Lista de Exercícios Cálculo I - Derivação e Primitivas de Funções

INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CAMPUS NOVA VENÉCIA Cálculo I Lista de exercício 202302 1 Derive as funções abaixo na variável x 2 Determine as funções primitivas ① a Pela regra da cadeia d y xena³ x³a³ x³ fx 2x34 x2 x 15 2x34 x2 x 15 fx 42x33 2x3 x2 x 15 2x34 5 x2 x 14 x2 x 1 fx 4 2x33 2 x2 x 15 2x34 5 x2 x 14 2x1 fx 2x33 x2 x 14 8 x2 x 1 5 2x3 2x1 fx 2x33 x2 x 14 8 x2 8 x 8 5 4x2 2x 6x 3 fx 2x33 x2 x 14 28x2 12x 7 gx x2 13 x2 26 x213 x2 26 gx 3x2 12 2x x2 26 x2 13 6 x2 25 2x gx 6x x2 12 x2 25 x2 2 2x21 gx 6x x212 x2 25 3x2 4 ht 23 t113 1 2t2 13 t123 3 2t2 12 4t ht 2 2t2 12 2t2 13t113 12tt123 i Ft 4 3t13 3 2t13 3t14 9 2t14 2 Ft 6 3t13 2t14 22t1 3t1 Ft 6 3t13 2t14 4t 2 3t 1 Ft 6 3t13 2t14 t 3 j Pelas regras da cadeia e do quociente y 3 x2 1x2 1 2 x2 1x2 1 y 3 x2 1x2 1 2 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1x2 12 y 3 x2 1x2 1 2 2x x2 1 x2 1 2x x2 12 y 3 x2 1x2 1 2 2x 2x x2 12 y 3 x2 12 x2 12 4x x2 12 y 12x x2 12 x2 14 k y sqrt1 2e3x 1 2e3x12 y 12 1 2e3x12 2e3x 3 y 3e3x sqrt1 2e3x l y ln 51x 1x y ln 51x x1 y ln 51x x2 y ln 51x 1x2 m y 1 sqrtr21 r 1sqrtr21 2r y sqrtr212 r2 sqrtr21 sqrtr212 y 1r21 sqrtr21 r2 sqrtr21 1r21 r2 1 r2 sqrtr21 1 sqrtr213 2 a fx fx dx cos x 1x212 dx cos x dx 11x2 dx sen x arcsenx c c R b fx 2ex sec x tg x dx 2 ex dx sec x dx tg x dx 2ex ln tgx secx ln cosx c c R c fx ³x3 ³x² dx x13 dx x23 dx x4343 x5353 34 ³x4 35 ³x5 c c R d fx x sinhx 2 coshx dx x sinhx dx 2 coshx dx coshx 2 senhx c c R Como f0 2 entons 2 cosh0 2 senh0 c 2 1 20 c 2 1 c c 1 fx coshx 2 senhx 1 e ft 2 t 3 sen t dt 2 t dt 3 sen t dt 2t²2 3cos t t² 3 cos t c c R Como f0 5 entons 5 0² 3cos0 c 5 0 31 c 5 3 c c 2 Logo ft t² 3 cost 2 f fu u²uu du u²u u12u du u du u12 du u²2 u12112 1 u²2 u1212 u²2 2u c c R Como f1 3 entons 3 1²2 21 c 3 12 21 c 3 12 2 c c 3 2 12 c 12 Logo fu u²2 2u 12 g fx fx dx 1 6x 48x2 dx fx x 6x²2 48x³3 a a ℝ fx x 3x² 16x³ a Como f0 2 ewtas 2 0 3 02 16 03 a a 2 fx x 3x² 16x³ 2 Assim fx fx dx x 3x² 16x³ 2 dx x²2 3x³3 16x⁴4 2x b b ℝ x²2 x³ 4x⁴ 2x b Como f0 1 temos 1 0²2 0³ 4 04 2 0 b b 1 Logo fx x²2 x³ 4x⁴ 2x 1 h fx fx dx 2x³ 3x² 4x 5 dx fx 2x⁴4 3x³3 4x²2 5x a a ℝ fx x⁴2 x³ 2x² 5x a fx fx dx x⁴2 x³ 2x² 5x a dx fx x⁵10 x⁴4 2x³3 5x²2 ax b b ℝ Como f0 2 ewtas 2 0 0 0 0 0 b b 2 e f1 0 0 1⁵10 1⁴4 21³3 51²2 a1 2 0 110 14 23 52 a 2 a 2 110 14 23 52 a 120 6 15 40 150 60 a 251 60 Logo fx x⁵10 x⁴4 2x³3 5x²2 251x60 2