Prova de Cálculo Diferencial e Integral - 2º Semestre de 2016

Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Colegiado de Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral TV Turma TX Prof Edson 3 Prova 2 Semestre 2016 Data 15 de Maio de 2017 Duragao 1830 2030 Problema 1 Determine o intervalo e o raio de convergéncia das seguintes séries a So3 4a 5 n0 b Soh 8a 1 n1 Problema 2 Encontre a série de Maclaurin e seu intervalo de convergéncia para a fungao 1 MO Problema 3 Determine as duas solugdes em séries de poténcias em torno do ponto x 0 para a equagao diferencial 2 2y 32y y 0 Problema 4 Determine as duas solugdes em séries de poténcias em torno do ponto x 0 para a equagao diferencial sry 22yy0 Problema 5 Resolva o seguinte problema de valor inicial y Ay 6e2 3e7 y0 1 y0 1 Boa Sorte Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral ITV Prof Edson 2 Semestre Gabarito 3 Prova 2016 Data Quartafeira 24 de Maio Turma TX Exercicio 1 e 1 8a 1 a Observe que Gn1 n 1n 2 dn 37 4 5 Perceba que 4a 5 dnt Be 1 nn 1 Bn An n1n 2 3a 1 4x 5 3r1 ag 81 Segundo o teste da razao a série sera absolutamente Perceba que convergente quando n Waal 42 lim eee 3 no0o0 An seas Ou seja 3 Ba1Ij1ls Segundo o teste da raiz a série seré absolutamente 1 convergente quando b 3 1ls nts lanl 1 1 Zsz5 3 3 Ou seja Portanto a série covergente no intervalo 4x 5 3 cis tert ct edcr a nee 3 33 3 4a 5 3 1 com raio de convergéncia r 3 a 5 4a 7 3 s se a 4 Exercicio 2 Da série geométrica também 5 3 conhecida por progressao geométrica sabese que T7 7 1 12 Portanto a série é covergente no intervalo oo gw Pcp cb atecrce me So2 4 4 4 2 para x 1 3 Observe que com raio de convergéncia r O 4 1 11 b Observe que Qae 214 é 1 1 3a 1 0 21C nn 1 2 2 Gabarito 3 Prova Trocando x por na série geométrica temse que Assim 1 x 2 x 4ag ag 0 12 p1 3 a 3 12a3 2a 0 too n 2n 1an 2n 2n 1any2 0 3 no Ou seja 00 gg 1 a Dal Sa F Assim ay a3 1 1 1 6 2a 21 n 2n 1 An42 5 in 2n 2n 1 1te1a2 7 5 gn onde ag a R Deduzindo alguns termos da solugao 7 7 00 1a t gna a4 9600 a5 12072 mo 161 17 a6 pap 05 a7 Z5ph G13 desde que 5 1 ou seja x 2 a 5760 720 2 1081 si Exercicio 3 Suponha que 8 99160 9 518404 ya s Ant Portanto a solugao geral da equacdo diferencial é n0 dada por Entao se Yex aoyi x aryox n1 y a do nanx 7 Sendo n2 y a Yo nn lane 1 7 4 161 1081 4 j4 a a ana ee me wiv 1 G2 96 5760 92160 Substituindo na equacao diferencial 2 yo2 2 4034 98 4 2g 4 OF 9 o 2y 8ayy 0 6 120 720 51840 temse a 2 n2 2 2 Ynn Vana Exercicio 4 Observe que a equagao diferencial SS re n 38x 2 ndnw Da anit 0 3ey 22y y 0 3 nn 1anx s 2nn 1ayx24 possui um ponto singular regular em 0 Assim n2 so n2 suponha que sua solugao seja dada por 5 3nana Sana 0 oo nl n0 yx Yo anat co co n0 lanx 2 2 Lantox Danln Janse ue m 2M Yangon sendo r Ry Disto seguese que So 8nanw Yo anc 0 so nl n0 y a So nranat day ag 12a3 2a1 a nm oo n 1 n nr2 FY n 2n Dan 2n2n1angae 0 y 2 dn trin tr anx 3 Gabarito 3 Prova e substituindo na equacao temse Ou seja nr2 x i4i a a 1 a toad 0 3m Din Frinton Tanaher WAYS VEE oe TO BO F B80 1 1 1 1 22 ntranzrtr anxt 0 4 72 4 73 4 74 C2 Xn tr x Fa 79 30 330 7 oo 1 nr1 d t du 3ln rn7r1anx Quando r 37 lemse an ranartr Lin rayet ni a 5 Yanxzt 0 n0 ao ER x YS n 1r3n 3r jana 1 n0 ay 340 Entr tenet o n0 1 so a2 73 SS n 1ltr8n 2 3rjanyi2 1 n1 co a3 740 SY ntrtljanz 0 162 n0 1 r 3r 1 aga7 4 F944 35 nr 41 8n 24 3ransi an 2 0 Ou seja n0 1 1 1 1 1 1 2 3 4 eee 3 vol 3 is tea oa 3 Seguese disto que eee a 1 2 1 BT gt 162 1944 r3r10r0our3 e Exercicio 5 Aplicando a transformada de nrlan Laplace em ambos os lados da equagao dada temse amt n11r3n 2 3r Ly 4y L 6e 3e an 8n243r Ly ALy 6Le 3LeF Quando r 0 temse sYs sy0 y0 4sYs y0 an Ont 3n 2 6 3 e s3 stl ayo ER Sabese que 1 y0 1 a a ee y0 1 ay ta Logo 10 6 3 1 sYs s14sYs 4 a3 ao s3 s41 80 1 2 6 3 4sYs 5 a 830 S48 8 8 5 a 4 Gabarito 3a Prova Y s s3 7s2 10s 30 s s 4 s 3s 1 Decompondo esta expressao em fracoes parciais temse que Y s 5 2s 11 10 s 4 2 s 3 3 5 s 1 e usando a transforma de Laplace inversa obtemse yt 5 2L11 s 11 10L1 1 s 4 2L1 1 s 3 3 5L1 1 s 1 5 2 11 10e4t 2e3t 3 5et Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Colegiado de Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral ITV Turma C4 Prof Edson 3 Prova 1 Semestre 2017 Data 17 de Outubro Duragao 1600 1800 Problema 1 Determine o ratio de convergéncia da série 1 2 ne 12 d3xn 1 e Problema 2 Calcule 4 1 3s L oS s255 Problema 3 Encontre a solucao geral da equagao y y xLY 0 Problema 4 Resolva a edo xy 5y cy 0 Problema 5 Resolva a edo y 8y 2y 0 com y0 3 ey0 1 Boa Sorte Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral ITV Prof Edson 1 Semestre Gabarito 3 Prova 2017 Data Domingo 22 de Outubro Turma C4 Exercicio 1 Observe que o termo geral desta série Ou seja quando dado por 4n 2n 1 a r11 3 3n 1 3 x13 Assim seguese que J 4 je1v3 oo Cb et 1 V3a1v3 5 n1 anu a 31n 2 1V32r14v3 e Logo o raio de convergéncia é ons 1la 12 3n 4 1 Qn 3t1n 22 1 12 Rv3 Dtl1 3 n1 7 33n2 1a1 5 1 n1 2 1 3 35 7 1 Exercicio 2 Observe inicialmente que o polindmio 2 s 2s 5 irredutivel ndo possui ratzes reais 1 n1 a 1 Assim completando seu quadrado temse 3 n2 1 n12 s2s5s8742s5411 1 3 255 7 1 s14 Portanto Além disto temse que 2 n 1 1 lim eas lima 35 a 1 138 13s n0o n0o ae SSS in s2s5 s14 2 1 1 e1 lim 235 13s1 3 noo n2 s144 1 41 13s13 3 s124 sande o teste da razao i série dada sera 43s 1 absolutamente convergente quando s1244 lim 1 noo An Logo aplicando L7 e usando a sua linearidade 2 Gabarito 3 Prova obtemse 12pt2a2 ay pf 138 YL pi f4 364 50 n 2n lange 1 Vangi ani 2 0 s2s5 s14 n1 Portanto 2 2f71 2a2 a 0 s 1 i ne 1 s1 n 2n 1anze N 1an4gi an1 0 3c Pt s14 ay ag 2 2 207 se 4 el n 1dng1Gn1 6n2 n 2n 1 8 3L7 aa Tomando ag 1 e a 0 temse 4 sostl ag 0 2esen 2t 3ecos 2t 1 a a3 6 Exercicio 3 Observe que x O um ponto 1 ordindrio para a edo 4 94 y y 2y 0 an 120 Portanto considere a seguinte proposta de solugao y Soanx Ou seja n0 yi x ap aya 452 Seguese disto que 1 1 1 co 12 7 79 y Sonanx 6 24 120 n1 Tomando agora dg 0 e a 1 temse oo a 1 y Sinn 1anx Oa 9 n2 1 Substituindo na equacao dada obtemse a3 6 y y 2y0 aa se se 24 Sinn 1anx Sonanx 1 2 1 a5 30 n n so 30 o anv 0 n0 Ou seja So n 2n Yanyo0 n0 yoa a9 aya 452 Dal Vans Danie 0 wae tye dys by ty no 2 net 2 6 24 30 2a2 Son 2n Ian4o2 E a solugao geral da edo é dada por n1 oe yx crys x caye a m 1anpy0 An1ex 0 Jams a com c1C2 ER Hl 3 Gabarito 3 Prova Exercicio 4 Observe que x 0 um ponto singular r 4raga r 6r 5 ay regular da equagao oS I ed So ntrt4nran an2 0 0 xy 5y 2y 0 nse Logo Deste modo considere a seguinte proposta de solucao 4 0 segundo o método de Frobenius 7 4rao r6r5a0 CO y Soanxt nr4n1ran an2 0 n0 Seguese disto que r 4r 0 ou ap 0 oo r 6r 5 0 ou a 0 y Son trana Gn2 a n0 nr4nr co y So n 4rnrlayet 1 Caso Suponha ag9 0 ea 0 Entao n0 r6r50Srlour5 e substituindo na equacao temse e para r 1 cy 5ya2y0 a ana n 3n 1 co cy n trnrlanat oo oo a2 Fao 0 55 n ranartrt ty ana 0 1 n0 n0 a3 79 1 SUntrntr Vana a4 57 a2 0 n0 1 CO co oT 50 n rane S Tana 0 Ho 384 n0 n0 ag 0 oe 1 yo rn r Vana a7 3099 En0 Co eee 5 ntranzr anazt 0 Jan Ou seja n0 n0 oe 1 2 3 eee Sn snint race nae ao bme ear bane 4 n0 oo oo 1 2 1 4 1 6 5 nt rane S lange 0 aL Tye F gag a3 gq n0 n2 rr1apv r 1ray a 1 ta 4 at 4 a8 4 oo 12 384 23040 n1 dintrinte Lana Parar 5 n 5ragx 5r1a An2 co an 55 n raya n 1n 5 n2 so e neste caso a relacao de recorréncia nao esta 32 an221 9 definida para n 5 indicando que a solugao nao se enquadra na forma de série de poténcias 4 Gabarito 3 Prova 2 Caso Suponha ap 0 e ay 0 Entao Exercicio 5 Usando a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial r4r05r0o0ur4 y 3y 2y 0 Para r 0 a relagao de recorréncia tornase y0 3 An2 n n 4n y0 1 Ou seja Obtemse 1 NW at a2 a0 Ly 3y 2y L0 1 Ly 3Ly 2Lfy 0 a3 797 0 1 sLy sy0 y0 a4 35740 st 3 sLy y0 2Ly 0 0 as 45 Considerando Ly Y e lembrando que y0 3 e de a 1 y0 1 temse 604 23040 1 sY 3s13sY92Y 0 az 775 0 s382Y83s 0 Portanto yo 2 ag aya agz a3x y 8 3s s2 3842 i 2 tt GO TQ FO 3840 93040 5 2 sl s2 1 2 1 4 1 6 ay 1 12 384 93040 re Aplicando agora a transformada inversa 5 2 t 71 4 u ut 3 1l s 3 Para r 4 a relacao de recorréncia tornase Se wwf 26ec5 me nn 4 s1 s2 que nao esta definida para n 4 ou seja a solugao 5e 262 para este caso nao encontrase na forma de série de poténcias a a Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Colegiado de Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral ITV Turma C4 Prof Edson 3 Prova 1 Semestre 2019 Data 29 de Agosto Duracao 1600 1800 Problema 1 Determine o intervalo de convergéncia da série ye 3 n 3 Problema 2 Calcule ciss 1 s 2s Problema 3 Encontre a solucao geral da equacao 1 27y 2y ay 0 Problema 4 Resolva a edo a xy 2y 2y 0 Problema 5 Resolva a edo y 5y by 0 com y0 1 ey0 3 Boa Sorte Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral ITV Prof Edson 1 Semestre Gabarito 3 Prova 2019 Data Quartafeira 4 de Setembro Turma C4 Exercicio 1 Observe que o termo geral desta série é Logo o intervalo de convergéncia é dado por 203 22 an Assim seguese que havendo ainda a possibilidade de convergéncia nos gntl a 3nt extremos deste intervalo dispensado de fazer a an n4 Exercicio 2 Observe que st1l stl Anti artha 3 n3 ss2s ss2 2 Gn n4 2 a 3 Jill tis od n3 28 25242 5242 Logo aplicando L7 e usando a sua linearidade f n3 5 obtemse eal pifstiipafil iis 1 si2sf 2s 2s2 58242 3 2 nts x 3 nA4 1 1 1 1 44 S oF Vesa least Portanto 14 v2 Jamia 9 23 the 25 lip 2 tap 2 35 kes va 2 3 ii n3 at os Van 4 sin Vt le 3 im ed 2 2 v2 a 2 x 3 Usando o teste da razao a série dada sera Exercicio 3 Observe que x 0 um ponto ordindrio para a edo absolutamente convergente quando 21 7 lant 1 2y ay xy 0 lim 1 noo On Portanto considere a seguinte proposta de solugao Ou seja quando oo nx 2e31 x 3 Seguese disto que 1 1 5 t38K5 y So nana 1 1 mm 3 3 3 3 7 oo 5 7 y Sonn lanx 2 a 3 n2 2 Gabarito 3 Prova Substituindo na equacao dada obtemse Ou seja 2 L2yay2y0 yix a9 faye a5x CO 1 22 nn Tana 12434 3454 16 oo 00 6 AO 180 n1 rm a Nant wy ant O Tomando agora a9 0 e a 1 temse oo n1 oo n0 Sonn 1aynx7 Sinn 1Lanx az 0 n2 n2 CO CO 1 S ona oma 0 3 man 5 n1 n0 oe 1 So n 2n lango2 a 5 9 nn1ana S nanx S an12 0 a5 10 n2 n1 n1 1 2a26a3a1a9 e ag oo 20 93 n2nLangot Lee CO n 2 CO 35 nnlant YS nane Yo an120 Ou seja n2 n2 n2 2a26a3a1a9 1 yoa ap baya a5a S n2n1lan2 nan An1 2 0 1 fl 3 fl n2 7 a4 pd 8 7 GT TQ G0 7 307 Portanto Ea solugao geral da edo é dada por 2a2 0 yx crys x caye 6a3taita9 0 n2n1any nanan1 0 com 1c2 ER a a2 0 Exercicio 4 Observe que x 0 um ponto singular regular da equagao a1 a0 a3 oe On1 a xy 2y 2y 0 An42 n 2n 1 Deste modo considere a sequinte proposta de solucdao Tomando ap 1 ay 0 temse segundo o método de Frobenius ag 0 oo 1 y Doane a3 6 n0 a4 0 Seguese disto que 3 co a5 40 y Soin 4 ran l n0 46 TS lo 180 y Soin rntr lanat Lae 3 Gabarito 3 Prova e substituindo na equacao temse Logo 2 ay 2y2y0 r 3rap 0 nrnr12an a 2Snrntrlanx 2 Hn4r2ntr4lans1 0 n0 20 nranat1 25 ana 0 r 3r 0 ou ap 0 no no a nr2nr1 ee nt1 TFT OTN oF Sint rnr Vana ntrntr12 r3o0ur0 nr1 onrnr Lanx ntr2nr1 n0 ony tn oo oo nrnr12 nr1 Nr 25 i n rane 2 jane 0 1 Caso Suponha ag 40 er 0 n0 n0 2 1 x on rnr1anx An1 ae oan S onrnr Lana nman2 n0 n2n2 25n 7ranxt 250 0 an n0 n0 SOn trnr Vana a 1 oo a 1 S onrntr layat a 1 n0 25n rayxt 2S cana 0 a3 1 n0 n0 ag 1 co a5 1 So ntrnr 1 Jana oo n0 nrnr12nran2t0 Ou seja me 90 yy 2 a9 ayx agz a3x S nrnr12 ana oo n0 lartaatata 5 ntr1nr2nrD anqiz 0 1 n1 1l2 r 3ragx7 2 Caso Suponha ag 4 0 er 3 A relacao de recorréncia tornase So la rn r 1 2Jan rs n 1n4 Ong in nr2n7r4ljanyi 2 0 n 3n 2 2 n5n4 sT On n5n4 an 4 Gabarito 3 Prova Ou seja Obtemse 1 Ly 5y 6y L0 ay 1 Lty 5Ly 6Ly 0 ag aa 1 sLy sy0 y0 3 5 sLy y0 6Ly 0 ag 1 a5 1 Considerando Ly Y e lembrando que y0 1 e Portanto y0 3 temse 13 2 3 Yo a ao an aaa ager 8Y s35sY 56Y 0 a lrta22a2t2 s 5s 6Y2s 0 es l2 y s2 3 825s 6 la s2 Assim a solucao geral da equagdao dada é s 3s 2 1 Ye C1Y1 Coy2 523 1 x Ay 2 2 la Aplicando agora a transformada inversa lt c cox 1 1 la yt L 323 sendo c1c2 ER a Exercicio 5 Usando a transformada de Laplace pl 1 para resolver o problema de valor inicial s3 y 5y 6y 0 ot y0 1 y0 3 Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Colegiado de Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral ITV Turma C4 Prof Edson 3 Prova 1 Semestre 2020 Data 15 de Junho de 2021 Duragao 1600 1900 Problema 1 Determine para quais valores de k a série converge Suis n1 Problema 2 Determine 0 ratio de convergéncia da série soem n1 Problema 3 Encontre a Série de Taylor para a funcao f em torno de x9 3 sabendo que f34e a 3 fx aa Problema 4 Encontre a solugao geral da edo y ay tay 0 Problema 5 Encontre uma solugao da equacgao ay ay 2 1y 0 Boa Sorte Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Engenharia Civil CAlculo Diferencial e Integral IV Prof Edson 1 Semestre Gabarito 3 Prova 2020 Data Sextafeira 25 de Junho Turma C4 Exercicio 1 Observe que o termo geral desta série é dado e por Ansi snt4 64 ayn nk3 an 647 x3nt1 Assim seguese que 3 64 Any n1k31 Pr e 64 Portanto us n131 3 an nig lim 1 Jim Ie noo dy no 64 n1k3371 3 7 nk3n ie 64 1 n1 Usando o teste da razao a série dada sera 3 absolutamente convergente quando An1 Portanto limy00 a 1 n 3 k x An1 1nl1 Flee ss l nl at n too An n too 3 n 64 ke Ixi64 1 lim 3 n00 n x 4 il 1 Ou seja 0 raio de convergéncia é 4 a 3 Exercicio 3 Sabese que Logo pelo teste da razao a série dada sera x3 absolutamente convergente para qualquer valor dek R fx yi ans a n1 n Logo Exercicio 2 O termo geral desta série é dado por A fy ye ont n1 ay 64 oo qyntl c y x 3 nn 1 Assim seguese que ns Além disso é dado que xont4 Any 64nti1 f34 2 Gabarito 3a Prova Ou seja c 4 Donde seguese finalmente que f x 4 n1 x 3n1 nn 1 Exercıcio 4 Observe que x 0 e um ponto ordinario para a edo y x2y xy 0 Portanto considere a seguinte proposta de solucao y n0 anxn Seguese disto que y n1 nanxn1 y n2 nn 1anxn2 Substituindo na equacao dada obtemse y x2y xy 0 n2 nn 1anxn2 x2 n1 nanxn1 x n0 anxn 0 n1 n 3n 2an3xn1 n1 nanxn1 n0 anxn1 0 2a2 6a3 a0 x n1 n 3n 2an3xn1 n1 nanxn1 n1 anxn1 0 2a2 6a3 a0 x n1 n 3n 2an3 n 1 an xn1 0 Portanto 2a2 0 6a3 a0 0 n 3n 2an3 n 1 an 0 a2 0 a3 a0 6 an3 n 1 an n 3n 2 Tomando a0 1 e a1 0 temse a2 0 a3 1 6 a4 0 a5 0 a6 1 45 a9 7 3240 Ou seja y1x a0 a1x a5x5 1 1 6x3 1 45x6 7 3240x9 Tomando agora a0 0 e a1 1 temse a2 0 a3 0 a4 1 6 a5 0 a6 0 a7 5 252 a10 1 567 Ou seja y2x a0 a1x a5x5 x 1 6x4 5 252x7 1 567x10 3 Gabarito 37 Prova E a solugao geral da edo é dada por 71 ag r r 2 ayx yx c1y1x C2Y2x d nr 1 an An2 x 0 n com c1C2 E R a Logo Exercicio 5 Observe que x 0 é um ponto singular regular da equacéio 71 ay 0 rr2a0 Py xy x2 1y0 nr 1 an 42 0 Deste modo considere a seguinte proposta de solucéio segundo o método de Frobenius r10ouay 0 y oanx rr2 Ooua 0 n0 an ann Seguese disto que nr co rlourl y Yo ntranx n0 a 0 oo 9 a 4n2 y ye nrnr1ayxt ntr21 0 Perceba que sendo a O seguese da relacdo de e substituindo na equacao temse recorréncia que 2 2 xy xy x1by0 03 05 07 Ary 41 0 xy nrnr1anxt24 Supondo ay 4 Oer 1 temse n0 x n ranx 4 x21 Yanx70 an aly 1 n0 n0 oo 4an2 Yo atrnrLanx nn2 n0 P ntranx Yo agx 2 Vayx0 n0 n0 n0 ao 1 x Ee orsnnnsaynats ma n0 2 8 2 nranx yo anx ou 0 a i n0 n0 n0 792 ye nrnr1ayx mae 1 wo n0 ss 9216 0 ntranx Yo ayox Yo anx0 a n0 n2 n0 rr1ap rr1ayx Ou seja Di nr nr Tana ypx ao anx agx agx n rag 1rayx nranx 1s 4 1 we 1 xT 4 oT 6 8 192 9216 a xt nmQ 40 ax dan an Lane é uma solucdo da equacio dada a Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Colegiado de Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral IV Turma M4 Prof Edson 3 Prova 2 Semestre 2021 Data 06 de Setembro de 2022 Duracao 1400 1700 Problema 1 Determine o intervalo de convergéncia da série de poténcias dada por 1 3 qn x 2 n3 Problema 2 Encontre a solucdao geral da edo 127 yxyy0 Problema 3 Encontre uma solucao da equaciio 2x7y xy 2x 1y 0 Problema 4 Calcule 4 stst1 CL P rer s 4s 9 Problema 5 Resolva o problema de valor inicial y 2y 2y 2x y0 0 y0 5 Boa Sorte Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Engenharia Civil CAlculo Diferencial e Integral IV Prof Edson 2 Semestre Gabarito 37 Prova 2021 Data Quintafeira 8 de Setembro Turma M4 Exercicio 1 Observe que o termo geral desta série é dado Seguese disto que por 1 3n co an qn x 2 y ynayx Disto seguese que ml 1 3n1 y Ynn1anx On Gagr 2 n1 u n e Substituindo na equacio dada obtemse a 1r1 qn ty vr x 2 3 an 4 1 x 2 1xyxyy0 e 1 x onn 1anx 4 a 1 1 3 x o nayx Yoayx0 x 2 n1 n0 4 foe 2 Cc yi nn 1anx Yo nn 1anx Portanto n2 n2 Anyi 1 3 nanx Yoanx0 sim tim bo tom 1 3 do n21 Vansox Z x 2 oo n0 co oo yinn 1ayx yo nanx yo anx 0 Logo pelo teste da razdo a série dada sera n2 n1 n0 absolutamente convergente quando 2a 6a3x y n211ayyox n2 lim ou 1e co co ne0 An J inn1ayx ax nayx 1 3 n2 n2 4 x 2 1 0 ay44x Yoanx0 Ou seja n2 V42x V42 2a7 ag 6a3x a oo n2n1an2 n1a x 0 Exercicio 2 Observe que x 0 é um ponto ordindrio Xu IC M Janx2 Yan para a edo 1 x2y 4 xy y0 Portanto Portanto considere a seguinte proposta de solucéo 2a2 ag 0 y h 643 0 y anx n 2m 1an42 n 1an 0 2 Gabarito 37 Prova ay Seguese disto que 43 0 oo Lon n1an y Vo nranx m2 n2n 1 n0 Tomando ag 1 e a 0 temse 1 y Vi ntrntrlanx a 5 n0 a3 0 e substituindo na equacdo temse a 5 2x2y xy2x1y0 a5 0 2x nrnr1anx 2 1 oo n0 co 6 80 x nranx71 2x 1 Vanx0 n0 n0 Ou seja yi x ap tayx te s asx Di 2mernbrTanxth n 1 14a 16 2 nrayx Yo 2anxt ttt Yoanx0 T5 q 307 me n0 n0 n0 Tomando agora ag 0e a 1 temse oo s xt Eatrsnyenteaynans az 0 n0 a3 0 0 nranx 2ax1 Fon 0 n0 n0 n0 a4 0 22nrnr1anx as 0 co n0 co co 2 ntranx Yo 2a1x Yoanx0 a 0 n0 n1 n0 aa 2rr1ap rag a9 Ou seja 2nrnr1anx YO ntranx 5 n1 n1 co xX ag ayx a5x Y2x 99 a1 45 2 2ay4x Yoanx0 yx n1 n1 2rr1 r 1ag E a solucao geral da edo é dada por 4 3 nr 2n2r1 1 an 2an1 x 0 yx crys x coy2x mm com c1C2 ER a Logo Exercicio 3 Observe que x 0 é um ponto singular regular da equaciio 2r 1 r1a 0 2x2y xy 2x 1 y 0 nr2n2r1 1 an 2a1 0 Deste modo considere a seguinte proposta de solucéio segundo o método de Frobenius rlour 4 y Yann a ee n0 nr2n2r1 1 3 Gabarito 3 Prova Supondo ay 1er 1 temse Logo ss1 3 1 2a er set Nise f th an Grane T s2 4 s 9 13 s274 2an4 3oaca n2n3 13 4 7 44 1 e zat 3 a9 1 2074 5 a 2 3 3 sen 2 1 cos 2t a 26 13 35 4 7 3t 1 3t a3 945 78 6 2 7 4 70395 A Exercicio 5 Utilizando a Transformada de Laplace a5 675675 para a resolucdo desta equacao observe que 7 Ly 2y 2y L2x Ou seja Ly 2 y2L y 2 x Considerando 11 2 ag ax agx agx6 Y Cty a equacao anterior pode ser reescrita como y 4 2k 2 ae 2x4 4 9 5 35 945 10395 sY sy0 y0 2sY y0 2Y 27 2x2 2x3 axt 2x5 2s425 25 45 35 7 945 7 10305 7 s yet 5s é uma solucdo da equacio dada a s 2s 2 s Obs Quem chegou até aqui obteve 100 da questio Logo Exercicio 4 Usando fracées parciais observe inicialmente que y Lo y 2 592 ets 3 1 1 s p 2s ay ae s 2s 2 s2 s24s9 13824 135244 7 4 11 ecosx 5sinx x1 78s3 653 7 Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Colegiado de Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral IV Turma TX Prof Edson 3 Prova 2 Semestre 2021 Data 06 de Setembro de 2022 Duracao 1600 1900 Problema 1 Determine o intervalo de convergéncia da série de poténcias dada por oe 450 i x 7 n n1 Problema 2 Encontre a solucdao geral da edo y 21xy 3xy 0 Problema 3 Encontre uma solucao da equaciio 2xy xy 3x 1y 0 Problema 4 Calcule 33 1 s 2s 9 Problema 5 Resolva o problema de valor inicial y y12yx y0 1 y0 0 Boa Sorte Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Engenharia Civil CAlculo Diferencial e Integral IV Prof Edson 2 Semestre Gabarito 37 Prova 2021 Data Quintafeira 8 de Setembro Turma TX Exercicio 1 Observe que o termo geral desta série é dado Seguese disto que por no n1 Ayn x7 y yo nanx n n1 Disto seguese que co Me 1 n2 50 y u nn 1ayx n1 n1 n2 Ant Cap qyp x 7 Substituindo na equacio dada obtemse e y 21xy3xy0 ns eee x71 n oo An n 1 nO x 7 Yinn 1anx n2 49 co co n1 x 7 21x Yo nanx1 3x anx0 n0 nl n0 49 Yinn 1anx oa Ix 7 yo 2nanx 2nanx Yo 3anx1 0 Portanto n1 n1 n0 antl n 1 2 1 n im an 7 im no0 x 7 Lin n an4oXx n 1 200 Vana n0o nN 0 0 2 2nanx 03a1x 0 0 n1 n1 Logo pelo teste da razdo a série dada sera 2ag 2a absolutamente convergente quando oo ye n 2n1an4o lim ens 1 mt n00 An 2n 1ay41 2nay 3 x 0 Ou seja para todox R a Portanto Exercicio 2 Observe que x 0 é um ponto ordindrio para a edo 2a2 2a 0 n2n1ay42 y 21xy 3xy 0 2n 1ay41 2nay 3ay1 0 Portanto considere a seguinte proposta de solucéo a a 24 2n 1an41 2nay 3ay1 y ax Qo td En Tn 4 mre n 2n 1 2 Gabarito 37 Prova Tomando ag 1 e a 0 temse Seguese disto que az 0 oo yf n rags a3 n0 a4 i y Vi ntrntrlanx 4 n0 1 a5 4 e substituindo na equacdo temse 1 16 7H 2x7y xy3x1y0 2 nr2 ou si 20255 nenbrtaga 24 yi x ag Fayx tess a5xr x n1anx 3x1 Vanx0 n0 n0 13 14 15 1 1 a ax a i0 fue 2n4rn4rLay x Tomando agora ay 0 e a 1 temse oo m0 oo 0 nranxT Y3anxt1 Yo anx0 ay 1 n0 n0 n0 a3 1 xt Eatrsnyenteaynans 7 n0 a co co co 12 2 nrayx Yo 3anxtt Fon 0 23 n0 n0 n0 5 60 22nrnr1anx 11 00 n0 00 i 16 ey 2 ntranx 3a1x Yoanx0 n0 n1 n0 2rr1ap rag a9 Ou seja oo oo 2nrnr1anx YO ntranx Yox ag ayxa5x n1 wo nl n n y 24 8 244 5 Myo LStmas dann 7 12 60 60 2rr1 r 1 ap E a solugao geral da edo é dada por y nr2n2r1 1 an 31 x 0 1 yx crys x coyax com c1C2 R a Logo Exercicio 3 Observe que x 0 é um ponto singular regular da equaciio 2r 1 r1a 0 2x2y xy 8x 1y 0 nr2n2r1 1 an 3a1 0 Deste modo considere a seguinte proposta de solucéio segundo o método de Frobenius rlour 4 y Yann a Sn n0 nr2n2r1 1 3 Gabarito 37 Prova Supondo ay 1er 1 temse Logo s1 94 1 34n1 ol L7 2 5 2 a Catt 2n1 1 s 2 s 9 s 2 341 96 1 1 n2n3 35 staf 134 1 e ae 3 14 1 ag 1 f1 3 s3 a 3 m5 9 9 pol 1 12 7 5 s 2 a 96 13 3 a 70 7024 49 3 3 75 75 4 3080 4 9 3t Qe 3 200200 Obs Quem chegou até aqui obteve 100 da questio Ou seja Ou seja co s1 Ite 2t 9 p2t 4 13 3 4 yy x ao agx agx agx Yet 7 5 70 70 3080 Exercicio 5 Utilizando a Transformada de Laplace 3x2 9x3 x4 38 para a resolucdo desta equacao observe que HxX R R5n t 5 70 70 3080 LtyyWyp Lix é uma solugdo da equacao dada a LtyLiyW2L ty Lx Considerando YLtyt Exercicio 4 Usando fragdes parciais observe inicialmente que a equacao anterior pode ser reescrita como 1 sY sy0 y0 sY y0 12Y 27 ss1 9 1 96 1 s42229 5sh22 25542 1 s277 89 5s2 s14s14 5 B 1 wi y si 5241 75s3 383 s2 s s 12 4 Gabarito 37 Prova Logo Ou seja Ly mee y er Zefa pol ss241 144 s 112 s4 s s s 12 Usando fragées parciais temse que ae a3 om 3 ss41 1 47 s2sts12 144s 112s4 1 AF gy 87 5 1 1442112 6312 37 1 63s3 12s a Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Colegiado de Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral IV Turma C4 Prof Edson 3 Prova 2 Semestre 2022 Data Tercafeira 28 de Fevereiro de 2023 Duracao 1400 1700 Problema 1 Calcule L f t sabendo que t0t1l fth P1t2 0t 2 Problema 2 Determine o intervalo de convergéncia da série de poténcias dada por oo 1x21 Xu 2n 1 Problema 3 Encontre a solucdao geral da edo x2y2yy0 Problema 4 Encontre uma solucao da equaciio xy xy x 2y 0 Problema 5 Resolva o problema de valor inicial y y x y0 1 Boa Sorte Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Engenharia Civil CAlculo Diferencial e Integral IV Prof Edson 1 Semestre Gabarito 3 Prova 2022 Data Sabado 4 de Marco Turma C4 Exercicio 1 Usando a definicio da Transformada de Logo Laplace seguese que LftAB 1 1 00 t a ae s1 LF Oe pt Fos 0 1 1 5 ae s 25 2 eS Ftdt e Ftdt 400 e 2s 4s 45 2 e Ftdt 2 1 1 1 2 00 atz s 2 te dt Pe dt Oe dt CT 5e 45 4s 2 AB 7 Exercicio 2 Observe que o termo geral desta série é dado por Resolvendo a integral A temse a 1x7 1 2n 1 Disto seguese que A rrestat 1nttyntl 0 Ant1 2n 1 1 1 e 3e st 1 s 0 ws 1t1x201 2n 1 1 AV pse 41 meee s2 2 2 2n nal Resolvendo a integral B temse 1 9 nn a1 Portanto B Pe dt dnt 1 1 li i sm An n500 2n2n 1 Ix 1 ie st 42st 2 1 8 1 x lim W noo 2n2n 1 1 5e s 2542 e 4s 45 2 0 s 2 Gabarito 3 Prova Logo pelo teste da razdao a série dada sera Portanto absolutamente convergente quando 4ay ag 0 li An1 1 ita n1nayn42n2n41ani2 n1an 0 Ou seja para todox R a Exercicio 3 Observe que x 0 é um ponto ordindrio ao 40 para a edo 4 x2yxyy0 bocg DlttD tng 1 1 an Portanto considere a seguinte proposta de solucéo m2 2n2n1 00 Tomando ay 1 e a 0 temse y oanx n0 1 aa 4 Seguese disto que 1 43 7 co 24 n1 y nayx Xu a4 0 00 1 y nn 1anx 350 n2 1 Substituindo na equacao dada obtemse 16 1440 x2yxyy0 Ou seja x 2 i nn 1anx yi x a9 Fayx 05 n2 oo oo 1 1 1 1 n1 n 1 cy2 43 yy 46 wee e Donan dm 0 a 94 ggo qag0 60 Tomando agora ag 0 e a 1 temse yi nn 1anx 1 n2 a2 0 2nn 1anx a3 0 n2 io nanx Yianx 0 a4 0 n1 n0 a5 0 Son1nayyix a6 0 oo n1 wae 2n 2 1 1 an sox Ou seja n0 onanx Yianx0 yoX ag ayx a5x n1 n0 x 4a ag oo E a solugao geral da edo é dada por eu 2n2n41anyot n1 yx cry x coy2x n1a x 0 com C1Co ER a 3 Gabarito 37 Prova Exercicio 4 Observe que x 0 é um ponto singular rrNagx rr 1a regular da equacio r 2rDagx rage 2 2 oy yf x 2y0 2ag 2ax Deste modo considere a seguinte proposta de solucio ntr41ntranyi segundo o método de Frobenius n2 oo nr1ay1 an2 2a x 0 y Yoanx n0 Seguese disto que Logo y Yo nranx rr1ay 0 n0 rr1a 2ay 0 Sn rn Vay r2r1az ray 2a 0 n0 nr1n4ran41 e substituindo na equacao temse ntr1an1 an2 2an 0 xy xy x7 2y05 nr2 rOour1 x nrnr1anx oo mo 00 2 7 ntrayxtt4t x 2 Yo anx 0 a r 1 n0 n0 co a rag 2a ye nrnr1ayxt1 2 r 2r1 n0 1ay1 4n2 2a ntr1 any Mbt Dent an2 2atn Beta ms nr1 nr nr2 nr dane dane 0 Supondo ay 1er 1 temse n0 n0 x x nrnr1anx1 Qny1 NAy1 An2 2an n0 n2n1 i ntranx Y agx ana 0 é n0 n0 n0 Yo utr 1nnan41x n1 ay 1 Yo ntr1an1x yo an2x 2 2anx 0 a 1 n1 n2 n0 2 rrlagxt rr 1ay nal ob r2raox ragx 1 44 oo 24 ntr1nray 41x ne 1 m2 120 0 nr1ay1x 1 n2 00 6 720 ay2x 2ag 2ax 2ax0 Lee n2 n2 4 Gabarito 37 Prova Ou seja y 6 y 8yy 2yy yy x ayx ayx 03x agx a5x y 0 6y02 8y0y 0 2y0 yi 0 1513 1 1 18 x1 potas toa to Dee 5t tot sate gt 7 1 1 1 1 Logo 24253 454 254 64 5 TER OE TEXT oa 00 7 ay y0 é uma solucdo da equaciio dada a 1 Exercicio 5 Considere como proposta de solucéo a seguinte funciio y0 co a y yo anx 1 n0 1 Como y é uma Série de Taylor em torno de x 0 seguese que y0 y0 oe 2 an n 1 De acordo com o enunciado do problema sabese que a y0 1 y0 a3 3 e 0 yyx 0 y0 y0 0 ae 1 1 4 Assim derivando a equacaio dada em relacao a x temse y0 y 2yy 1 45 5 uf0 2y0y0 1 1 Repetindo o procedimento temse Portanto 2 y 2 y 2yy Y aAgayxt Ayx 43x agx a5x mt 2 1 2 1 4 3 5 y0 2y0 2y0y0 SH Tbe tx ge tape to 0 Obs Esta questo tinha por objetivo explorar a Transformada de Laplace como método de resolucio io hn Porém por conta do y que hd na equagiio seu uso nao yo byy 2yy é possivel Apesar da solucdo apresentada estar dentro do contetido ensinado como nao apresentei tal método y0 6y0y 0 2y0y 0 de resolucaio em sala considero a questéo cancelada e a pontuacdao correspondente concedida a todos que 6 estiveram presentes na prova a