Exercícios G a Resolvidos-2023 1

Considere a equação quadrática em duas variáveis 15x^2 + 2\sqrt{3}xy + 13y^2 = 0. Assinale a alternativa que contém o ângulo de rotação \theta (em graus) necessário para eliminar o termo misto e a descrição do lugar geométrico dos pontos do plano que a equação representa. a. \theta = 30^\circ e representa duas retas concorrentes. b. \theta = 60^\circ e representa duas retas concorrentes. c. \theta = 30^\circ e representa um ponto. d. \theta = 60^\circ e representa uma hipérbole. e. \theta = 60^\circ e representa um ponto. Considere a reta r no plano dada pela equação 6y - 2x = 1 no sistema de coordenadas cartesiano xOy. Um novo sistema de coordenadas x'O'y' é obtido a partir de xOy transladando-se a origem O até O' e rotacionando-se os eixos por um ângulo \theta, de modo que, no novo sistema x'O'y', a equação da reta r seja y' = 0. Assinale a alternativa que contém as coordenadas (no sistema original) de uma possível origem O' (note que existem infinitas) e os valores de \sen(\theta) e \cos(\theta). a. O' = \left(-\frac{1}{2}, 0\right), \sen(\theta) = \frac{3}{\sqrt{10}} e \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{10}} b. O' = \left(0, -\frac{1}{6}\right), \sen(\theta) = \frac{3}{\sqrt{10}} e \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{10}} c. O' = \left(\frac{1}{2}, 0\right), \sen(\theta) = \frac{1}{\sqrt{10}} e \cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{10}} d. O' = \left(0, \frac{1}{6}\right), \sen(\theta) = \frac{1}{\sqrt{10}} e \cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{10}} e. Não é possível transformar a equação de r em y' = 0 usando apenas rotação e translação. Assinale a alternativa que contem a equação do paraboloide com vértice na origem, sabendo que sua interseção com o plano z = 3 é uma circunferência de centro (0, 0, 3) e raio 3. a. z = \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{3} b. z = \frac{4x^2}{5} + \frac{4y^2}{5} c. z = \frac{1}{9}(x-3)^2 + \frac{y^2}{9} d. z = x^2 + y^2 e. z = \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{9} Considere o hiperboloide de uma folha definido pela equação 3x^2 + 6y^2 - 6z^2 = 18 e a elipse interseção desta quádica com o plano de equação z = k para k ∈ ℝ. Assinale a alternativa que contém todos os valores de k para os quais os focos desta elipse distam 7 unidades. Considere o hiperboloide de duas folhas definido pela equação \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{36} - z^2 = 1 e a hipérbole interseção desta quádica com o plano de equação z = 7. Assinale a alternativa que contém o valor da área do triângulo cujos vértices são a origem e os dois focos da hipérbole. a. 420 b. 210 c. 840 d. 84\sqrt{26} e. 210\sqrt{2} 15𝑥2 + 2√3𝑥𝑦 + 13𝑦2 = 0 𝑦 = −2√3𝑥 ± √(2√3𝑥) 2 − 4 ∗ 13 ∗ 15𝑥2 2 ∗ 13 𝑦 = −2√3𝑥 ± √12𝑥2 − 780𝑥2 26 𝑥 = 0 𝑦 = 0 𝑥2 + 2𝑦2 = 6 + 2𝑘2 𝑥2 6 + 2𝑘2 + 𝑦2 3 + 𝑘2 = 1 2𝑐 = 7 2√(6 + 2𝑘2) − (3 + 𝑘2) = 7 √(3 + 𝑘2) = 7 2 (3 + 𝑘2) = 49 4 𝑘2 = 49 4 − 3 𝑘2 = 37 4 𝒌 = √𝟑𝟕 𝟐 𝒌 = − √𝟑𝟕 𝟐 𝑥2 36 − 𝑦2 36 = 1 + 𝑧2 𝑥2 36 − 𝑦2 36 = 50 𝑥2 1800 − 𝑦2 1800 = 1 Logo: 𝑐 = √1800 + 1800 𝑐 = 60 Assim: 𝑎𝑟𝑒𝑎 = 7 ∗ 2𝑐 2 𝒂𝒓𝒆𝒂 = 𝟒𝟐𝟎 Assinale a alternativa que contém a equação do paraboloide com vértice na origem, sabendo que sua interseção com o plano z = 3 é uma circunferência de centro (0, 0, 3) e raio 3. a. \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{3} b. \frac{4x^2}{5} + \frac{4y^2}{5} c. \frac{1}{9}(x - 3)^2 + \frac{y^2}{9} d. -\frac{x^2}{2} + \frac{y^2} e. -\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{9} Considere a reta r no plano dada pela equação 6y - 2x = 1 no sistema de coordenadas cartesianas xOy. Um novo sistema de coordenadas x'O'y' é obtido a partir de xOy transladando-se a origem O até O' e rotacionando-se os eixos por um ângulo θ, de modo que, no novo sistema x'O'y', a equação da reta r seja y' = 0. Assinale a alternativa que contém as coordenadas (no sistema original) de uma possível origem O' (note que existem infinitas) e os valores de sen(θ) e cos(θ). a. O'(\frac{1}{2}, 0), sen(θ) = \frac{3}{\sqrt{10}} e cos(θ) = \frac{1}{\sqrt{10}} b. O'(0, -\frac{1}{6}), sen(θ) = \frac{3}{\sqrt{10}} e cos(θ) = \frac{1}{\sqrt{10}} c. O'(\frac{1}{2}, 0), sen(θ) = \frac{1}{\sqrt{10}} e cos(θ) = \frac{3}{\sqrt{10}} d. O'(0, \frac{1}{6}), sen(θ) = \frac{1}{\sqrt{10}} e cos(θ) = \frac{3}{\sqrt{10}} e. Não é possível transformar a equação de r em y' = 0 usando apenas rotação e translação.