Gabarito da Prova de Cálculo Diferencial e Integral IV - 2022

Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Engenharia Civil CAlculo Diferencial e Integral IV Prof Edson 1 Semestre Gabarito 17 Prova 2022 Data Sextafeira 11 de Novembro Turma C4 Exercicio 1 Observe que a equaciio diferencial pode ser reescrita como 2 sen x d ry fy Et ev 143 1 a ou seja tratase de uma equacdao linear onde pode ser reescrita da seguinte forma 2 px dy x 1e dx sen x fx Vow s dx Desta forma considere dy ai nx pxdx Ou seja temse uma equacao de varidveis separdveis 2 cuja solucio é dada por eax dy la4 Jax 2Inx c coR oY 1 Tomando co 0 temse Fa ste px et y ol ert e2inis eY 1 460 ex x2 ey 1cyee 1 Além disso 1 ax nlx fxax ey 1 cye In 1 x sen xdx y 1 cye y InlIn1cye senxxcosxcy cy ER y In1cye e finalmente qx Onde cy te ecg ER a yx Hx Exercicio 2 Desejase resolver 0 seguinte problema de senx xcosx c valor inicial or x xy 2y sen x Como desejase que y F 1 seguese que 5 y 3 maces Para isto observe inicialmente que a equaciio 2 2 xy 2y senx a 3 1 2 Gabarito 1 Prova Portanto que agora é exata Logo existe uma funcio f O 5 IR R tal que senx xcosx1 a af ax TY a of 1 ayo ty Exercicio 3 Para a resolugao da equacio y y yxydx xy1dy 0 Ou seja 2 Considere fxy xyInyco c R Mxy yxty e a solucio da equacio em questao é portanto Nxy xy1 fxy c3 3 ER e observe que Ou seja 2 Nx y 5 txyinyle ceR My x 2y a e NM 1 Exercicio 4 Observe que a equaciio diferencial x Yy py t M y y x2y xyy Assim pode ser reescrita como d ny ow y Pde x xy dy 0 1 y que é uma equacaéo homogénea Colocando x em evidénvia temse Iny co coR 2 2 ax 14 ay 05 uy e yy Y ay dx 1 dy 0 e Inyco Considere yl te no x e observe que yy yux C1 e y dy xduudx onde c Rs Tomando cy 1 multiplicando a Substituindo na equacao anterior temse equacao dada por yu temse wdx 1u xduudx 0 1 e ylde x47 dy 0 udx 1uxdu 0 3 Gabarito 1 Prova Temse portanto uma equacdo separdvel donde seguese Considere portanto que d dx u1 nx pxdx x u d 1 f a 2 x u x1 1 ul nx uInul ep Inx19 co R In xu uco e xu ee px el x y Y ce pInjx1eo onde cy te ecg ER a eo Exercicio 5 Observe que a equacio x1 x1yy y tet0 xt pode ser reescrita da seguinte maneira C1 C 1 4 te Py yy 2 x1 y x1 y Tomando c 1 seguese que 1 7 11 4 pe ta ty gx ux flxax Ou seja temse uma equacdao de Bernoulli Considere a dx seguinte mudanca de varidvel x41 wat Injx1c2 cR e disto seguese 1 qx ux 47 yp px Substituindo na equacio anterior temse x 1 Inx 1 c ul a 1 Ou seja x1 1 que é uma equacao linear com y x41 Inx 1 2 1 1 px x1 1 FT Iinx 1 09 fx1 a