Gabarito da Prova de Cálculo Diferencial e Integral IV - 2021

Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Engenharia Civil CAlculo Diferencial e Integral IV Prof Edson 2 Semestre Gabarito 17 Prova 2021 Data Tercafeira 16 de Agosto de 2022 Turma TX Exercicio 1 Observe que a equaciio diferencial Seguese que y Iny yx Pax pode ser reescrita como 3 dx ev y 3S x oY os Ss 3lnx co comco ER E dy oy dx Hx ex Ou seja e3lnxeo Jax tex ey 1 3 x0 S cx ey 1 onde c e Tomando c 1 temse ee hey ax ulxflxax ss y In xCg 2x eax y Incx x5 com co Rec co 10x x7 50In x 5 cy Sabendo que y0 5 seguese que cy e e Ine3 x yIne x x 4 x 19 a 10x x750Inx 5 c Exercicio 2 Observe que a equaciio diferencial x 5 xy 3y 2 Exercicio 3 Perceba que a equacao diferencial pode ser reescrita como dy 2xyeY 13 2 dx x ex Yr xx 5 Pode ser reescrita da seguinte maneira que é uma equacao linear com eY 2xy dx x eY x dy 0 3 Considere Px Mxy eY 2xy fx 2 xx 5 Nxy x eY x 2 Gabarito 1 Prova e observe que Considere ux My eY 2x vats y x dy xduudx Ny ef 2x Assim a equacio pode novamente ser rescrita como O que significa dizer que a equacio dada é exata Para encontrar as solucées desta equacio é necessério resolver 2udx u2 1 xduudx 0 inte sist 0 seguinte sistema w ud dx x u21 du 0 o of et ary uu dx x u1 du x of dx u2 1 du ay 7 xe 2 ue oo Ou seja Integrando em relacaio a x a primeira equacao do sistema obtémse dx u2 1 du 4 fe Ee fxy xe ky uru 2 Donde seguese que Inx In 1 C0 of x2 comcg R Trazendo de volta a varidvel y temse 3 xeY ky y Inx In 421 cg Comparando este resultado com a segunda equacio do b sistema temse que Inx In 2 49 k ok EY In e y 9 y 2 Cy y 0 com cy R Assim ae e 2 xy 2 fxy xel ky 7 tyr xeY xy4c1 7 ea solugio da edo em questo é dada por Exercicio 5 Reescrevendo a equacio diferencial V By ty fxy c2 2 R temse 1 Ou seja x 4 yuouer 2 xe xyc wr gt 34 que é uma equacdo de Bernoulli e pode ainda ser vista Comc ER a como idy 13 x Exercicio 4 Observe que a equagio year BV 3 Considere 2xydx x dy 0 u y Pode ser reescrita como e observe que du 33 dy 5 Py x2 zea 4 1 ay 0 6 dx 2 dx x x e substituindo na edo dada temse y 2du 1 x du 1 x hax 1 4 0 ce eye we Sey et 4 Bdx 3 3 dx 2 2 3 Gabarito 1 Prova Ou seja a edo resultante é linear com Tomando co 0 temse 1 Px 2 1 ux a wx flxdx x px fx 2 1 xX x e Fe dx dx ery 2 Pax c 2 x2 e2 x 2 co comc R Trazendo a variavel y de volta temse com cg R O fator integrante desta equacao sera entio r2 ux el PO yueyh x2ce2 e2 to a