Projeto Sinais e Sistemas - Análise de Fourier e Espectro de Frequências

Disciplina Sinais e Sistemas Professora Suzete Correia Projeto Análise de Sinais no Domínio da Frequência Um sinal representa um conjunto de informações ou dados Para o estudo e entendimento de sinais podem ser utilizados diversos métodos para a sua análise A análise de Fourier introduzida pelo físico e matemático Jean Baptiste Fourier em 1807 permite a decomposição de sinais como a soma de funções senoidais de diferentes frequências Para os sinais periódicos aplicase a série de Fourier e para sinais aperiódicos a transformada de Fourier que consiste na série no limite quando o período tende a infinito Através da transformação do sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência obtém se um gráfico chamado de espectro que apresenta os componentes de frequência do sinal e os relaciona a energia ou potência Ao identificar as frequências mais relevantes aquelas com maior energia ou potência podese projetar sistemas para a transmissão desses sinais determinando a largura de banda do sistema Outra aplicação é determinar frequências indesejadas provenientes de interferências ou ruídos O objetivo deste projeto é permitir ao aluno a observação do comportamento de sinais no domínio do tempo e da frequência EXERCÍCIO 1 Convergência da série de Fourier Para a onda quadrada da Figura 1 visualize o sinal de aproximação obtido pela soma de um número finito de senóides para verificar a convergência da série de Fourier Considere T4 e T11 Os coeficientes foram calculados e para a série trigonométrica temse Figura 1 para k diferente de 0 Sendo a série trigonométrica de Fourier representada por Verifique a convergência da série de Fourier aumentando sucessivamente o valor de N no código a seguir N representa o número de harmônicas a serem consideradas na representação de xt O que se conclui t0018 pi31415 x05 Nalterar valor for k1N x sinkpi2kpicospik2t x end plotx EXERCÍCIO 2 Plote o espectro de amplitudes da onda quadrada ilustrada na Figura 1 para um total de 10 harmônicas Quais frequências são as mais relevantes na decomposição da onda quadrada Justifique N 10 a005 Bk10 Ck10 for k1N Bkk1sinkpi2kpi Ck10 Ckk10 Ak1a0 Akk1sqrtBkk12Ckk12 end k1N k0k plotkabsAk xlabelk ylabelAk EXERCÍCIO 3 Transformada de Fourier A função do MATLAB Octave Scilab que calcula a transformada de Fourier é a fftxL em que x é o sinal no tempo e L a quantidade de amostras utilizadas na transformada L deve ser pelo menos igual ao tamanho de x A rotina a seguir permite plotar o espectro unilateral em módulo de um sinal com relação a frequência Fs valor da frequência de amostragem Llengthx NFFT 2nextpow2L X fftxNFFTL f Fs2linspace01NFFT21 Plota espectro de amplitude unilateral plotf2absX1NFFT21 xlabelFrequenciaHz ylabelXf 31 Obter a transformada de Fourier de uma senóide com frequência de 60 Hz amostrada a 30 vezes a sua frequência Quantas harmônicas são observadas f60 Fs30f numerodeciclos 4 pi31415 t01Fsnumerodeciclos 1f xsin2pift plottx xlabelTempos ylabelAmplitude 32 Obter a transformada de Fourier da soma de três uma senóides conforme código a seguir O que se observa Ts00005 Fs1Ts pi31415 t0Ts005 x05sin2pi150tsin2pi250tsin2pi500t plottx xlabelTempos ylabelAmplitude 33 O que se verifica no espectro quando um nível dc de valor igual a 2 é adicionado ao sinal do item 32 Ts00005 Fs1Ts pi31415 t0Ts005 x2 05sin2pi150tsin2pi250tsin2pi500t plottx 34 Considerando a senóide de 60Hz do item 41 adicionar ruído gaussiano empregando a função randn gera uma sequência aleatória Plote o sinal no tempo e verifique o que acontece na frequência Teça comentários y x randn1lengthx EXERCÍCIO 4 Obtenha a transformada de Fourier da função pulso Que função aparece na frequência Aumente a largura do pulso no tempo e observe o que ocorre na frequência Justifique Ts001 Fs1Ts t10Ts10 x zeros1950ones1101zeros1950 plottx EXERCÍCIO 5 Filtragem de um sinal Gere um sinal xn que consiste da soma de duas senóides A primeira deve ter amplitude 1 e fazer 6 ciclos completos em 500 amostras baixa frequência A segunda deve ter amplitude 05 e fazer 44 ciclos completos em 500 amostras alta frequência Plote as senóides individuais e a soma das duas para ver o comportamento no tempo A rotina a seguir implementa em Matlab os sinais solicitados N500 k 6 for i0499 x1i1 sin2pikiN end k 44 for i0499 x2i1 05sin2pikiN end x x1x2 plotx1 figure plotx2 figure plotx Aplique a transformada de Fourier a cada um dos sinais acima e observe o seu comportamento no domínio da frequência Dada uma resposta ao impulso hn que corresponde a um filtro seletivo em frequência plote o seu comportamento no tempo e na frequência Que filtro é esse h zeros199 for i 098 hi1 031752 sin0314159 i4900001 i4900001 hi1 hi1 054 046 cos00641114 i end Faça a convolução do sinal xn com o filtro fornecido e comente os resultados obtidos Faça a convolução no tempo usando a função conv Em seguida realize a convolução no domínio da frequência empregando as respostas em frequências do sinal de entrada e resposta ao impulso Há diferença Teste um outro filtro no sinal xn e comente os resultados Qual o processamento realizado hnovo h hnovo50 hpnovo501