento se existe algum numero n 5 tal que 22n 1 e um numero primo Fermat demonstrou resultados interessantes como o teorema que diz que um numero primo p e soma de dois quadrados se e somente se p 2 ou se o resto da divisao de p por 4 e igual a 1 Por exemplo 5 22 12 13 32 22 porem 3 7 e 11 nao se escrevem como soma de dois quadrados Existem inumeras conjecturas que envolvem os numeros inteiros muitas delas com enunciados bastante simples como por exemplo a que afirma que todo numero par maior que 2 e soma de dois numeros primos enunciada por Christian Goldbach 16901764 a qual permanece um problema aberto e intrigante Estes Elementos da Teoria dos Numeros sao constituıdos da seguinte maneira No Capıtulo 1 apresentamos as nocoes de conjuntos relacoes e funcoes de modo breve apenas como suporte para resultados usados em momentos posteriores Algo semelhante ocorre no Capıtulo 2 em que apresentamos as propriedades dos numeros inteiros E usual o tratamento da teoria dos numeros sobre os inteiros embora tambem possa ser arquitetada sobre os numeros naturais O Capıtulo 3 inicia propriamente a teo ria quando sao introduzidos os princıpios de inducao em duas versoes e sao mostradas as equivalˆencias dessas duas versoes com o princıpio da boa ordem dos numeros naturais O Capıtulo 4 define o conceito de divisao de inteiros e in troduz o famoso algoritmo da divisao de Euclides No capıtulo seguinte investigamos as bases de numeracao Embora tradicio INTRODUC AO 13 nalmente usamos a base dez isto nao foi sempre unˆanime nas ci vilizacoes passadas Tambem o advento das linguagens artificiais e a teoria da computacao mostrou o interesse em aplicacoes de outras bases particularmente a base dois No Capıtulo 6 trata mos dos criterios de divisibilidade ou mais especificamente pro curamos mostrar algumas caracterısticas que um dado numero deve ter para ao ser dividido por um outro numero dar resto zero As licoes escolares tradicionais de estabelecer o maximo divisor comum e o mınimo multiplo comum sao justificadas no Capıtulo 7 O capıtulo seguinte e destinado aos famosos primos que comparecem como fatores em todos os numeros inteiros po sitivos maiores ou iguais a dois Esta afirmacao pode e deve ser estendida para todos os inteiros incluindo aı os negativos O Capıtulo 9 desenvolve as congruˆencias e uma pequena algebra sobre classes de numeros O capıtulo seguinte traz as equacoes diofantinas lineares uma parte das equacoes que estiveram nos interesses do matematico grego antigo Diofanto No Capıtulo 11 discorremos sobre as ternas pitagoricas com o intuito de apresen tar o famoso Ultimo Teorema de Fermat e algumas contribuicoes em torno do teorema O penultimo capıtulo mostra os numeros quadrados e triangulares que tˆem motivacao visual e geometrica Finalmente no ultimo capıtulo apresentamos algumas particu laridades e curiosidades sobre numeros A Functional Ham yellowed with age these alterations cause the rest of the muscle to contract 1 Conjuntos relacoes e funcoes Nesse capıtulo apresentamos algumas nocoes gerais mas fundamentais para desenvolvimentos posteriores sobre conjun tos relacoes entre conjuntos particularmente as relacoes de equi valˆencia e de ordem Mais detalhes sobre os elementos teoricos desenvolvidos neste ınterim podem ser encontrados em Feitosa Paulovich 2005 e Feitosa Nascimento Alfonso 2008 11 A nocao de conjunto O ponto de partida para a elaboracao de uma teoria e dado pela introducao dos seus conceitos primitivos que sao conceitos nao definidos Assim para esses elementos de Teoria dos Conjuntos nao apresentamos definicoes para os conceitos de conjunto elemento e relacao de pertinˆencia A ideia intuitiva de conjunto e a de colecao classe de ob jetos agrupamento etc Um conjunto e determinado pelos seus elementos ou membros Os conjuntos sao em geral denotados por letras la tinas maiusculas A B C e os elementos de um conjunto sao geralmente representados por letras latinas minusculas a b c x y z Usamos chaves para indicar os elementos do conjunto con siderado Quando conhecidos os elementos de um conjunto a maneira usual de representalo e a seguinte A a b c 16 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS 111 Relacao de pertinˆencia e a determinacao de um conjunto A relacao de pertinˆencia e fundamental para a teoria dos conjuntos Para indicarse que um elemento a pertence a um conjunto A utilizamos o sımbolo e escrevemos a A quando b nao pertence ao conjunto A utilizamos o sımbolo e escrevemos b A Exemplo 11 Dado o conjunto A 1 2 3 podemos escrever 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A Ao mudarmos a ordem dos elementos num conjunto continuamos tendo o mesmo conjunto isto e 1 2 3 1 3 2 e 3 2 1 representam o mesmo conjunto Um conjunto pode ser determinado de duas maneiras extencionalmente pela listagem de seus elementos ou inten cionalmente atraves de alguma propriedade comum de seus elementos extencionalmente Exemplo 12 A a b c d e Exemplo 13 B 1 0 1 2 3 Exemplo 14 Z 3 2 1 0 1 2 3 intencionalmente Exemplo 15 A x N x 4 CONJUNTOS RELAC OES E FUNC OES 17 Exemplo 16 B x Z 4 x 6 Exemplo 17 C x R x 10 112 Tipos de conjuntos Alguns conjuntos sao os que aparecem naturalmente na teoria dos conjuntos Dentre eles destacamos i Conjunto vazio e o unico conjunto que nao tem ele mentos Denotamos o conjunto vazio por ou simplesmente pelo sımbolo Exemplo 18 A x R x2 1 0 Exemplo 19 D x N 4 x 5 ii Conjunto unitario e um conjunto que possui apenas um elemento Exemplo 110 A 8 Exemplo 111 B x x e numero primo par iii Conjuntos finitos e infinitos um conjunto e finito quando tem uma quantidade de elementos igual a algum numero natural Um conjunto e infinito quando nao e finito Exemplo 112 A x N x e numero primo e x 100 e finito Exemplo 113 E N e infinito iv Conjunto universo denominamos conjunto universo domınio ou campo ao conjunto de todos os elementos que estao sob verificacao Denotamos o conjunto universo por U 18 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS 113 Inclusao e igualdade de conjuntos Esta secao trata da inclusao e igualdade de conjuntos Um conjunto A e subconjunto de um conjunto B quando todos os elementos que pertencem a A tambem pertencem a B Indicamos isto por A B xx A x B A expressao A B tem o significado de A esta contido em B ou A e parte de B ou ainda B contem A Para todo conjunto A sao seus subconjuntos o proprio conjunto A e o conjunto vazio Estes dois subconjuntos sao denominados de subconjuntos triviais O conjunto A e um subconjunto proprio de B se A B e algum elemento de B nao pertence a A Indicamos a inclusao propria por A B Exemplo 114 Dados os conjuntos A 1 0 1 e B 3 2 1 0 1 2 como todos os elementos de A tambem sao elementos de B e 2 B mas 2 A podemos escrever A B Exemplo 115 Se A 2 3 e B x R x2 5x 6 0 entao A B e B A Dois conjuntos A e B sao iguais quando tˆem exatamente os mesmos elementos A igualdade de conjuntos e denotada por A B Assim A B xx A x B e x B x A xx A x B CONJUNTOS RELAC OES E FUNC OES 19 A sentenca xx A x B tambem e conhecida como o princıpio da extensionalidade dos conjuntos Desta maneira podemos tambem definir a igualdade de conjuntos da seguinte maneira A B A B e B A e a inclusao propria por A B A B e A B Exemplo 116 Dados os conjuntos A 0 1 2 e B x N x 2 podemos verificar que A e B possuem os mesmos elementos Logo indicamos isto por A B 114 Conjunto das partes de um conjunto Dado um conjunto A o conjunto das partes de A e o conjunto PA cujos elementos sao todos os subconjuntos de A Exemplo 117 Dado o conjunto A 1 2 3 o conjunto das partes de A e o conjunto PA 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 Exemplo 118 Se D α β entao PD α β α β 115 Operacoes com conjuntos e a algebra dos conjuntos Agora veremos como compor com os conjuntos de forma a obtermos novos conjuntos Isto e feito a partir das operacoes sobre conjuntos Quatro importantes operacoes serao tratadas a uniao a interseccao a complementacao e a diferenca entre conjuntos A uniao de conjuntos a uniao de dois conjuntos A e B e o conjunto A B cujos elementos pertencem a A ou a B Assim A B x U x A x B 20 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Em geral indicamos quem e o nosso universo de discurso U Isto e importante para evitarmos certos problemas que esta abordagem intuitiva pode causar Exemplo 119 Dados os conjuntos A 1 0 1 e B 1 2 3 entao a uniao de A e B e o conjunto A B 1 0 1 2 3 Exemplo 120 Se A Z e B e o conjunto dos inteiros pares isto e B x Z x 2q q Z entao A B Z A interseccao de conjuntos a interseccao de dois con juntos A e B e o conjunto AB cujos elementos pertencem a A e a B simultaneamente Assim AB x U x A e x B Exemplo 121 Dados os conjuntos A 1 0 1 2 3 e B 2 3 4 5 temos que A B 2 3 Exemplo 122 Se A Z e B x R x2 2 entao A B Dois conjuntos A e B sao disjuntos ou mutuamente exclusivos quando A B A diferenca de dois conjuntos dados dois conjuntos A e B a diferenca entre A e B e o conjunto A B formado pelos elementos que pertencem a A mas nao pertencem a B Assim A B x U x A e x B Exemplo 123 Dados os conjuntos A 2 1 0 1 2 e B 0 1 2 3 a diferenca entre A e B e o conjunto A B 2 1 CONJUNTOS RELAC OES E FUNC OES 21 Exemplo 124 Se A R e B Q entao A B e o conjunto R Q dos numeros irracionais A complementacao dados dois conjuntos A e B de maneira que B A o complementar de B com relacao a A e o conjunto A B formado pelos elementos de A que nao pertencem a B Ou seja A B x U x A e x B De acordo com a definicao de complementar podemos observar que A B A B Alem disso o complementar de um conjunto A em relacao ao universo U e representado por AC ou A De forma geral uma estrutura algebrica e determinada por um conjunto nao vazio munido de uma ou mais operacoes O numero de operacoes definidas e as propriedades verificadas pelas operacoes caracterizam abstratamente as algebras Dota remos os conjuntos de uma estrutura algebrica que chamamos a algebra dos conjuntos Dado um conjunto qualquer U o conjunto das partes de U e nao vazio Assim consideremos A B C PU Com relacao as operacoes de uniao interseccao e complementacao de conjuntos determinamos uma algebra PU U em que valem as seguintes propriedades Propriedades da uniao A A A Idempotˆencia A B B A Comutatividade A B C A B C Associatividade A A Elemento neutro A U U Elemento absorvente 22 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Propriedades da interseccao A A A Idempotˆencia A B B A Comutatividade A B C A B C Associatividade A U A Elemento neutro A Elemento absorvente Propriedades distributivas A B C A B A C A B C A B A C Propriedades da complementacao A A A A U U U A A Propriedades de dualidade ou leis de De Morgan A B A B A B A B Propriedades de absorcao e diferenca A A B A A A B A A B A B Exercıcio 11 Verificar as propriedades das operacoes com con juntos 12 Relacoes Agora apresentamos as relacoes entre conjuntos O produto cartesiano do conjunto A pelo conjunto B e o conjunto de todos os pares ordenados a b tais que a A e b B Assim A B a b a A e b B CONJUNTOS RELAC OES E FUNC OES 23 Uma relacao binaria e um subconjunto de A B Assim R A B e uma relacao binaria Em geral quando tratamos de uma relacao binaria dizemos apenas relacao Para uma relacao R algumas vezes escrevemos xRy no lugar de x y R Por exemplo no caso da relacao de ordem sobre o conjunto dos numeros reais R temos que R x y R R x e menor ou igual a y contudo usualmente denotamos esta relacao por x y e nao por x y R Seja R uma relacao em AB O domınio de R denotado por DomR e definido por DomR x A x y R para algum y B A imagem de R indicada por ImR e definida por ImR y B x y R para algum x A Uma relacao sobre um conjunto A e um subconjunto R do produto cartesiano A A A relacao R e i reflexiva quando para todo a A aRa ii simetrica quando para todos a b A se aRb entao bRa iii transitiva quando para todos a b c A se aRb e bRc entao aRc iv antisimetrica quando para todos a b A se aRb e bRa entao a b Exemplo 125 A relacao R a b R a b usualmente denotada por a b e reflexiva transitiva e antisimetrica 24 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Exemplo 126 Seja T o conjunto de todos os triˆangulos de um dado plano A relacao S definida por t u t e congruente a u e uma relacao reflexiva simetrica e transitiva em T 121 Relacoes de equivalˆencia A relacao de equivalˆencia desempenha um papel impor tante na Matematica como um modo de generalizar a relacao de igualdade em situacao em que indivıduos embora distintos possam executar um papel equivalente Uma relacao de equivalˆencia sobre um conjunto A e uma relacao que e reflexiva simetrica e transitiva Exemplo 127 A relacao R a a b b c c a c c a e uma relacao de equivalˆencia sobre A a b c Exemplo 128 A relacao de igualdade em qualquer conjunto e sempre uma relacao de equivalˆencia Exemplo 129 A semelhanca de triˆangulos e uma relacao de equivalˆencia Exemplo 130 A relacao em R nao e uma relacao de equi valˆencia pois nao e simetrica 1 2 mas nao ocorre 2 1 Quando R e uma relacao de equivalˆencia em um conjunto A e a A o conjunto a x A xRa e a classe de equivalˆencia de a Tambem e usual denotarse a classe de equivalˆencia a por a CONJUNTOS RELAC OES E FUNC OES 25 Exemplo 131 Se A 1 2 3 e R 1 1 2 2 3 3 1 2 2 1 entao R e uma relacao de equivalˆencia e as suas classes de equivalˆencia sao dadas por 1 1 2 2 1 2 e 3 3 Teorema 11 Seja R uma relacao de equivalˆencia em um con junto A Entao i duas classes de equivalˆencia sao iguais ou disjuntas ii o conjunto A e a uniao de todas as classes de equivalˆencia Demonstracao Ver Feitosa Nascimento Alfonso 2008 Quando R e uma relacao de equivalˆencia em um conjunto A o conjunto quociente de A pela relacao R e o conjunto das classes de equivalˆencia de R AR a a A B PA B a para algum a A Uma particao P de um conjunto nao vazio A e uma colecao de subconjuntos nao vazios de A dois a dois disjuntos e cuja uniao e igual a A Assim cada membro X de P e nao vazio ou seja X Se X Y P e X Y entao X Y e X X P A Exemplo 132 Se A 1 2 3 4 sao particoes de A P1 1 2 3 4 e P2 1 2 3 4 etc Exemplo 133 O conjunto P 3 3 7 7 e uma particao de R 26 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS 122 Relacoes de ordem A definicao de relacao de ordem procura formalizar algumas concepcoes intuitivas da ordenacao e sao fundamentais no contexto matematico Seja R uma relacao em um conjunto A A relacao R e uma relacao de ordem sobre A quando e reflexiva antisimetrica e transitiva Nestas condicoes dizemos que o par A R e uma estrutura de ordem e o conjunto A e ordenado por R Uma relacao de ordem e muitas vezes chamada de ordem parcial Exemplo 134 A relacao x e menor ou igual a y denotada por x y no conjunto dos numeros reais e uma ordem Exemplo 135 Dado um conjunto E consideremos o conjunto PE A relacao A e subconjunto de B e uma relacao de ordem em PE Como e usual a menos que precisemos indicar de outro modo denotaremos uma estrutura de ordem por A A ordem em A e uma ordem total ou ordem linear quando para todo par de elementos x y A temse que x y ou y x Nesse caso temos uma estrutura de ordem total A e dizemos que A e um conjunto totalmente ordenado por Deve mos observar que cada ordem total e ainda uma ordem parcial CONJUNTOS RELAC OES E FUNC OES 27 Exemplo 136 A relacao x e menor ou igual a y e uma ordem total em N ou em Z Q R Seja A uma ordem parcial e x y A O elemento x e estritamente menor que y o que e denotado por x y quando x y e x y Nesse caso dizemos que e uma ordem estrita Essa ordem estrita e antisimetrica e transitiva mas nao e reflexiva Um par A e uma ordem total se e somente se vale a lei da tricotomia isto e para quaisquer x y A vale exatamente uma das condicoes seguintes x y ou x y ou y x Sejam E uma ordem e A E Um elemento M de A e um maximo de A quando xx A x M Um ele mento m de A e um mınimo de A quando xx A m x Seja A uma ordem parcial O conjunto A e bem orde nado quando todo subconjunto nao vazio B de A tem elemento mınimo Nesse caso o par A e uma boa ordem Exemplo 137 N e uma boa ordem mas Z nao e Exemplo 138 ZZ em que x y z w x zx z e y w e uma ordem total Esta ordem e conhecida como ordem lexicografica a ordem dos dicionarios Segue da definicao que todo conjunto bem ordenado de termina uma ordem total pois dados x y A o conjunto x y A tem um mınimo 28 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS 13 Funcoes Cada funcao e um caso particular de uma relacao Uma funcao de A em B e uma relacao h A B tal que para cada x A existe um unico y de modo que x y h Em geral denotamos uma funcao h de A em B por h A B Esta notacao indica que h e uma funcao com Domh A e Imh B O conjunto B e o contradomınio de h Assim uma funcao h de A em B e uma relacao que satisfaz i h A B ii x Ay Bx y h iii x y h e x z h y z Para uma funcao h e um ponto elemento x Domh o unico y tal que x y h e chamado o valor de h em x ou a imagem de x por h e e denotado por hx O elemento x e o argumento de hx Assim x y h y hx e desse modo x hx h Exemplo 139 Para um conjunto A iA A A e a funcao identidade em A e iAx x para todo x A Uma funcao e sobrejetiva quando Imh B Uma funcao e injetiva quando para x z A se x z entao hx hz Uma funcao e bijetiva quando e injetiva e sobrejetiva Uma funcao sobrejetiva aplica A sobre o todo de B nao deixando qualquer elemento de B sem um correspondente em A CONJUNTOS RELAC OES E FUNC OES 29 Uma funcao injetiva conduz elementos distintos em imagens dis tintas ou de acordo com a sua contrapositiva hx hz x z imagens idˆenticas exigem argumentos idˆenticos Numa funcao bijetiva para cada y B existe um unico x A tal que x y h Exemplo 140 Dado um conjunto nao vazio A e uma relacao de equivalˆencia em A seja A a a A o conjunto quociente de A por A funcao projecao π A A e uma funcao sobrejetiva que leva cada membro a A em πa a E usual denotarmos uma sequˆencia por an a1 a2 a3 an Poderıamos iniciar uma sequˆencia do 0 mas nao seria natural dizer que o primeiro elemento de an e a0 Devido a isto em temas da Matematica que usam com muita frequˆencia as sequˆencias como no calculo e analise matematica assumese que 0 nao e numero natural enquanto que em contexto algebricos e bom que o elemento neutro da adicao de naturais seja ele um numero natural e daı considerarse 0 como numero natural Contudo cada contexto deve explicitar suas escolhas e manter a coerˆencia e consistˆencia interna independente da escolha feita Exercıcio 12 Descrever os seguintes conjuntos atraves de uma propriedade caracterıstica de seus elementos a A 0 2 4 6 b B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c C 0 1 4 9 16 25 36 d D 1 1 2 2 3 3 Exercıcio 13 Descrever por meio da listagem dos seus elemen tos os conjuntos a conjunto dos multiplos de 3 entre 11 e 8 30 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS b conjunto dos divisores de 36 c conjunto dos multiplos de 0 Exercıcio 14 Determinar se e verdadeira ou falsa cada uma das seguintes sentencas a 0 1 0 1 2 3 b a a b c 0 d 0 e a f a a a g a a a h a i a Exercıcio 15 Dados os conjuntos A 1 2 3 4 e B 2 4 escrever com a simbologia da teoria dos conjuntos as sentencas abaixo e determinar quais sao verdadeiras e quais sao falsas a 3 e elemento de A b B e parte de A c 4 pertence a B d 1 nao esta em B e B e igual a A f B nao e subconjunto de A Exercıcio 16 Demonstrar que para todo conjunto A vale A Exercıcio 17 Mostrar que existe um unico conjunto vazio Exercıcio 18 Construir o conjunto das partes de B a b c Exercıcio 19 Justificar a igualdade A A B A Exercıcio 110 Dar exemplos de conjuntos A B e C tais que A B C A B C Exercıcio 111 Verificar quais propriedades sao satisfeitas so bre o conjunto R para cada uma das relacoes abaixo a aRb a2 b2 b aRb a b 1 c aRb a b d aRb a b2 CONJUNTOS RELAC OES E FUNC OES 31 Exercıcio 112 Para as seguintes relacoes de R em R dizer se sao ou nao funcoes e justificar a R x y R R x2 y2 b S x y R R x2 y2 10 c T x y R R y x2 d T x y R R x y2 AND NOBLE SPORTING GOODS UTAHS LARGEST SPORTING GOODS STORE JEROMES BUCKAROO TACKS ROSSINI SHIRTS CRISP WHITES WEVE NEVER HAD SO MANY HEADS IN SALT LAKE TO TRY THEM ON AS THIS SUMMER BLAZERS JERKINS BY RALPH LAUREN JERICHO HOSE RALPH LAUREN ESCADA TAHARI JAMES KAHN KENNDY COATS FOR FALL FROM NIENGA Custom Shirts By ORDER THESE FAMOUS CUSTOM LUTHIERS AT BOTH JEROMES STORES 421 SOUTH MAIN 7 WEST FIRST AVE PHONE 3592214 320 S STATE STREET PHONE 9842181 OPEN SUNDAY10AM TO 6 PM 2 Propriedades dos inteiros Neste capıtulo apresentamos os numeros inteiros e algumas propriedades elementares que caracterizam a estrutura algebrica dos inteiros com a adicao a multiplicacao o zero o um e a relacao de ordem usuais Estes elementos teoricos serao usados nos desenvolvimentos posteriores Embora ja tenhamos utilizadas algumas notacoes vamos explicitalas a seguir O conjunto dos numeros inteiros denotado por Z e o con junto determinado por Z 3 2 1 0 1 2 3 e o conjunto dos numeros naturais denotado por N e o conjunto N 0 1 2 3 4 5 Como usualmente se desejamos indicar que 0 nao pertence ao um conjunto denotamos o conjunto seguido de um asterisco por exemplo N 1 2 3 4 5 Os conjuntos dos numeros reais dos racionais ou fra cionarios e dos complexos sao denotados respectivamente por R Q e C 21 Operacoes elementares com inteiros Interessanos nao apenas o conjunto Z mas tambem alguns aspectos algebricos determinados sobre Z Assim destacamos duas operacoes sobre os inteiros uma adicao Z Z Z que para dois inteiros a e b associa um outro inteiro indicado 34 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS por a b a soma de a e b e uma multiplicacao Z Z Z que para dois inteiros a e b associa um outro inteiro indicado por a b o produto de a e b Como e usual desde que nao haja problemas de notacao e entendimento indicamos uma multiplicacao de a por b apenas por ab Tambem a multiplicacao tem prioridade sobre a adicao a bc significa a bc Exemplo 21 2n 14 Exemplo 22 2 7 14 Exemplo 23 ab c ab ac Destacamos em Z dois elementos que desempenham papel especial quanto a estas duas operacoes de adicao e multiplicacao o 0 zero e o 1 um conforme veremos logo a seguir Consideramos a ordem usual em Z a b a b 0 A ordem estrita e dada por a b a b 0 Dizemos que um inteiro a e positivo ou negativo caso a 0 ou a 0 respectivamente As propriedades indicadas a seguir para as operacoes de adicao e multiplicacao de numeros inteiros serao assumidas como validas Detalhes sobre as validades de tais propriedades podem ser encontradas em textos que versam sobre a construcao dos inteiros como em Feitosa Nascimento Alfonso 2009 Dados a b c Z em Z 0 1 valem as proprieda des 1 Fechamento a b Z e ab Z 2 Comutatividade a b b a e ab ba PROPRIEDADES DOS INTEIROS 35 3 Associatividade a b c a b c e abc abc 4 Elemento neutro da adicao zero existe 0 Z tal que a 0 0 a a 5 Elemento neutro da multiplicacao um existe 1 Z tal que 1a a1 a 6 Distributividade ab c ab ac 7 Multiplicacao por zero 0a 0 8 Inverso aditivo oposto Para cada a Z existe a Z tal que a a 0 9 Integridade Se ab 0 entao a 0 ou b 0 10 Regra do sinal ab ab ab e ab ab 11 Tricotomia Dados os inteiros a e b entao a b ou a b ou b a 12 Desigualdades i a b a c b c ii Se 0 c entao a b ac bc iii Se c 0 entao a b ac bc 13 Cancelamento i a c b c a b ii Se a 0 entao ab ac b c Para a inteiro denotamos a2 aa Exercıcio 21 Dados a b c d Z mostrar que a a bc d ac ad bc bd b a b2 a2 2ab b2 c a b2 a2 2ab b2 d a ba b a2 b2 e b cd bd cd f ab cd abd acd 36 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Exercıcio 22 Dados a b c d Z mostrar a validade ou dar um contraexemplo para a a2 ab a b b a b e c d a c b d c a b e c d ac bd d a c b d a b e c d e ab a b 1 3 Inducao matematica Neste capıtulo tratamos da inducao matematica A inducao matematica e um princıpio postulado por Peano para os numeros naturais que afirma que se uma propriedade e veri ficada para o zero e sempre que verificada para um natural n tambem pode ser verificada para o seu sucessor n1 entao a propriedade e verificada para todos os numeros naturais Mostraremos que a inducao como no enunciado acima e equivalente a outros resultados no sentido que tomando um deles como princıpio ou axioma os demais inclusive o princıpio de inducao sao demonstrados a partir dele 31 A boa ordem e os princıpios de inducao Princıpio da boa ordem PBO Todo subconjunto nao vazio do conjunto dos numeros naturais tem um menor elemento elemento mınimo Este princıpio indica que se S N e S entao existe s S tal que s n para todo n S Princıpio da inducao PI Dado m N seja S x N m x Se Pn e uma propriedade sobre n N tal que i Pm e verdadeira e ii se n S e Pn e verdadeira entao Pn 1 e verdadeira entao Pn e verdadeira para todo n S isto e Pn e verdadeira para todo n N n m 38 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Princıpio forte da inducao PFI Dado m N seja S x N m x Se Pn e uma propriedade sobre n N tal que i Pm e verdadeira e ii para todos n r S com m r n sempre que Pr e verdadeira temse que Pn e verdadeira entao Pn e verdadeira para todo n S isto e Pn e verdadeira para todo n N n m Se no conjunto S acima temos m 0 entao S N A seguir mostramos a equivalˆencia entre os trˆes princıpios mencio nados Lema 31 PBO PFI Demonstracao Seja Pn uma propriedade que satisfaz as hipoteses do PFI isto e valem i Pm e verdadeira e ii para todos n r S com m r n se Pr e verdadeira entao Pn e verdadeira Seja K n N m n e Pn e falsa Suponhamos que K Pelo PBO existe o menor elemento k de K e desde que por hipotese Pm e verdadeira entao m k Agora pela minimalidade de k para todo r tal que m r k temse que Pr e verdadeira Mas entao por ii Pk e verdadeira e portanto k K o que contradiz a escolha de k Logo K e desse modo Pn e verdadeira para todo n S n N m n Lema 32 PFI PI Demonstracao Seja Pn uma propriedade que satisfaz as hipoteses do PI isto e valem i Pm e verdadeira e ii se n S e Pn e verdadeira entao Pn 1 e verdadeira INDUC AO MATEM ATICA 39 Sejam n r S tais que para m r n temse Pr verdadeira Como m n entao m n 1 n e daı Pn 1 e verdadeira Por ii Pn Pn 1 1 e verdadeira e pelo PFI Pn e verdadeira para todo n S Lema 33 PI PBO Demonstracao Seja S N tal que S Se 0 S entao 0 e o menor elemento de S Se 0 S consideremos a propriedade Pn n s para todo s S Desse modo P0 e verdadeira Afirmacao 1 Existe r N tal que Pr e verdadeira mas Pr 1 e falsa Suponhamos que para todo r N Pr verdadeira implica Pr 1 verdadeira Como P0 e verdadeira pelo PI Pn e verdadeira para todo n N e portanto S o que contradiz a assercao S Logo existe r que satisfaz a afirmacao 1 Afirmacao 2 r 1 e o menor elemento de S Consideremos que r satisfaz a afirmacao 1 Como Pr e verda deira entao r s para todo s S Logo r1 s para todo s S Se r 1 S entao r 1 s para todo s S ou seja Pr 1 e verdadeira o que e uma contradicao pois estamos considerando que r satisfaz a afirmacao 1 Assim r 1 S e alem disso r 1 e o menor elemento de S pois r 1 s para todo s S Teorema 34 Os trˆes princıpios acima sao equivalentes Demonstracao Segue dos lemas anteriores Mostrar que uma proposicao Pn e valida para todo n m e mostrar que Pn e valida para todo n k N k m Assim para aplicar o PI devese mostrar i Pm e valida ii Supor k m e Pk valida hipotese de inducao e 40 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS demonstrar Pk 1 valida Concluir que pelo PI Pn e valida para todo n N n m A aplicacao do PIF e analoga mantendo i e mudando ii para ii Supor m n e Pk valida para todo k tal que m k n hipotese de inducao e demonstrar Pn 1 valida Concluir que pelo PIF Pn e valida para todo n N n m 32 Aplicacoes dos princıpios de inducao na Matematica O princıpio de inducao tem inumeras aplicacoes na Ma tematica naturalmente na teoria dos numeros mas em muitas outras subareas da Matematica como veremos a seguir Iniciemos com uma aplicacao que envolve os numeros in teiros e suas propriedades Veremos que dados dois inteiros a e b com a 0 entao algum multiplo de a e maior que b Embora este resultado receba o nome em homenagem a Arquimedes ele foi enunciado anteriormente por Eudoxo Um conjunto ordenado A admite a propriedade arqui mediana se para todos a b A com a 0 existe d A tal que da b Teorema 35 O conjunto Z admite a propriedade arquime diana ou mais especificamente para a b Z com a 0 segue que i existe d Z tal que da b ii existe e Z tal que ea b INDUC AO MATEM ATICA 41 Demonstracao i Podemos verificar somente o caso a 0 pois se a 0 entao a 0 e da da Se a b basta tomarmos d 1 Agora se a b entao b a 0 Seja K b na n Z e b na 0 Como b a K entao K Pelo princıpio da boa ordem PBO o conjunto K tem um menor elemento digamos b ma Desde que a 0 entao b ma b ma a b m 1a Como b ma e o menor elemento de K entao b m 1a K ou seja bm1a 0 e portanto b m1a Assim se d m1 temos da m 1a b ii De i considerando a e b existe d Z tal que da b Agora multiplicando esta desigualdade por 1 temos da b Logo basta tomarmos e d Exemplo 31 Verificar que 123n n 2 n1 para todo n N Como n N iniciamos com o caso em que n 1 Assim para n 1 temos 1 1 21 1 que e valido Como hipotese de inducao assumimos que a igualdade vale para k 1 e daı mostramos que vale para k 1 Desde que 1 2 3 k k 2 k 1 entao 1 2 3 k k 1 k 2 k 1 k 1 k 2 1 k 1 k2 2 k 1 k1 2 k 2 Assim o resultado vale para k 1 e pelo PI vale para todo n N Os princıpios de inducao servem para justificar definicoes dadas por recursao como no seguinte caso Para n Z e r N a potˆencia de n e definida por n0 1 e nr1 nr n desde que nr esteja definido Definese tambem 0r 0 para r 0 42 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Exercıcio 31 Mostrar por inducao sobre p que np Z quais quer que sejam n p Z com p 0 e n 0 Exercıcio 32 Para m n r s Z com m 0 n 0 r 0 e s 0 mostrar que a nr ns nrs b nr mr nmr c nrs nrs Exercıcio 33 Comprovar por inducao as seguintes igualda des a 20 21 22 2n1 2n 1 para todo n N com n 1 b 12 22 32 n2 nn 12n 16 para todo n N com n 1 c 13 23 33 n3 n2n 124 para todo n N com n 1 d 1 2 2 3 3 4 n n 1 nn 1n 23 para todo n N com n 1 O fato de algumas afirmacoes valerem para uma boa quan tidade inicial de numeros naturais nao garante que valha para todos os numeros naturais Por exemplo a formula n2 n 41 fornece numeros primos para n 1 2 39 porem para n 40 podemos verificar que n2 n 41 nao e um numero primo Apesar da simplicidade de aplicacao dos princıpios de inducao precisamos tomar cuidado ao Demonstrar resultados verificando se estamos aplicando de forma correta os conceitos e teoremas envolvidos Procurar o erro na deducao a seguir INDUC AO MATEM ATICA 43 Exemplo 32 Teorema Feminista Todos os homens sao iguais Demonstracao por inducao sobre o conjuntos com n homens Para n 1 o enunciado vale pois num conjunto unitario de homens todos sao iguais Hipotese de inducao Em cada conjunto com n homens todos eles sao iguais Seja A um conjunto com n 1 homens digamos A h1 h2 hn hn1 Os conjuntos h1 h2 hn e h2 hn hn1 tˆem n elementos Logo pela hipotese de inducao h1 h2 hn e h2 hn hn1 Desse modo todos os homens de A sao iguais ou seja provamos o caso para n 1 Portanto pelo PI todos os homens sao iguais Os princıpios de inducao sao usados para a verificacao de algumas formulas envolvendo numeros naturais Como uma aplicacao verificaremos a validade da formula da soma dos n primeiros termos iniciais de uma progressao aritmetica PA Exemplo 33 Se a1 a2 an e uma progressao aritmetica com razao r entao an a1 n 1r Deducao por inducao sobre n Para n 1 a1 a1 1 1r Na hipotese de inducao consideremos que a formula vale para n isto e an a1 n 1r Daı an1 an r a1 n 1r r a1 nr a1 n 1 1r Logo a formula vale para n 1 Assim pelo PI a formula vale para todo n inteiro tal que n 1 Exemplo 34 Se a1 a2 an e uma progressao aritmetica 44 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS com razao r entao Sn a1 an n 2 e soma dos n primeiros termos da PA A justificacao e por inducao sobre n Para n 1 temos que S1 a1 a11 2 a1 Hipotese de inducao Seja Sn a1 ann 2 Daı Sn1 Sn an1 a1 ann 2 an1 na1 nan 2an1 2 na1 na1 n 1r 2an1 2 na1 na1 nn 1r 2an1 2 n 1a1 n 1a1 nn 1r 2an1 2 n 1a1 n 1a1 nr 2an1 2 n 1a1 n 1an1 2an1 2 n 1a1 n 1an1 2 n 1a1 an1 2 a1 an1n 1 2 ou seja Sn1 a1 an1n 1 2 Assim pelo PI a formula vale para todo n inteiro n 1 Exercıcio 34 Mostrar que a o termo geral de uma progressao geometrica de razao q e an a1qn1 para todo n N com n 1 b o produto dos n termos iniciais de uma progressao geometrica de razao q e Pn a1 ann2 para todo n N tal que n 1 c a soma dos n termos iniciais de uma progressao geometrica de razao q e INDUC AO MATEM ATICA 45 Sn a11 qn1 q Exercıcio 35 Considerando a soma Sn 112123 13 4 1n n 1 pedese a Calcular S1 S2 S3 S4 b Observar os denominadores e respectivos numeradores e es crever uma formula para Sn c Verificar se a formula que vocˆe escreveu e valida para todo n 1 Exercıcio 36 Fazer como no exercıcio acima para Sn 13 115 14n2 1 Exercıcio 37 Fazer como no exercıcio acima para Sn 1 3 5 2n 1 A inducao para a justificacao de desigualdades Exemplo 35 Para todo n N valem a 1 2n e b n 2n a Fica como exercıcio b Se n 0 entao 0 1 20 Assumamos pela hipotese de inducao que n 2n para n N Daı devemos verificar que n 1 2n1 n 1 2n 1 2n 2n 2 2n 2n1 Logo n 2n para todo n N Exercıcio 38 Encontrar o menor valor para e Demonstrar as desigualdades a n 2n para todo n b 2n 2n 1 para todo n c 2n n2 para todo n d 3n2 n 20 para todo n 46 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Exercıcio 39 Usar o princıpio da boa ordem para mostrar que nao existe inteiro m tal que 0 m 1 Sugestao Observar que 0 n 1 0 n2 n A divisibilidade sera detalhada no Capıtulo 4 mas como exemplo de aplicacao da inducao matematica facamos aqui uma breve introducao Dizemos que a divide b ou que b e multiplo de a se existe q Z tal que b aq Exemplo 36 Para todo n N 22n 1 e multiplo de 3 Se n 0 entao 220 1 0 e como 30 0 entao 220 1 e multiplo de 3 Por hipotese de inducao assumamos que para 0 k vale que 22k1 e multiplo de 3 isto e 22k1 3q Daı 22k11 22k2 1 22 22k 1 43q 1 1 12q 3 34q 1 Desde que 4q 1 N entao 22k1 1 e multiplo de 3 Exercıcio 310 Demonstrar que para todo n N n3 2n e multiplo de 3 A inducao matematica pode ser usada para mostrar resul tados da Geometria tais como os seguintes Exercıcio 311 Mostrar que a soma em graus das medidas dos ˆangulos internos de um polıgono convexo de n lados e n 2 180o sabendo que a soma dos ˆangulos internos de um triˆangulo e 180o Exercıcio 312 Mostrar que o numero de diagonais de um polıgono convexo de n lados e dado por dn nn 32 INDUC AO MATEM ATICA 47 Na Aritmetica podemos pela inducao matematica mos trar propriedades tais como a distributividade Exemplo 37 Em N 0 1 vale a lei distributiva m n p m n m p Lembrando que por definicao mq 1 mq m para quisquer naturais m e q A justificacao e por inducao sobre p Consideremos o con junto B p N m n p m n m p Fa cilmente verificamos que 0 B pois m n 0 m n m n 0 m n m 0 Agora suponhamos que p B Entao m n p 1 m n p 1 m n p m m n m p m m n m p m m n m p 1 Logo p 1 B e assim B N Resolver por inducao matematica os dois exercıcios se guintes da Logica e da Teoria dos Conjuntos Exercıcio 313 Na logica proposicional classica dizemos que uma formula tem forma restrita se ela envolve apenas os co nectivos Seja A uma formula proposicional restrita Se A e obtida a partir de A pela permutacao de por de por e de cada proposicao atˆomica por sua negacao entao A e logicamente equivalente a A Exercıcio 314 Sejam A1 A2 An n conjuntos e 2 n Mostrar que vale a lei de De Morgan A1 A2 AnC A1C A2C AnC 48 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS 33 Fatorial numeros binomiais e triˆangulo de Pascal A inducao permite a definicao de alguns conceitos interes santes e usuais O fatorial de um numero natural n e definido por recursao como i 0 1 ii n 1 n 1 n para n 0 Assim n 1 se n 0 12 n se n 0 Exercıcio 315 Demonstrar por inducao que 1 1 2 2 3 3 n n n 1 1 para todo n N Se n k N e n k o numero binomial de n e k e definido por n k n kn k O numero binomial corresponde na analise combinatoria ao numero de combinacoes de n elementos tomados k a k Exercıcio 316 Demonstrar que a n n n 0 1 b n 1 n n1 n c n1 k n k n k1 d n k n nk e Se A e um conjunto com n elementos entao n k e a quantidade de subconjuntos de A que possuem k elementos f n k0 n k 2n para todo n N observe que INDUC AO MATEM ATICA 49 n km ak n1 km1 ak 1 e n km ak n1 km1 ak 1 g n k0 k n k n 2n1 para todo n N Se x y R e n N entao h x yn n k0 n k xnkyk Binˆomio de Newton i Usar o item anterior para desenvolver x yn e x 24 j Para x y Z existem a b Z tais que x yn ax yn e x yn bx 1nyn k Para x y Z existem a b Z tais que x 1n ax 1 e x 1n bx 1n l xn yn x y n k1 xnkyk1 x2n y2n x y 2n k1 x2nkyk11k1 e x2n1 y2n1 x y 2n k0 x2nkyk1k m xn 1 x 1 n k1 xnk x2n 1 x 1 2n k1 x2nk1k1 e x2n1 1 x 1 2n k0 x2nk1k n Encontrar px y e qx y tais que x5 y5 xypx y e x6 1 x 1 qx y 50 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS A figura seguinte apresenta os numeros binomiais numa ordem em forma de triˆangulo que e conhecida como Triˆangulo de Pascal 0 0 1 0 1 1 2 0 2 1 2 2 3 0 3 1 3 2 3 3 n 0 n 1 n k1 n k n n1 n n n1 0 n1 1 n1 k1 n1 k n1 n1 n1 n n1 n1 No Triˆangulo de Pascal a nesima linha fornece os coefi ciente do termo x yn1 para n 1 2 3 4 Observe que a linha n 1 pode ser obtida da linha n pois n1 k n k n k1 e tambem n k1 e n k estao acima de n1 k a esquerda e a direita Por exemplo a terceira linha fornece os co eficientes para xy2 x2 2xy y2 como podemos observar no Triˆangulo de Pascal dado abaixo 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 INDUC AO MATEM ATICA 51 34 A inducao matematica e a inducao de Hume A expressao inducao e entendida no contexto cientıfico como um tipo caracterıstico de procedimento inferencial Inferˆencia deve ser entendido como o processo pelo qual se obtem uma conclusao a partir de uma colecao de dados Esses dados recebem em geral o nome de premissas Na Matematica e mais usual o nome hipoteses A inferˆencia dedutiva que e propria da Logica e da Ma tematica tem a caracterıstica de conduzir premissas verdadeiras para uma conclusao verdadeira Se nao for assim a deducao esta mal feita Nas ciˆencias naturais tambem precisamos dos procedi mentos inferenciais contudo as inferˆencias dedutivas nao dao conta de todas as possibilidades e necessidades Surge dessa necessidade um outro tipo de inferˆencia chamada inferˆencia in dutiva ou inducao A inducao e tambem conhecida como inducao de Hume por ser este pensador britˆanico um dos primeiros homens a re fletir e caracterizar a inferˆencia indutiva Na inducao a veracidade das premissas nao garante a con clusao mas apenas apontam que ela provavelmente deva ser valida Por exemplo como todas as zebras que conhecemos sao listradas entendemos que as zebras sao listradas Mas isto nao e uma verdade necessaria e apenas uma inferˆencia indu tiva pois podemos eventualmente encontrarmos uma zebra nao listrada Tambem e uma conclusao indutiva a sentenca o sol nascera amanha A inducao estabelece uma conexao entre afirmacoes que valem para um numero finito de casos e o conjunto de todos os casos que em algumas situacoes pode ser infinito 52 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Por exemplo como em condicoes normais temos avaliado que toda porcao de agua ferve aos 100o Celsius entao concluımos que a agua ferve aos 100o Contudo ha sempre a possibilidade de alguma situacao que venha contradizer essa conclusao A ava liacao de inumeros casos mesmo uma quantidade muito grande de casos nao e suficiente para a garantia da validade de todos os casos Como na Estatıstica o que podese afirmar e que pro vavelmente a conclusao seja verdadeira Apenas isto Assim temos uma distincao enorme entre a inducao ma tematica que e um procedimento dedutivo enquanto a inducao de Hume propria das ciˆencias da natureza a qual faz uma ge neralizacao da parte para o todo nao e dedutiva 4 Divisibilidade e algoritmo da divisao Nesse capıtulo tratamos da divisibilidade entre numeros inteiros suas caracterısticas particularidades e propriedades Para tanto iniciamos com a definicao da relacao de divisibili dade 41 Divisibilidade Se a b Z com a 0 entao a divide b se existe c Z tal que b ca De acordo com a definicao acima dizemos tambem que a e um divisor de b ou que b e um multiplo de a ou que b e divisıvel por a O inteiro c que ocorre na definicao acima e unico pois se b ca e b da entao ca da e daı como a 0 entao d c Diante disso dizemos que c e o quociente da divisao de b por a e denotamos isso por c b a Exemplo 41 O inteiro 7 divide 14 pois 14 2 7 7 divide 14 pois 14 27 Nesse caso temos que 2 14 7 7 14 2 2 14 7 e 7 14 2 Exemplo 42 O inteiro 5 divide 0 pois 0 05 De forma mais geral para todo n Z temos que n divide 0 pois 0 0 n Exemplo 43 O inteiro 1 divide n para todo n Z pois n 1 n Exemplo 44 Para qualquer n Z n divide n pois n 1 n 54 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Exemplo 45 Desde que 12 2 6 3 4 1 12 1 12 entao os numeros 1 1 2 2 3 3 4 4 6 6 12 e 12 dividem 12 Denotamos a relacao de divisibilidade por ab com o sen tido de a divide b e quando a nao divide b denotamos por a b Assim ab b ca para algum c Z Exemplo 46 Segue das consideracoes anteriores que 420 pois 20 4 5 Se ab entao ab ab e ab pois se b ca entao b ca e b ca ca Teorema 41 Sejam a b c Z i Se ab e ac entao ab c ii Se ab entao abc iii Se ab e ac entao arb sc para todos r s Z iv Se ab e b 0 entao a b v Se ab 1 entao a 1 ou a 1 vi Se ab e ba entao a b ou a b vii Se abac e a 0 entao bc viii Se 0 a b entao b a Demonstracao i Se ab e ac entao existem d e Z tais que b da e c ea Logo b c da ea d ea e portanto ab c ii Se ab entao existe d Z tal que b ad Logo bc adc e portanto abc iii Se ab e ac entao por ii arb e asc para quaisquer r s Z Logo por i arb sc iv Como ab entao b ac para algum c Z Se a 0 como 0 b entao a b Se a 0 como b 0 entao c 0 Logo DIVISIBILIDADE E ALGORITMO DA DIVIS AO 55 c 1 e portanto b ac a1 a v Se a 0 como ab 1 entao por definicao a1 Logo por iv a 1 isto e 0 a 1 e portanto a 1 Se a 0 entao a 0 Como ab ab 1 do mesmo modo temos a 1 e portanto a 1 Observar que pelo item v do teorema anterior os unicos divisores de 1 sao 1 e 1 Exercıcio 41 Fazer os ıtens vi vii e viii do teorema acima Teorema 42 Sejam a b c Z Entao i se ab e bc entao ac ii ab se e somente se aa b iii se ab e ab c entao ac iv se ab e a c entao a b c Exercıcio 42 Demonstrar o Teorema 42 42 O Algoritmo da divisao de Euclides O algoritmo da divisao como veremos garante que se n e d sao inteiros e d 0 entao podemos dividir n por d obtendo um unico quociente q e um unico resto r em que 0 r d No teorema a seguir temos o caso d 0 O caso d 0 e deixado como exercıcio Teorema 43 Algoritmo da Divisao de Euclides Sejam n d Z com d 0 Entao existem e sao unicos q r Z tais que n qd r e 0 r d Demonstracao Existˆencia 56 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Consideremos inicialmente n 0 Faremos a demons tracao por inducao e usaremos o PFI sobre n Para n 0 temos que n 0 d 0 e portanto q 0 r Pela hipotese de inducao consideremos que dado n 0 o enun ciado vale para todo natural m com m n Se 0 n d basta tomarmos q 0 e r n isto e n 0dn Agora se n d Como n d 0 entao n n d 0 Pela hipotese de inducao n d qd r com q r inteiros positivos e 0 r d Assim n n d d qd r d q 1d r ou seja o algoritmo vale para n Logo pelo PFI fica provada a existˆencia de q e r para n 0 Agora consideramos o caso n 0 Desse modo n 0 e portanto n qd r com 0 r d Logo n qd r Se r 0 entao n qd r Se r 0 entao n qd d d r q 1d d r e 0 d r d Vamos demonstrar agora a unicidade de q e de r Sejam n qd r e n qd r com q q Z e r r inteiros positivos com 0 r r d Podemos supor sem perda de generalidade que r r Nesse caso 0 rr nqdn qd q qd ou seja dr r Mas 0 r r d r d Assim dr r e 0 r r d Logo pelo Teorema 41 iv r r 0 ou seja r r Temos entao 0 r r q qd Como d 0 entao q q 0 e portanto q q Nas condicoes do teorema anterior dizemos que q e o quo ciente e r e o resto da divisao de n por d Exemplo 47 Temos que 20 3 6 2 e 20 4 6 4 ou seja o resto da divisao de 20 por 6 e 2 e o resto da divisao de 20 por 6 e 4 Corolario 44 Dados os numeros inteiros n e d com d 0 DIVISIBILIDADE E ALGORITMO DA DIVIS AO 57 Entao dn se e somente se o resto da divisao de n por d e zero Demonstracao Se dn entao existe q Z tal que n qd qd 0 Logo o resto da divisao de n por d e zero Pelo algoritmo da divisao existem e sao unicos q r Z com 0 r d tais que n qd r Como por hipotese r 0 entao n qd ou seja dn Exemplo 48 O inteiro 4 21 pois 21 5 4 1 ou seja o resto da divisao de 21 por 4 e 1 Exercıcio 43 Mostrar que a 2 5 b 3 10 c 4 6 d 26 e 460 Exercıcio 44 Verificar se cada afirmacao abaixo e verdadeira ou falsa e apresentar uma deducao ou um contraexemplo a Se ab e cd entao acbd b Se ab e cd entao a cb d c Se ab entao ba d Se abc entao ab ou ac e Se ab c entao ab ou ac Dado um inteiro n segundo o algoritmo da divisao o resto r da divisao de n por 2 e 0 ou 1 Dizemos que n e par se r 0 e n e ımpar se r 1 Exercıcio 45 Mostrar que a a soma de dois pares e um par b a soma de dois ımpares e um par c a soma de um par com um ımpar e um ımpar d o produto de dois ımpares e um numero ımpar e se m e par entao m n e par 58 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS f se dois numeros sao consecutivos entao um e par e o outro e ımpar g se a e par e n 0 entao an e par h se a e ımpar e n 0 entao an e ımpar i quaisquer que sejam a m n N temse que am an e par j para qualquer inteiro a 1 2a a2 5a3 e ımpar Exercıcio 46 Sejam m n r N tais que n 1 0 r n e nm r Mostrar que r e o resto da divisao de m por n Exercıcio 47 Se o resto da divisao de um inteiro n por 12 e 7 entao a qual o resto da divisao de 2n por 12 b qual o resto da divisao de n por 12 c qual o resto da divisao de n por 4 d qual o resto da divisao de n2 por 8 Exercıcio 48 Mostrar que se trˆes numeros inteiros sao conse cutivos entao um deles e divisıvel por 3 Exercıcio 49 Dado a Z mostrar que a ou a 2 ou a 4 e divisıvel por 3 Exercıcio 410 Mostrar que se a e ımpar entao 8a2 1 Exercıcio 411 Mostrar que se a e b sao ımpares entao 8a2 b2 Exercıcio 412 Mostrar que n 13 n3 e ımpar para qual quer inteiro n Exercıcio 413 Encontrar os possıveis inteiros n tais que o resto da divisao de n por 3 seja DIVISIBILIDADE E ALGORITMO DA DIVIS AO 59 a igual ao quociente b a metade do quociente c o dobro do quociente Exercıcio 414 Se n e um inteiro que nao e divisıvel por 3 mostrar que a n2 deixa resto 1 quando dividido por 3 b 2n2 1 e divisıvel por 3 c Se m2 n2 e multiplo de 3 entao m e n sao multiplos de 3 Exercıcio 415 Mostrar que se a e um inteiro entao a a2 deixa resto 0 ou 1 quando dividido por 4 b a3 deixa resto 0 1 ou 8 quando dividido por 9 Exercıcio 416 Algoritmo da divisao para inteiros Sejam n d Z com d 0 Entao existem e sao unicos q r Z tais que n qd r com 0 r d Encontrar q e r para n 4 e d 3 Please note Visual interpretation of textiles in this guide is limited to the selections and illustrations presented 5 Bases de numeracao e representacao 51 Introducao Ao escrevermos um numeral precisamos reconhecer em que base de numeracao estamos trabalhando Embora seja usual o tratamento com a base decimal outras bases podem ser conside radas Particularmente na computacao a base binaria tem uma importˆancia crucial Existem algumas maneiras diversas para representarmos um numero inteiro Por exemplo o numero 425 segundo a base decimal significa 5 unidades duas dezenas e quatro centenas ou seja 425 e a abreviacao de 4 102 2 10 5 De maneira semelhante podemos representar 425 como 6 82 5 8 1 isto e usamos potˆencias de 8 no lugar de potˆencias de 10 e consi derando o numero 8 como base para um sistema de numeracao temos que 42510 6518 de modo que o subındice indica a base do sistema Em ambos os casos o que determina o valor do numero e a posicao dos algarismos Por isso sistemas desse tipo sao chamados sistemas posicionais Veremos que num sis tema posicional com base a em que a e inteiro maior que 1 todo numero natural b pode ser escrito de modo unico na forma b rnan rn1an1 r1a1 r0a0 com 0 ri a para todo i Esse numero e representado por rnrn1r1r0a Assim sao necessarios a algarismos 0 1 a1 para descrevermos os numeros na base a Um dentre os mais antigos sistemas posicio nais conhecidos e o sexagesimal com 60 unidades que surgiu na Babilˆonia por volta de 1800 aC Ainda reconhecemos alguns vestıgios deste sistema de numeracao na divisao da hora em 60 minutos e na medida da circunferˆencia em 360 graus vinculados aos estudos astronˆomicos dos babilˆonios Existem outros siste 62 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS mas como o vigesimal com 20 unidades usado pelos Maias da America Central Tambem identificamos tracos de um sistema vigesimal na lıngua francesa 80 e designado por quatre vingts literalmente quatro vintes Do sistema duodecimal doze uni dades temos em uso a duzia No sistema de medidas inglˆes 1 pie e igual a 12 polegadas e no sistema monetario 1 chilin equivale a 12 pences O exemplo mais conhecido de sistema nao posicional e o sistema romano Este sistema tem uma colecao determinada de sımbolos principais unidade I cinco V dez X cinquenta L cem C etc e todo numero e representado como combinacao destes sımbolos Por exemplo o numero 97 tem como numeral romano XCVII 52 Representacao de inteiros em uma base Teorema 51 Representacao na base a Sejam a b N e 1 a Se b 0 entao existem r0 r1 rn N tais que b rn an rn1 an1 r1 a r0 em que n N e para todo i 0 ri a e rn 0 Esta representacao de b e unica Demonstracao Existˆencia Se b a basta tomarmos b r0 Agora se b a faremos um processo indutivo para obter a representacao 1 Seja q0 b e 2 a partir de qi pelo algoritmo da divisao obtemos qi1 e ri tais que qi qi1 a ri com qi1 ri N e 0 ri a Observemos que qi1a qiri qi Logo se qi 0 entao qi1 qi pois qi1 0 ou caso qi1 0 sendo 1 a qi1 qi1 a qi ri qi 3 Quando qi1 0 repetimos o passo 2 Quando qi1 0 o processo esta terminado pois b q0 q1 a r0 q1 q2 a r1 q2 q3 a r2 BASES DE NUMERAC AO E REPRESENTAC AO 63 qi1 qi a ri1 qi 0 a ri Assim b q1ar0 q2ar1ar0 q2a2r1ar0 q3 a r2 a2 r1 a r0 q3 a3 r2 a2 r1 a r0 qi ai r1 a r0 ri ai r1 a r0 o que mostra a existˆencia da representacao Unicidade Demonstracao por inducao sobre b Se b 1 entao n 0 e r0 1 Como hipotese de inducao temos a unicidade vale para todo c N com 1 c b Agora se b rn an r1 a r0 e b sm am s1 a s0 sao duas representacoes de b com 0 ri a e 0 sj a para todos i e j entao rn an1 r1 a r0 sm am1 s1 a s0 Desse modo r0 e s0 sao restos da divisao de b por a e rn an1 r1 e sm am1 s1 sao quocientes da mesma divisao Logo pela unicidade do quociente e do resto segundo o algoritmo da divisao r0 s0 e rn an1 r1 sm am1 s1 Se sm am1 s1 0 entao b r0 s0 portanto vale a unicidade Se sm am1 s1 0 como 1 a entao sm am1 s1 sm am1 s1 a sm am1 s1as0 b entao sm am1 s1 b Pela hipotese de inducao n m e ri si para todo i 1 e portanto ri si para todo i Assim pelo PFI mostramos a unicidade da representacao de cada b N Na demonstracao do teorema anterior podemos observar que b ri ri1 r1 r0a e a sequˆencia ri ri1 r1 r0 e a coluna dos restos tomada de baixo para cima Exemplo 51 Escrever 125 na base 2 64 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Para escrevermos numeros na base 2 precisamos somente de dois algarismos 0 e 1 Vejamos q0 125 62 2 1 q1 62 31 2 0 q2 31 15 2 1 q3 15 7 2 1 q4 7 3 2 1 q5 3 1 2 1 q6 1 0 2 1 paramos ao chegar no quociente zero Logo 125 62 2 1 31 2 02 1 31 22 1 1521221 15231221 721231221 1 26 1 25 1 24 1 23 1 22 1 Assim 125 126125124123122021120 e portanto 12510 11111012 Como ja observamos 1111101 e a coluna dos restos segundo o algoritmo da divisao tomada de baixo para cima Exemplo 52 Escrever 743 na base 8 Na base 8 precisamos de 8 algarismos 0 1 2 3 4 5 6 e 7 743 92 8 7 92 11 8 4 11 1 8 3 1 0 8 1 Logo 74310 13478 ou seja 743 1 83 3 82 4 81 7 80 Exemplo 53 Escrever 743 na base 16 Como na base 16 precisamos de 16 algarismos alem dos sımbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9 tomamos tambem os sımbolos A B C D E e F os quais representam respectivamente os BASES DE NUMERAC AO E REPRESENTAC AO 65 numeros 10 11 12 13 14 e 15 da base 10 743 46 16 7 46 16 7 46 2 16 14 2 16 E 2 0 16 2 0 16 2 Logo 74310 2E716 Exercıcio 51 Fazer programa para computador que realize a operacao de mudanca de base Por exemplo transpor da base decimal para a base 7 53 Contagem e operacoes aritmeticas Os numeros foram inicialmente criados com o proposito de possibilitar a contagem A contagem de objetos de com ponentes de um rebanho do numero de membros de um cla Apresentamos a seguir a sequˆencia numerica de contagem em varias bases de numeracao iniciando do zero e adicionando uma unidade em cada passo Base 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 20 21 22 98 99 100 101 109 110 111 112 Base 2 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 Base 3 0 1 2 10 11 12 20 21 22 100 101 102 110 Base 5 0 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 43 44 100 A partir da contagem fica relativamente facil realizarmos a adicao de dois numeros 2 4 3 5 2 2 3 5 1 0 2 1 5 1 0 1 1 0 1 2 1 0 1 1 0 2 1 0 0 0 0 1 1 2 Exemplo 54 Operacoes aritmeticas na base 6 A partir da 66 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS sequˆencia dos numeros na base 6 0 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 20 21 construımos a tabela para a adicao 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 10 2 2 3 4 5 10 11 3 3 4 5 10 11 12 4 4 5 10 11 12 13 5 5 10 11 12 13 14 A adicao de dois numeros e feita do mesmo modo como na adicao no sistema decimal 42546 54236 141216 Regra Somamos primeiro as unidades e depois os algarismos da ordem seguinte e assim por diante No caso da base 6 4 3 11 isto e colocase 1 no resultado e acrescese 1 na ordem seguinte 42546 54236 141216 Construımos tambem uma tabela para a multiplicacao dos algarismos na base 6 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 10 12 14 3 0 3 10 13 20 23 4 0 4 12 20 24 32 5 0 5 14 23 32 41 BASES DE NUMERAC AO E REPRESENTAC AO 67 A multiplicacao de dois numeros e feita pelo mesmo procedimento da multiplicacao do sistema decimal 3526 56 31246 A subtracao e a divisao tambem seguem os algoritmos do sistema decimal 3 0 1 5 26 2 1 2 3 46 0 4 5 1 46 1 4 0 16 1 2 2 0 2 0 0 1 0 16 46 2 3 06 54 Breves comentarios O sistema decimal foi desenvolvido pelos astrˆonomos calculistas hindus dentre os quais destacamse Bˆahskara I e Yinabhadra Gani por volta do ano 500 dC Foi adotado pe los islˆamicos por volta de 825 dC particularmente pelo ma tematico arabe Al Khawarismi No inıcio do Seculo XII o monge inglˆes Adelard de Beth traduziu o livro de Al Khawarismi para o latim O sistema numerico usado na Europa ate entao era o 68 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS romano e o conflito entre estes dois sistemas terminou no seculo XVI com a supremacia do modelo hinduarabico O termo algarismo surgiu como homenagem ao ma tematico arabe Al Khawarismi e naturalmente o sistema Hindu arabico e decimal pois sua base e constituıda dos 10 algaris mos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9 e e apresentado na forma posicional Considerase tradicionalmente que a enorme evidˆencia do sis tema decimal esteja associada ao uso de partes do corpo humano como instrumentos de contagem os 10 dedos das maos ou dos pes Para uma nocao da utilidade do sistema binario con sideremos um medidor usual de luz Ele e composto de varios relogios com 10 posicoes distintas e ponteiros que giram sobre estas dez posicoes Se quisessemos um contador numa base n precisarıamos de n posicoes no relogio Um medidor composto por relogios ou outro processo mecˆanico qualquer e relativamente lento para mudar de posicao e seria pouco pratico usarmos tais medidores para a realizacao de milhares de operacoes aritmeticas por segundo Devido a isso nos computadores convencionais sao utilizados semicondutores por onde uma corrente eletrica pode passar quando o circuito esta fechado ou nao quando o circuito esta aberto Assim associase o algarismo 0 quando nao passa corrente e 1 quando passa Por ser um sistema eletrˆonico e nao mecˆanico a mudanca de estado abertofechado e operada em velocidade altıssima permitindo a realizacao de operacoes aritmeticas com velocidades muito grandes Assim as maquina de Turingvon Neuman que sao os nossos computadores operam com siste mas binarios que traduzem na aritmetica a passagem ou nao de impulsos eletricos E justamente a conversao de uma lin BASES DE NUMERAC AO E REPRESENTAC AO 69 guagem em outra que possibilita a construcao dos computadores Exercıcio 52 Escrever o numero 128 nas bases 2 4 7 8 e 16 Exercıcio 53 Escrever os seguintes numeros na base decimal 12345 10003 12725 e 11111111112 Exercıcio 54 Escrever 12345 na base 6 Exercıcio 55 Fazer uma tabela para a adicao e uma para a multiplicacao na base 8 Exercıcio 56 Calcular na base 8 12468 43758 12348 43218 174328 54678 e 174328 dividido por 58 Exercıcio 57 Fazer a soma das horas 7 30 27 6 43 39 Exercıcio 58 Determinar quantos multiplos de 5 com 3 alga rismos existem se a soma dos algarismos de cada um desses numeros e igual a 19 Exercıcio 59 Seja abc a representacao de um numero no sis tema decimal com a c1 Considerando xyz a representacao decimal de abc cba mostrar que xyz zyx 1089 Exercıcio 510 Ao permutarmos os dois algarismos da es querda de um numero com 3 algarismos ele diminui de 180 unidades Ao permutarmos os dois algarismos extremos ele di minui de 297 unidades O que ocorre se permutarmos os dois algarismos da direita DF 198624 198627 198634 all textured cottons Brands AMA and ABr CA 19867 Kohler CA 19868 Jean N Company CA 198615 Ambassador Knitting Co CA 198616 and AC 198617 both unknown 6 Criterios de divisibilidade Existem criterios simples que nos permitem determinar quando um numero e divisıvel por 2 3 5 etc Por exemplo sem realizar a divisao podemos concluir que 771 e divisıvel por 3 mas nao e divisıvel por 2 e nem por 5 O teorema seguinte apresenta alguns desses criterios 61 Alguns criterios Teorema 61 Se b e um numero inteiro positivo cuja expansao decimal e b rn10n rn110n1 r110 r0 em que para todo i 0 ri 10 isto e b rnrn1r1r010 entao i 2b 2r0 ii 5b 5r0 iii 3b 3rn rn1 r0 iv 9b 9rn rn1 r0 v 11b 11r0 r1 r2 r3 viPara 0 m n 2mb 2mrm110m1 r110 r0 viiPara 0 m n 5mb 5mrm110m1 r110 r0 Demonstracao i b rn 10n rn1 10n1 r1 10 r0 rn 10n1 rn1 10n2 r1 10 r0 rn 10n1 rn1 10n2 r1 5 2 r0 Assim b 2c r0 com c rn 10n1 rn1 10n2 r1 5 Desse modo Se 2b como 22c entao 2b 2c r0 Se 2r0 como 22c entao 22c r0 b ii A demonstracao de ii e analoga a prova de i 72 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS iii Observar que para todo t N temos 10t 9 1t 9t t 1 9t1 t t1 91 9t1 t 1 9t2 t t1 91 ou seja 10t st 9 1 e st 9t1t t 1 9t2 t t1 e um numero inteiro Assim b rn10nrn110n1r110r0 rn 9sn 1rn1 9sn1 1r1 9s1 1r0 9 rn sn rn1 sn1 r1 s1 rn rn1 r1 r0 Portanto b 9c rn rn1 r1 r0 em que c rn sn rn1 sn1 r1 s1 Assim Se 3b como 39c entao 3b9c rnrn1r1r0 Se 3rn rn1 r1 r0 desde que 39c entao 39c rn rn1 r1 r0 b iv A demonstracao de iv e praticamente a mesma de iii com mudanca no final Se 9b como 99c entao 9b9c rnrn1r1r0 Se 9rn rn1 r1 r0 como 99c entao 99c rn rn1 r1 r0 b v A prova e analoga a de iii fazendo 10t 11 1t vi b rn 10n rn1 10n1 r1 10 r0 rn 10nm rm 10m rn1 10n1 r1 10 r0 rn 10nm rm 5m 2m rm1 10m1 r1 10 r0 Assim b 2m c rm1 10m1 r1 10 r0 em que c rn 10nm rm 5m e um inteiro Desse modo Se 2mb como 2m2mc entao 2b2mc rm110m1 r1 10 r0 Se 2mrm1 10m1 r1 10 r0 como 22mc entao 22m c rm1 10m1 r1 10 r0 b vii A demonstracao de vii e analoga a de vi CRITERIOS DE DIVISIBILIDADE 73 Observar que os itens i e ii da proposicao acima sao consequˆencia de que 2 e 5 sao divisores de 10 Observar que para m 1 nos itens vi e vii temos criterios de divisibilidade para 4 8 16 25 125 Existem outros criterios de divisibilidade alem dos apre sentados no teorema anterior Alguns deles por exemplo para o 7 e para o 13 podem ser encontrados na Revista do Professor de Matematica n 58 publicada pela Sociedade Brasileira de Matematica Exemplo 61 41928 pois 428 87808 pois 8808 257675 pois 2575 3123456 pois 321 1 2 3 4 5 6 9 123456 pois 9 21 1 2 3 4 5 6 11 123456 pois 11 3 6 5 4 3 2 1 11108636 pois 110 6 3 6 8 0 1 Exercıcio 61 Criterios de divisibilidade da base 12 Consi derando que os divisores de 12 sao 1 2 3 4 6 e 12 mostrar a que um numero na base 12 e divisıvel por 2 se e somente se o algarismo das unidades deste numero tambem e divisıvel por 2 b o mesmo para os numeros 3 4 e 6 Assim se um numero b esta escrito na base 12 olhando seu algarismo de unidade podemos concluir se este numero e divisıvel por 2 3 4 ou 6 Do ponto de vista da Matematica o sistema numerico duo decimal sobre a base 12 tem como vantagem sobre o sistema decimal a maior quantidade de criterios de divisibilidade dada pelo maior numero de divisores da base Nesse sentido teria sido 74 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS melhor se o homem tivesse 6 dedos em cada mao em lugar de 5 pois provavelmente estarıamos usando o sistema duodecimal O sistema sexagesimal de base 60 seria mais rico em criterios de divisibilidade pois os divisores de 60 sao 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 e 60 mas teria uma quantidade muito grande de sımbolos para se representar os numeros nesse sistema O artifıcio usado pelos babilˆonios usuarios de um sistema sexagesimal era a combinacao de alguns algarismos para a representacao de outros Por exemplo o algarismo 59 era representado como na Figura 1 por 9 unidades e 5 dezenas Figura 1 O numero 59 Exercıcio 62 Se c a0 a112 a2122 an12n em que para cada i 0 ai 12 mostrar que a ana1a012 e divisıvel por 8 a1a012 e divisıvel por 8 b ana1a012 e divisıvel por 9 a1a012 e divisıvel por 9 c ana1a012 e divisıvel por 11 a0 a1 an12 e divisıvel por 11 d ana1a012 e divisıvel por 13 a0 a1 a2 a3 12 e divisıvel por 13 Exemplo 62 Por exemplo o numero 23312 e divisıvel por 3 mas nao e por 2 4 e 6 4012 e divisıvel por 2 3 4 6 4712 e divisıvel por 11 82712 e divisıvel por 13 7 MDC e MMC Como o proprio nome indica o maximo divisor comum deve ser um numero que divida alguns outros numeros e seja o maior entre os tais divisores De modo semelhante o mınimo multiplo comum deve ser multiplo de alguns numeros e ser o menor dentre eles 71 Maximo divisor comum MDC O maximo divisor comum ou maior divisor comum de dois numeros recebera a seguir uma definicao precisa Como exemplo temos que os divisores positivos de 36 sao 1 2 3 4 6 9 12 18 e 36 os divisores positivos de 42 sao 1 2 3 6 7 14 21 e 42 Assim o maximo divisor comum de 36 e 42 e 6 A seguir formalizamos o conceito Sejam a b Z com pelo menos um deles diferente de zero O maximo divisor comum de a e b e um inteiro positivo d tal que i da e db ii se c Z e tal que ca e cb entao cd Denotamos o maximo divisor comum de a e b por mdca b E claro que existindo mdca b entao mdca b mdcb a A condicao i diz que d e um divisor de a e b e a condicao ii garante que d e o maior divisor comum para a e b Garante tambem a unicidade do maximo divisor comum pois se d e d sao maximos divisores comuns de a e b entao dd e dd Logo pelo Teorema 41 d d 76 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS A exigˆencia para que a 0 ou b 0 e devido a que para todo n Z n0 e daı nao existe o maximo divisor de 0 Porem se n 0 entao mdcn 0 n e mdcn 1 1 O mdca b sempre existe pois se a 0 e b 0 entao pelo Teorema 41 a e o maior divisor de a e b e o maior divisor de b Como 1 e um divisor comum de a e b entao 1 mdca b mina b Tambem mdca 0 a e mdc0 b b Assim se a Z entao a e a tˆem os mesmos diviso res logo mdca b mdca b mdca b mdca b para quaisquer a b Z com a 0 ou b 0 Logo mdca b mdca b Exercıcio 71 Mostre que i para qualquer n N mdcn n n ii se para a b N ab entao mdca b a Exemplo 71 Temos que mdc3 3 mdc3 3 3 mdc1 5 mdc1 5 1 Teorema 71 Sejam a b Z a 0 ou b 0 Entao mdca b e o menor inteiro positivo da forma ra sb para r s Z Demonstracao Seja M ra sb r s Z Claramente a a b b M por exemplo a 1 a 0 b Como a 0 ou b 0 entao o conjunto M m M m 0 Logo pelo princıpio da boa ordem de N M tem um menor elemento d Desde que d M entao d ra sb Mostraremos que d mdca b i da e db Aplicando o algoritmo da divisao para a e d segue que existem q r Z tais que a qd r e 0 r d Logo 0 r aqd aqrasb 1qraqsb M MDC E MMC 77 Como d e o menor elemento de M e 0 r d entao r 0 e portanto a qd ou seja da Analogamente db ii Se c Z e tal que ca e cb entao pelo Teorema 41 cra sb d Logo d mdca b Dois numeros inteiros a e b sao primos entre si ou relati vamente primos se mdca b 1 Teorema 72 Sejam a b Z Se existem r s Z tais que ra sb 1 entao a e b sao primos entre si Demonstracao Segundo o teorema anterior mdca b e o me nor inteiro positivo da forma rasb Mas por hipotese existem r s Z tais que ra sb 1 e assim mdca b 1 Exemplo 72 Se n e um inteiro positivo entao mdcn n1 1 pois 1n 1n 1 1 Exemplo 73 Se n Z entao mdcn 1 1 pois 1n 1 n1 1 Exercıcio 72 Se para n Z a 4n 3 e b 5n 4 mostrar que mdca b 1 Exercıcio 73 Mostrar que se o resto da divisao de um inteiro n por 12 e 7 entao mdc12 n2 1 Exercıcio 74 Mostrar atraves de um exemplo que rasb 2 nao implica que mdca b 2 Corolario 73 Se a b Z e d mdca b entao mdca d b d 1 Demonstracao Pelo Teorema 71 existem r s Z tais que 78 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS ra sb d Agora se dividimos a igualdade por d entao ob temos ra d s b d ra sb d d d 1 Logo pelo Teorema 72 mdca d b d 1 Exemplo 74 Sabendose que mdc60 112 4 segue que mdc15 28 1 O conceito de maximo divisor comum ja era conhecido na antiga Grecia e um algoritmo para sua determinacao encontrase no Livro VII dos Elementos de Euclides Este algoritmo tem a seguinte estrutura Sejam a e b inteiros positivos Tomase a1 a e a2 b e aplicase o algoritmo da divisao sucessivamente ate obterse o resto zero como no esquema abaixo 1 a1 q1a2 a3 com q1 a3 Z e 0 a3 a2 2 a2 q2a3 a4 com q2 a4 Z e 0 a4 a3 3 a3 q3a4 a5 com q3 a5 Z e 0 a5 a4 j4 aj4 qj4aj3 aj2 com qj4 aj2 Z e 0 aj2 aj1 j3 aj3 qj3aj2 aj1 com qj3 aj1 Z e 0 aj1 aj2 j2 aj2 qj2aj1 com qj1 Z Na linha j2 temos que aj1aj2 logo na linha j3 aj1aj3 Entao na linha j4 temos aj1aj4 e continuando o processo chegamos em aj1a2 b e aj1a1 a Se ca a1 e cb a2 entao na linha 1 vemos que ca3 pois a3 a1 q1a2 Do mesmo modo na linha 2 ca4 Continuando este processo chegamos a que caj4 caj3 caj2 e caj1 Assim aj1 mdca b isto e o ultimo resto MDC E MMC 79 diferente de zero e o maximo divisor comum de a e b Notar que a2 a3 a4 0 garantindo que em algum momento devemos chegar ao resto zero aj 0 Nesse caso sendo aj1 0 entao aj1 mdca b Exemplo 75 Calcular mdc36 42 42 1 36 6 36 6 6 0 Logo mdc36 42 6 Exemplo 76 Calcular mdc238 630 e encontrar r s Z tais que mdc238 630 r 238 s 630 630 2 238 154 154 630 2 238 238 1 154 84 84 238 1 154 154 1 84 70 70 154 1 84 84 1 70 14 14 84 1 70 70 5 14 0 Logo mdc238 630 14 Para encontrarmos r e s iniciamos o processo na penultima linha e vamos subindo ate chegarmos na primeira do seguinte modo 14 8470 84154184 284154 22381154154 22383154 223836302238 82383630 ou seja mdc238 630 14 82383630 Exercıcio 75 Calcular mdc348 152 e encontrar r e s como no exemplo anterior Exercıcio 76 Idem para mdc25 100 Exercıcio 77 Para a b e c inteiros mostrar ou dar um contra exemplo para cada enunciado abaixo a mdca b c mdca b mdca c 80 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS b mdca bc mdca bmdca c c mdca bmdca bc d mdca bmdcc d mdcac bd e mdca a a f ab mdca cmdcb c g ab e bc mdca bmdcb c h mdca b mdca2 b i mdca b 2 mdca b 2 2 j mdca b 2 mdca b 1 1 k mdca b mdca a b Exercıcio 78 Fazer um programa para computador que deter mine o maximo divisor comum de dois numeros Teorema 74 Sejam a b c Z i Se cab e mdcc b 1 entao ca ii Se mdcab c d e mdca c 1 entao mdcb c d iii Se mdca c 1 e mdcb c 1 entao mdcab c 1 iv Se ac e bc entao ab mdca bc v Se ac bc e mdca b 1 entao abc Demonstracao i Como mdcc b 1 existem r s Z tais que r c s b 1 Multiplicando a igualdade por a temos arcsab a Como cc e cab entao carcsab a pelo Teorema 41 ii Por hipotese d mdca b c logo dc e da b Tambem por hipotese mdca c 1 Logo existem r s Z tais que r a s c 1 Multiplicando a igualdade por b temos r a b s b c b Como da b e dc entao db Assim dc e db Seja e Z tal que eb e ec Entao ea b e ec Logo emdca b c d Assim por definicao d mdcb c iii Seja mdca b c d Como mdca c 1 por ii MDC E MMC 81 mdcb c d Mas por hipotese mdcb c 1 Assim d 1 ou seja mdca b c 1 iv Tomando d mdca b temos da e db portanto existem a1 b1 Z tais que a a1 d e b b1 d Logo mdca1 b1 mdca d b d 1 pelo Corolario 73 e a b d a1 b1 d Como por hipotese ac e bc existem c1 c2 Z tais que c c1 a c2 b Logo c c1 a1 d c2 b1 d e portanto c d c1 a1 c2 b1 Assim b1c1 a1 e como mdca1 b1 1 pori temos que b1c1 isto e c1 b1 c3 para algum c3 Z Temos entao c c1 a1 d b1 c3 a1 d a1 db1 c3 a b dc3 a b mdca bc3 Logo a b mdca bc v e consequˆencia imediata de iv Exemplo 77 Desde que 1313000 26500 e mdc13 2 1 entao 136500 Exemplo 78 Como 7700 4700 e mdc4 7 1 entao 28700 Exemplo 79 Se n Z e tal que 2n e 3n entao 6n pois mdc2 3 1 Lema 75 Sejam a b c Z Se a 0 entao mdca b mdca b ac Demonstracao Seja d mdca b Mostraremos que d mdca b ac De d mdca b segue que da e db e daı dbac Se e Z e tal que ea e ebac entao eac e portanto eb ac ac b Temos entao que ea eb e d mdca b Assim ed e desse modo d mdca b ac Exemplo 710 Se n 0 entao mdcn n1 mdcn n1 n mdcn 1 1 82 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Exemplo 711 Se n 0 entao mdcn n12 mdcn n2 2n 1 mdcn n2 2n 1 nn 2 mdcn 1 1 Corolario 76 Sejam a b Z com a 0 Se r e o resto da divisao de b por a entao mdca b mdca r Demonstracao Sejam q r Z respectivamente o quociente e o resto da divisao de b por a isto e b qar com 0 r a Pelo lema anterior mdca b mdca b qa mdca r Exercıcio 79 Dados a b Z mostrar que a se mdca b 1 entao mdca c mdca bc b mdca b mdca c 1 se e somente se mdca bc 1 c mdca b 1 se e somente se mdcan bm 1 para quais quer m n N d mdca a bb Exercıcio 710 Mostrar que se n N entao a mdcn 2n 1 1 b mdcn 1 2n 1 ou 2 c mdcn n2 n 1 1 d mdcn 1 n2 n 1 1 e mdc2n 2 4n 3 1 f mdc2n 2 4n 7 1 ou 3 g mdc2n 1 5n 3 1 h mdcn2 7n 13 n 3 1 i mdcn 1 n2 1 1 ou 2 Exercıcio 711 Mostrar que 6nn 12n 1 Exercıcio 712 Mostrar que a se n e par entao 4n ou 4n 2 MDC E MMC 83 b se n e ımpar entao 8n2 1 c 3nn2 1 d se n e ımpar entao 24nn2 1 Exercıcio 713 Sejam a b e m inteiros m positivo Mos trar que mdcma mb mmdca b Sugestao Considerar d mdca b e mostrar que md mdcma mb Em algum momento sera util aplicar o Teorema 71 Exercıcio 714 Sejam a1 a2 an inteiros de maneira que pelo menos um deles e diferente de zero O maximo divisor comum entre a1 a2 an e um inteiro positivo d tal que i dai para todo i 1 2 n ii se c Z e tal que cai para todo i 1 2 n entao cd Mostrar que a mdca1 a2 an mdcmdca1 a2 an1 an com n Z e n 2 b se m e um inteiro positivo e d mdca1 a2 an entao mdcma1 ma2 man md c se d mdca1 a2 an entao mdca1 d a2 d an d 1 72 Mınimo multiplo comum MMC O mınimo multiplo comum de dois inteiros como o proprio nome diz e o menor multiplo positivo de ambos Abaixo formalizamos a definicao Sejam a b Z O mınimo multiplo comum de a e b e um inteiro positivo m tal que i am e bm ii Se c Z e tal que ac e bc entao mc 84 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Denotamos o mınimo multiplo comum de a e b por mmca b A condicao i nos diz que m e multiplo de a e de b e a condicao ii garante que m e o menor multiplo positivo de a e de b Garante tambem a unicidade de m Observar que se n Z entao mmcn 1 n pois 1 e n dividem n e se 1 e n dividem c entao n divide c Desde que mmca b mmca b mmca b mmca b podemos nos restringir aos casos em que a 0 e b 0 Teorema 77 Se a e b sao numeros inteiros positivos entao mmca b mdca b a b Demonstracao Temos que a divide a b mdca b pois a b mdca b a b mdca b e b mdca b Z Do mesmo modo b divide a b mdca b Se c e um inteiro tal que a divide c e b divide c entao pelo Teorema 74 a b mdca b divide c Assim por definicao mmca b a b mdca b ou seja mmca b mdca b a b Exemplo 712 Como ja vimos que mdc36 42 6 entao mmc36 42 6 36 42 Portanto mmc36 42 252 Exercıcio 715 Sejam a e b inteiros positivos Mostrar que se mdca b 1 entao mmca b ab Exercıcio 716 Sejam a e b inteiros positivos Se mdca b a entao mmca b b MDC E MMC 85 Exercıcio 717 Para os numeros 1012 e 780 calcular a o maximo divisor comum b o mınimo multiplo comum c encontrar inteiros r e s tais que mdc1012 780 r 1012 s 780 Exercıcio 718 Idem para os pares de numeros 333 e 120 1990 e 50 12 e 18 Exercıcio 719 Mostrar que se a e b sao inteiros positivos e se ab entao mdca b a e mmca b b Exercıcio 720 Sejam a b e m inteiros positivos Mostrar que mmcm a m b m mmca b Exercıcio 721 Para n N encontrar o mınimo multiplo co mum entre a n e 2n 1 b n 1 e 2n c n e n2 n 1 d n 1 e n2 n 1 e 2n 2 e 4n 3 f 2n 2 e 4n 7 g 2n 1 e 5n 3 h n2 7n 13 e n 3 i n 1 e n2 1 Exercıcio 722 Mostrar que se mdca b mmca b entao a b Exercıcio 723 Sejam a1 a2 an inteiros de maneira que pelo menos um deles e diferente de zero O mınimo multiplo comum entre a1 a2 an e um inteiro positivo m tal que 86 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS i aim para todo i 1 2 n ii se c Z e tal que aic para todo i 1 2 n entao cm Mostrar que mmca1 a2 an mmcmmca1 a2 an1 an com n Z e n 2 Exercıcio 724 Seja fx anxn an1xn1 a1x a0 um polinˆomio de grau n com coeficientes inteiros isto e cada ai e um inteiro e an 0 Consideremos tambem a0 0 a Mostrar que se o racional rs e uma raiz de f onde r s Z e mdcr s 1 entao ra0 e san b Mostrar que se an 1 e q e uma raiz racional de f entao q Z e qa0 c Encontrar as raızes de fx 6x3 7x2 x 2 d Idem para fx x3 8x2 x 42 e Idem para fx x2 2 Exercıcio 725 Criterio de divisibilidade por 7 a Seja n um inteiro da forma n 10 q r com 0 r 10 Entao 7n se e somente se 7q 2r b Usar o criterio acima para verificar se cada um dos numeros 103 504 5471 e divisıvel por 7 8 Numeros primos Os numeros primos desempenham um papel importante no estudo das propriedades multiplicativas de numeros inteiros pois como veremos qualquer numero inteiro pode ser escrito como um produto de numeros primos Problemas que envolvem os numeros primos tˆem uma tradicao bastante antiga 81 Sobre os numeros primos Um inteiro p e um numero primo se p 1 e seus unicos divisores positivos sao 1 e p Se p 1 nao e primo entao p e composto Exercıcio 81 Verificar que 2 3 5 e 7 sao numeros primos Lembrese que se ab e b 0 entao a b Exercıcio 82 Dar exemplos de numeros que nao sao primos Teorema 81 Seja p Z O numero p e primo se e somente se satisfaz as seguintes condicoes i p 1 ii dados a b N se p a b entao a 1 ou b 1 Demonstracao Se p e um numero primo por definicao p 1 Agora se p ab com a b N entao a e b sao divisores de p Logo a 1 ou a p Se a 1 nada temos a demonstrar Se a p como p a b p b entao b 1 Por outro lado se p satisfaz as condicoes i e ii Seja a um divisor positivo de p isto e existe b N tal que p a b Pela condicao ii a 1 ou b 1 Logo a 1 ou a p e assim p e um numero primo 88 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Se n e um inteiro maior que 1 que nao e um primo entao existem inteiros positivos a e b tais que n a b com 1 a n e 1 b n pois desde que n nao e primo entao n possui um divisor positivo a com a n e a 1 Desse modo 1 a n n a b e 1 b n Lema 82 Sejam p um numero primo e a um inteiro i Se p a entao mdcp a 1 ii Se 0 a p entao mdcp a 1 Demonstracao i Seja d mdcp a Como dp e p e primo entao d 1 ou d p Desde que p a entao d p Logo d 1 ii Se pa pelo Teorema 41 ii segue que p a o que con tradiz a hipotese Logo p a e pori mdcp a 1 Teorema 83 Se um numero primo divide o produto de dois numeros inteiros entao ele divide pelo menos um deles Demonstracao Consideremos que pa b com a b Z Se pa nada temos a demonstrar Se p a entao p a e pelo lema anterior mdcp a mdcp a 1 Logo pela Teorema 74 i pb Exemplo 81 Como 721000 2 10500 e 7 2 entao 710500 Corolario 84 Se um primo p divide um produto de inteiros entao p divide pelo menos um deles Exercıcio 83 Fazer a demonstracao do corolario acima Corolario 85 Sejam n Z e p um numero primo Se pnm para algum m inteiro positivo entao pn Exercıcio 84 Fazer a demonstracao do corolario acima N UMEROS PRIMOS 89 Exemplo 82 Mostrar que 2 e um numero irracional Solucao Suponhamos que 2 e um numero racional digamos 2 ab em que a e b sao inteiros positivos Podemos con siderar mdca b 1 ver o corolario do Teorema 72 As sim b 2 a e elevando os dois termos ao quadrado temos b2 2 a2 ou seja 2a2 Logo pelo corolario anterior 2a isto e a 2 c Ficamos entao com b2 2 a2 4 c2 2 2 c2 Cancelando 2 na igualdade segue que b2 2c2 e daı 2b2 Por tanto 2b Dessa maneira 2a e 2b e portanto 2mdca b 1 o que e uma contradicao A contradicao surgiu de supor que 2 e um numero racional Logo 2 e um numero irracional A solucao acima permitenos mostrar que para qualquer numero primo p temse que p e um numero irracional subs tituir 2 por p Exercıcio 85 Verificar que 24 e um numero irracional Exercıcio 86 Sejam p e q numeros primos Mostrar a validade ou dar um contraexemplo para a p a e p b p a b b p a e p b p a b c p a e q a p q a d p a e q a p q a e pa b pa e pb f p qa b pa e qb ou qa e pb g p qa b e p a pb h p qa b e p a q b 82 O Teorema Fundamental da Aritmetica O Teorema Fundamental da Aritmetica nos mostra que todo numero inteiro maior que 1 se escreve de maneira unica como um produto de numeros primos 90 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Teorema 86 Teorema Fundamental da Aritmetica Todo numero inteiro n 1 pode ser representado como um produto n p1 p2 pr em que p1 p2 pr sao numeros primos Alem disso se considerarmos p1 p2 pr essa representacao e unica Demonstracao Existˆencia da representacao Fazemos a demonstracao por inducao sobre n Se n 2 entao n p1 e p1 2 Hipotese de inducao consideramos se m N e e tal que 1 m n entao m pode ser representado como um produto de primos Se n e primo como no caso n 2 temos n p1 e p1 e primo Agora se n nao e primo ja vimos que n a b com a b N e 1 a n e 1 b n Entao pela hipotese de inducao a e b podem ser representados como produtos de primos e portanto n ab tambem tem uma representacao como produto de primos Com isso pelo PFI mostramos a existˆencia da repre sentacao E claro que podemos sempre ordenar a representacao n p1 p2 pr de forma que p1 p2 pr Unicidade da representacao A demonstracao tambem e por inducao sobre n Se n 2 p1 p2 pr Como 2 e primo entao p1 2 e r 1 Portanto a unicidade vale pois se r 2 entao 1 p2 pr Logo p21 portanto p2 1 um absurdo Hipotese de inducao consideramos que a unicidade vale para todo m N tal que 1 m n Se n p1 p2 pr q1 q2 qs entao p1q1 q2 qs Logo pelo Corolario 84 p1qi para algum i tal que 1 i s e como qi e primo entao p1 qi Da mesma forma q1 pj para N UMEROS PRIMOS 91 algum j tal que 1 j r Considerando p1 p2 pr e q1 q2 qr como p1 qi q1 pj p1 entao p1 q1 Se n e primo entao como no caso n 2 n p1 q1 e r s 1 Caso contrario r 1 e s 1 e cancelando p1 q1 na igualdade p1 p2 pr q1 q2 qs obtemos p2 pr q2 qs q1 q2 qs n Assim pela hipotese de inducao a representacao p2 pr q2 qs e unica isto e r s e pi qi para todo i tal que 2 i r o que verifica a unicidade Uma fatoracao em primos de um inteiro positivo n e uma representacao de n como um produto de numeros primos ou como um produto de potˆencias de numeros primos ou seja n pr1 1 pr2 2 prn n em que p1 p2 pn sao numeros primos e cada ri e um inteiro positivo Se n 1 podemos escrever n n e n tem uma fatoracao como acima Logo podemos expressar n pr1 1 pr2 2 prn n em que cada pi e um numero primo Exemplo 83 A fatoracao de 72 e 72 2 2 2 3 3 23 32 Exemplo 84 A fatoracao de 20 e 20 2 2 5 22 5 Exercıcio 87 Se n 0 e um numero composto mostre que existe um primo p n tal que pn Exemplo 85 O numero 7 e primo pois se fosse composto seria divisıvel por 2 3 ou 5 Se p e um primo e pn entao p aparece na fatoracao de n pois neste caso n p m em que m 1 ou m e um produto de primos Por exemplo 228 28 2 14 2 2 7 92 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Lema 87 Seja a pr1 1 pr2 2 prn n em que p1 p2 pn sao numeros primos e cada ri e um numero inteiro positivo Se d e tambem um numero inteiro positivo entao da se e somente se d pt1 1 pt2 2 ptn n em que para cada i 0 ti ri Demonstracao Se da entao a dc para algum inteiro c Assim da e ca Portanto se p e um primo que divide c ou divide d entao pa Logo p pi para algum i Desse modo podemos tomar as fatoracoes de c e d nas formas c ps1 1 ps2 2 psn n e d pt1 1 pt2 2 ptn n em que cada ri e cada ti e um numero natural De a dc temos pr1 1 pr2 2 prn n pt1 1 pt2 2 ptn n ps1 1 ps2 2 psn n pt1s1 1 pt2s2 2 ptnsn n Logo pelo Teorema 86 ri tisi ti 0 Por outro lado se d pt1 1 pt2 2 ptn n em que para cada i 0 ti ri entao existem numeros inteiros positivos si tais que ri tisi Logo a pr1 1 pr2 2 prn n pt1s1 1 pt2s2 2 ptnsn n pt1 1 pt2 2 ptn n ps1 1 ps2 2 psn n d ps1 1 ps2 2 psn n e portanto da Exemplo 86 1224 12 22 31 e 24 23 31 Exemplo 87 2180 180 22 32 51 e 2 21 30 50 821 Numero de divisores de um inteiro Seja a um inteiro maior que 1 por exemplo a pr1 1 pr2 2 prn n com a sua decomposicao em fatores primos e p1 p2 pr Pelo lema anterior cada divisor positivo d de a tem fatoracao na forma d pt1 1 pt2 2 ptn n em que para cada i 0 ti ri Assim existem exatamente r1 1 r2 1 rn 1 possibilidades para d ou seja o numero de divisores positivos de a e igual o numero da r1 1 r2 1 rn 1 N UMEROS PRIMOS 93 Exemplo 88 Como 20 225 entao 20 tem exatamente 32 6 divisores positivos Sao eles 1 2 4 5 10 e 20 Exemplo 89 Se a pr1 1 pr2 2 prn n possui uma quantidade ımpar de divisores positivos entao da r1 1r2 1 rn 1 tambem e ımpar Logo cada ri e par digamos ri 2ti Assim para b pt1 1 pt2 2 ptn n segue que b2 p2t1 1 p2t2 2 p2tn n pr1 1 pr2 2 prn n a ou seja a e um quadrado perfeito Exercıcio 88 a Quantos divisores positivos tem o numero 60 b Quantos divisores tem o numero 60 Exercıcio 89 Encontrar todos os numeros a 2m 3n em cada caso a a tem um unico divisor positivo b a tem exatamente dois divisores positivos c a tem exatamente trˆes divisores positivos d a tem exatamente seis divisores positivos Exercıcio 810 Quais sao os numeros que admitem a apenas dois divisores positivos b apenas trˆes divisores positivos c um numero primo p de divisores positivos 822 O calculo do MDC e MMC a partir de fatoracao Teorema 88 Sejam a e b inteiros positivos a pr1 1 pr2 2 prn n e b ps1 1 ps2 2 psn n em que p1 p2 pn sao numeros primos e para todo i temse ri si N Entao mdca b pu1 1 pu2 2 pun n e mmca b pt1 1 pt2 2 ptn n de modo que para cada i ui minri si e ti maxri si 94 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Demonstracao Seja d pu1 1 pu2 2 pun n com ui minri si Pelo lema anterior da e db Se c e um inteiro tal que ca e cb tambem pelo lema anterior podemos tomar a fatoracao de c na forma c pv1 1 pv2 2 pvn n em que para cada i vi ri vi si e portanto vi minri si ui Logo pelo Lema 87 cd e entao d mdca b Para o caso mmca b a demonstracao segue ao observarse que ri si maxri si minri si ui ti e aplicarse o Teorema 77 mmca b mdca b a b Exemplo 810 Como 18 232 e 20 22 5 podemos escrever 18 2 32 50 e 20 22 30 5 logo mdc18 20 2 30 50 2 e mmc18 20 22 32 5 180 Exemplo 811 Calcular mdc280 300 e mmc280 300 Fazemos a fatoracao dos numeros 280 e 300 280 2 300 2 140 2 150 2 70 2 75 3 35 5 25 5 7 7 5 5 1 1 Entao 280 23 5 7 e 300 22 3 52 Logo mdc280 300 22 30 5 70 4 5 20 e mmc280 300 23 3 52 7 4200 Exercıcio 811 Encontrar numeros inteiros a e b tais que da 21 db 18 e mdca b 20 Exercıcio 812 Demonstrar ou dar um contraexemplo a Se mdca b 1 entao da b da db N UMEROS PRIMOS 95 b Se mdca b 2 entao da b da db Teorema 89 Se n e um numero inteiro positivo composto entao n tem um divisor primo p tal que p n Demonstracao Desde que n e composto e positivo podemos supor n a b com 1 a b De a b temos a2 a b n 1 De 1 a pelo Teorema 86 temos que existe um primo p tal que pa Logo pelo Teorema 41 p a e portanto p2 a2 2 De 1 e 2 segue que p2 n e portanto p n Exemplo 812 Verificar se 127 e um numero primo De acordo com a proposicao acima precisamos verificar se 127 possui um divisor primo p 127 12 Como os primos menores que 12 sao 2 3 5 7 e 11 e nenhum deles e divisor de 127 concluımos entao que 127 e um numero primo 83 O crivo de Eratostenes Eratostenes 276 aC 194 aC foi matematico biblio tecario e astrˆonomo Nasceu em Cirene na Grecia e passou boa parte de sua vida em Alexandria Eratostenes criou um algoritmo simples que permite deter minar os numeros primos menores que um dado numero inteiro positivo O metodo de Eratostenes para listar os primos menores que um certo inteiro positivo n 1 consiste do seguinte i Escrever uma lista com todos os inteiros entre 2 e n1 ii Para cada primo p n eliminase da lista todos os multiplos r p de p para r 2 iii Os numeros que sobram sao os primos menores que n Exemplo 813 Para n 40 consideremos a lista 2 3 4 96 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS 5 37 38 39 Desde que 40 7 eliminamos da lista os multiplos de 2 3 e 5 com excecao deles proprios Assim ficamos com 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 e 37 que sao todos os numeros primos menores que 40 Exercıcio 813 Determinar os numeros primos menores que 100 Teorema 810 Existe uma quantidade infinita de numeros pri mos Demonstracao Suponhamos que exista apenas uma quanti dade finita de numeros primos p1 p2 pn Agora tomemos a 1 p1 p2 pn pi para todo i n Assim a e com posto e pelo Teorema 89 a possui um divisor primo digamos pi Como 1 a p1 p2 pn pia e pip1 p2 pn entao pi1 o que e uma contradicao pois os unicos divisores de 1 sao 1 e 1 Assim nao pode existir somente uma quantidade finita de numeros primos Teorema 811 Dado um inteiro positivo m podese determinar m numeros compostos consecutivos Demonstracao Sejam m a Z tais que 2 a m 1 Daı am 1 e portanto am 1 a Assim m 1 2 m 1 3 m 1 m 1 sao m inteiros compostos e consecutivos Exercıcio 814 Encontrar o menor numero composto da forma 1p1p2 pn em que p1 p2 pn sao os n primeiros numeros primos Exercıcio 815 Encontrar o menor n inteiro positivo em cada caso a 10n b 100n c 1000n N UMEROS PRIMOS 97 Exercıcio 816 Encontrar a potˆencia de 2 na decomposicao em primos em cada caso a 10 b 20 c 1000 Exercıcio 817 Calcular o mınimo multiplo comum e o maximo divisor comum dos seguintes pares de numeros a 45 e 75 b 308 e 539 c 11 e 792 d 40 e 63 e 1 e 2001 f 2001 e 0 Exercıcio 818 Mostrar que 3 4 e um numero irracional Exercıcio 819 Verificar se os numeros 101 173 221 961 1969 e 2003 sao numeros primos Exercıcio 820 Dar um exemplo de dois inteiros a e b tais que ab2 mas a b Exercıcio 821 Mostrar que mdcam bm mdca bm e mmcam bm mmca bm para todo inteiro positivo m Exercıcio 822 Seja p um numero primo maior que 3 Mostrar que a 24 divide p2 1 b p2 deixa resto 1 quando dividido por 24 Exercıcio 823 Elaborar programas de computador para a verificar se um numero e primo b fazer a fatoracao de um numero positivo como produto de primos c fazer uma lista dos primos menores ou iguais a um inteiro positivo dado 98 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS 84 A Conjectura de Goldbach O matematico prussiano Christian Goldbach 1690 1764 deve sua fama a elaboracao de uma conjectura que apesar de ter um enunciado muito simples pode ser plenamente entendido e testado para uma quantidade muito grande de numeros naturais e permanece como um problema nao resolvido Tratase de um problema da Teoria dos Numeros e e um dos mais antigos que permanece em aberto O enunciado da conjectura de Goldbach e o seguinte todo numero par maior ou igual a 4 e a soma de dois primos Como exemplo da validade para os primeiros numeros pa res temos 4 2 2 6 3 3 8 5 3 10 3 7 5 5 12 5 7 14 7 7 16 13 3 18 13 5 e 20 13 7 Exercıcio 824 Testar a validade da conjectura para numeros naturais ate 50 A conjectura data de 1742 quando Christian Goldbach a apresentou em uma carta a Leonhard Euler Algumas ve zes ocorre tambem com pequenas variacoes do enunciado como todo inteiro par maior que 5 pode ser escrito como a soma de dois primos ımpares Naturalmente verificacoes manuais exigem tempo e con centracao Mais recentemente os computadores tˆem sido usados para verificacoes que confirmaram a conjectura para numeros da magnitude de pelo menos 3 1017 9 Congruˆencias O conceito de congruˆencia na Teoria dos Numeros foi in troduzido por Gauss em um trabalho publicado em 1801 tendo ele na epoca apenas 24 anos de idade Veremos que uma das aplicacoes da congruˆencia e encontrar o resto da divisao devido ao fato de cada inteiro ser congruente ao resto de sua divisao pelo numero que define a congruˆencia 91 A congruˆencia e o resto da divisao Sejam a b n Z e n 1 A relacao a e congruente a b modulo n denotada por a bmod n e definida por a bmod n na b Exemplo 91 Temos 5 2mod 3 7 1mod 4 1 13mod 7 e 31 31mod 77 A congruˆencia modulo n e uma relacao de equivalˆencia pois para todo a Z temos que a a 0 0 n isto e a amod n e portanto a relacao e reflexiva para todos a b Z se a bmod n entao a b c n e portanto b a a b c n Logo b amod n e portanto a relacao e simetrica para todos a b c Z se a bmod n e b cmod n entao a b d n e b c e n Logo a c a b b c d n e n d e n Portanto a cmod n e a relacao e transitiva Teorema 91 Sejam a n r Z n 1 Se r e o resto da divisao de a por n entao a rmod n 100 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Exercıcio 91 Demonstrar o teorema anterior Teorema 92 Se m rmod n com 1 n e 0 r n entao r e o resto da divisao de m por n Exercıcio 92 Demonstrar o teorema anterior Corolario 93 Sejam a e b inteiros Entao a bmod n se e somente se a e b deixam o mesmo resto quando divididos por n Exercıcio 93 Demonstrar o corolario anterior Teorema 94 Sejam a b c d n Z com n 1 Entao i Se a bmod n entao a c b cmod n ii Se a bmod n e c dmod n entao a c b dmod n iii Se a bmod n entao a c b cmod n iv Se a bmod n e c dmod n entao a c b dmod n v Se a bmod n e c 0 entao ac bcmod n vi Se a c b cmod n entao a bmod n vii Se c 0 mdcc n 1 e a c b cmod n entao a bmod n viii Se c 0 e a c b cmod n entao a bmod n d em que d mdcc n Demonstracao i Se a bmod n entao na b a c c b a c b c Portanto a c b cmod n ii Se a bmod n e c dmod n por i temos que a c b cmod n e b c b dmod n Pela transitividade da relacao a c b dmod n Exercıcio 94 Completar a demonstracao do Teorema 94 CONGRUˆENCIAS 101 Exercıcio 95 Mostrar a validade ou dar um contraexemplo para a a bmod n e c dmod n a b c dmod n b a bmod n e c dmod n a d b cmod n c a c b cmod n a bmod n d a bmod n a n bmod n e a bmod n a n bmod n f a bmod n ca cbmod n g a bmod n e a bmod m a bmod n m h a bmod n e a bmod m a bmod n m i a bmod n e a bmod m am bnmod nm j n m a bmod n e a bmod m a m b nmod n m k a2 b2mod n a bmod n l ai bimod n para todo i 1 m a1 am b1 bmmod n e a1 am b1 bmmod m Exemplo 92 Encontrar o resto da divisao de 5100 e 5101 por 24 Temos que 52 1 25 1 24 ou seja 52 1mod 24 Tambem 5100 5250 Como 52 1mod 24 entao 5250 150mod 24 ou seja 5100 1mod 24 Desse modo o resto da divisao de 5100 por 24 e 1 Agora como 5100 1mod 24 e 5 5mod 24 entao 5 5100 5 1mod 24 ou seja 5101 5mod 24 Portanto o resto da divisao de 5101 por 24 e 5 Exemplo 93 Encontrar o resto da divisao de 19138 por 17 Temos 19 2mod 17 192 22mod 17 4mod 17 102 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS 193 192 19 4 2mod 17 8mod 17 194 192 192 4 4mod 17 16mod 17 1mod 17 Como 138 4 34 2 entao 19138 194342 19434 192 134 4mod 17 4 mod 17 Assim o resto da divisao de 19138 por 17 e 4 Exemplo 94 Qual o resto da divisao e 2125 por 11 Podemos proceder como no exemplo anterior ate chegar mos em 25 32 1mod 11 Como 125 525 entao 2125 2525 2525 125mod 11 1mod 11 10mod 11 Assim o resto da divisao de 2125 por 11 e 10 Exemplo 95 Encontrar o algarismo das unidades de 7100 Precisamos encontrar o resto da divisao de 7100 por 10 Como 72 49 1mod 10 entao 7100 7250 150mod 10 1mod 10 Daı o resto da divisao de 7100 por 10 e 1 Portanto o algarismo das unidades de 7100 e 1 Exercıcio 96 Qual o resto da divisao de a 8765 por 7 b 75001 por 8 c 33 43 60 por 8 d 941000 por 13 e 4141 por 7 f 12 22 1002 por 3 g 12 22 1002 por 4 Exercıcio 97 Encontrar o resto da divisao de 410325104122 por 13 Exercıcio 98 Se a bmod n mostrar que mdcn a mdcn b Sugestao aplicar o Lema 75 Exercıcio 99 Verificar se a bmod n implica mmcn a mmcn b CONGRUˆENCIAS 103 92 O Pequeno Teorema de Fermat Seja n um inteiro maior que 1 Um sistema completo de resıduos modulo n e um conjunto com n elementos tal que cada inteiro e congruente modulo n a um unico elemento desse con junto Por exemplo o Teorema 91 e o Exemplo 92 garantem que dado um inteiro n 1 o conjunto dos restos da divisao por n 0 1 n 1 e um sistema completo de resıduos Lema 95 Um conjunto com n elementos tais que cada dois ele mentos nao sao congruentes modulo n e um sistema completo de resıduos modulo n Demonstracao Seja a1 an um conjunto de n inteiros tal que nao ocorre ai ajmod n se i j Entao pelo Co rolario 93 se i j ai e aj sao congruentes modulo n a ele mentos distintos de 0 1 n1 ou seja cada ai e congruente modulo n a um unico elemento de 0 1 n 1 pois este e um sistema completo de resıduos Portanto cada elemento de 0 1 n 1 e congruente modulo n a um unico elemento de a1 an Assim como cada inteiro m e congruente modulo n a um unico elemento de 0 1 n 1 entao m e congruente modulo n a um unico elemento de a1 an Lema 96 Sejam n 1 um inteiro e a um inteiro relativamente primo com n Entao i 0 a 2a n 1a e um sistema completo de resıduos ii cada elemento do conjunto a 2a n 1a e congruente a um unico elemento de 1 n 1 modulo n Demonstracao i Se ra samod n com r s podemos considerar sem perda de generalidade que 0 s r n Assim nra sa r sa e como mdcn a 1 entao nr s ou seja n r s r n o que e um absurdo Esse absurdo surgiu ao supormos r s Assim os elementos de 104 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS 0 a 2a n1a nao sao congruentes dois a dois modulo n Logo pelo lema anterior este conjunto e um sistema completo de resıduos pois contem exatamente n elementos Exercıcio 910 Demonstrar o item ii do lema anterior Teorema 97 Pequeno Teorema de Fermat Se p e primo e a e um inteiro qualquer entao i ap amod p ii se a nao e divisıvel por p entao ap1 1mod p Demonstracao Mostraremos primeiro ii e depois que ii i ii Pelo lema anterior cada elemento do conjunto a 2a p 1a e congruente a um unico elemento de 1 p 1 modulo p Segue daı que a 2a 3a p 1a 123 p1mod p ou seja p1ap1 p1mod p Desse modo pp 1ap1 1 e como p p 1 entao pap1 1 ou seja ap1 1mod p i Se p a por ii ap1 1mod p e entao ap amod p Agora se pa entao pap e daı pap a Portanto ap amod p Exemplo 96 Pelo Pequeno Teorema de Fermat temos 7106 1 115010 1 e 3993 99 Exemplo 97 Verificar que se 3 a entao 3a8 1 Pelo Pequeno Teorema de Fermat como 3 a entao 3a2 1 Como a8 1 a4 1a4 1 a2 1a2 1a4 1 e 3a2 1 entao 3a2 1a2 1a4 1 a8 1 Devemos observar que se p e primo e pa entao pap1 Portanto p ap11 pois em caso contrario pap1ap11 1 o que e uma contradicao CONGRUˆENCIAS 105 Exemplo 98 Temos 3 1022 1 7 776 1 Exemplo 99 Pelo Pequeno Teorema de Fermat temos que 41340 1 320 1320 1 Como 41 e primo entao 41320 1 ou 41320 1 Mas 41 nao pode dividir ambos pois se 41320 1 e 41320 1 entao 4132013201 2 Daı 41 2 o que e uma contradicao Corolario 98 Sejam a e b numeros inteiros e seja p um numero primo Entao a bp ap bpmod p Demonstracao Aplicando o Pequeno Teorema de Fermat te mos a bp a bmod p ap amod p e bp bmod p Assim ap bp a bmod p e a bp ap bpmod p Lema 99 Se a bmod m a bmod n e mdcm n 1 entao a bmod m n Exercıcio 911 Demonstrar o lema anterior Sugestao Teorema 74 v Teorema 910 Se a e um numero inteiro entao a e a5 possuem o mesmo algarismo das unidades Demonstracao Pelo Pequeno Teorema de Fermat a5 amod 5 Sabemos tambem que a e par se e somente se an e par para todo n inteiro positivo Assim a5 a e par ou seja 2a5 a Portanto a5 amod 2 Do lema anterior concluımos que a5 amod 10 ou seja que a5 e a deixam o mesmo resto quando divididos por 10 pelo Corolario 93 Logo a5 e a possuem o mesmo algarismo das unidades Exercıcio 912 Seja a um inteiro tal que 5 a a Mostrar que 5a16 1 106 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS b Mostrar que a e a17 possuem o mesmo algarismo das unida des c Idem para a a9 e a33 Exercıcio 913 Mostrar que se 7 n entao a 7n6 6 b 7n8 8n2 c 7n8 n6 6n2 8 d 14n8 n6 6n2 8 Exercıcio 914 Mostrar que 22a11 a para todo numero in teiro a Exercıcio 915 Quais os possıveis restos da divisao de n6 por 7 Exercıcio 916 Seja p um numero primo Encontrar os possıveis restos da divisao de 15p1 por p Exercıcio 917 Se ai bimod n para i 1 2 m entao a1 a1 am b1 b2 bmmod n Exercıcio 918 Encontrar o resto da divisao de a 111 211 10011 por 11 b 110 210 10010 por 11 Exercıcio 919 Sejam m e n inteiros n 1 Mostre que m 1 m 2 m n e um sistema de resıduos modulo n 93 O Teorema de Euler O Pequeno Teorema de Fermat nao pode ser generalizado para um inteiro qualquer Por exemplo como 4 341 1 nao ocorre 341 1mod 4 Mas esse teorema foi melhorado por Euler no sentido que o Pequeno Teorema de Fermat poder ser CONGRUˆENCIAS 107 entendido um caso particular do Teorema de Euler A funcao φ de Euler e definida por φ N N em que φn e a quantidade de inteiros positivos menores ou iguais a n que sao relativamente primos a n Por exemplo φ1 1 φ2 1 φ6 4 φ10 4 e se p e primo entao φp p 1 Seja n N n 1 e seja a um inteiro relativamente primo com n Seja S x1 xφn o conjunto dos inteiros positivos menores que n e relativamente primos com n tais que xi xj se i j Exercıcio 920 Verificar que no conjunto S valem a axi axjmod n xi xj b Cada axi e congruente a exatamente um elemento xj de S modulo n Sugestao mostre que o resto da divisao de axi por n esta em S Assim ax1 axφn x1 xφnmod n e portanto aφn x1 xφn x1 xφnmod n ou seja naφn x1 xφn x1 xφn aφn 1 x1 xφn Como para cada i mdcxi n 1 entao mdcx1 xφn n 1 e portanto naφn 1 O que fizemos foi justamente demonstrar o teorema a se guir Teorema 911 Teorema de Euler Se n 1 e um inteiro e a e um inteiro relativamente primo com n entao aφn 1mod n 108 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Exemplo 910 Pelo Teorema de Euler temos que 6352 1 10734 1 e 15778 1 94 A aritmetica modulo n Alguem que afirmasse que 10 10 5 provavelmente seria considerado um maluco pois as regras usuais de adicao garantem que o resultado daquela operacao deveria ser 20 Mas quando trabalhamos com medida de ˆangulos em graus temos por exemplo que 230 170 40 Logo pode ser que em alguma situacao a soma de 10 com 10 seja realmente 5 Veremos que isso e possıvel ao trabalharmos com congruˆencias A partir de relacoes de equivalˆencia no conjunto dos numeros inteiros definimos as operacoes de adicao e multiplicacao no conjunto quociente e obtemos regras de operacoes para um conjunto finito Dado n um inteiro positivo para cada a Z de notamos a classe de equivalˆencia de a modulo n por a r Z r amod n Denotamos por Zn o conjunto quociente de Z pela relacao de congruˆencia modulo n Assim Zn a a Z Exemplo 911 Na congruˆencia modulo 3 temos 0 a a 0mod 3 a 3a 0 a a 3n n Z 3n n Z 9 6 3 0 3 6 9 1 a a 1mod 3 a 3a 1 a a 1 3n n Z a a 3n 1 n Z 3n 1 n Z 8 5 2 1 4 7 10 2 a a 2mod 3 a 3a 2 a a 2 3n n Z a a 3n 2 n Z 3n 2 n Z 7 4 1 2 5 8 11 CONGRUˆENCIAS 109 Na congruˆencia modulo n aplicandose o algoritmo da divisao para a e n temos que existem q r Z tais que a qnr e 0 r n Logo ar qn isto e a rmod n e portanto a r em que r e o resto da divisao de a por n Temos entao o conjunto quociente Zn 0 1 2 n 1 Temos que Zn tem exatamente n elementos pois se a b Z sao tais que 0 a b n entao a a b a n a n Logo 0 b a n e portanto b a nao e multiplo de n Assim b nao e congruente a a modulo n e desse modo b a Logo Zn 0 1 n 1 e um conjunto com n elementos Vimos acima que se a Z entao a r em que r e o resto da divisao de a por n Assim se a b Z sao tais que a bmod n entao b a r e portanto a e b fornecem o mesmo resto quando divididos por n Exemplo 912 Para n 5 temos Z5 0 1 2 3 4 Temos tambem 125 0 13 3 27 2 4 1 1002 2 1 4 Assim Z5 125 4 1002 13 1 Como vimos no exemplo acima temos muitas formas para representar Zn mas vamos assumir Zn 0 1 2 n 1 para facilitar o tratamento algebrico 941 Adicao e multiplicacao em Zn Para ab Zn definimos i a b a b ii a b a b Essas operacoes indicam que a b r em que r e o resto da divisao de ab por n e ab s em que s e o resto da divisao 110 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS de a b por n Assim a b Zn e a b Zn Exemplo 913 Em Z15 temos 1010 5 37 10 612 3 5 5 10 10 6 0 Precisamos verificar que essas operacoes estao bem defini das o que sera feito a seguir Teorema 912 Sejam a b c d Z com a c e b d Entao i a b c d ii a b c d Demonstracao Como a c e b d entao a cmod n e b dmod n Pelo Teorema 94 a b c dmod n e a b c dmod n Assim a b c d e a b c d pelo Corolario 93 Por definicao a b c d e ab c d Se a Zn e a 0 entao o inverso aditivo de a e a n a pois a n a a n a a a n 0 n n 0 isto e a n a 0 E claro que o inverso aditivo de 0 e 0 mesmo Assim por exemplo em Z15 7 8 e 1 14 942 Propriedades das operacoes em Zn e o Teorema de Wilson Seguem algumas propriedades da adicao e da multiplicacao de Zn Teorema 913 Se a b c Zn entao i a b Zn e a b Zn fechamento ii a b b a e a b b a comutatividade iii a b c a b c e a b c a b c associatividade iv a b c a b a c distributividade CONGRUˆENCIAS 111 v a 0 a elemento neutro da adicao zero vi 1 a a elemento neutro da multiplicacao unidade vii 0 a 0 elemento absorvente da multiplicacao viii a n a 0 inverso aditivo Demonstracao i Ja foi observado na definicao das operacoes ii Como a b b a entao a b a b b a b a De modo analogo mostrase a b b a Exercıcio 921 Demonstrar as demais propriedades do teorema anterior Dado n Z n 1 consideremos a Zn Dizemos que a e uma unidade em Zn se existe b Zn tal que ab 1 Dizemos que a e um divisor de zero se a 0 e a b 0 para algum b Zn com b 0 Podemos fazer tabelas para a adicao e a multiplicacao em Zn Por exemplo para Z4 temos 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 A tabela da adicao indica que os inversos aditivos de 1 2 e 3 sao respectivamente 3 2 e 1 A tabela da multiplicacao mostra 1 e o elemento neutro para a multiplicacao que 2 e um divisor de zero pois 2 2 0 e que 3 e o seu proprio inverso multiplicativo pois 3 3 1 Teorema 914 Para a n Z tais que 1 n e 0 a n i se mdcn a 1 entao a e uma unidade em Zn ii se mdcn a 1 entao a e um divisor de zero em Zn 112 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Demonstracao i Como mdcn a 1 entao existem r s Z tais que r n s a 1 Assim s a r n 1 isto e s a s a 1 e portanto a e uma unidade pois s b sendo b o resto da divisao de s por n e b a s a 1 ii Seja d mdcn a 1 Entao existem b c Z tais que n db e a dc Como 0 n e 0 d entao 0 b bd n portanto b 0 Assim a b a b d c b d b c n c 0 Como 0 a n entao a 0 Logo a e um divisor de zero Exercıcio 922 Encontrar as unidades e os divisores de zero de Z15 Corolario 915 Se p e um numero primo e a Zp com 0 a p entao existe um unico b Zp tal que a b 1 isto e a e uma unidade Demonstracao Existˆencia Seja a Zp tal que a 0 isto e a nao e um multiplo de p Desde que p e um numero primo entao mdca p 1 Assim pelo teorema anterior a e uma unidade Unicidade Se existem b c 1 p 1 tais que a b a c 1 entao ab ac Podemos supor sem perda de generalidade que b c Logo pab ac ab c Como p e primo e p a entao pb c Mas como 0 b c b p entao b c o que mostra a unicidade Teorema 916 Teorema de Wilson O numero natural p 1 e primo se e somente se p 1 1mod p Demonstracao Se p e primo entao pelo corolario an terior para cada i 1 2 p 1 existe um unico j 1 2 p 1 tal que i j 1 isto e i j 1mod p Pode CONGRUˆENCIAS 113 ocorrer i j somente nos casos em que i 1 ou i p 1 pois i2 1mod p pi2 1 i 1i 1 pi 1 ou pi 1 i p 1 ou i 1 ja que 0 i p e p e primo Assim 2 3 p 2 1mod p 1 2 3p 2 p 1 1 1 p 1mod p e portanto p 1 1mod p Se p nao e primo entao existe um inteiro a tal que 1 a p e ap Assim ap 1 Como a 1 entao a p 1 1 Como ap entao p p 1 1 ou seja nao ocorre p 1 1mod p Exemplo 914 Se p e um primo e a e um inteiro nao divisıvel por p entao pelo Pequeno Teorema de Fermat pap1 1 pelo Teorema de Wilson p 1 1mod p isto e pp 1 1 Assim pap1 1 p 1 1 ap1 p 1 Por exemplo 766 6 Exemplo 915 Alguns conjuntos do cotidiano podem ser iden tificados com algum Zn Por exemplo conjunto das horas pode ser identificado com Z24 e o conjunto das medidas inteiras dos ˆangulos em graus pode ser identificado com Z360 95 A Prova dos Noves Fora A prova dos noves fora em tempos passados era usada para verificar se o resultado de uma soma estava correta Por exemplo para verificarse que 5782 4291 9973 pelo metodo da prova devese ir somando os algarismos do primeiro membro da igualdade e subtraindo 9 sempre que a soma for maior ou igual a 9 fazse o mesmo para os algarismos do segundo membro e no final comparar os resultados obtidos Para os algarismos do primeiro membro temos 5 7 8 2 4 2 9 1 12 8 2 4 2 9 1 114 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS 3 8 2 4 2 9 1 11 2 4 2 9 1 2 2 4 2 9 1 4 4 2 9 1 8 2 9 1 10 9 1 1 9 1 10 1 1 1 2 Para os algarismos do segundo membro temos 9 9 7 3 9 7 3 7 3 10 1 Comparando os resultados encontrados como 1 2 entao a conta esta errada Utilizemos as congruˆencias para avaliar a validade do metodo Se m e um inteiro positivo entao m an10n an110n1 a110 a0 em que cada ai Z e 0 ai 10 Assim m an9 1n an19 1n1 a19 1 a0 an9cn 1 an19cn1 1 a19c1 1 a0 9ancn an1cn1 a1c1 an an1 a1 a0 Logo m an an1 a1 a0mod 9 isto e m e an an1 a1 a0 apresentam o mesmo resto na divisao por 9 Assim em Z9 temos 1599 1 5 9 9 24 2 4 6 isto e o resto da divisao de 1599 por 9 e 6 Como ab a b e ab ab entao podemos aplicar a prova dos noves fora para saber se o resultado de operacoes contem algum erro Exemplo 916 Verificar se 453 751 1104 e 453 751 340303 453 751 4 5 3 7 5 1 3 4 7 453 751 4 5 3 7 5 1 3 4 12 3 Assim o resto da divisao de 453 751 e 453 751 por 9 CONGRUˆENCIAS 115 sao respectivamente 7 e 3 Agora como o resto das divisoes de 1104 e 340303 por 9 sao respectivamente 6 e 4 entao ambas as operacoes estao incorretas Esse processo e util para se verificar se a conta esta errada porem ele nao garante que a conta esteja correta Por exemplo a conta 1836 4527 6453 esta errada mas passa pela prova dos noves fora Excerpt from a technical specification or manufacturing document The textile piece exhibits a diverse weave pattern with a smooth core and a textured carded surface The fiber composition primarily includes cotton with a blend approximation of 80 cotton and 20 synthetic fiber The fabric weight measures at approximately 200 grams per square meter emphasizing durability suitable for upholstery use Dimensional stability has been tested under standard conditions with less than 3 shrinkage after laundering Color fastness ratings are rated 45 on the vertical scale suitable for indoor environments Further treatment applications are recommended for enhanced resistance to stains and UV exposure 10 Equacoes diofantinas lineares Equacoes da forma axby c em que a b e c sao numeros inteiros com a 0 ou b 0 sao conhecidas como equacoes diofantinas lineares em virtude de Diofante de Alexandria ter sido o primeiro a se ocupar deste tipo de equacao Estaremos interessados em solucoes inteiras para essas equacoes isto e em pares de inteiros x e y que satisfacam a equacao ax by c Nem toda equacao diofantina possui solucoes inteiras Por exemplo dada a equacao 6x 10y 327 para valores intei ros para x e y obtemos no primeiro membro um numero par enquanto o segundo membro e um numero ımpar 101 Solucoes de equacoes diofantinas lineares O teorema seguinte apresenta condicoes para a existˆencia de solucoes Teorema 101 Sejam a b c Z com a 0 ou b 0 e d mdca b A equacao ax by c tem solucao se e somente se dc Demonstracao Sejam x e y solucoes de inteiros para a equacao axby c Como d mdca b entao da e db Logo pelo Teorema 41 dax by c Se dc entao existe e Z tal que c ed Como d mdca b pelo Teorema 71 existem r e s inteiros tais que ra sb d Assim era esb ed c Logo x er e y es e solucao da equacao ax by c Corolario 102 Sejam a b c Z com a 0 ou b 0 Se mdca b 1 entao a equacao ax by c sempre tem solucao 118 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Corolario 103 Sejam a b Z com a 0 ou b 0 A equacao ax by 1 tem solucao se e somente se mdca b 1 O resultado a seguir apresenta o formato de todas as solucoes de uma equacao diofantina caso elas existam Teorema 104 Seja axby c uma equacao diofantina tal que d mdca b divida c Se r e s sao inteiros tais que d rasb entao i o par x0 r c d y0 s c d e uma solucao para axby c ii as solucoes x y sao dadas por x x0 t b d e y y0 t a d t Z Demonstracao Vamos considerar a 0 e b 0 pois o caso em que um deles e zero e elementar i Substituindo x por x0 r c d e y por y0 s c d em ax by obtemos a r c d b s c d ar bs c d d c d c Assim o par x0 y0 e uma solucao para ax by c ii Sejam x y inteiros tais que ax by c Desde que ax0 by0 c entao axby ax0by0 Logo axx0 by0y 1 Como d mdca b entao da e db ou seja existem os inteiros a1 e b1 de maneira a a1 d e b b1 d 2 Pelo Corolario 73 mdca1 b1 1 3 De 1 e 2 temos que a1 x x0 b1 y0 y Assim a1b1 y0 y 4 Por 3 e 4 e pelo Teorema 74 a1y0 y ou seja existe t Z tal que y0 y t a1 isto e y y0 t a1 y0 t a d Substituindo y0y por ta1 na igualdade a1xx0 b1y0y obtemos a1 x x0 b1 t a1 Como a1 0 pois estamos considerando a e b diferentes de 0 entao xx0 b1 t ou seja x x0 t b1 x0 t b d EQUAC OES DIOFANTINAS LINEARES 119 Por outro lado para x x0 t b d y y0 t a d e t Z temos ax by ax0 t b d by0 t a d ax0 by0 c ou seja x y e uma solucao da equacao Exemplo 101 Encontrar todas as solucoes inteiras da equacao 15x 51y 42 Notase neste caso que a 15 b 51 e d mdca b 3 Precisamos encontrar r e s tais que 15r 51s 3 51 3 15 6 6 51 3 15 15 2 6 3 3 15 2 6 Assim 3 1526 15251315 715251 15 7 51 2 ou seja r 7 e s 2 Entao x0 r c d 7 42 3 98 e y0 s c d 2 42 3 28 Portanto x x0 t b d 98 t 51 3 98 17t e y y0 t a d 28 t 15 3 28 5t Assim as solucoes sao dadas por x 9817t e y 285t Exemplo 102 Um clube precisa comprar bolinhas de tˆenis para um torneio As bolinhas sao vendidas em embalagens com 8 e com 14 unidades Qual a quantidade de cada tipo de embalagem deve ser comprada para se obter um total de 100 bolinhas Solucao Considerando x e y as quantidades de embalagens com 8 e 14 bolinhas respectivamente precisamos que x e y satisfacam a equacao 8x 14y 100 Vamos nos utilizar do teorema anterior para encontrar solucoes para o nosso problema Na notacao do teorema temos a 8 b 14 c 100 e d mdca b 2 Ja aprendemos a encontrar r e s r 2 e s 1 120 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Assim encontramos x0 2 100 2 100 e y0 1 100 2 50 Como so interessam as solucoes nao negativas precisamos encontrar t para que x x0 t14 2 100 7t e y y0 t8 2 50 4t nao sejam negativos ou seja precisamos que 100 7t 0 e 50 4t 0 Resolvendo as duas desigualdades chegamos que t 14 3 e t 12 5 ou seja t e inteiro e 14 3 t 12 5 Temos entao duas possibilidades t 13 e t 14 Para t 13 temos x 9 e y 2 Para t 14 x 2 e y 6 Assim devese comprar nove embalagens com 8 unidades e duas embalagens com 14 unidades ou ainda duas embalagens com 8 unidades e seis embalagens com 14 unidades Exercıcio 101 Encontrar as solucoes inteiras para as equacoes diofantinas a 36x 10y 96 b 2x 3y 9 c 9x 15y 141 d 18x 7y 302 e 21x 42y 127 Exercıcio 102 Encontrar as solucoes inteiras e positivas das equacoes diofantinas do exercıcio anterior Exercıcio 103 Um pote com capacidade para 900 balas nao esta totalmente cheio Se forem retiradas 13 balas de cada vez sobram 5 balas Se forem retiradas 31 balas de cada vez sobram 19 balas Utilizar equacoes diofantinas para determinar todas as possibilidades para a quantidade de balas que esta no pote EQUAC OES DIOFANTINAS LINEARES 121 Exercıcio 104 Expressar o numero 100 como uma soma de dois inteiros positivos de modo que um seja multiplo de 7 e o outro seja multiplo de 13 Exercıcio 105 Mostrar que se x e y sao inteiros tais que 2x 3y e multiplo de 17 entao 9x 5y tambem e THE ELECTRIC WINDMILL A COMPLETE GUIDE TO WIND POWER FOR YOUR HOME FARM OR SHOP BY MALCOLM S KOTLER WIND AIR SOLAR PRESS OJAI CALIFORNIA 11 O Ultimo Teorema de Fermat Neste capıtulo avaliamos ternas de numeros que satisfazem o Teorema de Pitagoras e fazemos algumas generalizacoes 111 Ternas pitagoricas Uma terna pitagorica de numeros inteiros positivos e uma tripla ordenada a b c tal que a2 b2 c2 A terna a b c e primitiva quando mdca b c 1 Exemplo 111 3 4 5 6 8 10 e 9 12 15 sao ternas pi tagoricas e a primeira delas e uma terna primitiva Exercıcio 111 Dada uma terna pitagorica primitiva a b c mostrar que para todo n N temse que an bn cn e uma terna pitagorica Lema 111 Dada uma terna pitagorica a b c seja mdca b c d Se tomarmos a1 ad b1 bd e c1 cd entao a1 b1 c1 e uma terna pitagorica primitiva Demonstracao Desde que d mdca b c entao mdca1 b1 c1 1 Agora a2 1 b2 1 ad2 bd2 a2 b2d2 c2d2 c2 1 A partir do ultimo exercıcio acima e do lema anterior se gue que podemos investigar sobre ternas pitagoricas com enfoque especificamente sobre as ternas primitivas Lema 112 Se a b c e uma terna pitagorica primitiva entao exatamente um dentre os dois primeiros termos a e b e par e os outros dois sao ımpares 124 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Demonstracao Se a e b sao pares entao c tambem e par o que contradiz o fato de mdca b c 1 Logo nao podem ser ambos pares Se a e b sao ımpares entao a e do tipo 2m 1 e b e do tipo 2n 1 Daı a2 b2 4m2 4m 1 4n2 4n 1 4m2 m n2 n 2 c2 Logo 2c2 e 22 c2 Mas 2c e isso implica 22c2 Portanto temos uma contradicao Desse modo nao pode ocorrer que a e b sejam ambos numeros pares Lema 113 Se a b c e uma terna pitagorica primitiva entao os termos a b e c sao dois a dois primos entre si Demonstracao Se d mdca b 1 entao existe um numero primo p tal que pd e daı pa e pb Logo pa2 b2 c2 e portanto pc Mas isto contradiz o fato de a b c ser primitiva Os outros dois casos sao verificados do mesmo modo Lema 114 Sejam m n c N Se m n c2 e mdcm n 1 entao m e n sao quadrados Demonstracao Sejam m p1r1 pkrk e n q1s1 qjsj as fatoracoes em primos de m e n Como mdcm n 1 entao os termos pk sao distintos dos termos qj Assim m n p1r1 pkrk q1s1 qjsj e a fatoracao de m n Como por hipotese mn c2 entao todos os coeficientes rk e sj sao pares e portanto m a2 e n b2 com a p1r12 pkrk22 e b q1s12 qjsj22 Dois numeros inteiros a e b tˆem a mesma paridade quando ambos sao pares ou ambos sao ımpares Isto e equivalente a dizer que a b ou a b e par Teorema 115 Sejam m n N tais que 1 m n mdcm n 1 e m e n tˆem paridades distintas Entao a 2mn O ULTIMO TEOREMA DE FERMAT 125 b n2 m2 e c m2 n2 determinam uma terna pitagorica primitiva Toda terna pitagorica primitiva e deste tipo a b c Demonstracao Como a2 b2 2mn2 n2 m22 4m2n2n42m2n2m4 m42m2n2n4 m2n22 c2 entao a b c e uma terna pitagorica Agora se mdca b c 1 existe um numero primo p tal que pmdca b c Assim se p e ımpar como pa 2mn segue que pm ou pn Como pc e c m2 n2 entao pm e pn Portanto 1 p mdcm n 1 o que e uma contradicao Se p 2 entao 2n2 m2 Logo n2 e m2 tem a mesma paridade portanto n e m tem a mesma paridade contradizendo a hipotese Dessa forma a b c e uma terna primitiva Seja a b c uma terna pitagorica primitiva e considere mos que a e par e b e ımpar O caso onde a e ımpar e b e par e analogo Daı a2 c2 b2 c b c b e portanto c b2 c b2 a24 Neste caso pelo Lema 112 temos que c e ımpar Entao c b e c b sao pares e daı a24 N Assim a24 r s em que r c b2 e s c b2 Se d mdcr s entao dr s Agora como r s cb2cb2 c e r s cb2cb2 b entao dmdcb c Pelo Lema 113 mdcb c 1 e desse modo d 1 portanto mdcr s 1 Pelo lema anterior r e s sao quadrados digamos r m2 e s n2 Segue daı que mdcm n 1 Como b r s m2 n2 m nm n e b e ımpar entao n m e ımpar Alem disso n2 m2 s r b m2 n2 r s c e de a24 r s m2 n2 segue que a 2mn Segue entao que as ternas pitagoricas primitivas sao do tipo 2mn n2 m2 m2 n2 e de um modo geral cada terna pitagorica tem a forma k 2mn k n2 m2 k m2 n2 com 126 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS m n k N 1 m n mdcm n 1 e n m ımpar Vejamos alguns casos de ternas primitivas m n a 2mn b n2 m2 c n2 m2 1 2 4 3 5 2 3 12 5 13 1 4 8 15 17 3 4 24 7 25 2 5 20 21 29 4 5 40 9 41 Desde que em cada terna pitagorica primitiva ocorre um termo par e dois termos ımpares para os proximos passos fare mos a convencao de que o primeiro termo a e par e desse modo b e c sao ımpares Exercıcio 112 Seja b N tal que 1 b e b e ımpar Mos trar que b ocorre em pelo menos uma terna pitagorica primitiva Sugestao todo ımpar e da forma 2t 1 t2 t 12 t N Observar o Teorema 115 Exercıcio 113 Seja a 4t t N Mostrar que a ocorre em pelo menos uma terna pitagorica primitiva Sugestao Observar Teorema 115 Exercıcio 114 Seja p um inteiro primo tal que 2 p Mostrar que a terna p21 2 p p21 2 e pitagorica primitiva Exercıcio 115 Seja p um inteiro primo tal que 2 p Mostrar que a terna pp21 2 p2 pp21 2 e pitagorica nao primitiva Exercıcio 116 Seja p um inteiro primo tal que 2 p Mostrar que a terna p41 2 p2 p41 2 e pitagorica primitiva O ULTIMO TEOREMA DE FERMAT 127 112 Sobre o Ultimo Teorema de Fermat Pierre de Fermat 1601 1665 embora nao tenha sido um matematico profissional foi considerado pelo filosofo fısico e matematico francˆes Blaise Pascal 1623 1662 um grande matematico Seu interesse na Matematica estava principalmente em questoes vinculadas a desafios e problemas Suas inquiricoes matematicas atravessaram varias geracoes Ele fez contribuicoes importantes para o calculo geometrico infinitesimal e principal mente para a teoria dos numeros O Ultimo Teorema de Fermat como passou a ser indicado e o mais famoso dos trabalhos de Fermat O seu enunciado simples diz que a equacao xnyn zn nao tem solucao de numeros inteiros e positivos para n 2 Fermat escreveu nas margens do livro Aritmetica de Diofanto com o qual estava trabalhando que conseguira uma demons tracao para o problema acima mas que nao havia espaco sufi ciente para ela na margem do livro Hoje nao se acredita que ele tenha conseguido uma demonstracao correta do problema visto que este Teorema de Fermat mesmo tendo atraıdo a atencao de muitos matematicos por mais de 300 anos ficou em aberto O Ultimo Teorema de Fermat desafiou matematicos por 358 anos e apenas em 1993 o matematico britˆanico Andrew Wiles con seguiu uma demonstracao que ainda precisou de reparos e so tornouse definitiva em 1995 Para tanto Wiles utilizou recursos sofisticados dos quais Fermat nao dispunha A seguir daremos uma resposta parcial ao Ultimo Teorema de Fermat com uma contribuicao dada pelo proprio Fermat 128 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Lema 116 Sejam n r s t N tais que rn sn e tn Se existe solucao de inteiros positivos para a equacao 1 xn yn zn entao tambem ha solucao de inteiros positivos para 2 xr ys zt Demonstracao De rn sn e tn segue que existem a b c N de modo que n ar bs ct Agora seja x1 y1 z1 uma solucao para a equacao 1 xn yn zn isto e x1n y1n z1n Daı x1ar y1bs z1ct Tomando x2 x1a y2 y1b e z2 z1c segue que x2r y2s z2t e portanto x2 y2 z2 e uma solucao para a equacao 2 Exercıcio 117 Seja n N tal que 4n Mostrar que se x4 y4 z2 nao tem solucao de inteiros positivos entao xnyn zn tambem nao tem solucao de inteiros positivos Exercıcio 118 Sejam n a b c N e d mdca b c tais que a b c e solucao da equacao xn yn zn Entao a d b d c d e uma terna primitiva que tambem e solucao da equacao xnyn zn Em vista do exercıcio anterior vamos nos ater somente a solucoes que sao ternas primitivas e vamos denominar tais solucoes de solucoes primitivas Exercıcio 119 Mostrar que se a b c e uma solucao primitiva da equacao x4 y4 z2 entao a e b sao primos entre si Teorema 117 Fermat A equacao x4 y4 z2 nao tem solucao primitiva de inteiros positivos Demonstracao Suponhamos que a equacao x4 y4 z2 te nha solucao de inteiros positivos Seja S z N x4 y4 z2 para x y N e mdcx y z 1 Assim o conjunto S O ULTIMO TEOREMA DE FERMAT 129 e S N Logo existe z0 o menor elemento de S Daı exis tem x0 y0 N de maneira que x04 y04 z02 e x0 e o me nor elemento de qualquer terna primitiva que seja solucao dessa equacao Do exercıcio anterior temos que mdcx0 y0 1 e daı mdcx02 y02 1 Como x022 y022 z02 mdcx02 y02 1 entao x02 y02 z0 e uma terna pitagorica primitiva De acordo com o Teorema 115 existem m n N com n m mdcm n 1 e nm ımpar tais que x02 2mn y02 n2m2 e z0 m2 n2 Desde que m e n tˆem paridades distintas um tem que ser par e o outro ımpar Nesse caso n e ımpar e m par pois do contrario terıamos n 2r e m 2s 1 para r s N e entao y02 2r2 2s12 4r2 4s2 4s1 4r2 s2 s1 4r2 s2 s 1 3 mas desde que y02 e um quadrado perfeito ımpar entao deveria ter a forma 4k 1 Seja entao m 2r e n 2s 1 com r s Z Daı x02 2mn 4nr e x022 nr Como mdcm n 1 entao mdcr n 1 tambem e desse modo r e n sao quadrados Sejam r w2 e n z12 com w z1 N De y02 n2 m2 segue que m2 y02 n2 e como mdcm n 1 entao m y0 n e uma terna pitagorica primitiva Assim existem u v N tais que u v uv e ımpar mdcu v 1 e m 2uv y0 u2v2 e n u2 v2 Daı uv m2 r w2 e mais uma vez u e v sao quadrados Consideremos u x12 e v y12 em que x11 N Assim x14 y14 u2 v2 n z2 1 Logo z1 S pois n N e mdcx1 y1 z1 1 pois mdcx12 y12 mdcu v 1 Contudo como 0 z1 z12 n n2 n2 m2 z0 contradizendo o fato de z0 ser o elemento mınimo de S 130 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Portanto o conjunto S e vazio e a equacao x4 y4 z2 nao tem solucao de inteiros positivos Corolario 118 A equacao xn yn zn nao tem solucao de inteiros positivos quando 4n Demonstracao A demonstracao segue do teorema anterior e do exercıcio 117 Corolario 119 Se o Ultimo Teorema de Fermat vale para todo numero primo maior que 2 entao o teorema e valido Demonstracao Suponhamos por absurdo que o teorema nao vale Assim para algum 2 n a equacao 1 xnn zn tem solucao de inteiros positivos Se n e um primo isto contradiz a hipotese Se n e um composto entao n k p de maneira que p e primo Se p 2 entao 1 xkp ykp zkp xkp kp zkp e isto contradiz a hipotese Agora se n e apenas uma potˆencia de 2 como 2 n entao 4n e pelo corolario anterior 1 nao tem solucao Portanto se o Ultimo Teorema de Fermat vale para todo numero primo maior que 2 o teorema vale para todo n N tal que n 2 Com o resultado desse corolario a investigacao sobre a validade do Ultimo Teorema de Fermat pode se restringir aos numeros n primos Mesmo assim a historia nos mostrou o quao difıcil foi a resolucao deste problema de enunciado extremamente simples 12 Numeros triangulares e quadrados perfeitos Os numeros tratados neste capıtulo tˆem um carater ludico e tambem geometrico como veremos a seguir 121 Quadrados Um numero m N e um quadrado perfeito se existe y N tal que m y2 A sequˆencia dos quadrados e dada por n2nN 1 4 9 16 25 36 n2 Podemos dar uma representacao visual e geometrica para os quadrados 122 Numeros triangulares Dado n N o nesimo numero triangular e definido por tn 1 2 n nn 1 2 A sequˆencia dos numeros triangulares e dada por tnnN 1 3 6 10 15 21 A disposicao geometrica a seguir da a motivacao para o nome de numero triangular 132 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Cada triˆangulo de lado n e determinado por tn 1 2 n nn 1 2 pontos Teorema 121 Seja k N O numero k e triangular se e somente se 8k 1 e um quadrado perfeito Demonstracao Seja k um numero triangular isto e k tn para algum n N Entao 8k1 8tn1 8 nn1 2 1 4n2 4n 1 2n 12 Logo 8k 1 e um quadrado perfeito Seja 8k 1 um quadrado perfeito isto e 8k 1 n2 para algum n N Daı k n21 8 Desde que n2 e ımpar entao n e ımpar tambem Como k N entao n 3 Daı n1 2 N Para m n1 2 segue que tm t n1 2 n1 2 n1 2 1 2 n21 8 k Logo k e um numero triangular Exercıcio 121 Mostrar que a soma de dois numeros triangu lares consecutivos e um quadrado perfeito Exercıcio 122 Seja n N um quadrado perfeito Mostrar que a se n e par entao n e multiplo de 4 b se n e ımpar entao n e da forma 8k 1 com k N Exercıcio 123 Dar exemplo de inteiro par multiplo de 4 que nao e quadrado perfeito N UMEROS TRIANGULARES E QUADRADOS 133 Exercıcio 124 Dar exemplo de inteiro ımpar do tipo 8k 1 que nao e quadrado perfeito Exemplo 121 Na sequˆencia de numeros inteiros positivos 11 111 1111 111111 nao ocorre qualquer quadrado per feito O primeiro termo 11 8 3 nao e quadrado perfeito Se n 111111 11 entao n 1111000 111 1111 1000 8 13 7 8 1111 125 8 13 7 8k 7 Assim n nao e um quadrado perfeito Sejam n a b N com 1 a A diferenca de dois quadrados e qualquer numero do tipo n a2 b2 Desde que pode ocorrer b 0 entao cada quadrado per feito e uma diferenca de dois quadrados Tambem cada ante cessor de um quadrado perfeito e do tipo a2 12 e assim uma diferenca de quadrados Contudo 2 e 6 nao o sao Lema 122 Seja n N Se n e ımpar ou multiplo de 4 entao n e uma diferenca de dois quadrados Demonstracao Se n e ımpar como n 1 entao n1 e n1 sao pares e portanto n1 2 e n1 2 nao numeros naturais Agora n1 2 2 n1 2 2 n22n1n22n1 4 4n 4 n uma diferenca de dois quadrados Se n e do tipo n 4k entao n k 12 k 12 e assim n e uma diferenca de dois quadrados Exercıcio 125 Demonstrar a recıproca do lema anterior Exercıcio 126 Mostrar que a soma dos n primeiros numeros naturais ımpares e o nesimo quadrado perfeito isto e 1 3 5 7 2n 3 2n 1 n2 THE ELECTRIC WINDMILL HOW TO BUILD AND USE IT FOR ELECTRIC POWER HEAT AND WATER PUMPING BY MALCOLM S KOTLER WIND AIR SOLAR PRESS OJAI CALIFORNIA 13 Numeros especiais e curiosidades 131 Numeros especiais Alguns numeros naturais recebem uma denominacao especial devido a satisfazerem determinadas propriedades Como exemplo temos os numeros pares ımpares primos quadrados triangulares dentre outros Vamos apresentar mais alguns deles sem nos preocuparmos em conhecer melhor suas propriedades Numero de Mersenne Um numero de Mersenne e da forma Mn 2n 1 em que n e um numero natural Temos entao que M0 0 M1 1 M2 3 M3 7 M4 15 sao numeros de Mersenne Quando Mn e primo dizemos que Mn e um primo de Mersenne Se n e composto entao Mn nao e primo pois xab 1 xa 1 xab1 xab2 x2a xa 1 para quaisquer a e b inteiros positivos Assim para que Mn seja primo e necessario que n seja primo Mas nem sempre n primo garante que Mn seja primo Por exemplo 2111 2047 2389 Numero de Fermat Ja vimos que um numero de Fermat e da forma Mn 22n 1 em que n e um numero natural e que Mn e primo para n 0 1 2 3 4 mas nao e primo para n 5 Numeros perfeitos Um numero natural e um numero perfeito se e igual a soma dos seus divisores positivos proprios 136 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS Por exemplo o numero 6 e o menor numero perfeito pois os divisores positivos proprios de 6 sao 1 2 e 3 e 6 1 2 3 Os perfeitos seguintes sao 28 e 496 Um numero da forma P 2p1 2p 1 em que 2p 1 e um primo de Mersenne e sempre perfeito A demonstracao nao e difıcil e deixamos ao leitor como um bom exercıcio Exercıcio 131 Fazer a demonstracao indicada acima Numeros amigos Dois numeros naturais sao amigos quando cada um deles e igual a soma dos divisores positivos proprios do outro Por exemplo os divisores positivos proprios de 220 22 5 11 sao 1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e 110 os divisores positivos proprios de 284 22 71 sao 1 2 4 71 e 142 Como 1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110 284 e 1 2 4 71 142 220 entao os numeros 220 e 284 sao numeros amigos Estes sao os menores numeros amigos Os pares de numeros amigos seguintes sao 1184 e 1210 2620 e 2924 5020 e 5564 6232 e 6368 10774 e 10856 12285 e 14595 17296 e 18416 63020 e 76084 66928 e 66992 67095 e 71145 69615 e 87633 79750 e 88730 Exercıcio 132 Verificar que os trˆes primeiros pares indicados acima sao de numeros amigos Primos gˆemeos Primos gˆemeos sao numeros primos p e q tais que p q 2 Por exemplo sao pares de primos gˆemeos 3 e 5 5 e 7 11 e 13 N UMEROS ESPECIAIS E CURIOSIDADES 137 Exercıcio 133 Encontrar mais dois pares de numeros gˆemeos Muitos outros tipos de numeros aparecem na litera tura Por exemplo numeros levemente imperfeitos sociaveis capıcuas pentagonais hexagonais dentre outros Muitas questoes sobre os numeros podem ser colocadas especialmente a respeito dos primos como por exemplo Existem infinitos primos de Fermat Existem infinitos primos de Mersenne Existem infinitos pares de primos gˆemeos Existem infinitos numeros de Fermat que nao sao pri mos Existe uma formula que gera os numeros primos Cada numero par maior que 5 e a soma de dois numeros primos ımpares Conjectura de Goldbach Cada ımpar maior que 5 e soma de trˆes primos ımpares Conjectura de Goldbach para ımpares Existem numeros perfeitos ımpares Aos interessados sugerimos pesquisas para conhecer pro blemas em aberto na matematica que podem ser encontrados na internet nas bibliotecas ou com os proprios professores das diversas disciplinas 132 Curiosidades Muitas curiosidades podem ser encontradas a partir de operacoes com numeros Colocamos a seguir alguns casos curiosos 138 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS 153 13 53 33 153 1 2 3 17 153 1 2 3 4 5 153 1 5 3 15 3 1634 14 64 34 44 145 1 4 5 111111111 111111111 12345678987654321 Multiplicacao de 37 por multiplos de 3 e de 3367 por multiplos de 33 3 37 111 33 3367 11111 6 37 222 66 3367 22222 9 37 333 99 3367 33333 12 37 444 132 3367 44444 15 37 555 165 3367 55555 18 37 666 198 3367 66666 21 37 777 231 3367 77777 24 37 888 264 3367 88888 27 37 999 297 3367 99999 N UMEROS ESPECIAIS E CURIOSIDADES 139 Construindo pirˆamides 0 9 1 1 1 9 2 11 12 9 3 111 123 9 4 1111 1234 9 5 11111 12345 9 6 111111 123456 9 7 1111111 1234567 9 8 11111111 12345678 9 9 111111111 1 8 1 9 12 8 2 98 123 8 3 987 1234 8 4 9876 12345 8 5 98765 123456 8 6 987654 1234567 8 7 9876543 12345678 8 8 98765432 123456789 8 9 987654321 0 9 8 8 9 9 7 88 98 9 6 888 987 9 5 8888 9876 9 4 88888 98765 9 3 888888 987654 9 2 8888888 9876543 9 1 88888888 98765432 9 0 888888888 987654321 9 1 8888888888 9876543210 9 2 88888888888 140 ELEMENTOS DA TEORIA DOS N UMEROS 1 1 1 11 11 121 111 111 12321 1111 1111 1234321 11111 11111 123454321 111111 111111 12345654321 1111111 1111111 1234567654321 11111111 11111111 123456787654321 111111111 111111111 12345678987654321 Uma boa recreacao para leigos e alunos pre universitarios e tentar entender porque ocorrem as igualdades Bibliografia CHARTRAND G POLIMENI AD ZHANG P Mathema tical proofs a transition to advanced mathematics Bos ton Addison Wesley 2002 FEITOSA HA NASCIMENTO MC ALFONSO AB Teo ria dos conjuntos sobre a fundamentacao matematica e a construcao dos conjuntos numericos Rio de Janeiro Editora Ciˆencia Moderna 2011 FEITOSA HA PAULOVICH L Um preludio a logica Sao Paulo Editora da UNESP 2005 HEFEZ A Elementos de Aritmetica Rio de Janeiro So ciedade Brasileira de Matematica 2006 MAIER RR Teoria dos numeros Brasılia Universidade de Brasılia 2005 Notas de aula MILIES CP COELHO SP Numeros Uma Introducao a Matematica Sao Paulo EDUSP 1998 MONTEIRO LHJ Elementos de algebra Rio de Janeiro Livros Tecnicos e Cientıficos 1974 IMPA Colecao Elementos de Matematica ORE O Invitation to number theory Washington The Mathematical Association of America 1967 SANTOS JPO Introducao a Teoria dos Numeros Rio de Janeiro IMPA 1998 SIDKI S Introducao a Teoria dos Numeros Rio de Ja neiro IMPA 1975 Sobre os autores Mauri Cunha do Nascimento Paulista de Catanduva realizou a graduacao mestrado e dou torado em Matematica na UNICAMP desenvolvendo trabalhos em Algebra Comutativa Iniciou sua carreira profissional na Universidade Estadual de Londrina onde trabalhou entre os anos de 1979 e 1993 A partir de 1993 passou a ser professor efetivo do Departamento de Matematica da Faculdade de Ciˆencias da UNESP Cˆampus de Bauru Hercules de Araujo Feitosa O professor Hercules nasceu na cidade de Sao Paulo e cresceu em Galia regiao de Bauru Concluiu a Graduacao em Matematica pela Fundacao Educacional de Bauru em 1984 Defendeu Dissertacao de Mestrado em Fundamentos da Matematica na UNESP IGCE em 1992 com um trabalho sobre sistemas fuzzy Concluiu o Doutorado em Logica e Filosofia da Ciˆencia pela UNICAMP IFCH em 1998 com uma tese sobre traducoes entre logicas E professor do Departamento de Matematica da UNESP FC Cˆampus de Bauru desde 1986 Atua no Programa de PosGraduacao em Filosofia da UNESP FFC Cˆampus de Marılia desde 2001