Lista de Exercícios Resolvidos - Limites - Cálculo Diferencial e Integral

Instituto Federal do Espírito Santo Campus Vitória Coordenadoria de Matemática Professor Gelson Freire de Azeredo Aproximadamente 174 itens Assunto Limites Valor 5 pontos Entrega até 124 1 Explique o significado da equação lim x2 fx 5 É possível diante da equação anterior que f2 3 Explique 2 Explique o significado de dizer que lim x1 fx 3 e lim x1 fx 7 Nessa situação é possível que lim x1 fx exista Explique 3 Explique o significado de cada uma das notações a seguir a lim x3 fx b lim x4 fx 4 Para a função h cujo gráfico é dado determine o valor de cada quantidade se ela existir Se não existir explique por quê a lim x3 hx b lim x3 hx c lim x3 hx d h3 e lim x0 hx f lim x0 hx g lim x0 hx h h0 i lim x2 hx j h2 k lim x5 hx l lim x5 hx 5 Para função g cujo gráfico é dado determine o valor de cada quantidade se ela existir Se não existir explique o porquê a lim t0 gt b lim t0 gt c lim t0 gt d lim t2 gt e lim t2 gt f lim t2 gt g g2 h lim t4 gt 6 Para a função f cujo gráfico é mostrado a seguir determine a lim x7 fx b lim x3 fx c lim x0 fx d lim x6 fx e lim x6 fx f As assíntotas verticais 7 Calcule os limites abaixo a lim x5 6x5 b lim x1 2xx12 c lim x2 x1x2 x12 8 a Encontre as assíntotas verticais da função y xx2x2 b Confirme sua resposta fazendo o gráfico da função 9 Dado que lim x0 fx 3 lim x0 gx 0 e lim x0 hx 8 encontre se existir o limite abaixo caso não exista explique por quê a lim x0 fx hx b lim x0 fx2 c lim x0 hx13 d lim x0 1fx e lim x0 fxhx f lim x0 gxhx g lim x0 hxgx h lim x0 2 fx hx fx 10 Os gráficos de f e g são dados Use para calcular cada limite Caso não exista o limite explique por quê a lim x2 fx gx b lim x1 fx gx c lim x0 fx gx d lim x1 fxgx e lim x2 x3 fx f lim x1 3 fx 11 Calcule lim x3 x2 4x3 5x 2 12 Calcule lim x1 13xx4x23x4 3 13 Discuta a O que há de errado com a equação x2x6x2 x 3 b Em vista de a explique por que a equação lim x2 x2x6x2 lim x2 x 3 está correta 14 Calcule se existir o limite a lim x4 x25x4x23x4 b lim x2 x2x6x2 c lim x1 x24xx23x4 d lim t9 9t3t e lim h0 1h 1 h f lim x2 x2 3 x7 g lim x4 1144x h lim x9 x2 81 x 3 i lim x1 x x21 x j lim x2 x2x2 15 Se 1 fx x2 2x 2 para todo x encontre lim x1 fx 16 Prove que lim x0 x4 cos 2x 0 17 A função sinal denotada por sgn está definida por sgn 1 se x 0 0 se x 0 Faça 1 se x 0 o que se pede a Esboce o gráfico da função b Encontre ou explique por que não existe cada um dos limites que se seguem i lim sgnx iii lim sgnx x0 x0 ii lim sgnx iv lim sgnx x0 x0 18 Seja fx 4 x2 se x 2 x 1 se x 2 então a Encontre lim fx e lim fx x2 x2 b Existe lim fx x2 c Esboce o gráfico de f 19 Mostre por meio de um exemplo que lim fx gx pode existir mesmo que nem lim fx e lim gx existam x0 x0 x0 20 Mostre por meio de um exemplo que lim fxgx pode existir mesmo que nem lim fx e lim gx existam x0 x0 x0 21 Calcule o valor de lim 6x2 3x1 x2 22 Faça o que se pede a Do gráfico de f estabeleça os números nos quais f é descontínua e explique por quê b Para cada um dos números estabelecidos na parte a determine se f é contínua e à esquerda ou à direita ou nenhuma delas 23 Do gráfico de g estabeleça os números nos quais g é contínua 24 Esboce o gráfico de uma função que seja contínua em toda a parte exceto em x 3 e contínua à esquerda em 3 25 Esboce um gráfico de uma função que tenha um salto de descontinuidade em x 2 e uma descontinuidade removível em x 4 mas é contínua no restante de seu domínio 26 Use a definição de continuidade e propriedades de limites para mostra que a função é contínua no ponto ou intervalo dado a fx x2 7 x a 4 b fx 2x 3 x 2 2 c gx 23 x 3 27 Explique por que a função é descontínua no ponto dado e em seguida esboce seu gráfico a fx 1 x1 se x 1 em p 1 2 se x 1 b fx ex se x 0 em p 0 x2 se x 0 c fx x2 x x2 1 se x 1 em p 1 1 se x 1 28 Explique utilizando os teoremas estudados em sala de aula porque a função é contínua em todo o seu domínio Estabeleça seu domínio a Rx x2 2x 1 b hx sen x x 1 c fx sen1 x2 1 d gt ln t4 1 29 Mostre que fx x2 se x 1 x se x 1 é continua em IR 30 Use a continuidade para calcular os limites abaixo a lim 5 x 1 ex x4 b lim senx sen x xπ 31 Encontre os pontos nos quais f é descontínua Em quais pontos f é contínua à esquerda à direita ou nenhum deles Esboce o gráfico de f f x 2 se x 0 ex se 0 x 1 2 x se x 1 32 Quais as seguintes funções f têm uma descontinuidade removível em a Se a descontinuidade for removível encontre uma função g que é igual a f para x a e é contínua em IR a fx x2 2x 8 x 2 a 2 b fx x 2 x 7 a 7 c fx x3 64 x 4 a 4 d fx 3 x 9 x a 9 33 Suponha que uma função f seja contínua em 0 1 exceto em 025 e que f0 1 e f1 3 Seja N 2 esboce dois gráficos possíveis de f um indicando que f pode não satisfazer a conclusão do Teorema do Valor Intermediário e outro mostrando que f pode satisfazer a mesma conclusão Mesmo que não satisfaça as hipóteses 34 Se fx x3 x2 x mostre que existe um número c tal que fc 10 35 Use o teorema do valor intermediário para provar que existe um número c tal que seu quadrado é igual a 2 Isso prova a existência de 2 36 Use o teorema do valor intermediário para provar que existe uma raiz da equação cosx x no intervalo 0 1 37 Faça o que se pede a Mostre que a função valor absoluto fx x é contínua em toda a parte b Prove que se f for uma função contínua em um intervalo então f também é c A recíproca da afirmativa do item b também é verdadeira Em outras palavras se f for contínua segue que f também é Se for assim prove isso Caso contrário encontre um contraexemplo 38 Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manhã e segue sua caminhada usual para o topo da montanha chegando lá às 7 horas da noite Na manhã do dia seguinte ele parte do topo às 7 horas da manhã pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 7 horas da noite Use o teorema do valor intermediário para mostrar que existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas Explique com suas palavras o significado de cada um dos itens que se seguem a lim fx 5 x b lim fx 3 x 39 Discuta a O gráfico de y fx pode interceptar uma assíntota vertical E uma assíntota horizontal Ilustre com gráficos b Quantas assíntotas horizontais pode ter o gráfico de y fx Ilustre com um gráfico as possibilidades 40 Para a função gx cujo gráfico é dado abaixo determine o que se pede a lim gx x d lim gx x0 b lim gx x e lim gx x2 c lim gx x3 f As equações das assíntotas da função esboçada abaixo 41 Esboce o gráfico de uma função que satisfaça as condições dadas a lim x2 gx d lim x0 gx b lim x gx e lim x0 gx c lim x gx 0 42 Esboce o gráfico de uma função que satisfaça as condições dadas a f0 3 e lim x4 fx b lim x0 fx 4 f lim x4 fx c lim x0 fx 2 g lim x fx 3 d lim x fx 43 Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada do limite lim x 3x² x 4 2x² 5x 8 44 Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada do limite lim x 12x³ 5x 2 3x³ 4x² 1 45 Calcule o limite a lim x 1 2x 3 e lim x 9x⁶ x x³ 1 b lim x 1 x x² 2x² 7 f lim x 9x² x 3x c lim x x 2² 9x² 1 g lim x x x² 2x d lim x 9x⁶ x x³ 1 h lim xπ2 etgx 46 Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva e das estimativas das assíntotas a y x x 4 c hx x ⁴x⁴ 1 b y x³ x² 3x 10 d fx x 9 4x² 3x 2 47 Encontre uma fórmula para a função f que satisfaça as seguintes condições a lim x fx 0 d f2 0 b lim x fx 0 e lim x3 fx c lim x0 fx f lim x3 fx 48 Encontre uma fórmula para uma função que tenha por assíntotas verticais x 1 e x 3 e por assíntota horizontal y 1 49 Encontre os limites quando x e x de y x²x 21 x Use essa informação bem como os interceptos para fazer um esboço gráfico dessa função 50 Calcule a lim x0 tgx x k lim x 1 1xx 2 b lim xπ senx x π l lim x 1 2xx 1 c lim x0 tg3x sen5x m lim x x 2 x 1x d lim x0 3x² tgxsenx n lim x0 1 2xx o lim x0 1 2x1x e lim x0 1 cosx x p lim x0 ax 1 x a 1 f lim xπ2 1 sen 2x π q lim x0 e2x 1 x g lim x0 x sen 1x r lim x0 ex² 1 x h lim xp senx² p² x p s lim x0 3x 1 x² i lim x0 senx² 1x sen1x x j lim x 1 2xx